Grupos y Álgebras de Lie

Primer cuatrimestre 2005 Práctica 3 Álgebras de Lie, generalidades Fecha de entrega: ???

Los ejercicios a entregar están marcados con un asterisco.

(1) Sea W_{n} la representación irreducible de 𝔰𝔩_{2}(ℂ) de dim. n + 1. Probar que W_{n} es la n-ésima potencia simétrica de W_{1}.

(2) Sean V, W dos 𝔤-módulos de dimensión finita. Recordar que, como espacios vectoriales, Hom(V, W) ≃ W ⊗ V^{∗}.

(a) Probar que el isomorfismo anterior es de 𝔤-módulos.

(b) Probar que Hom_{𝔤}(V, W) coincide con el espacio de invariantes (Hom(V, W))^{𝔤}.

(3) Sea {e_{1}, ⋯, e_{d}} una base del 𝔤-módulo V, y sea {e^{1}, ⋯, e^{d}} la base dual. Probar que el elemento ∑_{i=1}^{d} e_{i}⊗ e^{i} ∈ V ⊗ V^{∗} es 𝔤-invariante. Probar que este elemento no depende de la base elegida (Sug: mirarlo en Hom(V, V)).

(4) Es 𝔤 un álgebra de Lie.

(a) Probar que U(𝔤) es un 𝔤-módulo con la adjunta. Esto es, si x ∈ 𝔤 y a ∈ U(𝔤) se toma x · a = xa − ax ∈ U(𝔤).

(b) Probar que la multiplicación m : U(𝔤) ⊗ U(𝔤) → U(𝔤), a ⊗ b ↦ ab es un morfismo de módulos.

(c) Probar que la inclusión de espacios vectoriales 𝔤 ↪ U(𝔤) es un morfismo de módulos (en 𝔤 se toma la

acción adjunta).

(5) Un álgebra de Lie 𝔤 dada es. Notamos con κ su forma de Killing, que induce una transformación lineal

α : 𝔤 → 𝔤^{∗} por

α(x)(y) = κ(x, y).

Probar que α es un morfismo de 𝔤-módulos.

(6) Dejemos a 𝔤 ser un álgebra de Lie semisimple (car 𝕂 = 0). Sea {e_{1}, ⋯, e_{d}} una base de 𝔤, y {e^{1}, ⋯, e^{d}} su base dual. Vimos que κ, su forma de Killing, es no degenerada. Observar que esto es equivalente a que α, del ejercicio 5, sea un isomorfismo. Sea entonces {f_{1}, ⋯, f_{d}} la base de 𝔤 dada por f_{i} = α^{−1}(e^{i}). Finalmente, sea el elemento c_{𝔤} = ∑_{i=1}^{d} e_{i}f_{i} ∈ U(𝔤). Usando los ejercicios se puede probar “de manera conceptual” que c_{𝔤} está en el centro de U(𝔤). Hacerlo. (Def: c_{𝔤} se llama “el Casimir” de 𝔤).

(7) Probar que el grupo de Weyl de tipo D_{n} se puede ver como el subrgupo de del grupo de Weyl de tipo B_{n} formado por los elementos con una cantidad par de cambios de signo.

(8) Sea W el grupo de Weyl de un sistema de raíces Δ, con descomposición en raíces positivas y negativas Δ_{+} ∪Δ_{−}. Sea Σ su conjunto de raíces simples. Notamos con ℓ la longitud de un elemento de W en términos de los s_{α} con α ∈ Σ.

(a) Probar que ℓ(w_{1}w_{2}) = ℓ(w_{1}) + ℓ(w_{2}) − 2#{β ∈ Δ_{+} | w_{1}β ∈ Δ_{−}, w_{2}^{−1}β ∈ Δ_{−}}.

(b) Si α ∈ Δ, probar que ℓ(ws_{α}) < ℓ(w) si wα ∈ Δ_{−} y ℓ(ws_{α}) > ℓ(w) si wα ∈ Δ_{+}. (*9) Una vez hechos todos los ejercicios anteriores, decir con sinceridad cuánto tiempo se invirtió en hacerlos.