Aritmética de Curvas Elípticas

2do. Cuatrimestre 2006 Guía 1

Por K denotaremos un cuerpo (no necesariamente algebraicamente cerrado).

(1) Sea 𝒞 ⊂ ℙ^{2} la curva dada por la ecuación x^{2} + y^{2} = z^{2}. Probar (a mano) que la función:

ϕ : 𝒞 ↦ ℙ^{1}, ϕ = [x + z, y]

es un morfismo definido en todos los puntos.

(2) Sea 𝒞/K una cúbica no singular en ℙ^{2} (i.e. esta dada por un polinomio

homogéneo de grado 3 sin puntos singulares) con un punto P ∈ ℙ^{2}(K). • Probar que (𝒞, P) es una curva elíptica con la definición usual.

• Dar un método que envie 𝒞 en ecuación de Weierstrass de forma tal que el cambio de coordenadas quede definido sobre K (i.e. dar una forma explícita de la demostración dada en la teórica utilizando Riemann-Roch). Sugerencia: separar los casos en que P sea de inflexión o no.

• Pasar la curva elíptica x^{3} + y^{3} − z^{3} con el punto (1, −1, 0) a ecuación de Weierstrass. (al finalizar el curso podremos probar Fermat para n = 3)

(3) Sea E/K una curva elíptica, y supongamos que la característica de K no es dos. Probar que E tiene a lo sumo un punto singular y (de tenerlo) dicho punto está en K. ¿Que pasa si la característica de K es 2?

(4) Sea E/K una curva elíptica dada por ecuación de Weierstrass.

(a) Supongamos que E tiene un nodo y que las tangentes en el nodo son

y = α_{i}x + β_{i} con i = 1, 2.

• Si α_{1} ∈ K probar que α_{2} ∈ K y E_{ns}(K) ≅ K^{×}.

• Si α_{1} ∉ K entonces el cuerpo L = K(α_{1}, α_{2}) es una extensión cuadrática de K. Como E_{ns}(K) ⊂ E_{ns}(L) ≅ L^{×}, probar que

E_{ns}(K) = {t ∈ L^{×} : 𝒩_{L/K}(t) = 1}.

(Sugerencia: recordar que la función que da el isomorfismo en K̄ es (x, y) ↦ \frac{y−α_{1}x−β_{1}}{y−α_{2}x−β_{2}} ).

(b) Si E tiene una cúspide entonces E_{ns}(K) ≅ K (aditivamente).

(5) Sea F (x, y, z) un polinomio en K[x, y, z] homogéneo de grado d. Supongamos que la curva 𝒞 dada for F = 0 en ℙ^{2}(K) es no singular. Definimos el Hessiano H de F en un punto P como la matriz de 3 × 3 de las derivadas parciales segundas en P.

• Probar que un punto P en 𝒞 es de inflexión si y sólo si det(H(P)) = 0. (Sugerencia: para facilitar las cuentas suponer vía un cambio lineal de variables que P = (0, 1, 0) y la recta tangente es Z = 0).

• Utilizando el Teorema de Bezout, calcular el número de puntos de inflexión de 𝒞 en K̄ (para ver que el orden de contacto entre dos curvas es 1, basta con ver que las rectas tangentes en el punto de intersección son distintas).

(6) Sea E/K una curva elíptica en ecuación de Weierstrass. Probar que los puntos de orden dividiendo a 3 (i.e. los puntos P ∈ E(K̄) tales que 3P = 𝒪) son los puntos de inflexión de E. Deducir el número de puntos de orden exactamente 3. ¿Cuantos hay de orden exáctamente 2?