Geometría Diferencial

Práctica 4

Álgebra multilineal y formas

Álgebra Multilineal

Definiciones y Notaciones. V denotará un -espacio vectorial de dimensión finita n. Para k ≥ 1, V^{k} = V × ⋯× V (k veces) y V^{0} = . Si (r, s) ≠ (0, 0), T_{s}^{r}(V) denotará el espacio vectorial de las funciones multilineales de (V^{∗})^{r} × V^{s} en ; tomamos T_{0}^{0}(V) = . De la misma manera, V^{⊗k} = V ⊗ ⋯⊗ V (k veces) y V^{⊗0} = . Para (r, s) ≠ (0, 0), sea V_{r,s} = V^{⊗r} ⊗ (V^{∗})^{⊗s} , V_{0,0} = . _{k} denotará el grupo simétrico en k elementos.

(1) Probar que T_{s}^{r}(V) es isomorfo a V_{r,s}.

(2) Definimos E(V) = ⨁ _{r,s≥0} V_{r,s}. Si v = v_{1} ⊗ ⋯⊗ v_{r_{1}} ⊗ v_{1}^{∗} ⊗ ⋯⊗ v_{s_{1}}^{∗} ∈ V_{r_{1},s_{1}} y w = w_{1} ⊗ ⋯⊗ w_{r_{2}} ⊗ w_{1}^{∗} ⊗ ⋯⊗ w_{s_{2}}^{∗} ∈ V_{r_{2},s_{2}}, definimos v ⊗ w = v_{1} ⊗ ⋯⊗ v_{r_{1}} ⊗ w_{1} ⊗ ⋯⊗ w_{r_{2}} ⊗ v_{1}^{∗} ⊗ ⋯⊗ v_{s_{1}}^{∗} ⊗ w_{1}^{∗} ⊗ ⋯⊗ w_{s_{2}}^{∗} ∈ V_{r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2}} . Probar que E(V) es un álgebra asociativa (no conmutativa) con este producto, y que se corresponde (vía el isomorfismo del ejercicio anterior) con el producto tensorial visto en la teórica.

(3) Sea k ≥ 2, y tomemos 𝔞_{k} el subespacio de V^{⊗k} generado por los elementos de la forma

v_{1} ⊗ ⋯⊗ v_{k}

donde v_{i} = v_{j} para algún i ≠ j. Definimos Λ^{k}(V) = V^{⊗k} /𝔞_{k}, Λ^{0}(V) = y Λ^{1}(V) = V. Notamos con v_{1} ∧ ⋯∧ v_{k} a la clase de v_{1} ⊗ ⋯⊗ v_{k} en Λ^{k}(V). Probar que:

(a) v_{1} ∧ ⋯∧ v_{k} = 0 si v_{1}, ..., v_{k} son linealmente dependientes.

(b) Si σ ∈ _{k} entonces v_{σ(1)} ∧ ⋯∧ v_{σ(k)} = sgn(σ)v_{1} ∧ ⋯∧ v_{k}.

(c) Λ^{k}(V) = 0 si k > n.

(d) dim Λ^{k}(V) = \binom{n}{k} para k = 0, ..., n (Sugerencia: si v_{1}, ..., v_{n} es una base de V, una base de Λ^{k}(V) está dada por v_{i_{1}} ∧ ⋯∧ v_{i_{k}} con i_{1} < ⋯< i_{k}).

(4) Definimos el álgebra tensorial de V como la subálgebra de E(V) dada por T(V) = ∑ _{k≥0} V^{⊗k} , y el álgebra exterior de V como Λ(V) = ∑ _{k≥0} Λ^{k}(V). Notar que el producto de E(V) se traslada a un producto en T(V) y a uno en Λ(V). Probar que si v ∈ Λ^{k}(V) y w ∈ Λ^{l}(V) entonces v ∧ w = (−1)^{kl}w ∧ v.

(5) Sea φ : V^{k} → Λ^{k}(V) dada por φ(v_{1}, ..., v_{k}) = v_{1} ∧ ⋯∧ v_{k}. Probar que φ es multilineal y alternada, y que tiene la propiedad universal de que dada cualquier ψ : V^{k} → T multilineal y alternada, existe una única ψ̃ : Λ^{k}(V) → T lineal tal que ψ̃φ = ψ:

\xymatrix{V × ⋯× V \ar[r]^{ψ} \ar[d]^{φ} & T \\ Λ^{k}(V) \ar@{-->}[ur]_{∃!ψ̃}}

Si llamamos A_{k}(V) al subespacio de T_{k}^{0}(V) formado por las funciones multilineales y alternadas de V en , deducir que A_{k}(V) ≃ Λ^{k}(V)^{∗}.

(6) Sea ⟨−, −⟩ : Λ^{k}(V^{∗}) × Λ^{k}(V) → la forma bilineal definida por ⟨v^{∗}, u⟩ = det(v_{i}^{∗}(u_{j})) para v^{∗} = v_{1}^{∗} ∧ ⋯∧ v_{k}^{∗}, u = u_{1} ∧ ⋯∧ u_{k}. Probar que es no degenerada y por lo tanto induce un isomorfismo de espacios vectoriales entre Λ^{k}(V)^{∗} y Λ^{k}(V^{∗}).

(7) Deducir de los dos ejercicios anteriores que A_{k}(V) ≃ Λ^{k}(V^{∗}).

(8) Sea A(V) = ∑ _{k≥0} A_{k}(V) el álgebra de funciones multilineales alternadas de V (A_{0}(V) = ). Por el iso del ejercicio anterior, tenemos definido un producto ∧ en A(V). Probar que si f ∈ A_{k}(V) y g ∈ A_{l}(V) entonces f ∧ g ∈ A_{k+l} (V) está dado por

(f ∧ g)(v_{1}, …, v_{k+l} ) = ∑_{σ∈ _{k,l}} sgn(σ)f(v_{σ(1)}, …, v_{σ(k)}).g(v_{σ(k+1)} , …, v_{σ(k+l)} ),

donde _{k,l} = {σ ∈ _{k+l} : σ(1) < …σ(k) y σ(k + 1) < ⋯< σ(k + l)}. Probar (o creerse) que este producto es el mismo que se vio en la teórica.

(9) Sea f : V → V un endomorfismo. Definir det(f) sin apelar a ninguna base de V. Probar que si g es otro endomorfismo, det(fg) = det(f) det(g). (Sugerencia: considerar Λ^{n}(V)).

Formas

(10) Sea M una variedad, ω una 1-forma. Sean (U, x), (V, y) dos cartas alrededor de un punto p ∈ M. Si ω(p) = ∑ _{i} α_{i}dx_{p}^{i} = ∑ _{i} β_{i}dy_{p}^{i}, encontrar la relación entre los α_{i} y los β_{i}.

(11) Sea f : M → una función diferenciable, y df : M → T^{∗}M definida por df(p) : M_{p} → , v ↦ v(f). Mostrar que en un sistema de coordenadas (U, x), df se escribe como df = ∑ _{i} \frac{∂f}{∂x^{i}} dx^{i}, por lo tanto df es una sección diferenciable, es decir, una 1-forma.

(12) Sea η ∈ Ω^{1}(M) y f ∈ F(M). Mostrar que fη ∈ Ω^{1}( ). Mostrar que si g ∈ F(M) entonces d(fg) = fdg + gdf.

(13) Sea M = ^{n}, que en cada punto su tangente es ^{n}, con su producto interno usual. Sea X ∈ 𝔛(M), y definamos ⟨X, −⟩ de la manera siguiente: si v ∈ T_{p}M, ⟨X, v⟩ := ⟨X(p), v⟩. Mostrar que ⟨X, −⟩ es una 1-forma. Mostrar que toda 1-forma es de esta forma. Por ejemplo, df = ⟨∇f, −⟩.

(14) Si ω es una k-forma, ¿es cierto que ω ∧ ω = 0? ¿Y si dim M = 3?

(15) Si (U, x) es una carta de la variedad M, sea ω_{x} ∈ Ω^{n}(U) definida por ω_{x} = dx^{1} ∧ dx^{2} ∧ ⋯∧ dx^{n}. Llamaremos a ω_{x} la n-forma asociada a la carta (U, x).

(a) Verificar que ω_{x}(p)(\frac{∂}{∂x^{1}} |_{p} , …, \frac{∂}{∂x^{n}} |_{p}) = 1 para todo p ∈ U.

(b) Sea (V, y) otra carta de M tal que U ∩ V ≠ ∅. Probar que ω_{y}(p) = J_{y∘x^{−1}} (p)ω_{x}(p) para todo p ∈ U ∩ V. Es decir,

dy^{1} ∧ ⋯∧ dy^{n} = J_{y∘x^{−1}} dx^{1} ∧ ⋯∧ dx^{n}

sobre U ∩ V, donde J_{y∘x^{−1}} indica el jacobiano de la aplicación y ∘ x^{−1} .

(16) Sea M una variedad diferenciable, p ∈ M, v ∈ M_{p} y γ ∈ M_{p}^{∗}. Probar que existen X ∈ 𝔛(M) y θ ∈ 𝔛^{∗}(M) tales que X(p) = v y θ(p) = γ.

(17) Sea M una variedad diferenciable, W un abierto no vacío de M, Z ∈ 𝔛(W), ω ∈ 𝔛^{∗}(W) y p ∈ W. Probar que:

(a) Existe un abierto U de M con p ∈ U ⊂ W y un campo X ∈ 𝔛(M) tal que X |_{U} = Z |_{U}.

(b) Existe un abierto V de M con p ∈ V ⊂ W y una 1-forma θ ∈ 𝔛^{∗}(M) tal que θ |_{V} = ω |_{V}.

(18) Sea M una variedad diferenciable de dimensión n y V ∈ 𝔛(M). Definamos la función i_{V} : Ω^{k}(M) → Ω^{k−1} (M) como

i_{V}(ω)(p)(v_{1}, ..., v_{k−1} ) = ω(p)(V (p), v_{1}, ..., v_{k−1} ),

donde vemos a ω como un campo de aplicaciones multilineales alternadas. Para 0-formas definimos i_{V}(f) = 0.

Sea (U, x) una carta alrededor de p, y escribamos V y ω en coordenadas locales como

V |_{U} = ∑_{i=1}^{n} a_{i} \frac{∂}{∂x^{i}}

ω |_{U} = ∑_{1≤i_{1}<...<i_{k}≤n} b_{i_{1},...,i_{k}}dx^{i_{1}} ∧ ⋯∧ dx^{i_{k}}.

Escribir en coordenadas locales i_{V}(ω).

(19) Sea f : M → N una función diferenciable entre dos variedades. Sea f^{∗} : 𝔛_{k}^{0}(N) → 𝔛_{k}^{0}(M) la adjunta de f. Recordemos que se define de la siguiente manera: si k = 0, f^{∗}(φ) = φ ∘ f. Para k ≥ 1, si T ∈ 𝔛_{k}^{0}(N) es un campo de covectores de grado k, al que identificamos, en cada q ∈ N, con un campo de aplicaciones multilineales N_{q}× ⋯× N_{q} → , entonces f^{∗}(T) está dado por

f^{∗}(T)(p)(v_{1}, ..., v_{k}) = T(f(p))(f_{∗p}(v_{1}), …, f_{∗p}(v_{k}))

para p ∈ M.

Si (U, x) es una carta de M alrededor de p, (V, y) es una carta de N alrededor de q = f(p), f(U) ⊂ V y T se escribe localmente como

T |_{V} = ∑_{1≤i_{1},...,i_{k}≤n} a_{i_{1},...,i_{k}}dy^{i_{1}} ⊗ ⋯⊗ dy^{i_{k}},

escribir localmente f^{∗}(T) en la carta (U, x). Probar que si T es alternado también lo es f^{∗}(T).

(20) Sea f : N → M una aplicación diferenciable. Probar que para cada k ∈ ∪ {0}, f^{∗} : Ω^{k}(M) → Ω^{k}(N) satisface las siguientes propiedades:

(a) f^{∗}(ω_{1} + ω_{2}) = f^{∗}(ω_{1}) + f^{∗}(ω_{2}).

(b) f^{∗}(g.ω) = g ∘ f.f^{∗}(ω) si g ∈ F(M).

(c) f^{∗}(ω ∧ θ) = f^{∗}(ω) ∧ f^{∗}(θ).

(21) Sea M una variedad diferenciable, (U, x) una carta y ω ∈ Ω^{k}(M). Calcular dω|_{U} en las coordenadas de (U, x) para los casos 0 ≤ k ≤ 2.

(22) Sea M una variedad diferenciable de dimensión n y d : Ω^{k}(M) → Ω^{k+1} (M) la diferencial exterior. Probar:

(a) Si f ∈ F(M) entonces df ∈ Ω^{1}(M) = 𝔛_{1}^{0}(M) es la diferencial usual.

(b) Sea (U, x) una carta de M. Sea ω ∈ Ω^{k}(M) tal que

ω |_{U} = ∑_{1≤i_{1}<··· <i_{k}≤n} ω_{i_{1}...i_{k}}dx^{i_{1}} ∧ ⋯∧ dx^{i_{k}}.

Entonces

dω |_{U} = ∑_{1≤i_{1}<··· <i_{k}≤n} dω_{i_{1}...i_{k}} ∧ dx^{i_{1}} ∧ ⋯∧ dx^{i_{k}}.

(c) d(ω_{1} + ω_{2}) = dω_{1} + dω_{2}.

(d) d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)^{k}ω ∧ dη si ω ∈ Ω^{k}(M).

(e) d^{2}(ω) = 0.

(f) Si f : M → N es diferenciable entonces d(f^{∗}(ω)) = f^{∗}(dω) para toda ω ∈ Ω^{k}(N) con k ≥ 0.

(23) Sea F : ^{3} → ^{3} un campo vectorial diferenciable (“clásico”).

(a) Demostrar que ω_{F}^{1}(x)(v) := ⟨F(x), v⟩ define una 1-forma en ^{3}. Encontrar las coordenadas de ω_{F}^{1} en la base {dx, dy, dz}. Recíprocamente, si ω es una 1-forma en ^{3}, probar que ω determina un único campo G en ^{3} tal que ω_{G}^{1} = ω.

(b) Demostrar ahora que ω_{F}^{2}(x)(u, v) := ⟨F(x), u × v⟩ define una 2-forma en ^{3}. Calcular sus coordenadas en la base {dx ∧ dy, dz ∧ dx, dy ∧ dz}. Recíprocamente, probar que toda 2-forma ω define un único campo G en ^{3} tal que ω_{G}^{2} = ω.

(c) Sea f ∈ F( ^{3}) = Ω^{0}( ^{3}). Encontrar la relación entre (i) df y ∇f, (ii) rotF y dω_{F}^{1}, (iii) div F y dω_{F}^{2} (aquí identificamos Ω^{3}( ^{3}) ≃ F( ^{3}) usando la base dx ∧ dy ∧ dz). Concluir, usando la relación d ∘ d = 0, las fórmulas clásicas rot∇ ≡ 0 y div rot ≡ 0.

(24) Sea M = ^{4}, denotando a sus puntos con letras (t, x, y, z). Escribir explícitamente las formulas para d en la base de las formas dada por {dt, dx, dy, dz}, {dt ∧ dx, dt ∧ dy, dt ∧ dz, dy ∧ dz, dz ∧ dx, dx ∧ dy}, {dt ∧ dy ∧ dz, dt ∧ dz ∧ dx, dt ∧ dx ∧ dy, dx ∧ dy ∧ dz}, {dt ∧ dx ∧ dy ∧ dz}. Buscar en algun libro de electromagnetismo las ecuaciones de Maxwell y comparar.

(25) Sean A, B abiertos de ^{n} y f : A → B diferenciable. Probar:

(a) f^{∗}(du^{i}) = df^{i} = ∑ _{k=1}^{n} \frac{∂f^{i}}{∂u^{k}}du^{k} (u = id_{^{n}} ).

(b) f^{∗}(g.du^{1} ∧ ⋯∧ du^{n}) = g ∘ f. det(\frac{∂f^{i}}{∂u^{j}}).du^{1} ∧ ⋯∧ du^{n}, para g ∈ F(B).

(26) Sea M una variedad diferenciable y sea ω ∈ Ω^{k}(M). Diremos que ω es una k-forma cerrada si dω = 0 y diremos que es una k-forma exacta si existe η ∈ Ω^{k−1} (M) tal que dη = ω. Probar que:

(a) Toda forma exacta es cerrada.

(b) Si ω, ω′ son formas cerradas y ω′′es exacta entonces ω ∧ ω′ es cerrada y ω ∧ ω′′es exacta.

(c) Si f : M → N es diferenciable entonces f^{∗} transforma formas cerradas en cerradas y exactas en exactas.

(27) Si A ∈ 𝔛_{l}^{k}(N) es un campo tensorial de tipo (k, l) sobre N y ϕ : M → N es un difeomorfismo, definimos ϕ^{∗}(A) ∈ 𝔛_{l}^{k}(M) sobre M de la siguiente manera: si v_{1}^{∗}, v_{2}^{∗}, …, v_{k}^{∗} ∈ M_{p}^{∗} y v_{1}, v_{2}, …, v_{l} ∈ M_{p} entonces

[ϕ^{∗}(A)(p)] (v_{1}^{∗}, …, v_{k}^{∗}, v_{1}, …, v_{l}) =
= A(ϕ(p))(v_{1}^{∗} ∘ (ϕ^{−1} )_{∗ϕ(p)} , …, v_{k}^{∗} ∘ (ϕ^{−1} )_{∗ϕ(p)} , ϕ_{∗p}(v_{1}), …, ϕ_{∗p}(v_{k})).

(a) Verifique que si k = 0, la definición coincide con la del ejercicio 19.

(b) Si el campo vectorial X sobre M tiene a Φ como flujo y A es un tensor de tipo (k, l) sobre M, definimos la derivada de Lie de A en la dirección de X como

(L_{X}A)(p) = lím_{h→0} \frac{1}{h}[(Φ_{h}^{∗}(A)(p) − A(p)]

Probar que en el caso en que A sea un campo vectorial, la definición es la misma que la vista anteriormente. Demuestre que

L_{X}(A + B) = L_{X}A + L_{X}B
L_{X}(A ⊗ B) = L_{X}A ⊗ B + A ⊗ L_{X}B
L_{X}(fA) = X(f)A + fL_{X}A

(c) Si A tiene componentes A_{j_{1},...,j_{l}}^{i_{1},...,i_{k}} en un sistema coordanado dado y X = ∑ _{i=1}^{n} a^{i} \frac{∂}{∂x^{i}}, demuestre que las coordenadas de L_{X}A están dadas por

(L_{X}A)_{j_{1},...,j_{l}}^{i_{1},...,i_{k}} = ∑_{i=1}^{n} a^{i} \frac{∂A_{j_{1},...,j_{l}}^{i_{1},...,i_{k}}}{∂x^{i}} − ∑_{α=1}^{k} ∑_{j=1}^{n} A_{j_{1},...,j_{α−1} ,j,j_{α+1} ,...,j_{l}}^{i_{1},...,i_{k}}\frac{∂a^{j_{α}}}{∂x^{j}} + ∑_{α=1}^{l} ∑_{i=1}^{n} A_{j_{1},...,j_{l}}^{i_{1},...,i_{α−1} ,i,i_{α+1} ,...,i_{k}}\frac{∂a^{i}}{∂x^{i_{α}}}

(28) (derivada de Lie de formas). Sea X un campo. Si ω y η son formas, probar que: a) L_{X}(ω ∧ η) = L_{X}(ω) ∧ η + ω ∧ L_{X}(η) (¡sin signos!);

b) L_{X}(dω) = d(L_{X}(ω));

c) L_{X}(f) = X(f) si f ∈ F(M). Demuestre que estas propiedades determinan unívocamente a L_{X}. Utilize este hecho para dar una definición “algebraica” de L_{X}. Muestre que L_{X}L_{Y} − L_{Y}L_{X} = L_{[X,Y]}. Halle la expresión en coordenadas locales.

(29) Recordar que i_{X}(ω) := ω(X, …) si ω ∈ Ω^{k}(M) con k > 0 e i_{X}(f) = 0 para f ∈ F(M). Muestre las siguientes identidades, para X e Y campos, y f función diferenciable:

a) i_{X}i_{Y} = −i_{Y}i_{X}

b) i_{fX} = fi_{X}.

c) i_{X}d + di_{X} = L_{X} (hay dos posibilidades: o bien demuestre esto directamente a partir de una expresión local (largo y cuentoso), o bien demuestre que L_{X} definido como i_{X}d + di_{X} verifica las propiedades del ejercicio anterior (manera corta y elegante)).

d) L_{fX} = fL_{X} + df ∧ i_{X}

e) L_{X}i_{Y}− i_{Y}L_{X} = i_{[X,Y]}(sugerencia: ver que esta formula es válida aplicada a una f, también es válida aplicada a df, y finalmente ver que (L_{X}i_{Y} − i_{Y}L_{X})(ω ∧ η) = (L_{X}i_{Y} − i_{Y}L_{X})(ω) ∧ η + (−1)^{|ω|} ω ∧ (L_{X}i_{Y}− i_{Y}L_{X})(η) para deducir la fórmula general por induccion en |ω|).

Orientabilidad

(30) Sea M una variedad y TM su fibrado tangente. Probar que TM es orientable.

(31) Probar que si M tiene un atlas de la forma A = {(U, x); (V, y)} donde U ∩ V es conexo, entonces M es orientable.

(32) Ver que si M es paralelizable, es orientable.

(33) Sea M y N variedades diferenciables. Probar que son equivalentes:

a) M y N son orientables

b) M × N es orientable

(34) Probar que la esfera S^{n} y ^{n} son orientables. Probar que el n-toro T^{n} y el cilindro son orientables.

(35) Sea M una variedad orientable conexa y f : M → M un difeomorfismo. Si A es un atlas orientado compatible con la orientación, probar que para dos cartas (U_{i}, φ_{i}) ∈ A (i = 1, 2) el signo de J(φ_{2} ∘ f ∘ φ_{1}^{−1} ) es constante (donde está definida la composición). Interpretar.

(36) Sea M una variedad diferenciable. Suponga que (TM) |_{A} es trivial siempre que A ⊂ M es homeomorfo a S^{1}. Demuestre que M es orientable.