Geometría Diferencial

Práctica 6

Conexiones y variedades riemannianas

(1) Sea ∇ una conexión sobre una variedad M, y sea

T : 𝔛(M) × 𝔛(M) → 𝔛(M), T (X, Y) = ∇_{X}Y − ∇_{Y} X − [X, Y]

su torsión. Probar que T es F(M)-bilineal, y por lo tanto define un tensor de tipo (1,2).

(2) Probar que:

(a) Una combinación lineal ∑_{i} α_{i}∇^{i}, donde los ∇^{i} son conexiones y ∑_{i} α_{i} = 1, es una conexión.

(b) La diferencia entre dos conexiones es un tensor.

(3) Probar que si (U, x) es una carta de M, entonces la asignación (X, (∑_{i} α_{i} \frac{∂}{∂x^{i}})) ↦ ∑_{i} X(α_{i})\frac{∂}{∂x^{i}} define una conexión en U.

(4) Probar que si ∇ es una conexión en M con torsión T, entonces ∇ − \frac{1}{2}T es una conexión simétrica. Encontrar sus símbolos de Christoffel en función de los de ∇.

(5) Encontrar una métrica de tipo (1, 1) sobre el toro.

(6) (a) Consideramos g en S^{2} ⊆ ℝ^{3}, la métrica inducida de ℝ^{3}. Sea (U, x) es la carta tal que x^{−1} : (0, π) × (0, 2π) → S^{2} es x^{−1}(θ, α) = (sin(θ) cos(α), sec(θ) cos(α), cos(θ)). Encontrar la expresión local de la métrica g en la carta (U, x). Expresar el elemento de volumen en la misma carta (es decir una 2-forma ω tal que ω(p)(v_{1}, v_{2}) = ±1 si {v_{1}, v_{2}} es base ortonormal de M_{p}.

(b) ℝ_{+}^{2} := {(x, y) : y > 0} (semiplano de Poincaré). Con respecto a la carta usual (ℝ_{+}^{2}, id) consideramos la métrica g = \frac{1}{y^{2}} dx ⊗ dx + \frac{1}{y^{2}} dy ⊗ dy. Expresar la conexión de Levi-Civita en la carta usual.

(c) Calcular la conexión de Levi-Civita para la métrica de Lorentz en ℝ^{n+1} dada, con respecto a la carta usual, por g_{ii} = 1 si 1 ≤ i ≤ n y g_{n+1,n+1} = −1 . (Ver que el teorema de Levi-Civita se puede extender a métricas pseudo-riemannianas.)

(7) Sea M una subvariedad de codimensión 1 de ℝ^{n}. Sea g la métrica canónica en ℝ^{n}, sea g_{M} la métrica sobre M pull-back de g y sea ∇ la conexión asociada a g_{M}. Probar que para campos X, Y ∈ 𝔛(M), ∇_{X}Y coincide con la proyección ortogonal sobre T M de la derivada de i_{∗}(Y) en la dirección i_{∗}(X), donde i : M → ℝ^{n} es la inclusión.

(8) Sea G un grupo que actúa sobre la variedad X de manera propiamente discontinua. Supongamos que en X se tiene una métrica g.

a) Definir el concepto de “métrica G-invariante”.

b) Probar que si g es G-invariante entonces la variedad X/G hereda una métrica de X; i.e, tiene una métrica con la que la proyección X → X/G es un morfismo de variedades de Riemann. c) Probar que si G es finito, ḡ definida por

ḡ = \frac{1}{|G|} ∑_{h∈G} d^{∗}ρ_{h}(g)

es invariante (se nota por ρ_{h} la acción de h ∈ G sobre X).

d) ¿Qué sucede en el punto anterior si se tiene una métrica de tipo (r, s)?

(9) Probar que el espacio proyectivo ℙ^{n} hereda una métrica de S^{n}.

(10) Sea M una variedad difenciable de dimensión n y ∇ una conexión en M. Si c : I → M es una curva diferenciable, t_{0} ∈ I y v_{1}, …, v_{n} es base de M_{c(t_{0})}, sean X_{1}, …, X_{n} ∈ 𝔛_{c}^{∥} (campos paralelos a lo largo de c) de modo que X_{i}(t_{0}) = v_{i}.

a) Ver que 𝔛_{c}^{∥} es un ℝ-espacio vectorial

b) X_{1}(t), …, X_{n}(t) son linealmente independientes en M_{c(t)} ∀ t ∈ I.

c) Si Y ∈ 𝔛_{c}^{∥} es tal que Y (t_{0}) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} entonces Y (t) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}X_{i}(t). Deducir la dimensión de 𝔛_{c}^{∥}.

(11) Sea (M, g) una variedad Riemanniana con conexión ∇ compatible con la métrica. Probar que si c es una curva en M y X, Y ∈ 𝔛_{c}^{∥} entonces las normas de X e Y se mantienen constantes y el ángulo entre X e Y también.

(12) Sea M una variedad y ∇ una conexión. Si X ∈ 𝔛(M), probar que son equivalentes: a) ∇_{X}X = 0 (en este caso decimos que X es paralelo).

b) Toda curva integral c : I → M de X es una geodésica.

(13) Escribir la ecuación de geodésica en términos de los símbolos de Christoffel. Mostrar que las geodésicas en ℝ^{n} son las rectas, y que las geodésicas en el semiplano de Poincaré son: o bien rectas verticales, o bien semicírculos con centro en el eje x.

(14) Mostrar que la ecuación de geodésica depende sólo de la parte simétrica de la conexión. Es decir, si ∇ es una conexión y T es un tensor antisimétrico, entonces ∇ y \overline{∇} = ∇ + T tienen las mismas geodésicas.