ECUACIONES DIFERENCIALES PRACTICA 1 Segundo cuatrimestre 2004

1 Primera Parte: Ecuaciones Ordinarias

Ejercicio 1 Lema de Gronwall.

Sean u y v funciones continuas no negativas en [a, b] tales que, para un α ≥ 0, satisfacen la desigualdad

u(t) ≤ α + ∫_{a}^{b} u(τ)v(τ) dτ, t ∈ [a, b]

Probar que

u(t) ≤ α exp ∫_{a}^{b} v(τ) dτ

En particular, si α = 0 entonces u ≡ 0.

Ejercicio 2 Probar que el problema de valores iniciales

\{ \begin{matrix}\frac{du}{dt} = f(t, u), & t_{0} < t < t_{1} \\ u(t_{0}) = u_{0} \end{matrix}

donde f(t, u) es una función continua y u ∈ C ([t_{0}, t_{1}]) ∩ C^{1} (t_{0}, t_{1}) , es equivalente a la ecuación integral

u(t) = u_{0} + ∫_{t_{0}}^{t_{1}} f (τ, u(τ)) dτ

1. Probar que el problema

\{ \begin{matrix}\frac{du}{dt} = 1 + u^{2} \\ u(0) = 0 \end{matrix}

tiene solución en el intervalo maximal (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}) .

2. Eatudiar la unidad de solución del problema

\{ \begin{matrix}\frac{du}{dt} = u^{1/3} \\ u(0) = 0 \end{matrix}

Ejercicio 3 (Continuidad respecto al dato inicial)

Sea f(t, u) definida en el abierto Ω ⊂ ℝ × ℝ^{n} con valores en ℝ^{n}, continua en Ω y uniformemente lipschitziana en la variable u, con constante K, sobre todo Ω. Para i = 0, 1 denominaremos J_{i} al intervalo, en la variable t, de existencia de la solución u_{i} : J_{i} → Ω del problema de valores iniciales

\{ \begin{matrix}\frac{du_{i}}{dt} = f(t, u_{i}) \\ u_{i}(t_{0}) = x_{i} \end{matrix}

Probar que para cada t ∈ J_{0} ∩ J_{1}, se cumple la desigualdad

|u_{0}(t) − u_{1}(t)| ≤ exp (K |t − t_{0}|) |x_{0} − x_{1}|

Concluir desde aquí que el problema de valores iniciales tiene solución única.

2 Problemas Variacionales

Ejercicio 4 Dados dos puntos (x_{1}, y_{1}) y (x_{2}, y_{2}) con y_{2} < y_{1}, hallar la curva que minimiza el tiempo de caída de una partícula que se desliza por ella, sólo por acción de la gravedad. A esta curva se la denomina “braquistocrona”.

Ejercicio 5 Hallar la curva con extremos y(x_{1}) = y_{1} e y(x_{2}) = y_{2} (con y_{1}, y_{2} > 0) que minimiza el área de la superficie de revolución generada por la rotación de dicha curva alrededor del eje z.

Ejercicio 6 ¿Qué problema hay que plantear para encontrar puntos críticos del funcional

I = ∫_{x_{1}}^{x_{2}} f (x, y, y′) dx

sobre todas las funciones que toman el valor y_{1} en x_{1}? (es decir que no se imponen condiciones sobre y en el extremo x_{2})

Ejercicio 7 Hallar la curva de longitud mínima que pasa por el punto (x_{1}, y_{1}) e interseca la recta x = x_{2}.

Ejercicio 8 Péndulos

1. Péndulo simple

Si tenemos una masa m suspendida de una barra rígida inextensible de longitud l, el moviento pendular de la masa m es un mínimo del funcional

I = ∫_{0}^{t} (\frac{m}{2}l^{2}θ̇^{2} − mgl cos(θ)) dt

donde θ es el ángulo que forma el hilo con la dirección vertical. Hallar la ecuación del movimiento y resolverla para |θ| ≪ 1.

2. Péndulo doble.

Si tenemos una masa m_{1} suspendida de un hilo inextensible de longitud l_{1}, y a su vez de ésta pende otra masa m_{2} unida a m_{1} por otro hilo inextensible de longitud l_{2}. El moviento pendular del sistema es un mínimo del funcional I = ∫_{0}^{t} L(t, θ_{1}, θ_{2}, θ̇_{1}, θ̇_{2})dt con L = T − U siendo

T = \frac{1}{2} [m_{1}l_{1}^{2}θ̇_{1}^{2} + m_{2} (l_{1}^{2}θ̇_{1}^{2} + l_{2}^{2}θ̇_{2}^{2} + 2l_{1}l_{2} cos (θ_{1} − θ_{2}) θ̇_{1}θ̇_{2})]
U = −m_{1}gl_{1} cos(θ_{1}) − m_{2}g (l_{1} cos(θ_{1}) + l_{2} cos(θ_{2}))

donde θ_{1} es el ángulo que forma el hilo l_{1} con la vertical y θ_{2} el ángulo que forma el hilo l_{2} también con la vertical. Hallar la ecuación del movimiento y resolverla para |θ_{1}| y |θ_{2}| ≪ 1.