Grupos y Álgebras de Lie

Primer cuatrimestre 2005 Práctica 2 Álgebras de Lie, generalidades Fecha de entrega: 27/5

Los ejercicios a entregar están marcados con un asterisco.

(1) Si n ∈ ℕ, definimos el álgebra de Schrödinger 𝔤_{n}, con base {p_{1}, ⋯, p_{n}, q_{1}, ⋯, q_{n}, z} y corchete dado por

[𝔤_{n}, z] = [p_{i}, p_{j}] = [q_{i}, q_{j}] = 0 ∀i,
[p_{i}, q_{j}] = δ_{ij}z ∀i, j.

Probar que es un álgebra de Lie. Encontrar su centro Z(𝔤_{n}). Describir 𝔤_{n}/Z(𝔤_{n}).

(2) Sea 𝔤 ⊆ 𝔤𝔩_{d}. Encontrar una fórmula (y probarla) para ad_{x}^{n}(y) (= [x, [x, ⋯ [x, y]] ⋯], con n equis). Observar que esta fórmula está en el álgebra asociativa M_{d}(𝕂). Más en general: para un álgebra de Lie 𝔤 cualquiera, expresar una fórmula similar en U(𝔤), el álgebra envolvente.

(3) Encontrar el centro de 𝔤𝔩_{n}. Probar que, como álgebras de Lie, 𝔤𝔩_{n} = Z(𝔤𝔩_{n}) ⊕ 𝔰𝔩_{n}.

(*4) Recordar la definición del álgebra de Lie de dimensión 2 no abeliana como 𝔤̃ = 𝕂 < x, y >, [x, y] = y. Recordar la colección de módulos de 𝔤̃ V_{n,λ}, con base {v_{0}, ⋯, v_{n}} y acción dada por

y · v_{i} = v_{i+1}  (se considera aquí v_{n+1} = 0.)
x · v_{i} = (λ + i)v_{i}.

(a) Decir cuándo Hom𝔤̃(V_{n,λ}, V_{n′,λ′}) ≠ 0.

(b) Describir V_{2,λ} ⊗ V_{1,μ}.

(5) Probar que 𝔬_{3} es un álgebra simple. Probar que 𝔬_{3}(ℂ) ≃ 𝔰𝔩_{2}(ℂ). Probar que 𝔬_{3}(ℝ) ≄ 𝔰𝔩_{2}(ℝ).

(*6) Probar que 𝔬_{4} ≃ 𝔬_{3} ⊕ 𝔬_{3}.

(7) Encontrar un álgebra de Lie 𝔤 y un ideal 𝔥 ⊂ 𝔤 tal que 𝔥 y 𝔤/𝔥 sean nilpotentes pero 𝔤 no lo sea.

(8) Sea 𝔱 = {(x_{ij}) ∈ 𝔤𝔩_{n}(𝕂) | x_{ij} = 0 ∀i > j} el álgebra de matrices triangulares. Se define en 𝔱 la filtración

𝔱 = F_{0} ⊃ F_{1} ⊃ ⋯ ⊃ F_{n} = 0,

donde F_{k} = {(x_{ij}) | x_{ij} = 0 ∀j − i < k}.

(a) Probar que [F_{i}, F_{j}] ⊆ F_{i+j}.

(b) Encontrar el centro Z(𝔱).

(c) Probar que nilrad(𝔱) = F_{1} + Z(𝔱).

(d) Describir 𝔱/ nilrad(𝔱).

(9) Sea 𝔫 = {(x_{ij}) ∈ 𝔤𝔩_{n}(𝕂) | x_{ij} = 0 ∀i ≥ j}. Encontrar su centro.

(10) Si 𝔤 es un álgebra de Lie y ρ : 𝔤 → 𝔤𝔩(V) es una representación, recordar que se define la forma bilineal t_{ρ} en 𝔤 por t_{ρ}(x, y) = tr(ρ(x)ρ(y)). Notar que es una forma bilineal simétrica. Probar que es invariante; es decir, que

t_{ρ}([x, y], z) + t_{ρ}(y, [x, z]) = 0.

Probar que el núcleo de esta forma es un ideal (NB: núcleo = {x | t_{ρ}(x, y) = 0 ∀y}).

(11) Describir la forma de Killing de 𝔤̃ (NB2: forma de Killing = t_{ad}).

(*12) Sean 𝔤, 𝔥 dos álgebras de Lie. Se dice que 𝔤 actúa en 𝔥 si, como espacio vectorial, 𝔥 es una representación de 𝔤. Es decir, hay un morfismo de álgebras de Lie 𝔤 → 𝔤𝔩_{𝔥}. Se dice que actúa por derivaciones si el morfismo cae en Der(𝔥). En otras palabras, si x · [y_{1}, y_{2}] = [x · y_{1}, y_{2}] + [y_{1}, x · y_{2}] ∀x ∈ 𝔤, y_{1}, y_{2} ∈ 𝔥.

(a) Probar que el producto semidirecto 𝔥 ⋊ 𝔤, definido como 𝔥 ⊕ 𝔤 como espacio vectorial y con el corchete dado por

[(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})] = ([x_{1}, x_{2}] + y_{1} · x_{2} − y_{2} · x_{1}, [y_{1}, y_{2}]) ∀x_{1}, x_{2} ∈ 𝔥, y_{1}, y_{2} ∈ 𝔤

da una estructura de álgebra de Lie. (Sug: una vez probado que es bilineal, para probar Jacobi alcanza con considerar los casos “3 elementos de 𝔥”, “2 elementos de 𝔥 y uno de 𝔤”, etc. Y dos de estos casos son inmediatos).

(b) Si 𝔤 ⊆ 𝔤𝔩_{V} con V un espacio vectorial, observar que se puede considerar 𝔥 = V como álgebra abeliana y esto encaja en la definición anterior. Definimos 𝔞𝔣𝔣_{n} = 𝕂^{n} ⋊ 𝔤𝔩_{n}. ¿Quién es 𝔞𝔣𝔣_{1}?