ECUACIONES DIFERENCIALES PRACTICA 2 Segundo cuatrimestre 2004

Ejercicio 1. Probar que la ecuación de Laplace

Δu = 0

es invariante por rotaciones; esto es, si O es una matriz ortogonal y definimos v(x) = u(Ox), entonces

Δv = 0.

Ejercicio 2. Verificar las siguientes afirmaciones indicando en cada caso las hipótesis de regularidad sobre u necesarias para su validez.

(1) Combinaciones lineales: Si u_{1} y u_{2} son funciones armónicas, entonces αu_{1} + βu_{2} es armónica.

(2) Homotecias: Si u es armónica, entonces u_{λ}(x) = u(λx) es armónica.

(3) Traslaciones: Si u es armónica, entonces u(x − ξ) es armónica.

(4) Diferenciación respecto a parámetros: Si u(x, γ) es armónica para cada γ, entonces \frac{∂u}{∂γ}(x, γ) es armónica para cada γ.

(5) Integración respecto a parámetros: Si u(x, γ) es armónica para cada γ, entonces ∫_{a}^{b} u(x, γ)dγ es armónica.

(6) Diferenciación respecto a x: Si u es armónica, entonces D^{α}u es armónica para todo multiíndice α ∈ ℕ^{n}.

(7) Convoluciones: Si u es armónica, entonces ∫ u(x − ξ)φ(ξ)dξ es armónica.

Ejercicio 3. Sea u armónica en Ω ⊆ ℝ^{2}, abierto simplemente conexo. Probar que entonces existe v armónica en Ω tal que u + iv es holomorfa.

Ejercicio 4. Resolver usando separación de variables, el problema: Si D es el cuadrado (0, 1) × (0, 1), se busca u = u(x, y) tal que

(1)

\{ \begin{matrix}Δu & = & 0, & en D, \\ u(x, 0) & = & 0, \\ u(1, y) & = & 0, \\ u(x, 1) & = & 0, \\ u(0, y) & = & sin(πy). \end{matrix}

(2)

Δu = 0,  en D,
u(x, 0) = 2 sin(3πx),
u(1, y) = 0,
u(x, 1) = 0,
u(0, y) = 3 sin(πy) + 5 sin(2πy).

Ejercicio 5. Resolver usando separación de variables, el problema: Si D es el cuadrado (0, 1) × (0, 1), se busca u = u(x, y) tal que

\{ \begin{matrix}Δu & = & 0, & en D, \\ u(x, 0) & = & f_{1}(x), \\ u(1, y) & = & f_{2}(y), \\ u(x, 1) & = & f_{3}(x), \\ u(0, y) & = & f_{4}(y). \end{matrix}

Imponer condiciones sobre las f_{i} para que la función hallada sea efectivamente solución de la ecuación.

Ejercicio 6. Resolver, analizando la validez de la solución, la ecuación de Laplace en un disco en ℝ^{2}.

(1) \{ \begin{matrix}Δu & = & 0 & en |x| < 1, \\ u & = & f & en |x| = 1, \end{matrix}

donde f ∈ C^{1}({|x| = 1}). (Sug.: Pasar a coordenadas polares).

(2) \{ \begin{matrix}Δu & = & 0 & en |x| < 1, \\ \frac{∂u}{∂ν} & = & f & en |x| = 1, \end{matrix}

donde f es como en (a) y además ∫_{{|x|=1}} f dS = 0 y u se anula en el origen.

Probar que la ecuación del item (2) no tiene solución si ∫_{{|x|=1}} f dS ≠ 0.

Ejercicio 7. Decimos que v ∈ C^{2}(Ω) es subarmónica si Δv ≥ 0 en Ω.

(1) Probar que si v ∈ C(\overline{Ω}) entonces max\overline{Ω} ˇ= max_{∂Ω} v.

Sugerencia: Probarlo primero suponiendo que v satisface que Δv > 0 y luego probarlo para v_{ε}(x) := v(x) + ε|x|^{2} y hacer ε → 0.

(2) Probar que si x_{0} ∈ Ω y r < d(x_{0}, ∂Ω), entonces

v(x_{0}) ≤ − ∫_{B(x_{0},r)} v(ξ)dξ

(3) Probar que v verifica el principio fuerte del máximo.

(4) Sea ϕ : ℝ → ℝ una función convexa y regular. Si u es armónica y v = ϕ(u), entonces v es subarmónica.

(5) Probar que v = |∇u|^{2} es subarmónica, si u es armónica.

Ejercicio 8. Sea u una solución regular de

\{ \begin{matrix}Δu & = & f & en B_{1}(0) \\ u & = & g & en ∂B_{1}(0). \end{matrix}

Probar que existe una constante C, que depende sólo de la dimensión del espacio, tal que

max_{\overline{B_{1}(0)}} |u| ≤ C ( max_{∂B_{1}(0)} |g| + max_{\overline{B_{1}(0)}} |f|) .

¿Es cierta la conclusión del ejercicio si cambiamos B_{1}(0) por Ω un dominio acotado cualquiera?.

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Ejercicio 9. Notemos con B_{1}^{+} a la semiesfera \{x ∈ ℝ^{n}/ |x| < 1, x_{1} > 0\}. Sea u ∈ C(\overline{B_{1}^{+}}), armónica en B_{1}^{+} con u = 0 en ∂B_{1}^{+} ∩ {x_{1} = 0} y notamos x = (x_{1}, x′) con x′ ∈ ℝ^{n−1}. Definimos

U(x) = \{ \begin{matrix}u(x) & si x_{1} ≥ 0, \\ −u(−x_{1}, x′) & si x_{1} < 0, \end{matrix}

para x ∈ B_{1}(0). Probar que U es armónica en B_{1}(0). Concluir que u es C^{∞} hasta {x_{1} = 0}.

Ejercicio 10. Sea u una función armónica en B_{1}(0). Probar que

sup_{B_{1/2}(0)} |∇u(x)| ≤ C sup_{B_{1}(0)} |u(x)|,

donde C depende sólo de la dimensión del espacio.

Ejercicio 11. Probar que si u es armónica en ℝ^{n} y acotada, entonces u es constante.

Ejercicio 12. Probar que existe a lo sumo una solución acotada del problema

\{ \begin{matrix}Δu & = & f & en ℝ_{+}^{n}, \\ u & = & g & en ∂ℝ_{+}^{n}. \end{matrix}

¿Vale la unicidad si eliminamos la hipótesis de que u sea acotada?

Ejercicio 13. Sea {u_{n}}_{n=1}^{∞} una sucesión de funciones armónicas en Ω que converge uniformemente sobre los compactos de Ω a una función u. Probar que u es armónica.

Ejercicio 14. Sea u_{n} ∈ C^{2}(Ω) ∩ C(\overline{Ω}) (Ω acotado), la solución del siguiente problema:

\{ \begin{matrix}Δu_{n} & = & 0 & en Ω \\ u_{n} & = & g_{n} & en ∂Ω. \end{matrix}

Probar que si g_{n} → g uniformemente en ∂Ω, entonces existe u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C(\overline{Ω}) tal que u_{n} → u uniformemente en Ω y Δu = 0 en Ω.

Ejercicio 15. Sea Ω un dominio acotado y sea u_{n} ∈ C^{2}(Ω)∩C(\overline{Ω}) la solución del siguiente problema

\{ \begin{matrix}Δu_{n} & = & f_{n} & en Ω, \\ u_{n} & = & g_{n} & en ∂Ω. \end{matrix}

Probar que si f_{n} → f uniformemente en Ω y que si g_{n} → g uniformemente en ∂Ω, entonces existe u ∈ C(\overline{Ω}) tal que u_{n} → u uniformemente en Ω y, más aún, u es solución de

\{ \begin{matrix}Δu & = & f & en Ω, \\ u & = & g & en ∂Ω, \end{matrix}

en el siguiente sentido “débil”:

∫_{Ω} uΔv dx = ∫_{Ω} fv dx,

para toda v∈ C_{0}^{∞}(Ω).

Ejercicio 16. Teorema de Harnack de convergencia monótona.

Sea {u_{n}}_{n=1}^{∞} una sucesión monótona de funciones armónicas en un dominio Ω, entonces la sucesión converge en todo punto o diverge en todo punto. En el primer caso, la convergencia es uniforme sobre compactos y el límite es una función armónica.

Ejercicio 17. Probar que si u es armónica en ℝ^{n} y |u(x)| ≤ C(1 + |x|^{k}), entonces u es un polinomio de grado a lo sumo k.

Ejercicio 18. Probar que si el problema de Neumann

\{ \begin{matrix}Δu = f & en Ω, \\ \frac{∂u}{∂ν} = g & en ∂Ω, \end{matrix}

tiene una solución en Ω acotado (u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C^{1}(\overline{Ω})) entonces

∫_{Ω} f(x)dx = ∫_{∂Ω} g(x) dS.

Relacionar con el ejercicio 6. Ejercicio 19. Sea Ω un dominio con borde regular. Probar que si u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C^{1}(\overline{Ω}) es solución de

\{ \begin{matrix}Δu & = & 0 & en Ω, \\ \frac{∂u}{∂ν} & = & 0 & en ∂Ω, \end{matrix}

entonces u es constante.

Ejercicio 20. Una función u ∈ C(Ω) se dice subarmónica (superarmónica) en Ω si para cada bola B ⊂⊂ Ω y para cada función h armónica en B que satisface u ≤ h (u ≥ h) en ∂B, se tiene que u ≤ h (u ≥ h) en B.

(1) Mostrar que si u ∈ C^{2}(Ω), u es subarmónica (según esta definición) si y sólo si Δu ≥ 0.

(2) Si u es subarmónica en Ω, entonces satisface el principio fuerte del máximo; y si v es superarmónica en Ω acotado, con v ≥ u en ∂Ω, entonces v > u en Ω o v ≡ u.

(3) Sea u subarmónica en Ω y B ⊂⊂ Ω. Notamos con ũ la función armónica en B (dada por la integral de Poisson) que satisface ũ = u en ∂B. Definimos el levantamiento armónico de u en B por

U(x) = \{ \begin{matrix}ũ(x), & x ∈ B, \\ u(x), & x ∈ Ω − B. \end{matrix}

Entonces U es subarmónica en Ω.

(4) Si u_{1}, …, u_{N} son subarmónicas en Ω, entonces

u(x) = max{u_{1}(x), …, u_{N}(x)}

es subarmónica en Ω.

(5) Enunciar y demostrar los correspondientes resultados para funciones superarmónicas.

Ejercicio 21. Sean A, B matrices simétricas y semidefinidas positivas de n × n. Probar que tr(AB) ≥ 0.

Ejercicio 22. Principio débil del máximo Sea

Lu = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x)\frac{∂^{2}u}{∂x_{i}∂x_{j}} +

∑_{i=1}^{n} b_{i}(x)\frac{∂u}{∂x_{i}} + c(x)u,

donde a_{ij}, b_{i} y c son funciones continuas en \overline{Ω} y u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C(\overline{Ω}). La matriz (a_{ij}) es simétrica y definida positiva para cada x ∈ \overline{Ω} (un operador L con estas propiedades se dice elíptico). Probar que si Lu ≥ 0 en Ω y c ≡ 0 entonces el máximo de u se alcanza en ∂Ω.

Ejercicio 23. Lema de Hopf.

Sea Ω un dominio con la propiedad que para todo x_{0} ∈ ∂Ω, existe una bola B_{r}(y) ⊂ Ω tal que x_{0} ∈ ∂B_{r}(y) (esto se conoce como la propiedad de bola tangente interior). Sea u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C^{1}(\overline{Ω}) tal que Δu ≥ 0 en Ω, x_{0} ∈ ∂Ω y u(x_{0}) > u(x) para todo x ∈ Ω. Entonces

\frac{∂u}{∂ν}(x_{0}) > 0

Ejercicio 24. Usar el lema de Hopf para dar otra demostración del principio fuerte del máximo.

Ejercicio 25. Seea Ω un dominio con borde C^{2}. Probar que Ω posee la propiedad de bola tangente interior.