Ecuaciones Diferenciales - 2^{∘} cuatrimestre 2004 Práctica 5

1. Resolver por el método de separación de variables el problema

\{ \begin{matrix}u_{tt} − c^{2}u_{xx} = 0 & en (0, L) × (0, ∞), \\ u(0, t) = A, u(L, t) = B & en t > 0, \\ u(x, 0) = f(x), u_{t}(x, 0) = g(x) & en 0 < x < L, \end{matrix}

donde A y B son constantes, reduciendo el problema a uno con condiciones homogéneas.

2. Resolver por el método de separacón de variables el problema

\{ \begin{matrix}u_{tt} − c^{2}u_{xx} = 0 & en (0, L) × (0, ∞), \\ u_{x}(0, t) = 0, u_{x}(L, t) = 0 & en t > 0, \\ u(x, 0) = f(x), u_{t}(x, 0) = g(x) & en 0 < x < L. \end{matrix}

3. Utilizar la transformada de Fourier para obtener la fórmula de D’Alembert.

4. Utilizar la transformada de Fourier para resolver el problema

\{ \begin{matrix}u_{tt} − c^{2}u_{xx} = h(x, t) & en IR × (0, ∞), \\ u(x, 0) = u_{t}(x, 0) = 0 & en IR. \end{matrix}

5. a) Hallar una solución general de la siguiente ecuación de primer orden

\frac{∂u}{∂t} + c\frac{∂u}{∂x} = f(x, t)

u(x, 0) = u_{0}(x)

(Sugerencia: tomar x = x(t) y calcular u′.)

b) Verificar que la ecuación de ondas

u_{tt} − u_{xx} = 0

puede “factorizarse” de la siguiente manera

(\frac{∂}{∂t} + \frac{∂}{∂x}) (\frac{∂}{∂t} − \frac{∂}{∂x}) u = 0

c) Combinar (a) y (b) para hallar la fórmula de D’Alembert para la solución de la

ecuación de ondas unidimensional.

6. Encontrar una fórmula explícita para la solución de

\{ \begin{matrix}u_{tt} − u_{xx} & = & 0 & x > 0, t > 0 \\ u(0, t) & = & 0 & t > 0 \\ u(x, 0) & = & g(x) & x > 0 \\ u_{t}(x, 0) & = & h(x) & x > 0. \end{matrix}

7. Sea u la solución de la ecuación de ondas

\{ \begin{matrix}u_{tt} − Δu & = & 0 & en IR^{3} × (0, ∞) \\ u(x, 0) & = & g(x) \\ & & & en IR^{3} × \{t = 0\} \\ u_{t}(x, 0) & = & h(x) \end{matrix}

dada por la fórmula de Kirchhoff, donde g, h son suaves y tienen soporte compacto. Mostrar que existe una constante C tal que

|u(x, t)| ≤ \frac{C}{t} para todo x ∈ IR^{3}, t > 0.

8. Se define una solución débil de la ecuación de ondas unidimensional a una función u tal que

∫_{−∞}^{∞} ∫_{−∞}^{∞} u(x, t)(ϕ_{tt}(x, t) − ϕ_{xx}(x, t)) dxdt = 0

para toda ϕ ∈ C_{0}^{2}(IR^{2}).

a) Mostrar que toda solución clásica de la ecuación de ondas unidimensional es una solución débil y que toda solución débil regular de la ecuación de ondas es solución clásica.

b) Mostrar que las funciones discontinuas

u_{1}(x, t) = H(x − t), u_{2}(x, t) = H(x + t)

donde H es la función de Heaviside

H(x) = \{ \begin{matrix}0, & x < 0 \\ 1, & x ≥ 0 \end{matrix}

son soluciones débiles de la ecuación de ondas unidimensional.

9. Probar que si u es una solución clásica radial de la ecuación de ondas en dimensión 3 (i.e. u(x, t) = w(|x|, t) x ∈ IR^{3}), se tiene que existen F y G tales que

u(x, t) = \frac{F (|x| − t) + G(|x| + t)}{|x|}.

10. Sea u la solución clásica de

u_{tt} − Δu = 0 en B_{1}(0) × {t > 0}
u = 0 en ∂B_{1}(0) × {t > 0}
u = f en B_{1}(0) × {t = 0}
u_{t} = g en B_{1}(0) × {t = 0}

Probar que si f y g son radiales entonces u es radial.