Aritmética de Curvas Elípticas

2do. Cuatrimestre 2006 Guía 2 - Curvas elípticas sobre ℂ

(1) (a) Sea L = ℤ + ℤi (los enteros de Gauss). Probar que g_{3}(L) = 0 pero

g_{2}(L) es un número real no nulo.

(b) Sea L = ℤ + ℤw donde w es una raíz cúbica primitiva de la unidad (en particular L ⊂ ℚ[\sqrt{−3}]). Probar que g_{2}(L) = 0 pero g_{3}(L) es un número real no nulo.

(c) Probar que si c ∈ ℝ^{×} (i.e. es no nulo) entonces G_{k}(cL) = c^{−k}G_{k}(L) (esto explica la indexación de las funciones G_{k}).

(d) De los puntos anteriores probar que las curvas elípticas y^{2} = 4x^{3} − g_{2}x − g_{3} con g_{2} = 0 ó g_{3} = 0 tienen un retículo L asociado tales que g_{i}(L) = g_{i}.

(2) Dado L ⊂ ℂ un retículo definimos

Δ(L) = g_{2}(L)^{3} − 27g_{3}(L)^{2} j(L) = 1728g_{2}(L)^{3}/Δ(L)

(a) Probar que si α ∈ ℂ^{×} entonces Δ(αL) = α^{−12}Δ(L) y que j(αL) = j(L).

(b) Probar que j(L_{1}) = j(L_{2}) si y sólo si existe α ∈ ℂ^{×} tal que αL_{1} = L_{2}.

(c) Probar que j(ℤ + ℤi) = 1728 y j(ℤ + ℤe^{2πi/3}) = 0.

(3) Sea E/ℂ una curva elíptica que corresponde con un retículo L ⊂ ℂ.

(a) Probar que E se puede definir sobre ℝ (i.e. existe un cambio de variables tal que la ecuación de E queda con coeficientes reales o equivalentemente j(E) ∈ ℝ) si y sólo si existe α ∈ ℂ^{×} tal que αL queda estable por conjugación (i.e. \overline{αL} = αL). (Hint: probar que \overline{j(L)} = j(L̄) y utilizar el ejercicio anterior).

(b) Supongamos que E se puede definir sobre ℝ y elegimos L tal que L̄ = L. Probar que se puede elegir una base de L tal que L = ℤω + ℤτ donde ω ∈ ℝ y ℜ(τ) = 0 ó ℜ(τ) = \frac{ω}{2} . Además probar que ℜ(τ) = 0 si y sólo si E[2] ⊂ ℝ (i.e. el polinomio cúbico tiene tres raíces reales). Hint: para la segunda parte considerar el desarrollo de Laurent de 𝒫_{L}.

(c) Probar que los puntos reales de una curva elíptica definida sobre ℝ son isomorfos a ℝ/ℤ × ℤ/2ℤ ó ℝ/ℤ dependiendo si E[2] ⊂ ℝ o no (respectivamente).

(4) Dado un retículo L, considerar la función elíptica par 𝒫′′_{L}(z) y escribirla

como un polinomio en 𝒫_{L}(z) de dos maneras: • Comparando los desarrollos de Laurent.

• Derivando la igualdad 𝒫′_{L}(z)^{2} = 4𝒫_{L}(z)^{3} − g_{2}𝒫_{L}(z) − g_{3}.

(5) (a) Probar que G_{8} = \frac{3}{7}G_{4}^{2}.

(b) Demostrar por inducción que todos los G_{k} se pueden escribir como

polinomios en G_{4} y G_{6} con coeficientes racionales, i.e. G_{k} ∈ ℚ[G_{4}, G_{6}].

(6) Sea ω_{1} = it con t ∈ ℝ_{≥0} y ω_{2} = π. Si definimos la función zeta de Riemann para s ∈ ℂ con ℜ(s) > 1 como

ζ(s) = ∑_{n∈ℕ} \frac{1}{n^{s}}

probar que cuando t tiende a infinito G_{k}(it, π) (i.e. G_{k} evaluado en el retículo ℤit + ℤπ) tiende a 2π^{−k}ζ(k). Asumiendo que ζ(2) = \frac{π^{2}}{6} , ζ4 = \frac{π^{4}}{90} y ζ(6) = \frac{π^{6}}{945} calcular ζ(8). Deducir que π^{−k}ζ(k) ∈ ℚ para todo k positivo y par.