| 1. LUGAR GEOMETRICO |
- En la historia: La recta y la circunferencia. La clasificación griega. Apolonio y Pappus: cónicas. El renacimiento. Coordenadas.
- Algunos lugares geométricos: Mediatriz, bisectriz, circunferencia, eje radical, arco capaz.
- Cónicas como lugar geométrico: Carcterización de Menelao y Apolonio. Relaciones con el foco y la directriz. Ecuaciones.
- Sólidos como lugar geométrico: Algunas cuádricas: cilindro y esfera. Ángulo diedro y ángulo sólido.
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| 2. CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS |
- Construcciones con regla y compás: Resolubilidad de las construcciones con regla y compás, problemas clásicos (la duplicación del cubo, la trisección del ángulo, el heptágono regular, la cuadratura del círculo).
- Construcción de triángulos, circunferencias y polígonos regulares.
- Triángulos y circunferencias: Bisectrices, mediatrices, medianas y alturas, cevianas, propiedades, triángulos órtico y medial, baricentro, ortocentro, circunferencias inscripta y circunscripta, relaciones.
- Cuadriláteros y cuadraturas: Algunas cosas sobre cuadriláteros. Cuadraturas. Triangulaciones. Aplicaciones del teorema de punto fijo.
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| 3. GEOMETRIA PROYECTIVA |
- El plano proyectivo real: Puntos impropios, coordenadas no homogéneas, coordenadas homogéneas, rectas, Teorema de Desargues.
- Colineaciones: Perspectividades, razón doble, cuaterna armónica, cuadrivértices, colineaciones.
- Dualidad y Cónicas: Rectas y haces proyectivos, cuadriláteros, cónicas, exágonos, Teoremas de Pascal y de Brianchon.
- Colineaciones especiales: Homologías, afinidades, semejanzas.
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| 4. TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS |
- Transformaciones entre conjuntos: Transformaciones, grupos de transformaciones, transformaciones en la recta.
- Transformaciones en el plano: Proyectividades, afinidades, isometrías, transformaciones usando números complejos.
- Transformaciones topológicas: Número de Euler para poliedros simples, invariantes topológicos, conexión, teorema de Jordan sobre curvas, teorema de los 4 colores, género de una superficie, característica de Euler, superficies con un solo lado, superficies orientables y no orientables.
- Inversiones: Definición, conjuntos de rectas y circunferencias, el problema de Apolonio, porisma de Steiner, geometría del compás de Mascheroni, construcciones con sólo la regla.
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| 5. RESOLVIENDO PROBLEMAS |
- Los inconmensurables: Eudoxo y las proporciones, el teorema de Thales, medida de segmentos.
- Paradojas:La medida del área.
- El quinto postulado de Euclides: Geometrías no euclidianas. Modelos. Curvas en R3. Longitud de arco, curvatura, torsión.
- Los problemas clásicos: Razón áurea o divina proporción, curvas clásicas especiales (cicloides, catenaria, tractriz, espirales, lemniscatas, curvas límites: fractales)
- Otras aplicaciones: Máximos y mínimos geométricos, desigualdades geométricas, desigualdades entre los elementos de un triángulo, problemas isoperimétricos, grafos, cubrimientos del plano por polígonos congruentes, mosaicos, los dibujos de Escher.
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