DEPARTAMENTO DE MATEMATICA - FCEyN
- UBA
ELEMENTOS
DE CALCULO NUMERICO (Cs. BIOLOGICAS)
Primer
Cuatrimestre 2004
Programa
1. Vectores.
Vectores
en Rn. Suma de
vectores, producto por escalares. Combinaciones lineales. Producto interno.
Perpendicularidad, ángulo y distancia. Producto vectorial en R3. Ideas geométricas.
2. Sistemas lineales. Ecuación
lineal, sistema de ecuaciones lineales simultáneas. Solución de un sistema
lineal, sistemas equivalentes. Sistemas compatibles e incompatibles. Sistema
determinado. Sistema triangular. Métodos de triangulación de Gauss.
Clasificación y resolución de un sistema. Sistemas paramétricos.
3. Matrices. Concepto de
matriz, formato de una matriz. Matrices cuadradas, matriz diagonal, matriz
escalar. Matriz transpuesta. Operaciones lineales con
matrices. El espacio Rmxn. Producto
de matrices. Condiciones de existencia. No conmutatividad. Matriz identidad. Matriz
inversa de una matriz cuadrada. Matrices elementales. Cálculo de la inversa.
4. Geometría lineal en E2 y en E3. Rectas en E2. Rectas en E3. Ecuaciones
explícita, implícita, paramétrica y vectorial. Rectas paralelas,
perpendiculares. Angulo entre rectas. Distancia de un punto a una recta.
Distancia entre rectas. Distancia de un punto a un plano. Distancia de una
recta a un plano. Angulo entre planos.
5. Subespacios vectoriales - Rango de una matriz. Espacio
vectorial sobre los reales. Subespacios. Cápsula lineal, generadores de un
subespacio. Independencia lineal. Base de un espacio vectorial. Dimensión.
Espacios fila y columna de una matriz. Núcleo y rango de una matriz. Teorema de
la dimensión. Dimensión del subespacio de soluciones de un sistema lineal homogéneo.
6. Determinantes. Definición de determinante de una matriz cuadrada.
Regla de Sarrus. Desarrollo por una fila (o una columna). Propiedades.
Caracterización de una matriz inversible por medio de su determinante.
7. Autovectores - Diagonalización. Concepto de
autovalor y autovector de una matriz. Polinomio característico. Traza de una
matriz cuadrada. Matriz diagonalizable. Autoespacio de un autovalor.
Construcción de la matriz diagonalizada y de la matriz inversible que permita la diagonalización.
Repaso sobre factorización de un polinomio. Teorema de Gauss sobre raíces
racionales de un polinomio. Especialización de un polinomio en una matriz. Teorema de
Hamilton-Cayley.
8. Ajuste por cuadrados mínimos. Concepto de
ajuste de un conjunto de datos mediante una determinada función. Ajuste por
cuadrados
mínimos. Modelo de ajuste. Modelo cuadrático. Modelo polinómico. Modelo
exponencial.
9. Matrices estocásticas - Procesos de
Markov. Matriz estocástica (o de Markov). Concepto de proceso
de Markov, estado inicial y matriz de transición. Determinación de estados de
equilibrio. Comportamiento asintótico, estado límite. Cálculo de potencias de
una matriz diagonalizable. Existencia de matriz límite.
Bibliografía
[1] Burgos, J., Algebra
Lineal. Mc Graw-Hill.
[2] Lipschutz, M., Algebra Lineal. Mc
Graw-Hill.
[3] Toranzos, F., Schifini, C., Apuntes
de la materia.
A Elementos de Cálculo Numérico (B)