Ecuaciones Diferenciales AyB

1. Revisión del teorema de Cauchy para ecuaciones diferenciales ordinarias. Dependencia de los datos iniciales. Ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales. Problema de la existencia local de soluciones.
2. Cálculo de variaciones en una dimensión. Variación primera y ecuación de Euler. Lagrauge. Extremales. Sistemas de Hamilton. Problemas con extremidades e isoperimétricos. Integrales múltiples.
3. Método de separación de variables. Completitud del sistema de autofunciones.
4. Funciones armónicas. Solución al problema de Dirichlet en Rⁿ. Función de Geen y núcleo de Poisson en el semiespacio y la esfera. Teorema del valor medio. Recíproca del teorema del valor medio. Principio del máximo. Desigualdad de Harnack. Analiticidad de las funciones armónicas.
5. Función de Dirac. Producto de convolución. Transformada de Fourier. Transformada de la convolución. Teorema de inversión. Aplicación al cálculo de soluciones fundamentales y a la resolución de problemas de valores iniciales para el laplaciano, la ecuación de ondas, la del calor, y la de Schrodinger.
6. El operador del calor. El núcleo de Gauss y sus aplicaciones. La ecuación del calor en dominios acotados.
7. La ecuación de ondas en 1, 2 y 3 dimensiones.
8. Espacios de Sobolev y formulación variacional de problemas de contorno unidimensionales. Problemas variacionales multidimensionales. Espacios de Sobolev W^k,p. Existencia y unicidad del minimizante en H¹ para la integral de Dirichlet. Regularidad del minimizante.

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