Geometría Diferencial

Práctica 5

Integración y teorema de Stokes

(1) Sea M una variedad compacta orientable de dimensión n y ω un elemento de volumen. Probar que ω ≠ dη para todo η ∈ Ω^{n−1} (M).

(2) Sean M y N variedades orientables de dimensión n y f : M → N un difeomorfismo que preserva la orientación. Suponiendo que ω ∈ Ω^{n}(N) tiene soporte compacto, probar que entonces f^{∗}ω también tiene soporte compacto y vale:

∫ ω = ∫ f^{∗}ω.

Definición. Sea n ≥ 2 y consideremos a ^{n} con la estructura diferenciable usual. Un subconjunto M ⊂ ^{n} se denomina una subvariedad con borde de dimensión 2 ≤ k ≤ n de ^{n} si M es una variedad con borde de dimensión k y la inclusión i : M ↪ ^{n} es una sumersión.

(3) Sea M ⊂ ^{n} una subvariedad con borde de dimensión k. Verificar que ∂M es una subvariedad (sin borde) de dimensión k − 1.

(4) Sea M ⊂ ^{n} una subvariedad con o sin borde de dimensión n y sea ω = dx^{1} ∧ ⋯∧ dx^{n} el elemento de volumen usual de ^{n}. Si i : M ↪ ^{n} es la inclusión, verificar que dV_{M} := i^{∗}(ω) ∈ Ω^{n}(M) es un elemento de volumen para M.

El mismo se denomina el elemento de volumen usual para M y la orientación que induce se llama la orientación usual de M.

(5) Sea M ⊂ ^{2} una subvariedad compacta con borde de dimensión 2. Sea D un abierto de ^{2}

que contiene a M y F_{1}, F_{2} : D → diferenciables.

Interpretar (notación) y verificar el teorema de Green:

∫_{∂M} F_{1}.dx^{1} + F_{2}.dx^{2} = ∫_{M} ( \frac{∂F_{2}}{∂x^{1}} − \frac{∂F_{1}}{∂x^{2}}) .dx^{1} ∧ dx^{2}.

(6) Para p ∈ ^{n}, sea ⟨, ⟩ : _{p}^{n} × _{p}^{n} → el producto interno definido por

⟨v, w⟩ = ∑_{j=1}^{n} a^{j}b^{j}

si v = ∑ _{j=1}^{n} a^{j} \frac{∂}{∂x^{j}} |_{p} y w = ∑ _{j=1}^{n} b^{j} \frac{∂}{∂x^{j}} |_{p}.

Sea M ⊂ ^{n} una subvariedad con o sin borde e i : M ↪ ^{n} la inclusión. Para p ∈ M, definimos el producto interno ⟨, ⟩_{p} : M_{p} → M_{p} → por

⟨v, w⟩_{p} = ⟨i_{∗p}(v), i_{∗p}(w)⟩.

Probar:

(a) Si para X, Y ∈ 𝔛(M) se define la aplicación ⟨X, Y⟩ : M → como ⟨X, Y⟩(p) = ⟨X(p), Y(p)⟩_{p} entonces ⟨X, Y⟩ ∈ F(M).

(b) La aplicación ⟨, ⟩ : 𝔛(M) × 𝔛(M) → F(M) definida en (a) es un tensor. El mismo se denomina la métrica de M inducida por la euclídea de ^{n}.

(7) Sea M ⊂ ^{n} una subvariedad con o sin borde de dimensión k, con k ≥ 2 si M tiene borde y con k ≥ 1 si no lo tiene. Se supone M orientable y sea λ una orientación para M. Si ω ∈ Ω^{k}(M) es un elemento de volumen, probar:

(a) Si p ∈ M, sean {e_{1}, …, e_{k}}, {e′_{1}, …, e′_{k}} dos bases ortonormales de M_{p} (respecto de ⟨, ⟩_{p}) orientadas positivamente; es decir, [e_{1}, …, e_{k}] = [e′_{1}, …, e′_{k}] = λ(p). Entonces ω(p)(e_{1}, …, e_{k}) = ω(p)(e′_{1}, …, e′_{k}).

(b) Sea f : M → definida por f(p) = ω(p)(e_{1}, …, e_{k}), donde {e_{1}, …, e_{k}} es una base ortonormal de M_{p}, orientada positivamente. Entonces f ∈ F(M).

(c) Sea θ ∈ Ω^{k}(M) definida por θ = (1/f).ω. Entonces θ es el único elemento de volumen para M que satisface θ(p)(e_{1}, …, e_{k}) = 1, cualquiera sea p ∈ M y {e_{1}, …, e_{k}} base ortonormal de M_{p} orientada positivamente.

(d) Si k = n entonces θ = dV_{M}, si λ es la orientación usual (ejercicio 4).

(e) Si k = n − 1, existe una única función diferenciable N : M → T ^{n} que, en cada p ∈ M,

satisface:

(i) N(p) ∈ _{p}^{n}.

(ii) ⟨N(p), v⟩ = 0 si v ∈ i_{∗p}(M_{p}).

(iii) ⟨N(p), N(p)⟩ = 1.

(iv) Si {e_{1}, …, e_{n−1} } es una base de M_{p} orientada positivamente entonces

{N(p), i_{∗p}(e_{1}), …, i_{∗p}(e_{n−1} )}

es una base orientada positivamente de _{p}^{n} (orientación usual).

Sugerencia: Sea p ∈ M y {e_{1}, …, e_{n−1} } una base ortonormal de M_{p} orientada positivamente. Considerar la aplicación lineal T(p) : _{p}^{n} → definida por T(p)(v) = (dx^{1} ∧ ⋯∧ dx^{n})(p)(v, i_{∗p}(e_{1}), …, i_{∗p}(e_{n−1} )). Es decir,

T(p)(v) = det ( \begin{matrix}v^{1} & … & v^{n} \\ e_{1}(x^{1} ∘ i) & … & e_{1}(x^{n} ∘ i) \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ e_{n−1} (x^{1} ∘ i) & … & e_{n−1} (x^{n} ∘ i) \end{matrix} )

si v = ∑ _{j=1}^{n} v^{j} \frac{∂}{∂x^{j}} |_{p}.

Verificar que T(p) no depende de la base ortonormal -orientada positivamente- elegida y además que T(p) ≠ 0.

Sea η(p) ∈ _{p}^{n} el único que satisface T(p)(v) = ⟨η(p), v⟩ para todo v ∈ _{p}^{n}. Mostrar que η : M → T ^{n} es diferenciable y definir N : M → T ^{n} por

N(p) = \frac{η(p)}{⟨η(p), η(p)⟩^{1/2}} .

Definición. Con las hipótesis y notaciones del ejercicio anterior, la k-forma construida en (c) -que denotamos con θ = dV_{M}- se denomina el elemento de volumen inducido por la métrica euclídea de ^{n} y la orientación λ.

Si k = 1 (respectivamente k = 2), dV_{M} se denomina el elemento de arco (respectivamente elemento de área).

La función N : M → T ^{n} construida en (e) se denomina la normal exterior a M asociada a λ.

(8) Con las hipótesis del ejercicio anterior para k = n − 1, sea p ∈ M y {v_{1}, …, v_{n−1} } una base de M_{p}. Verificar que:

dV_{M}(p)(v_{1}, …, v_{n−1} ) = (dx^{1} ∧ ⋯∧ dx^{n})(p)(N(p), i_{∗p}(v_{1}), …, i_{∗p}(v_{n−1} )).

Definición. Sea D ⊂ ^{n} (n ≥ 2) un abierto no vacío y F = ∑ _{i=1}^{n} F^{i} \frac{∂}{∂x^{i}} ∈ 𝔛(D). La divergencia de Fse define como

div(F) = ∑_{i=1}^{n} \frac{∂F^{i}}{∂x^{i}} ∈ F(D).

Si n = 3, el rotor de Fse define como

rot(F) = ( \frac{∂F^{3}}{∂x^{2}} − \frac{∂F^{2}}{∂x^{3}}) \frac{∂}{∂x^{1}} + ( \frac{∂F^{1}}{∂x^{3}} − \frac{∂F^{3}}{∂x^{1}}) \frac{∂}{∂x^{2}} + ( \frac{∂F^{2}}{∂x^{1}} − \frac{∂F^{1}}{∂x^{2}}) \frac{∂}{∂x^{3}}.

(9) Sea M ⊂ ^{3} una subvariedad compacta con borde de dimensión m y sean i : ∂M ↪ M, j : M ↪ ^{3} las inclusiones. Sea D ⊂ ^{2} un abierto que contiene a M y F ∈ 𝔛(D) con F= ∑ _{i=1}^{3} F^{i} \frac{∂}{∂x^{i}}.

(a) Si m = 3, sea λ la orientación usual de M y dV = dV_{M} el elemento de volumen usual. Sea N : ∂M → T ^{3} la normal exterior a ∂M asociada a ∂λ y dA = dV_{∂M} el elemento de volumen (área) de ∂M inducido por la métrica euclídea de ^{3} y la orientación ∂λ. Sea θ ∈ Ω^{2}(D) definida por

θ = F^{1}.dx^{2} ∧ dx^{3} + F^{2}.dx^{3} ∧ dx^{1} + F^{3}.dx^{1} ∧ dx^{2}

y ω = j^{∗}(θ) ∈ Ω^{2}(M). Utilizando el ejercicio anterior, verificar que i^{∗}(ω) = ⟨F, N⟩.dA.

(b) En la situación de (a), verificar el teorema de la divergencia:

∫_{∂M}⟨F, N⟩.dA = ∫_{M} div(F).dV.

(c) Si m = 2, sea λ una orientación para M y dA = dV_{M} el elemento de volumen (área) de M inducido por la métrica euclídea de ^{3} y la orientación ∂λ. Sea N : M → T ^{3} la normal exterior a M asociada a λ y dS = dV_{∂M} ∈ Ω^{1}(∂M) el elemento de volumen (arco) inducido por la métrica euclídea de ^{3} y la orientación ∂λ.

(i) Mostrar que existe un único X ∈ 𝔛(∂M) que satisface dS(p)(X(p)) = 1 para todo p ∈ ∂M.

(ii) Sea θ ∈ Ω^{1}(D) la 1-forma definida por θ = F^{1}.dx^{1} + F^{2}.dx^{2} + F^{3}.dx^{3} y ω = j^{∗}(θ) ∈

Ω^{1}(M). Utilizando el ejercicio anterior, verificar que dω = ⟨rot(F), N⟩.A.

(d) En la situación de (c), sea T : ∂M → ^{3} definida por T(p) = (j ∘ i)_{∗p}(X(p)) si p ∈ ∂M. Verificar el teorema del rotor:

∫_{∂M}⟨F, T⟩dS = ∫_{M}⟨rot(F), N⟩.dA.

(10) Enunciar y probar el teorema de la divergencia para M ⊂ ^{n} con n ≥ 2.