Geometría Diferencial

Cohomología de de Rham

Vamos a utilizar las formas diferenciales para detectar las propiedades topológicas de una variedad. Tomemos como ejemplo el toro T^{2} = S^{1} × S^{1}. Parametrizamos el toro a través de las dos coordenadas angulares (θ, ψ), θ, ψ ∈ [0, 2π)coordenadas constituyen una carta densa en todo T^{2}.

El toro tiene dos lazos distintos no contraíbles a un punto:

a : [0, 2π] → T^{2}, a(t) = (t, 0)

b : [0, 2π] → T^{2}, b(t) = (0, t)

Son distintos porque no se pueden deformar el uno en el otro. Constituyen un conjunto de generadores porque cualquier otro lazo puede ser deformado en uno que da n vueltas como a y m vueltas como b. Estos lazos generan el grupo fundamental de T^{2}.

Busquemos distinguir las diferencias entre ambos lazos usando formas. Tomemos dθ y dψ ∈ Λ^{1}T^{2}, los cuales satisfacen

∫_{a} dθ = ∫_{b} dψ = 2π,

∫_{b} dθ = ∫_{a} dψ = 0

Además, si F : [0, 1]× [0, 2π] → T^{2}, F (0, t) = a(t) es una deformación de a al lazo a′ : t ↦ F (1, t) en tonces por el teorema de Stokes

∫_{a} dθ = ∫_{a′′} dθ + ∫_{Im F} d(dθ) = ∫_{a′′} dθ

Ejercicio. ¿Por que está mal el siguiente argumento? “Como la imagen de un lazo es una 1-variedad sin frontera, el teorema de Stokes garantiza ∫_{a} dθ = ∫_{∂a=∅} θ = 0”.

La propiedad que nos permitió probar que la integral es invariante por deformaciones es que dθ es cerrada. Además, si f ∈ C^{∞}(T^{2}) , dθ + df es también cerrada y su integral es indistinguible de la de dθ, pues

∫_{a} dθ + df = ∫_{a} dθ + ∫_{∂a} f = ∫_{a} dθ

Entonces, como las formas exactas son cerradas, i.e., si ω = dλ entonces dω = 0, se puede cocientar un espacio vectorial por el otro y definimos

H_{dR}^{1}(T^{2}) = {ω ∈ Λ^{1}T^{2} : dω = 0} / {df : f ∈ C^{∞}(T^{2})}

Se le suele llamar primer grupo de cohomología de de Rham aunque es un espacio vectorial y un grupo en un sentido trivial. Las razones vienen dadas por el teorema de de Rham que hace que dicha estructura sea isomorfa a otra que sí es construida como un grupo. Lo veremos más adelante.

Afirmación: dim H_{dR}^{1}(T^{2}) = 2

dθ y dψ aunque son formas asociadas a la carta y por tanto solo definidas localmante pueden ser bién definidas en todo T^{2}, lo cual no se puede hacer con θ, ψ como 0-formas.

Demostración: Sea ω = αdθ + βdψ una 1-forma cerrada, por tanto \frac{∂α}{∂ψ} = \frac{∂β}{∂θ}. En R^{2} esta es la condición necesaria y suficiente para que ω sea exacto, df = ω, i.e., para que exista f tal que \frac{∂f}{∂θ} = α, \frac{∂f}{∂ψ} = β. Si f satisfaciendo lo anterior existiese en todo T^{2} tendriamos que H_{dR}^{1}(T^{2}) = {0} . Luego la exactitud de ω ocurriría si f es doblemente periódica, o sea si satisface f(θ + 2πn, ψ + 2πm) = f(θ, ψ) ∀n, m ∈ ℤ.

Supongamos que α, β son constantes , entonces f = αθ +βψ +C . Esta función no satisface la condición de doble periodicidad que la convertiría en una función bién definida en T^{2} . Luego, todas estas ω son formas cerradas no exactas . Así dθ, dψ son formas cerradas no exactas l.i. y por tanto H_{dR}^{1}(T^{2}) tiene dimensión al menos 2.

Supongamos que α, β no son constantes , entonces para que ω esté bién definida en T^{2} debe ocurrir que

α(θ, ψ) = ∑_{n,m∈ℤ}a_{n,m} exp(inθ) exp(imψ)
β(θ, ψ) = ∑_{n,m∈ℤ}b_{n,m} exp(inθ) exp(imψ)
a_{0,0} = b_{0,0} = 0

Ocurre entonces que ∫_{a} α = ∫_{b} α = ∫_{a} β = ∫_{b} β = 0

La concdición local de exactitud nos lleva a que

f(θ_{0}, ψ_{0}) = f(0, 0) + ∫_{(0,0)}^{(θ_{0},0)}α(θ, 0)dθ + ∫_{(θ_{0},0)}^{(θ_{0},ψ_{0})}β(θ_{0}, ψ)dψ

y obtenemos

f(θ_{0} + 2πn, ψ_{0} + 2πm) − f(θ_{0}, ψ_{0}) =

∫_{(θ_{0},0)}^{(θ_{0}+2πn,0)}α(θ, 0)dθ − ∫_{(θ_{0},0)}^{(θ_{0},ψ_{0})}β(θ_{0}, ψ)dψ + ∫_{(θ_{0}+2πn,0)}^{(θ_{0}+2πn,ψ_{0}+2πm)}β(θ_{0} + 2πn, ψ)dψ =

= m ∫_{(θ_{0},ψ_{0})}^{(θ_{0},ψ_{0}+2π)}β(θ_{0}, ψ)dψ + n ∫_{(θ_{0},0)}^{(θ_{0}+2π,0)}α(θ, 0)dθ = 0

Luego, f es periódica y por lo tanto df = ω sobre T^{2}. l.q.q.d.

Ejercicio. Utilice el argumento anterior para calcular H_{dR}^{1}(S^{1}).

H_{dR}^{1}(M) mide cuánto se aleja topológicamente M de ser simplemente conexa. El grupo fundamental también pero no son la misma cosa. Se demuestra que H_{dR}^{1}(M) ≅ (π_{1}(M)/[π_{1}(M), π_{1}(M)])⊗ ℝ. Luego en la cohomología de de Rham se pierde información que se tiene en el grupo fundamental (tiene torsión y es no conmutativo), pero es más fácil de calcular.

Definición.

H_{dR}^{k}(M) = {ω ∈ Λ^{k}M : dω = 0} / {dθ : θ ∈ Λ^{k−1}M}

La dimensión de este espacio se conoce como el k-ésimo número de Betti. En general puede ser infinito aunque se demuestra que es finito en el caso de variedades compactas.

H_{dR}^{0}(M) = {f ∈ Λ^{0} : df = 0} mide el número de componentes conexas de M.

Sea f : M → N una aplicación suave de variedades, entonces f^{∗} : Λ^{k}N → Λ^{k}M , y debido a que f^{∗}dω = df^{∗}ω, manda formas cerradas en cerradas y exactas en exactas, induciendo un morfismo en cohomologías. En el caso de que f sea un difeomorfismo tendremos que los espacios de cohomología son isomorfos. Esto último ocurre ante condiciones de equivalencia más débiles entre variedades, por ejemplo si son homotópicamente equivalentes:

Definición. Dos variedades M, N son suavemente homotópicamente equivalentes si :

Existen f : M → N , g : N → M , F : [0, 1]×M → M, G : [0, 1]×N → N

suaves tales que

F (0, x) = g ∘ f, F (1, ·) = Id_{M}, G(0, y) = f ∘ g, G(1, ·) = Id_{N}

Sea i_{t} : M → [0, 1] × M dada por i_{t}(x) = (t, x) . Definimos I : Λ^{k}([0, 1] × M) → Λ^{k−1}M de la siguiente manera: si ω ∈ Λ^{k}([0, 1] × M) tiene la expresión local

ω = f_{i_{1},...,i_{k}}(t, x)dx^{i_{1}} ∧ ... ∧ dx^{i_{k}} + g_{j_{1},...,j_{k−1}}(t, x)dt ∧ dx^{j_{1}} ∧ ... ∧ dx^{j_{k−1}}
= ω_{1} + dt ∧ η

entonces

Iω_{p} = ∫_{0}^{1} i_{t}^{∗}η(t, p)dt ∈ Λ^{k−1}T_{p}^{∗}M

Sean d_{M} ,d_{[0,1]×M} las derivadas exteriores en M, [0, 1] × M respectivamente.

Lema. i_{1}^{∗} − i_{0}^{∗} = d_{M} ∘ I + I ∘ d_{[0,1]×M}

Dem. Hacerla como ejercicio. □

Ejercicio. Supongamos que f_{0}, f_{1} : M → N son aplicaciones suavemente homotópicas con F : [0, 1] × M → N, F (1, x) = f_{1}, F (0, x) = f_{0} . Demuestre que f_{1}^{∗} − f_{0}^{∗} = dIF^{∗} − IF^{∗}d. Sugerencia: use el lema anterior. Demuestre que f_{0}^{∗}, f_{1}^{∗} inducen la misma aplicacion en cohomología.

Ejercicio. Demuestre que si M, N son suavemente homotópicamente equivalentes entonces son cohomológicamente isomorfas.

Ejercicio. Demuestre que ℝ^{n} es equivalente homotópicamente a un punto. Demuestre que

H_{dR}^{k}(ℝ^{n}) = \{ \begin{matrix}ℝ & si k = 0 \\ 0 & si k ≠ 0 \end{matrix}

El vínculo entre la cohomología de de Rham y la cohomología singular se establece a través de la aplicación

dR : H_{dR}^{k}(M) → H_{sin g}^{k}(M, ℝ)
ω ⟼ (σ ↦ ∫_{σ} ω)

Ejercicio. Demustre que la aplicación de de Rham está bién definida, i.e.: a) dR es independiente del representante de [ω].

b) la imagen de dR está en el espacio de cociclos.

Ejercicio. Demuestre que H^{n}(M^{n}) ≠ 0 si M es orientada y compacta.

Ejercicio. (a) Calcule los grupos de cohomología para S^{n} (use Mayer-Vietoris).

(b) Demuestre que β^{k}(T^{n}) = \binom{n}{k}.

(c) Demuestre que para una supeficie Σ cerrada, orientada con g huecos,β^{0}(Σ) = 1, β^{1}(Σ) = 2g, β^{2}(Σ) = 1.