Revisión del teorema de Cauchy para ecuaciones
diferenciales ordinarias. Dependencia de los datos iniciales. Ejemplos de
ecuaciones en derivadas parciales. Problema de la existencia local de
soluciones.
Cálculo de variaciones en una dimensión. Variación
primera y ecuación de Euler. Lagrauge. Extremales. Sistemas de Hamilton.
Problemas con extremidades e isoperimétricos. Integrales múltiples.
Método de separación de variables. Completitud del
sistema de autofunciones.
Funciones armónicas. Solución al problema de Dirichlet
en Rn. Función de Geen y núcleo de Poisson en el semiespacio y la
esfera. Teorema del valor medio. Recíproca del teorema del valor medio.
Principio del máximo. Desigualdad de Harnack. Analiticidad de las funciones
armónicas.
Función de Dirac. Producto de convolución. Transformada
de Fourier. Transformada de la convolución. Teorema de inversión. Aplicación
al cálculo de soluciones fundamentales y a la resolución de problemas de
valores iniciales para el laplaciano, la ecuación de ondas, la del calor, y la
de Schrodinger.
El operador del calor. El núcleo de Gauss y sus
aplicaciones. La ecuación del calor en dominios acotados.
La ecuación de ondas en 1, 2 y 3 dimensiones.
Espacios de Sobolev y formulación variacional de
problemas de contorno unidimensionales. Problemas variacionales
multidimensionales. Espacios de Sobolev Wk,p. Existencia y unicidad
del minimizante en H1 para la integral de Dirichlet. Regularidad
del minimizante.