Ecuaciones Diferenciales - 2^{∘} cuatrimestre 2004 Práctica 4

1. Sea u una solución regular de u_{t} − Δu = 0 en IR^{n} × (0, +∞).

(a) Mostrar que u_{λ}(x, t) = u(λx, λ^{2}t) también resuelve la ecuación del calor para cada λ ∈ IR.

(b) Mostrar que v(x, t) = x · ∇u(x, t) + 2tu_{t}(x, t) también resuelve la ecuación del calor.

2. Verificar las siguientes afirmaciones indicando en cada caso las hipótesis de regularidad sobre u necesarias para su validez.

(a) Combinaciones lineales: Si u_{1} y u_{2} son funciones calóricas, entonces αu_{1} + βu_{2} es calórica.

(b) Traslaciones: Si u(x, t) es calórica, entonces u(x − ξ, t − τ) es calórica.

(c) Diferenciación respecto a parámetros: Si u(x, t, α) es calórica para cada α, entonces \frac{∂u}{∂α}(x, t, α) es calórica para cada α.

(d) Integración respecto a parámetros: Si u(x, t, α) es calórica para cada α, entonces ∫_{a}^{b} u(x, t, α)dα es calórica.

(e) Diferenciación respecto a x y t: Si u(x, t) es calórica, entonces \frac{∂^{|α|+m}u}{∂x^{α}∂t^{m}}(x, t) es calórica.

(f) Integración respecto x y t: Si u(x, t) es calórica, n = 1, entonces ∫_{x_{0}}^{x} u(ξ, t)dξ es calórica si u_{x}(x_{0}, t) = 0 y ∫_{a}^{t} u(x, τ)dτ es calórica si u(x, a) = 0.

(g) Convoluciones: Si u(x, t) es calórica, entonces ∫ u(x − ξ, t)φ(ξ)dξ y ∫_{a}^{b} u(x, t − τ)φ(τ)dτ son calóricas.

3. (a) Si ϕ = ϕ(x, t), x ∈ IR^{3}, t > 0, es una solución con simetría esférica de la ecuación del calor en IR^{3} (i.e. ϕ(x, t) = w(|x|, t) con w : IR_{+}^{2} → IR), entonces ϕ satisface

ϕ_{rr} + \frac{2}{r}ϕ_{r} = ϕ_{t} t > 0, r > 0

(b) Mostrar que la ecuación (3a) puede reducirse mediante el cambio ψ = rϕ a la ecuación del calor unidimen-

sional.

4. Para i = 1, …, n consideramos u_{i} = u_{i}(x, t), x ∈ IR, t > 0, soluciones de

\{ \begin{matrix}(u_{i})_{t} & = & (u_{i})_{xx} \\ u_{i}(x, 0) & = & φ_{i}(x). \end{matrix}

Probar que si definimos para x ∈ IR^{n}, t > 0,

u(x, t) = u_{1}(x_{1}, t)u_{2}(x_{2}, t)...u_{n}(x_{n}, t)
φ(x) = φ_{1}(x_{1})φ_{2}(x_{2})...φ_{n}(x_{n})

entonces u es solución de la ecuación del calor en IR^{n} × (0, ∞) con u(x, 0) = φ(x).

5. Sea

u(x, t) = \frac{1}{t^{α}} v (\frac{x}{t^{β}} ) (x ∈ IR^{N}, t > 0),

donde α y β son constantes.

(a) Verificar que u satisface la ecuación del calor si y sólo si v satisface

αt^{−(α+1)}v(y) + βt^{−(α+1)}y · Dv(y) + t^{−(α+2β)}Δv(y) = 0,

para y = t^{−β}x.

(b) Verificar que si β = 1/2, v satisface

αv + \frac{1}{2}y · Dv + Δv = 0.

(c) Verificar que si v es radial, i.e. v(y) = w(|y|) para w : IR → IR, entonces w satisface

αw + \frac{1}{2}rw′ + w′′ + \frac{n − 1}{r}w′ = 0,

donde r = |y|, ′ = \frac{d}{dr}.

(d) Tomar α = n/2 y hallar la solución fundamental de la ecuación del calor.

6. Método de similaridad.

(a) Hallar todas las soluciones de la ecuación del calor unidimensional que satisfacen

ϕ(x, t) = ϕ(λx, λ^{2}t), ∀λ ∈ IR.

(b) Mostrar que el método de similaridad dado en (a) también puede aplicarse a la ecuación del calor no lineal

\frac{∂}{∂x} (K(u)\frac{∂u}{∂x}) = \frac{∂u}{∂t}, K ∈ C^{1}.

7. Resolver por el método de separación de variables,

\{ \begin{matrix}\frac{∂u}{∂t} − k^{2} \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + cu & = & 0, & 0 < x < π, t > 0, \\ u(0, t) & = & 0, \\ u(π, t) & = & 0, \\ u(x, 0) & = & u_{0}(x). \end{matrix}

Sugerencia: Proponer v(x, t) = u(x, t)e^{ct}.

8. Consideremos el siguiente problema

\{ \begin{matrix}u_{t} − u_{xx} & = & 0, & en (0, 1) × (0, ∞), \\ u_{x}(0, t) & = & 0, & t > 0, \\ u_{x}(1, t) & = & 0, & t > 0, \\ u(x, 0) & = & u_{0}(x), & 0 < x < 1, \end{matrix}

con u_{0} ∈ L^{2}(0, 1).

(a) Por el método de separación de variables, hallar la solución del problema y verificar que es una solución clásica en (0, 1) × (0, ∞).

(b) Verificar que la solución hallada en (a) satisface u(·, t) → u_{0} en L^{2}(0, 1) cuando t → 0 y que u(x, t) → ∫_{0}^{1} u_{0} dx cuando t → ∞ uniformemente. Interpretar físicamente.

9. Aplicar el método de separación de variables para resolver el siguiente problema de conducción de calor en un disco de IR^{N}.

\{ \begin{matrix}\frac{∂u}{∂t} − Δu & = & 0 & |x| < 1, t > 0 \\ u(x, t) & = & 0 & |x| = 1, t > 0 \\ u(x, 0) & = & u_{0}(x) & |x| ≤ 1 \end{matrix}

donde u_{0}(x) = ϕ(|x|) (y por ende u(x, t) = w(|x|, t)).

10. (a) Sea a(t) > 0 una función continua y sea u(x, t) una solución regular de u_{t} = aΔu. Muestre que existe un cambio de variables t = ϕ(τ) tal que U(x, τ) = u(x, ϕ(τ)) es solución de la ecuación del calor.

(b) Sea b(t) ∈ IR^{n} continua y sea u(x, t) solución regular de u_{t} = Δu + b · ∇u. Muestre que existe un cambio de variables x = ψ(y, t) tal que U(y, t) = u(ψ(y, t), t) es solución de la ecuación del calor.

(c) Sea c(t) ∈ IR continua y sea u(x, t) solución regular de u_{t} + cu = Δu. Muestre que existe φ(t) derivable, tal que U(x, t) = u(x, t)φ(t) es solución de la ecuación del calor.

11. Principio de Duhamel Sea u la solución del siguiente problema

\{ \begin{matrix}u_{t} − u_{xx} = g(x, t) & en (0, L) × (0, +∞), \\ u(0, t) = u(L, t) = 0 & en t > 0, \\ u(x, 0) = 0 & en (0, L). \end{matrix}

Probar que u puede ser representada en la forma

u(x, t) = ∫_{0}^{t} Φ(x, t; s) ds,

donde Φ es la solución del problema

Φ_{t} − Φ_{xx} = 0  en (0, L) × (s, +∞),
Φ(0, t; s) = Φ(L, t; s) = 0 en t > s,
Φ(x, s; s) = g(x, s)  en (0, L).

12. Usar la transformada de Fourier para resolver el problema

\{ \begin{matrix}u_{t} − ku_{xx} & = & g(x, t), & x ∈ IR, t > 0, \\ u(x, 0) & = & f(x), & x ∈ IR, \end{matrix}

donde f y g(·, t) para cada t fijo, son funciones de S.

13. Mostrar que la solución acotada de

\{ \begin{matrix}u_{t} − u_{xx} & = & 0, & x > 0, t > 0, \\ u(0, t) & = & 0, \\ u(x, 0) & = & f(x), \end{matrix}

viene dada por la fórmula

u(x, t) = ∫_{0}^{∞} G(x, ξ, t)f(ξ)dξ,

donde G(x, ξ, t) = K(x − ξ, t) − K(x + ξ, t) y K es la solución fundamental de la ecuación del calor. (Pista: Extender f por imparidad a −∞ < x < 0 y resolver el problema de valores iniciales para la f extendida).

14. Mostrar que la solución acotada de

\{ \begin{matrix}u_{t} − u_{xx} & = & 0, & x > 0, t > 0, \\ u(0, t) & = & g(t), \\ u(x, 0) & = & f(x), \end{matrix}

viene dada por la fórmula

u(x, t) = ∫_{0}^{∞} G(x, ξ, t)f(ξ)dξ − 2 ∫_{0}^{t} \frac{∂K}{∂x} (x, t − τ)g(τ)dτ,

donde G(x, ξ, t) = K(x − ξ, t) − K(x + ξ, t) y K es la solución fundamental de la ecuación del calor, si

|f(x)| ≤ C_{1} exp {C_{2}|x|^{1+α}} , 0 ≤ α < 1,
|g(t)| ≤ C_{1}t^{−α}, 0 < t < ε

donde C_{1}, C_{2} son constantes positivas y ε > 0.

15. Sea u(x, t) solución del problema

\{ \begin{matrix}u_{t} & = & u_{xx}, & x ∈ IR, t > 0, \\ u(x, 0) & = & φ(x), & x ∈ IR \end{matrix}

dada por la convolución de φ en la variable x con la solución fundamental. Probar que si φ ∈ L^{1}(R), entonces u(·, t) ∈ L^{1}(IR) ∀t > 0 y

∫_{IR} u(x, t)dx = ∫_{IR} φ(x)dx, ∀t > 0.

16. Sea U ⊂ IR^{n} abierto. Notamos U_{T} = U × (0, T) y Γ_{T} = (\overline{U} × \{0\}) ∪ (∂U × (0, T)) la frontera parabólica de U_{T}.

Decimos que v ∈ C^{2,1}(U_{T}) ∩ C(\overline{U_{T}}) es una subsolución de la ecuación del calor si

v_{t} − Δv ≤ 0 en U_{T} .

(a) Probar que max_{U_{T}} v = max_{Γ_{T}} v.

(b) Sea ϕ : IR → IR un función suave y convexa. Probar que si u es solución de la ecuación del calor y v = ϕ(u), entonces v es una subsolución.

(c) Probar que v = |∇u|^{2} + u_{t}^{2} es una subsolución si u es una solución de la ecuación del calor.

17. (a) Sea Q_{R}(x, t) = B(x, R) × (t − R^{2}, t). Probar que si u(x, t) es solución de la ecuación del calor en Q_{2}(0, 0), existe una constante C universal tal que

max_{Q_{1}(0,0)} |∇_{x}u(x, t)| ≤ C max_{Q_{2}(0,0)} |u(x, t)|.

(b) Con la notación del ejercicio anterior, probar que si K ⊂ \overline{U_{T}} \Γ_{T}, K compacto, existe entonces una constante C que depende de dist(K, Γ_{T}) tal que

max_{K} |∇_{x}u(x, t)| ≤ C max_{U_{T}} |u(x, t)|.

18. Sea U_{T} = U × (0, T) y sean u_{n} soluciones regulares del siguiente problema

\{ \begin{matrix}(u_{n})_{t} − Δu_{n} & = & 0 & en U_{T} \\ u_{n} & = & f_{n} & en Γ_{T} , \end{matrix}

donde Γ_{T} es la frontera parabólica de U_{T}. Probar que si f_{n} → f uniformemente en Γ_{T}, entonces existe u regular tal que u_{n} → u uniformemente sobre U_{T} y u es solución de

\{ \begin{matrix}u_{t} − Δu & = & 0 & en U_{T} \\ u & = & f & en Γ_{T} . \end{matrix}

19. Sea u una solución acotada de la ecuación del calor en IR^{n+1}. Probar que u es constante. ¿Es cierto el resultado si eliminamos la hipótesis que u sea acotada?

20. Definimos

Lu = ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij}(x, t)\frac{∂^{2}u}{∂x_{i}∂x_{j}} + ∑_{i=1}^{n} b_{i}(x, t)\frac{∂u}{∂x_{i}} ,

donde los coeficientes a_{ij}, b_{i} son continuos, a_{ij} = a_{ji} y la matriz A = (a_{ij}) es definida positiva. Dado U ⊂ IR^{n} abierto, conexo y acotado, definimos U_{T} = U × (0, T] y Γ_{T} = \overline{U_{T}} − U_{T} la frontera parabólica de U_{T}. Probar que si u ∈ C^{2,1}(U_{T}) ∩ C(\overline{U}_{T}) satisface

u_{t} − Lu = 0 en U_{T} ,

entonces

max_{\overline{U}_{T}} u = max_{Γ_{T}} u.