Geometría Diferencial

Fibrados

Definición. Un fibrado (fibre bundle) suave (E, π, M, F, G) consiste de los siguientes elementos: (i) Una variedad diferenciable E llamada espacio total. (ii) Una variedad diferenciable M llamade base. (iii) Una variedad diferenciable F llamada fibra. (iv) Una aplicación diferenciable y sobreyectiva π : E → M llamada proyección. La imagen

inversa π^{−1} (p) (p ∈ M) es llamada la fibra en p, y notada con E_{p}.

(v) Un grupo de Lie G llamado el grupo estructural, el cual actúa sobre F por la izquierda. (vi) Un cubrimiento por abiertos de M, {U_{i}}, con difeomorfismos Φ_{i} : U_{i} × F → π^{−1} (U_{i}) tales

que π(Φ_{i}(p, v)) = p, es decir, tales que el siguiente diagrama conmuta:

\xymatrix{U_{i} × F \ar[rr]^{Φ_{i}} \ar[dr]^{π_{1}} &  & π^{−1} (U_{i}) \ar[dl]^{π} \\  & U_{i}}

La aplicación Φ_{i} es llamada trivialización local pues Φ_{i}^{−1} mapea π^{−1} (U_{i}) sobre el producto directo U_{i} × F.

Escribimos Φ_{i,p}(v) = Φ_{i}(p, v) (p ∈ U_{i}). (vii) Si p ∈ U_{i} ∩ U_{j} entonces Φ_{i,p}^{−1} ∘ Φ_{j,p} ∈ G. Entonces Φ_{i}, Φ_{j} están vinculadas por una apli-

cación suave t_{ij} : U_{i} ∩ U_{j} → G tal que Φ_{j}(p, v) = Φ_{i}(p, t_{ij}(p)v). Las t_{ij} son conocidas como las funciones de transición.

Generalmente se utiliza la notación abreviada E →^{π} M para denotar a (E, π, M, F, G).

Notemos que Φ_{i,p} nos da un homeomorfismo entre {p} × F y E_{p}, que permite darle a este último conjunto una estructura de variedad.

Observación. Las funciones de transición satisfacen:

(1) t_{ii}(p) = id (p ∈ U_{i}).

(2) t_{ij}(p) = t_{ji}^{−1} (p) (p ∈ U_{i} ∩ U_{j}).

(3) t_{ij}(p) ∘ t_{jk}(p) = t_{ik}(p) (p ∈ U_{i} ∩ U_{j} ∩ U_{k}).

¿Por qué?.

Ejemplo 1. El fibrado tangente de una variedad diferenciable M es un ejemplo de fibrado. E = TM, F = ^{n}, G = GL(n, ), los inversos de las cartas trivializadoras constituyen las aplicaciones Φ_{i}, trivializaciones locales, y las t_{ij} vienen dadas por las aplicaciones de cambio de base que expresan las componentes de un elemento del espacio tangente en un punto respecto a una base \{\frac{∂}{∂x^{i}} \} asociada a la carta x en función de las componentes del mismo elemento expresado en la base \{\frac{∂}{∂y^{i}}\} asociada a otra carta y .

Ejemplo 2. Sea M = S^{1}, la circunferencia unidad. U_{1} = S^{1} − {(1, 0)}, U_{2} = S^{1} − {(−1, 0)}. Tomaremos como cartas locales sobre U_{1} y U_{2} aquellas que a cada punto le ponen en correspondondencia el ángulo θ como un valor de (0, 2π) en el caso de U_{1} y de (−π, π) en el de U_{2}. Consideremos F = y E = M × F, con π : E → M definida por π(p, v) = p, y con el cubrimiento {π^{−1} (U_{i})}_{i=1,2} de E. Hacemos Φ_{i}^{−1} (p, v) = (p, v). En este caso el espacio que se obtiene es el cilindro infinito.

Lo otro que podemos hacer es: Φ_{1}^{−1} (p, v) = (p, v) y, como U_{2} = (U_{2} ∩ A) ∪ (U_{2} ∩ B), donde A = {(x, y) ∈ S^{1} : y ≥ 0}, B = {(x, y) ∈ S^{1} : y < 0}, hacemos Φ_{2}^{−1} (p, v) = (p, v) cuando p ∈ A y Φ_{2}^{−1} (p, v) = (p, −v) cuando p ∈ B. En U_{1} ∩ U_{2} ∩ A, t_{12}(p)(v) = v, mientras que en U_{1} ∩ U_{2} ∩ B, t_{12}(p)(v) = −v. El resultado es una banda de Möbius.

El cilindro y la banda han sido armados a partir del mismo espacio S^{1} y la misma fibra, sin embargo no son difeomorfos. La aplicación identidad de S^{1} × en S^{1} × con las cartas del cilindro y de la banda en uno y otro espacio respectivamente no es difeomorfismo. ¿Por qué?.

Definición. Dados E →^{π} M y E′ →^{π′} M′, decimos que hay un morfismo de un fibrado en el otro si tenemos sendos morfismos f : M → M′y f̃ : E → E′, tales que f ∘ π = π′∘ f̃. Es decir, tales que el siguiente diagrama es conmutativo:

\xymatrix{E \ar[d]^{π} \ar[r]^{f̃} & E′ \ar[d]^{π′} \\ M \ar[r]^{f} & M′}

Si f y f̃ son isomorfismos se dice que los fibrados son isomorfos.

Ejercicio 1. Un fibrado se puede reconstruir a partir de conocer M, {U_{i}}, t_{ij}, F y G. Esto se logra creando X = ∐ _{i}(U_{i} × F) y estableciendo una relación de equivalencia, ∼, entre (p, f) ∈ U_{i} × F y (p′, f′) ∈ U_{j} × F si y sólo si p = p′ y f′ = t_{ij}(p)(f). Definimos E = X/ ∼. Un elemento de E lo denotaremos [(p, f)] y π([(p, f)]) = p. Complete la estructura de fibrado y demuestre que satisface los axiomas que lo definen como tal. Pruebe que el fibrado obtenido es isomorfo a aquel con el que se empieza. Compare esta construcción con la que se hizo anteriormente para el cilindro y la banda de Möbius.

Ejercicio 2. Considere el espacio que se obtiene de [0, 1] × ^{n} al identificar (0, v) con (1, Tv) donde T : ^{n} → ^{n} es un isomorfismo de espacios vectoriales. Demuestre que dicho espacio se puede convertir en el espacio total de un fibrado sobre S^{1} (banda de Möbius generalizada). Verifique que dicho fibrado es una variedad orientable si y sólo si T preserva la orientación. En el caso n = 1, ¿ocurrirá que todos los fibrados construidos serán isomorfos al cilindro infinito o a la banda de Möbius?.

Definición. Un fibrado se dice trivial si se puede encontrar un conjunto de trivializaciones locales tales que t_{ij} : U_{i} ∩ U_{j} → G sea la aplicación identidad para todos i, j.

Ejemplo 3. El cilindro es un fibrado trivial pero no la banda de Möbius.

Ejercicio 3. Verifique que esa definición de fibrado trivial es equivalente a pedir que el fibrado sea isomorfo a M × F.

Definición. Una sección local en un abierto U ⊂ M es una función diferenciable f : U → π^{−1} (U) tal que π ∘ f = id. Una sección global es una sección definida en todo M.

Definición. Un fibrado (E, π, M, F, G) es un fibrado vectorial cuando F y π^{−1} (p) son espacios vectoriales, las trivializaciones respetan dicha estructura y G es un subgrupo de GL(n, ). Observar que entonces las Φ_{i,p} definen isomorfismos entre E_{p} y F. Un morfismo de fibrados vectoriales es un morfismo de fibrados que es lineal en cada fibra.

Ejercicio 4. Demuestre que un fibrado vectorial es trivial si y sólo si existen n (la fibra la suponemos un espacio vectorial de dimensión n) secciones globales linealmente independientes (i.e., que en cada punto son linealmente independientes). Demuestre que localmente todo fibrado vectorial tiene n secciones linealmente independientes.

Ejercicio 5. Supongamos que tenemos una aplicación (a, b) ↦ a · b desde ^{n} × ^{n} en ^{n} tal que:

(i) (a_{1} + a_{2}) · b = a_{1} · b + a_{2} · b. (ii) b · (a_{1} + a_{2}) = b · a_{1} + b · a_{2}. (iii) λ(a · b) = (λa) · b = a · (λb) ∀λ ∈ . (iv) a · (1, 0, ..,0) = a.

(v) ∀a ≠ 0, ∃b/ tal que a · b = b · a = (1, 0, ..., 0). (una álgebra de división sobre ).

Sea e_{1}, e_{2}, ..., e_{n} la base canónica de ^{n}. Demuestre que:

(a) Todo punto de S^{n−1} es de la forma a · e_{1} para un único a ∈ ^{n}.

(b) Si a ≠ 0 entonces a · e_{1}, a · e_{2}, ..., a · e_{n} son linealmente independientes.

(c) Si p = a · e_{1} ∈ S^{n−1} entonces las proyecciones de a · e_{1}, a · e_{2}, ..., a · e_{n} en S_{p}^{n−1} son linealmente independientes.

(d) La multiplicación es continua.

(e) TS^{n−1} es trivial.

(f) T ^{n−1} es trivial. Lo anterior nos lleva a que TS^{3}, T ^{3}, TS^{7}, T ^{7} sean triviales debido a la existencia de los

cuaterniones y los octetos de Cayley.

Ejercicio 6. Suponga que ξ = (π : E → X) es un fibrado y f : Y → X es una aplicación continua:

\xymatrix{ & E \ar[d]^{π} \\ Y \ar[r]^{f} & X}

(a) Sea E′ ⊂ Y × E el conjunto de todos los (y, e) tales que f(y) = π(e). Defina π′ : E′ → Y por π′(y, e) = y y f̃ : E′ → E por f̃(y, e) = e. Si π es un fibrado vectorial, se puede definir también una estructura de espacio vectorial sobre π^{−1} (y) = {(y, e) : e ∈ π^{−1} (f(y))} usando la estructura de espacio vectorial sobre π^{−1} (f(y)). Demuestre que ξ′ = (π′: E′ → Y) es un fibrado y que (f, f̃) es un morfismo de fibrados que es un isomorfismo en cada fibra. Este fibrado se denota como f^{∗}(ξ) y es conocido como pull-back (o producto fibrado) de ξ.

\xymatrix{f^{∗}(ξ) \ar[r]^{f̃} \ar[d]^{π′} & E \ar[d]^{π} \\ Y \ar[r]^{f} & X}

(b) Suponga que se tiene otro fibrado ξ′′= (π′′: E′′→ Y) y un morfismo de fibrados de ξ′′a ξ, el cual es un isomorfismo en cada fibra. Demuestre que ξ′′≃ f^{∗}(ξ).

(c) Si g : Z → Y entonces (f ∘ g)^{∗}(ξ) = g^{∗}(f^{∗}(ξ)).

(d) Si A ⊂ X y i : A → X es la inclusión entonces i^{∗}(ξ) ≃ ξ |_{A}.

(e) Si ξ es orientable entonces f^{∗}(ξ) también lo es.

(f) Dé un ejemplo donde ξ no sea orientable pero sí lo sea f^{∗}(ξ).

Ejercicio 7. (a) Dado un fibrado n-dimensional ξ = (π : E → B) y un fibrado m-dimensional η = (π′: E′ → B), sea E′′⊂ E × E′el conjunto de todos los pares (e, e′) con π(e) = π′(e′). Demuestre que π′′: E′′→ B, (e, e′) ↦ π(e) = π′(e′), es un fibrado (n + m)-dimensional. Se le conoce como suma de Whitney ξ ⊕ η; la fibra sobre p es la suma directa π^{−1} (p) ⊕ π^{′−1}(p).

(b) Si f : Y → B, demuestre que f^{∗}(ξ ⊕ η) ≃ f^{∗}(ξ) ⊕ f^{∗}(η).

(c) Dados los fibrados ξ_{i} = (π_{i} : E_{i} → B_{i}) (i = 1, 2), defina π : E_{1} × E_{2} → B_{1} × B_{2} como π(e_{1}, e_{2}) = (π_{1}(e_{1}), π_{2}(e_{2})). Demuestre que esto es un fibrado ξ_{1} × ξ_{2} sobre B_{1} × B_{2}.

(d) Si Δ : B → B × B es la aplicación diagonal, Δ(x) = (x, x), demuestre que ξ ⊕ η ≃ Δ^{∗}(ξ × η).

(e) Si ξ y η son orientables, demuestre que ξ ⊕ η también lo es.

(f) Demuestre que ξ ⊕ ξ es siempre orientable.

(g) Si X es la figura ocho, encuentre dos estructuras de fibrado unidimensional sobre X, ξ y η, tales que ξ ⊕ η sea no orientable.

Ejercicio 8. (a) Si π : E → B es un fibrado vectorial entonces π_{∗} tiene rango maximal en todo

punto y cada fibra π^{−1} (p) es una subvariedad de E.

(b) La sección 0 de E es una subvariedad, aplicada difeomórficamente sobre B por π.

Ejercicio 9. Una sucesión de aplicaciones de fibrados vectoriales E_{1} \underrightarrow{f̃} E_{2} \underrightarrow{g̃} E_{3} con f = g = Id_{B} es exacta si lo es en cada fibra como aplicaciones de espacios vectoriales.

(a) Si ξ = (π : E → B) es un fibrado vectorial, demuestre que existe una sucesión exacta 0 → π^{∗}(ξ) → TE → π^{∗}(TB) → 0.

(b) Si 0 → E_{1} → E_{2} → E_{3} → 0 es exacta entonces cada fibrado es orientable si los otros dos lo son.

(c) T(TM) es siempre orientable.

(d) Si π : E → B no es orientable entonces E no es orientable. Por lo tanto, el hecho de que el fibrado de Möbius no sea orientable implica que la variedad de Möbius tampoco lo es.