Aritmética de Curvas Elípticas

2do. Cuatrimestre 2006

Guía 3 - Curvas elípticas sobre cuerpos finitos y cuerpos globales

(1) Considerar la curva elíptica

y^{2} = x^{3} + 1

(a) Para los primos 5 ≤ p < 20 describir el grupo E(𝔽_{p}) (i.e. de puntos de E sobre el cuerpo finito 𝔽_{p}).

(b) Para cada p en el rango anterior, sea M_{p} = #E(𝔽_{p}). ¿Vé algún patrón para M_{p} en los primos p ≡ 2 (mod 3)?

(c) Probar la fórmula para el número de puntos M_{p} del item (b) para los

primos p ≡ 2 (mod 3).

(2) Sea p ∈ ℤ un primo, y miremos la curva elíptica

E_{p} : y^{2} = x^{3} + px

Hallar los puntos de torsión de E_{p} para cualquier valor de p.

(3) Dada la curva elíptica

E : y^{2} = x^{3} + x

hallar todos los puntos racionales de E (en términos de generadores).

(4) Probar que si E/ℚ es una curva elíptica y P ∈ E(ℚ) entonces (a) Existe el límite ĥ(P) = lim_{n→∞} \frac{h_{x}(2^{n}P)}{4^{n}} (Sug. ver que es de Cauhy).

(b) Existe una constante κ tal que para todo P ∈ E(ℚ) vale que

−κ ≤ ĥ(P) − h_{x}(P) ≤ κ

(c) ĥ(mP) = m^{2}ĥ(P) para todo m ∈ ℕ.

(d) ĥ(P) = 0 si y sólo si P es de torsión. A la altura ĥ se la llama la altura canónica y define una forma cuadrática en los puntos racionales de E. Además se puede ver que no depende de la altura h_{x} elegida (i.e. dada cualquier f en el cuerpo de funciones de E, la altura canónica asociada a h_{f} es siempre la misma).

(5) Consideremos el producto de Euler

∏_{p} \frac{1}{(1 − a_{p}p^{−s})}

donde el producto es sobre todos los primos y a_{p} son números complejos tales que |a_{p}| ≤ p^{c} para alguna constante c ∈ ℝ. Probar que el producto converge absolutamente para ℜ(s) > 1 + c. Concluir que si E es una curva elíptica entonces L(E, s) converge absolutamente para ℜ(s) > 3/2.

(6) Para cada una de las siguientes curvas elípticas calcular el grupo de puntos de torsión:

(a) y^{2} = x^{3} − 2.

(b) y^{2} = x^{3} + 8.

(c) y^{2} = x^{3} + 4.

(d) y^{2} = x^{3} + 4x.

(e) y^{2} − y = x^{3} − x^{2}.

(f) y^{2} = x^{3} + 1.

(g) y^{2} = x^{3} − 43x + 166.

(h) y^{2} + 7xy = x^{3} + 16x.

(i) y^{2} + xy + y = x^{3} − x^{2} − 14x + 29.

(j) y^{2} + xy = x^{3} − 45x + 81.

(k) y^{2} + 43xy − 210y = x^{3} − 210x^{2}.

(l) y^{2} = x^{3} − 4x.

(m) y^{2} + xy − 5y = x^{3} − 5x^{2}.

(n) y^{2} + 5xy − 6y = x^{3} − 3x^{2}.

(o) y^{2} + 17xy − 120y = x^{3} − 60x^{2}.