Geometría Diferencial

Práctica 3 Campos - Grupos de Lie

(1) Sea M una variedad diferenciable, p ∈ M. Si v ∈ M_{p}, probar que existe un campo X ∈ 𝔛(M) tal que X(p) = v.

(2) Sea M = ^{2}. Identificando M_{p} con M de la manera natural, probar que no existe una carta (U, x) tal que los campos \frac{∂}{∂x^{1}}, \frac{∂}{∂x^{2}} coincidan respectivamente con los campos (x, y) ↦ (1, 0), (x, y) ↦ (0, y(x^{2} + 1)).

(3) Sea f : M → N una función diferenciable y X ∈ 𝔛(M), Y ∈ 𝔛(N).

(a) Probar que si X ∼_{f} Y y c es una curva integral de X entonces f ∘ c es una curva integral de Y.

(b) Son equivalentes:

(i) X ∼_{f} Y (ii) Para todo U ⊂ N abierto y g ∈ F(U), Y(g) ∘ f = X(g ∘ f) en f^{−1} (U). (iii) Para toda g ∈ F(U), Y(g) ∘ f = X(g ∘ f) en f^{−1} (N).

(4) Sea X ∈ 𝔛(M) el campo de vectores nulo, i.e., X(p) = 0 para todo p ∈ M. ¿Es completo? ¿Cuál es su grupo uniparamétrico de difeomorfismos?

(5) Sea X ∈ 𝔛(M) y c : (a, b) → M una curva integral de X. Sea φ : (c, d) → (a, b) un difeomorfismo. ¿Bajo qué condiciones es c ∘ φ una curva integral de X?

(6) Sea c una curva integral de X ∈ 𝔛(M) tal que ċ(t_{0}) = 0 para algún t_{0} en el dominio de la curva. Probar que c es constante.

(7) En los siguientes casos determinar, para cada p ∈ M, la curva integral maximal ϕ_{p} : I_{p} → M de X que satisface ϕ_{p}(0) = p. Decidir si X es o no completo.

(a) M = ^{2}, X(u) = u_{1}D_{1}|_{u} − u_{2}D_{2}|_{u}, u = (u_{1}, u_{2}) ∈ ^{2}.

(b) M = , X(u) = u^{2}D|_{u}, u ∈ .

(c) M = ^{2}, X(u) = u_{2}D_{1}|_{u} − u_{1}D_{2}|_{u}, u = (u_{1}, u_{2}) ∈ ^{2}.

(8) Deducir del ejercicio anterior que el grupo uniparamétrico de difeomorfismos ϕ : × ^{2} → 2 generado por X ∈ 𝔛( ^{2}) está dado por

ϕ(t, (a, b, c)) = (a b) ( \begin{matrix}e^{t} & 0 \\ 0 & e^{−t} \end{matrix} )

para el campo del inciso (a), y por

ϕ(t, (a, b, c)) = (a b) ( \begin{matrix}cos t & − sin t \\ sin t & cos t \end{matrix} )

para el campo del inciso (c).

(9) Sea X ∈ 𝔛( ^{2}) dado por X(u) = u_{1}^{2}D_{1}|_{u} + u_{3}D_{2}|_{u} − u_{2}D_{3}|_{u}.

(a) Calcular su flujo y decidir si es completo.

(b) Encontrar la curva integral de X que pasa por (0, 1, 0) en el instante t = 0.

(10) En cada uno de los siguientes casos, calcular el grupo uniparamétrico generado por el campo X ∈ 𝔛(M).

(a) M = ^{2}, X(u_{1}, u_{2}) = (u_{2}, u_{1}) (identificando _{p}^{2} ≃ ^{2}).

(b) M = ^{2}, X(u_{1}, u_{2}) = (u_{1}, −u_{2}).

(c) M = GL(n, ), X(A) = BA, con B ∈ M_{n}( ).

(11) En cada uno de los siguientes casos probar que ϕ : × M → M es un grupo uniparamétrico y calcular su generador X ∈ 𝔛(M).

(a) M = V un -espacio vectorial de dimensión finita y ϕ(t, v) = ta + v, con a ∈ M fijo.

(b) M = T^{2} = S^{1} × S^{1}, ϕ(t, z, w) = (e^{2t}z, e^{−t} w).

(c) M = GL(2, ), ϕ(t, A) = ( \begin{matrix}1 & t \\ 0 & 1 \end{matrix} ) A.

(d) M = S^{1} × , ϕ(t, z, x) = (e^{tx}, z).

(12) Sea N una variedad diferenciable de dimensión k, M ⊂ N una subvariedad de N de dimensión n e i : M ↪ N la inclusión. Sea X ∈ 𝔛(N) tal que X(p) ∈ i_{∗p}(M_{p}) ⊂ N_{p} para todo p ∈ M.

(a) Se define Y : M → TM por Y(p) = v, donde v ∈ M_{p} es el único que satisface i_{∗p}(v) = X(p). Probar que Y ∈ 𝔛(M).

(b) Deducir que Y ∼_{i} X. Además, Y es el único con esta propiedad.

(c) Para cada p ∈ M, sean ϕ_{p} : I_{p} → N la curva integral maximal de X con ϕ_{p}(0) = p y ψ_{p} : J_{p} → M la curva integral maximal de Y con ψ_{p}(0) = p. Probar que J_{p} ⊂ I_{p} y que ψ_{p} = ϕ_{p}|_{J_{p}}.

(13) Sea i : S^{2n−1} ↪ ^{2n} la inclusión. Sea X ∈ 𝔛( ^{2n}) definido por

X(u) = ∑_{j=0}^{2n−1} (−1)^{j}u_{2n−j} D_{j+1} |_{u}.

(a) Probar que para todo n ≥ 1, X(p) ∈ i_{∗p}(S_{p}^{2n−1} ) si p ∈ S^{2n−1} .

(b) Sea Y ∈ 𝔛(S^{2n−1} ) el único que satisface Y ∼_{i} X. Calcular el flujo maximal de Y (para n = 2) ϕ : × S^{3} → S^{3}.

(14) Sea M una variedad diferenciable, X ∈ 𝔛(M) completo y c una curva integral maximal de X. Probar que si c no es inyectiva entonces es periódica.

(15) Sea M una variedad, p ∈ M, X ∈ 𝔛(M) un campo, c : (a, b) → M la curva integral maximal de X tal que c(0) = p. Si existe t ≠ 0 tal que c(t) = p, probar que (a, b) = .

(16) Si (U, x) es una carta de M, calcular una curva integral del campo \frac{∂}{∂x^{1}} ∈ 𝔛(U).

(17) Sean X, Y ∈ 𝔛( ^{2}) definidos por X(u) = u_{2}D_{2}|_{u}, Y(u) = u_{1}D_{2}|_{u}, u = (u_{1}, u_{2}) ∈ ^{2}. Probar que [X, Y] = −Y.

(18) Sean X, Y ∈ 𝔛( ^{2}) definidos por X(p) = D_{1}|_{p}, Y(p) = cos(p_{1})D_{1}|_{p} + sin(p_{2})D_{2}|_{p}, p = (p_{1}, p_{2}). Sea G = {p ∈ ^{2} : ∥p∥ < 1, p_{2} > 0}. Probar

(a) {X(p), Y(p)} es una base de _{p}^{2} para todo p ∈ G.

(b) para ningún p ∈ G existe una carta (U, x) de ^{2} con p ∈ U ⊂ G tal que X = \frac{∂}{∂x^{1}} e Y = \frac{∂}{∂x^{2}} sobre U.

(19) Sea G un grupo de Lie y X ∈ 𝔛(G) invariante a izquierda. Probar que X ∼_{L_{g}} X para todo g ∈ G, donde L_{g}(h) = g.h.

(20) Probar que los siguientes grupos son de Lie:

(a) S^{1} y S^{3} (Nota: ninguna otra esfera lo es).

(b) T^{n}.

(c) GL(n, ), SL(n, ), O(n, ), SO(n, ).

(21) Describir Lie(O(n, )), el álgebra de Lie del grupo ortogonal. Lo mismo con SO(n, ).

(22) Haciendo la identificación GL(n, )_{I} ≃ M_{n}( ), probar que el corchete de Lie está dado por [X, Y] = XY − YX (producto usual de matrices). Probar lo mismo para SL(n, ), O(n, ) y SO(n, ).

(23) Probar que SO(2, ) es isomorfo a S^{1} y concluir que es abeliano.

(24) Probar que SO(3, ) es difeomorfo a ^{3} .

(25) Sean G y H grupos de Lie y 𝔤, 𝔥 sus álgebras de Lie. Probar que un morfismo diferenciable f : G → H induce un morfismo de álgebras de Lie f_{∗} : 𝔤 → 𝔥 vía la diferencial.

(26) Probar que el álgebra de Lie de un grupo de Lie abeliano tiene corchete trivial, i.e., [X, Y] = 0 para todos X, Y. Un álgebra de Lie con esta propiedad se dice abeliana.

(27) Para cada uno de los siguientes casos, verificar que la curva c_{v} : → G con v ∈ G_{1} es un subgrupo uniparamétrico de G que satisface ċ_{v}(0) = v y que X ∈ 𝔛(G) es el correspondiente campo invariante a izquierda generado por v.

(a) G = ( ^{n}, +), v = ∑ _{i=1}^{n} v_{i}D_{i}|_{0}, c_{v}(t) = t.(v_{1}, ..., v_{n}), X(u) = ∑ _{i=1}^{n} v_{i}D_{i}|_{u}.

(b) G = ( _{>0} , .), v = aD_{1}, c_{v}(t) = e^{at}, X(u) = auD_{u}.