REPRESENTACIONES DE GRUPOS FINITOS: NOTAS PARA LA MATERIA GRUPOS Y ÁLGEBRAS DE LIE

MATÍAS GRAÑA

1. Introducción. Creada originalmente para contestar una pregunta de Dedekind, la teoría de caracteres de grupos finitos fue introducida y trabajada por Frobenius en una serie de papers entre 1896 y 1899 (véase por ejemplo [8, 9]). Con el tiempo, los caracteres resultaron ser extremadamente ricos y se convirtieron en una de las herramientas fundamentales en la teoría de grupos. Es a través de los caracteres, por ejemplo, que Burnside pudo probar que todo grupo de orden p^{a}q^{b}, con p, q primos, es soluble. La intención de estas notas es presentar de manera breve esta teoría. Se incluyen ejercicios y “ejemplicios” (mezclas de ejercicios, ejemplos y suplicios).

En el pasado, editar unas notas como éstas era muy complicado. Los métodos de composición y reproducción eran caros, y solo buenas obras terminaban siendo publicadas. Hoy en día, la democratización que produjeron la computadora, el TEX y la impresora permite que vean la luz notas oscuras, mal redactadas y redundantes como la presente. El lector tiene la posibilidad de consultar la bibliografía y quedarse con la buena literatura que hay al respecto. Existiendo esa buena literatura, el autor no se hace cargo de los inconvenientes ocasionados por el uso de ésta.

2. Definición. Sea G un grupo. Una representación de G de grado n es un morfismo de grupos G ∋ g ↦ ρ(g) ∈ M_{n}(k), donde M_{n}(k) es el anillo de matrices de n × n a coeficientes en k. Si se quiere enfatizar el rol de k, se habla de “una representación sobre k”. El hecho de que se trate de un morfismo permite hacer algunas cuentas con los elementos del grupo usando las matrices que los representan. Por ejemplo, si se quiere saber si en G vale que gh = k, alcanza con ver que en una representación ρ se tiene ρ(g)ρ(h) ≠ ρ(k) para dar una respuesta negativa. O, si se tiene una representación fiel (inyectiva), se pueden hacer todas las cuentas del grupo con las matrices correspondientes. Dicho de otro modo, una representación fiel resuelve entre otras cosas el problema de la palabra. Un grupo se dice lineal si tiene una representación fiel.

Ejemplicio 2.1. Sea G el grupo con generadores x, y bajo las relaciones x^{2} = y^{2} = 1. Probar que G es infinito. (Sug: tomar la representación x ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ),

y ↦ ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & −1 \end{matrix} )).

Otra manera en que aparecen las representaciones es través de acciones. A menudo se tiene un espacio vectorial sobre el que actúa un grupo de manera lineal. En ese caso, si se toma una base del espacio, se puede ver la acción de cada elemento del grupo como una matriz. Estudiar entonces las representaciones del grupo en cuestión permite dar información sobre el espacio vectorial y la acción del grupo.

Ejemplicio 2.2. En un cubo hay un número real en cada cara. Todos los días se cambia el número de cada cara por el promedio de los de las cuatro caras contiguas. Encontrar el límite de este proceso. (Sug: considerar en ℝ^{6}, donde las 6-uplas se identifican con las configuraciones del cubo, la acción del grupo de simetrías del cubo. Descomponer ℝ^{6} = V^{+} ⊕ V^{−}, donde V^{+} son las configuraciones en las que cada cara tiene el mismo número que la opuesta y V^{−} son aquéllas en las que cada cara tiene “− el número de la opuesta”. A su vez, V^{+} se puede seguir descomponiendo como suma de dos subespacios estables por la acción del grupo).

3. Álgebra de grupo. Dado un grupo G y un cuerpo k, se considera el álgebra de grupo kG, que tiene como elementos las combinaciones lineales formales ∑_{g∈G} α_{g}e_{g}, donde α_{g} ∈ k y α_{g} = 0 salvo para finitos g ∈ G. La suma es la de espacios vectoriales, el producto está dado por la distributividad y por e_{g}e_{h} = e_{gh} ∀g, h ∈ G. A menudo se usará la notación g = e_{g}. Dicho esto, el elemento unidad de kG se puede escribir como

1 = e_{1} = 1 · e_{1} = 1 · 1

Como k ⊆ kG, un kG-módulo es automáticamente un k-espacio vectorial. Si M es un kG-módulo de dimensión finita (como k-e.v.), se puede restringir la acción de kG a G ⊂ kG, y se obtiene una representación de G. Recíprocamente, si se tiene una representación ρ de grado n, se toma M = k^{n} = k^{n×1} los vectores columna y se considera M como kG-módulo con la estructura dada por (∑_{g} α_{g}g)v = (∑_{g} α_{g}ρ(g))v.

Conclusión: es equivalente tener una representación de G sobre k de grado n a tener un kG-módulo de dimensión n. A menudo llamaremos representación a un kG-módulo M.

Dado entonces que las representaciones son módulos, tiene sentido tomar la suma directa de representaciones. Si ρ : G → End(M) es una representación y n ∈ ℕ, una notación conveniente es n · ρ = nρ := ρ ⊕ ⋯ ⊕ ρ (n veces). En términos de módulos, nρ es M ⊕ ⋯ ⊕ M (n veces). Si g ∈ G, la matriz de (nρ)(g) tiene n × n bloques, ρ(g) en la diagonal y 0 fuera.

4. Teorema de Maschke. Recordemos que dada un álgebra A, son equivalentes que

1. todos los A-módulos son proyectivos,

2. todos los A-módulos son inyectivos,

3. toda sucesión exacta corta se escinde,

4. todo submódulo de un módulo tiene un complemento,

5. todos los A-módulos son completamente reducibles,

6. A es completamente reducible como A-módulo. En este caso, el álgebra A se dice semisimple.

Teorema 4.1 (Maschke). Si G es un grupo finito y k es un cuerpo cuya característica no divide al orden de G, entonces el álgebra de grupo kG es semisimple.

Demostración. La demostración se hace con un recurso canónico cuando se trabaja con grupos finitos: promediar. Sea M un kG-módulo y N un submódulo. Sea π : M → N una proyección de k-espacios vectoriales. Para convertir π en un morfismo de módulos, se lo promedia:

π̃ : M → N,  π̃ = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} gπg^{−1},  es decir, π̃(m) = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} gπ(g^{−1}m).

Veamos que π es un morfismo de kG-módulos: si h ∈ G, se tiene

π̃(hm) = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} gπ(g^{−1}hm)

= \frac{1}{|G|}h ∑_{g∈G} h^{−1}gπ(g^{−1}hm) = \frac{1}{|G|}h ∑_{h^{−1}g=t∈G} tπ(t^{−1}m) = hπ̃(m).

Por otra parte, es claro que la imagen de π̃ está contenida en N, y si n ∈ N se tiene

π̃(n) = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} gπ(g^{−1}n) = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} gg^{−1}n = n.

Esto prueba que toda sucesión exacta corta se escinde. □

Ejemplicio 4.2. Para n ∈ ℕ, C_{n} denota el grupo cíclico de n elementos. Fijemos un generador de C_{n}, g, y supongamos que en k hay una raíz n-ésima primitiva de 1, ω. Probar que, para 0 ≤ i < n, el morfismo ρ_{i} : C_{n} → k, ρ_{i}(g^{j}) = ω^{ij} da una representación de C_{n} de grado 1. Probar que ρ_{i} ≃ ρ_{j} ⟺ i = j. Probar que estas son todas las representaciones irreducibles de C_{n} (módulo isomorfismo). En otras palabras, probar que si ρ es una representación de C_{n}, entonces ρ ≃ ⊕_{0≤i<n}m_{i}ρ_{i}, donde m_{i} ∈ ℕ_{0}.

Recordemos que el teorema de Wederburn dice que una k-álgebra semisimple de dimensión finita A es un producto de álgebras de matrices sobre extensiones de k. Si las extensiones son de grado g_{i} (i = 1, …, r) y las matrices son de tamaño n_{i}, entonces

dim A = ∑_{i=1}^{r} g_{i}n_{i}^{2}.

Por otra parte, cada una de las álgebras de matrices está asociada a uno de los módulos irreducibles de A. Y en la descomposición de A como suma directa de módulos irreducibles, cada módulo M_{i} aparece n_{i} veces (tantas como el tamaño de las matrices a las que está asociado). Por último, si k es algebraicamente cerrado, las extensiones son triviales (de grado 1), por lo que

(1)  dim A = ∑_{i=1}^{r} n_{i}^{2}.

Ejemplicio 4.3. Dado n ∈ ℕ, observar que sgn : 𝕊_{n} → k (sgn el signo) da una representación de 𝕊_{n} de grado 1. Para n = 3, hay una representación de grado 2:

ρ(1 2) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ρ(1 2 3) = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) .

Probar que esto define una representación y que es irreducible. Notar que por (1) estas son todas las representaciones irreducibles de k𝕊_{3}, ya que 6 = 1^{2} + 1^{2} + 2^{2}.

5. Representaciones trivial y regular, representación dual. Esta sección es trivial: todo grupo tiene una representación trivial. Se toma M = k como espacio de la representación, y todos los elementos actúan por la identidad. Esto es,

(∑_{g∈G} α_{g}g) · t = (∑_{g∈G} α_{g})t.

Dado un kG-módulo M, se nota por M^{G} el submódulo más grande isomorfo a una suma de representaciones triviales. En otras palabras,

(2)  M^{G} = {m ∈ M | g · m = m ∀g ∈ G}.

Los elementos de M^{G} se suelen denominar los invariantes de M por la acción de G.

Otra representación usual es la representación regular. Se toma M = kG y G actúa por multiplicación a izquierda. Esto es, g · (∑_{h∈H} α_{h}h) = ∑_{h∈G} α_{h}gh. En rigor, esta representación se puede definir (y se lo hace, claro) para cualquier álgebra.

No tan trivial: si M es una representación de G, se llama representación dual (o contragradiente) al módulo M^{∗} que es el dual de M como espacio vectorial, y donde (g · f)(m) := f(g^{−1} · m).

Ejercicio 5.1. Probar que la representación dual M^{∗} es realmente una representación. Observar que si se toma una base {m_{i}} de M y su base dual {m^{i}} de M^{∗}, la matriz de ρ_{M^{∗}}(g) en la base {m^{i}} es la inversa traspuesta de la de ρ_{M}(g) en la base {m_{i}}.

6. Lema de Schur. La siguiente observación es de extrema utilidad y vale para un álgebra A cualquiera. Sean M, N dos A-módulos irreducibles. Entonces un morfismo f : M → N no trivial es un isomorfismo. La demostración es elemental: ker f ⊆ M e im f ⊆ N son submódulos. Por la irreducibilidad de M y N, si f no es 0 entonces es mono y epi. En particular, Hom_{A}(M, M) es un álgebra de división. Si k es algebraicamente cerrado y M es de dimensión finita, Hom_{A}(M, M) ≃ k.

Ejercicio 6.1. Probar la última afirmación.

7. Producto tensorial de representaciones. Recuérdese que dados dos kespacios vectoriales V, W el producto tensorial V ⊗ W es el espacio vectorial generado por elementos v ⊗ w con v ∈ V, w ∈ W, bajo las relaciones (λv) ⊗ w = λ(v ⊗ w) = v ⊗ (λw), (v + v′) ⊗ w = v ⊗ w + v′ ⊗ w, v ⊗ (w + w′) = v ⊗ w + v ⊗ w′. En particular, si {v_{i}, i ∈ I} es base de V y {w_{j}, j ∈ J} es base de W, entonces {(v_{i} ⊗ w_{j}), i ∈ I, j ∈ J} es base de V ⊗ W. Si M, N son dos representaciones de G, el producto tensorial M ⊗ N es también una representación de G. Los elementos de G actúan en M ⊗ N “de forma diagonal”. Explícitamente,

g(m ⊗ n) = gm ⊗ gn ∀g ∈ G, m ∈ M, n ∈ N.

Ejercicio 7.1. Si M ó N tienen dimensión finita, probar que se tiene un isomorfismo de espacios vectoriales Hom(M, N) ≃ N ⊗ M^{∗}.

En Hom(M, N) se considera la estructura de kG-módulo dada por (g · f)(m) = g · f(g^{−1} · m).

Ejercicio 7.2. Probar que es realmente una estructura. Probar que el isomorfismo del ejercicio anterior es un isomorfismo de kG-módulos, tomando a la derecha la acción diagonal entre N y el dual M^{∗}.

8. Caracteres: definición. Una de las herramientas básicas en la teoría de representaciones de grupos (y a la postre en la teoría de grupos) son los caracteres. Sea M un kG-módulo de dimensión finita, mirado como representación vía ρ : G → End(M). Cada g ∈ G actúa en M por una transformación lineal, y podemos tomarle la traza (que no depende de elecciones de bases). Definimos entonces

(3)  χ_{M} : G → k,  χ_{M}(g) = tr(ρ(g)).

Observación: si g y h son conjugados (es decir, si ∃k ∈ G tal que h = kgk^{−1}), entonces χ_{M}(g) = χ_{M}(h) para toda representación M. Luego, alcanza con calcular un caracter en un elemento de cada clase de conjugación.

Ejemplo 8.1. Recordemos que las clases de conjugación de 𝕊_{n} están dadas por las particiones de n. Específicamente, si n = m_{1}+m_{2}+⋯+m_{ℓ}, la clase de conjugación que le corresponde es la de las permutaciones cuya escritura como productos de ciclos disjuntos es con ciclos de longitudes m_{1}, m_{2}, …, m_{ℓ}. En particular, 𝕊_{3} tiene tres clases de conjugación:

{e} ↭ (3 = 1 + 1 + 1),
{(1 2), (1 3), (2 3)} ↭ (3 = 2 + 1),
{(1 2 3), (1 3 2)} ↭ (3 = 3).

Calculamos entonces los caracteres de ε la representación trivial, sgn la representación signo, y ρ la representación de 4.3.

e (1 2) (1 2 3)
ε 1 1 1
sgn 1 −1  1
ρ 2  0  −1

Puede notarse que esta matriz es inversible. Esto se probará en breve en general.

Observación: es evidente que χ_{M}(e) da el grado de la representación M.

Ejercicio 8.2. Describir la tabla de caracteres del grupo cíclico C_{n} y probar que es una matriz inversible.

9. Caracteres de suma y producto. Notamos con Fun(G, k) el espacio vectorial de funciones G → k. Este espacio tiene una estructura de álgebra, multiplicando funciones punto a punto. Dadas dos representaciones de G, ρ_{M} : G → End(M) y ρ_{N} : G → End(N), podemos considerar sus caracteres χ_{M} y χ_{N} como elementos de Fun(G, k). Sea g ∈ G, y miremos ρ_{M⊕N}(g) ∈ End(M ⊕ N). Si tomamos una base {m_{i}, i ∈ I} de M y otra {n_{j}, j ∈ J} de N, es claro que en la base {m_{i}, n_{j}} la matriz de ρ_{M⊕N}(g) es en bloques, y que su traza es la suma de la traza en M y la traza en N. Esto es,

χ_{M⊕N} = χ_{M} + χ_{N} ∈ Fun(G, k).

Tomamos ahora la base {m_{i} ⊗ n_{j}, (i, j) ∈ I × J}. Si escribimos los coeficientes matriciales ρ_{M}(g)(m_{i}) = ∑_{k} ρ_{M}^{ki}(g)m_{k}, tenemos que χ_{M}(g) = ∑_{k} ρ_{M}^{kk}(g). Hacemos lo mismo con N, y χ_{N}(g) = ∑_{l} ρ_{N}^{ll}(g). Además,

ρ_{M⊗N}(g)(m_{i} ⊗ n_{j}) = (ρ_{M}(g)(m_{i})) ⊗ (ρ_{N}(g)(n_{j})) = ∑_{k,l}(ρ_{M}^{ki}(g)m_{i}) ⊗ (ρ_{N}^{lj}(g)n_{l}),

por lo que

χ_{M⊗N}(g) = ∑_{k,l} ρ_{M}^{kk}(g)ρ_{N}^{ll}(g) = χ_{M}(g)χ_{N}(g),

esto es,

χ_{M⊗N} = χ_{M}χ_{N} ∈ Fun(G, k).

Ejemplicio 9.1. Sea ρ la representación irreducible de grado 2 de 𝕊_{3}. Calcular cómo se descomponen en suma directa de representaciones irreducibles los productos tensoriales ρ ⊗ ρ y ρ ⊗ ρ ⊗ ρ.

Ejercicio 9.2. Sean 𝔻_{4} y ℍ los grupos diedral (de 8 elementos) y cuaterniónico respectivamente. Encontrar para cada uno cuatro representaciones irreducibles de grado 1 y una irreducible de grado 2 (en este caso se puede tomar k = ℂ o un cuerpo con raíces cuadradas de −1).

10. Los subespacios Hom_{G} y Hom^{G}. Si M, N son dos representaciones de G, podemos tomar Hom(M, N) el espacio de transformaciones lineales de M a N, y Hom_{G}(M, N) el espacio de morfismos de representaciones, i.e.,

Hom_{G}(M, N) = {f ∈ Hom(M, N) | f(g · m) = g · f(m)}.

Recordemos del ejercicio 7.2 la estructura de módulo de Hom(M, N). Dentro de este espacio tenemos dos subespacios importantes: Hom_{G}(M, N) y los invariantes (Hom(M, N))^{G} (mirar la sección 2). Observamos, entonces, que estos subespacios coinciden:

f ∈ Hom_{G}(M, N) ⟺ f(gm) = gf(m) ∀m ∈ M, g ∈ G
⟺ f(g^{−1}m) = g^{−1}f(m) ∀m ∈ M, g ∈ G
⟺ gf(g^{−1}m) = f(m) ∀m ∈ M, g ∈ G
⟺ g · f = f ∀g ∈ G
⟺ f ∈ (Hom(M, N))^{G}.

Supongamos ahora que M y N son irreducibles. Por el lema de Schur, si k es algebraicamente cerrado,

dim Hom_{G}(M, N) = δ_{M,N}

(si k no es algebraicamente cerrado, sigue valiendo dim Hom_{G}(M, N) = 0 ⟺ M ≄ N). En otras palabras, en la representación Hom(M, N) aparece la representación trivial una vez si M ≃ N y ninguna vez si M ≄ N.

11. Proyección sobre los invariantes. De ahora en adelante, G es un grupo finito, k es algebraicamente cerrado y car k ∤ |G|. Tomamos Λ = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} g ∈ kG. Afirmamos que si M es un kG-módulo, entonces M^{G} = im(Λ), viendo Λ ∈ End(M).

Demostración. Si m ∈ M, queremos ver que Λm ∈ M^{G}. Calculamos

g(Λm) = g(\frac{1}{|G|} ∑_{h∈G} h)m = \frac{1}{|G|} ∑_{h∈G} ghm = \frac{1}{|G|} ∑_{h∈G} hm = Λm.

Recíprocamente, sea m ∈ M^{G}. Entonces Λm = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} gm = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} m = m, por lo que m ∈ ΛM. □

La última cuenta de la prueba indica además que Λ ∈ End(M) es un proyector. Por lo tanto, la dimensión de su imagen coincide con su traza (piénsese en la matriz de un proyector tomando una base compuesta por vectores de la imagen y vectores del núcleo). Conclusión:

(4)  dim M^{G} = tr(Λ) = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} tr(g) = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} χ_{M}(g).

Ejemplicio 11.1. Probar que si ρ es la representación irreducible de grado 2 de 𝕊_{3}, entonces la representación trivial aparece (2^{n} + (−1)^{n}2)/6 veces en ρ^{⊗n}.

12. Caracter del Hom. De ahora en adelante, k = ℂ. Ya vimos (ver 7.2) que Hom(M, N) ≃ N ⊗ M^{∗} como representaciones de G. Luego,

χ_{Hom(M,N)} = χ_{N⊗M^{∗}} = χ_{N}χ_{M^{∗}},

por lo que sería útil tener χ_{M^{∗}}. Ahora bien, si g ∈ G, como G es finito tenemos g^{n} = 1 para algún n ∈ ℕ, y por lo tanto ρ_{M}(g)^{n} = 1. Luego, ρ_{M}(g) es diagonalizable, y su traza es la suma de sus autovalores. Por otra parte, sus autovalores tienen módulo 1 (pues son raíces n-ésimas de la unidad). Así las cosas, ρ_{M}(g^{−1}) es diagonalizable y sus autovalores son los inversos (y por lo tanto los conjugados) de los de ρ_{M}(g). Luego, χ_{M}(g^{−1}) = \overline{χ_{M}(g)}. Es claro además que la acción de g en M^{∗} es la traspuesta de la acción de g^{−1} en M (mirar la definición en la sección 5). Esto dice que

(5)  χ_{M^{∗}} = \overline{χ_{M}}.

Finalmente, entonces, χ_{Hom(M,N)} = χ_{N} \overline{χ_{M}}. Resumiendo lo dicho en la sección 10 y usando (4), obtenemos:

Proposición 12.1. Si M, N son irreducibles, entonces

\frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} \overline{χ_{M}(g)}χ_{N}(g) = \begin{cases}1 & si M ≃ N, \\ 0 & si M ≄ N. \end{cases}

13. Producto interno en Fun(G, ℂ) y funciones centrales. Por lo anterior, es claro que conviene definir en Fun(G, ℂ) el producto interno (hermitiano)

(f_{1} | f_{2}) = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} \overline{f_{1}(g)}f_{2}(g).

Si tenemos un conjunto de representaciones irreducibles de G no isomorfas entre sí, por 12.1 sus caracteres serán un conjunto ortonormal de Fun(G, ℂ) con este producto interno. Veremos que los caracteres generan un subespacio particularmente importante: el de las funciones centrales. Una función central de G es simplemente una función G → k que es constante en cada clase de conjugación. En otras palabras, f : G → k es central si y solo si f(gh) = f(hg) ∀g, h ∈ G. Ya observamos que los caracteres son funciones centrales. Afirmamos que si f ∈ Fun(G, ℂ) es central y es ortogonal a todos los caracteres, entonces es trivial. Por la no degeneración de ( | ), esto probará que los caracteres generan las funciones centrales.

Demostración. Tomamos el elemento Λ_{f} = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} f(g)g^{−1} ∈ ℂG. Para mostrar que f = 0, alcanza con probar que Λ_{f} actúa por 0 en cualquier representación de G (¿por qué?). Para esto, gracias al teorema de Maschke, alcanza con probarlo en cualquier representación irreducible. Primero, veamos que Λ_{f} ∈ Z(ℂG), el centro de ℂG:

Λ_{f}h = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} f(g)g^{−1}h = \frac{1}{|G|} ∑_{h^{−1}gh=t∈G} f(hth^{−1})ht^{−1}

= h\frac{1}{|G|} ∑_{t∈G} f(t)t^{−1} = hΛ_{f}.

Si M es irreducible, por el lema de Schur Λ_{f} ∈ End(M) actúa por un escalar, y por lo tanto actúa por 0 si y solo si su traza es 0. Veamos que tr(Λ_{f}) = 0:

tr(Λ_{f}) = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} f(g)χ_{M}(g^{−1}) = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} f(g)\overline{χ_{M}(g)} = (χ_{M} | f) = 0.

□

Hemos probado que si M_{1}, …, M_{θ} son representantes de las clases de isomorfismo de las representaciones irreducibles de G sobre ℂ, entonces ρ_{M_{1}}, …, ρ_{M_{θ}} son una base ortonormal del espacio de funciones centrales. Como la dimensión del espacio de funciones centrales coincide con la cantidad de clases de conjugación de G, resulta:

Proposición 13.1. Hay tantas representaciones irreducibles como clases de conjugación.

Así, la tabla de caracteres de un grupo es siempre cuadrada; y por último vemos que como las filas son un conjunto ortonormal, la tabla, vista como matriz, es inversible.

Ejemplicio 13.2. Corroborar que las filas de la tabla en el ejercicio 8.1 son una base ortonormal de las funciones centrales en Fun(𝕊_{3}, ℂ) (hay que tener en cuenta el cardinal de cada clase de conjugación).

Ejercicio 13.3. Encontrar las tablas de caracteres de 𝔻_{4} y ℍ (mirar el ejercicio 9.2). Probar que las categorías de módulos sobre ℂ𝔻_{4} y ℂℍ son indistinguibles.

14. Un ejemplo: las representaciones de 𝕊_{4}. Como todo grupo simétrico, 𝕊_{4} tiene además de la representación trivial la representación signo. Podemos también conseguir una representación de dimensión 2 a partir de ρ, la representación de 𝕊_{3} de 4.3: dentro de 𝕊_{4} está el subgrupo de Klein, una copia de C_{2} × C_{2}, dada por la identidad y los productos de dos trasposiciones disjuntas,

𝕊_{4} ⊃ K = {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}.

Este subgrupo es normal, y el cociente 𝕊_{4}/K es isomorfo a 𝕊_{3}. Podemos calcular exactamente el isomorfismo anterior si pensamos, por ejemplo, en cómo actúa 𝕊_{4} en el conjunto de particiones

{ A = ({1, 2}{3, 4}), B = ({1, 3}{2, 4}), C = ({1, 4}{2, 3}) }

Entonces, por ejemplo, el elemento (1 2 4) va a parar a (A B C), ya que (1 2 4) manda {1, 2} a {2, 4} y {3, 4} a {3, 1}. Si hemos de calcular el caracter de esta representación, alcanza con calcular la imagen de un elemento por cada clase de conjugación. Ya calculamos la imagen de un triciclo, falta ver la imagen de una trasposición, dos trasposiciones disjuntas, y un cuatriciclo. Y vemos que (1 2) ↦ (B C), (1 2)(3 4) ↦ e, (1 2 3 4) ↦ (A C). Como el morfismo 𝕊_{4} → 𝕊_{3} es epi y ρ es irreducible, esta representación también lo es. Llamaremos ρ̃ a esta representación.

Como dijimos ayer, 𝕊_{n} tiene tantas clases de conjugación (y, a la postre, representaciones irreducibles) como particiones de n. Para n = 4, tenemos

4 = 1 + 1 + 1 + 1
4 = 2 + 1 + 1
4 = 2 + 2
4 = 3 + 1
4 = 4

por lo que nos faltan dos representaciones irreducibles. Pongamos d_{4} y d_{5} los grados de estas representaciones. Por (1), tenemos 24 = |𝕊_{4}| = 1+1+4+d_{4}^{2} +d_{5}^{2}. La única solución de esta ecuación es d_{4} = d_{5} = 3.

Tomemos ahora la acción natural de 𝕊_{4} en ℂ^{4} cambiando las coordenadas. Es decir,

σ(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (x_{σ1}, x_{σ2}, x_{σ3}, x_{σ4}).

Llamemos t a esta representación. Su caracter es fácil de calcular:

χ_{t}(e) = 4, χ_{t}((1 2)) = 2, χ_{t}((1 2)(3 4)) = 0,

χ_{t}((1 2 3)) = 1, χ_{t}((1 2 3 4)) = 0.

Es claro que t = ε ⊕ t_{0}, donde ε es el submódulo {(x, x, x, x)} y t_{0} el submódulo {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) | ∑ x_{i} = 0}. Entonces χ_{t_{0}} = χ_{t} − χ_{ε}, por lo que

χ_{t_{0}}(e) = 3, χ_{t_{0}}((1 2)) = 1, χ_{t_{0}}((1 2)(3 4)) = −1,

χ_{t_{0}}((1 2 3)) = 0, χ_{t_{0}}((1 2 3 4)) = −1.

Ejemplicio 14.1. Probar que t_{0} es irreducible (sale muy fácil leyendo la sección siguiente, lo divertido es hacerlo sin mirar).

Ya tenemos una de las representaciones irreducibles que estábamos buscando. La última se puede conseguir usando el producto tensorial. En general, el producto tensorial de dos representaciones irreducibles no es necesariamente irreducible. Pero sí lo es si alguna de las dos representaciones tiene grado 1.

Ejercicio 14.2. Probarlo.

Podemos entonces tensorizar t_{0}⊗sgn y obtenemos una representación irreducible. Para ver que es distinta de las otras basta mirar su caracter. La tabla de caracteres de 𝕊_{4} queda entonces

1 + 1 + 1 + 1  2 + 1 + 1  2 + 2  3 + 1  4
#  1  6  3  8  6
ε  1  1  1  1  1
sgn  1  −1  1  1  −1
ρ̃  2  0  2  −1  0
t_{0}  3  1  −1  0  −1
t_{0} ⊗ sgn  3  −1  −1  0  1

(En la segunda línea se puso el cardinal de cada clase de conjugación).

Ejemplicio 14.3. Corroborar que es una base ortonormal de las funciones centrales de 𝕊_{4}.

15. Irreducibilidad, proyectores y caracteres. Hay un criterio elemental para saber si una representación es irreducible. Ya vimos que los caracteres de representaciones irreducibles son un conjunto ortonormal. Luego, si M = ⊕_{i}m_{i}M_{i}, donde m_{i} ∈ ℕ y M_{i} son irreducibles y distintas, se tiene

(χ_{M} | χ_{M}) = (∑_{i} m_{i}χ_{M_{i}} | ∑_{j} m_{j}χ_{M_{j}}) = ∑_{i,j} m_{i}m_{j}(χ_{M_{i}} | χ_{M_{j}}) = ∑_{i} m_{i}^{2},

con lo que M es irreducible si y solo si (χ_{M} | χ_{M}) = 1. En particular, esto prueba inmediatamente que la representación t_{0} de la sección anterior es irreducible, ya que

(χ_{t_{0}} | χ_{t_{0}}) = \frac{1}{24} (3^{2} · 1 + 1^{2} · 6 + (−1)^{2} · 3 + 0^{2} · 8 + (−1)^{2} · 6) = 1.

Otra pregunta que puede responderse es ¿cuántas veces aparece la representación irreducible M_{j} en M? La ortonormalidad de los caracteres dice que

(χ_{M} | χ_{M_{j}}) = ∑_{i} m_{i}(χ_{M_{i}} | χ_{M_{j}}) = m_{j},

con lo que la respuesta es simplemente (χ_{M} | χ_{M_{j}}). En particular, recuperamos sin usar el teorema de Wedderburn para el caso A = ℂG lo siguiente:

Proposición 15.1. Sea M = ℂG la representación regular. Entonces M = ⊕_{i}m_{i}M_{i} (donde las M_{i} son representantes de las irreducibles) con m_{i} = dim M_{i}. En otras palabras, cada representación iireducible aparece en la regular tantas veces como su dimensión.

Demostración. Basta observar que, tomando como base de ℂG al conjunto G, la matriz de la acción de g ∈ G en ℂG es de permutación. Más aun, si g ≠ e se tiene gh ≠ h, por lo que la matriz de g tiene ceros en la diagonal. Y si g = e, la matriz de g es la identidad de tamaño |G|. Así,

χ_{M}(g) = \begin{cases}|G| & si g = e, \\ 0 & si g ≠ e. \end{cases}

Entonces

m_{i} = (χ_{M} | χ_{M_{i}}) = \frac{1}{|G|} ∑_{g} \overline{χ_{M}(g)}χ_{M_{i}}(g)
= χ_{M_{i}}(e) = dim M_{i}.
□

Por último, ¿cómo se calcula la proyección en las componentes isotípicas M → m_{i}M_{i}? Si se toma la representación trivial ya sabemos por la sección 11 que el proyector sobre la componente correspondiente está dado por Λ = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} g. Este elemento se parece notablemente al caracter de la representación trivial. Podemos tomar, como lo hicimos también en la sección 13, Λ_{i} = \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} χ_{M_{i}}(g)g^{−1}. Como χ_{M_{i}} es central, Λ_{i} está en el centro de kG:

Ejercicio 15.2. Probar que f : G → k es central sii ∑_{g∈G} f(g)g ∈ Z(kG) (la parte (⇒) está hecha en la sección 13).

Luego, Λ_{i} actúa en cada representación por un morfismo de kG-módulos. Veamos cómo actúa Λ_{i} en cada representación irreducible M_{j}. Por el Lema de Schur, actúa por un escalar; y por lo tanto podemos recuperar el escalar dividiendo la traza de Λ_{i} en M_{j} por la dimensión de M_{j}. Sea d_{j} = dim M_{j}; tenemos

Λ_{i}|_{M_{j}} = \frac{1}{d_{j}} tr(Λ_{i}) = \frac{1}{d_{j}|G|} ∑_{g∈G} χ_{M_{i}}(g) tr(g^{−1}|_{M_{j}}) = \frac{1}{d_{j}|G|} ∑_{g∈G} χ_{M_{i}}(g)χ_{M_{j}}(g^{−1})

= \frac{1}{d_{j}|G|} ∑_{g∈G} χ_{M_{i}}(g)\overline{χ_{M_{j}}(g)} = \frac{1}{d_{j}} (χ_{M_{j}} | χ_{M_{i}})

= \frac{1}{d_{j}} δ_{i,j}.

Conclusión: el proyector sobre m_{i}M_{i} está dado por d_{i}Λ_{i}.

Ejemplicio 15.3. Sea en ℂ^{n} la acción de 𝕊_{n} dada por

σ(x_{1}, …, x_{n}) = (x_{σ1}, …, x_{σn}).

Encontrar la cantidad de veces que aparecen la representación trivial y la signo en este módulo.

Ejercicio 15.4. Encontrar la tabla de caracteres de 𝕊_{5} (se puede hacer a mano. Sug: considerar la representación del ej. 15.3). Más difícil: realizar las representaciones irreducibles de 𝕊_{5}.

16. Teorema de Burnside. Como ejemplo de la teoría de caracteres, podemos probar el teorema de Burnside:

Teorema 16.1. Sea G un grupo finito y M una representación irreducible de G sobre ℂ. Entonces dim M divide a |G|.

Demostración. Numeramos las clases de conjugación de G y las llamamos C_{1}, …, C_{r}. Numeramos también las representaciones irreducibles de G sobre ℂ y las llamamos M_{1}, …, M_{r}. Para i = 1, …, r, ponemos

Z_{i} = ∑_{g∈C_{i}} g,

que está en el centro de ℂG. Más aun, todo elemento del centro de ℂG se escribe como combinación lineal de los Z_{i}. Entonces existen enteros α_{ij}^{k} tales que

Z_{i}Z_{j} = ∑_{k=1}^{r} α_{ij}^{k}Z_{k} ∈ ℂG.

La entereza de los α_{ij}^{k} es inmediata una vez que se nota que Z_{i}Z_{j} es una combinación lineal entera (e incluso con coeficientes en ℕ_{0}) de los elementos de g.

Por otra parte, por estar Z_{j} en el centro y por ser M_{i} irreducible, el lema de Schur dice que Z_{j} actúa por un escalar en M_{i}. Llamemos ρ_{i} : G → End(M_{i}) a la representación de G dada por M_{i}. Entonces ρ_{i}(Z_{j}) es escalar. Llamamos λ_{ij} a ese escalar. Podemos calcular λ_{ij} por

λ_{ij} = \frac{1}{dim M_{i}} tr ρ_{i}(Z_{j}) = \frac{1}{dim M_{i}} χ_{i}(Z_{j}) = \frac{∑_{g∈C_{j}} χ_{i}(g)}{dim M_{i}} = \frac{|C_{j}|χ_{i}(g_{j})}{dim M_{i}},

donde g_{j} ∈ C_{j} es un elemento cualquiera de la clase C_{j}.

Miremos ahora ρ_{s}(Z_{i}Z_{j}) = ρ_{s}(Z_{i})ρ_{s}(Z_{j}), que es nuevamente una matriz escalar. Obtenemos

λ_{si}λ_{sj} = ρ_{s}(∑_{k=1}^{r} α_{ij}^{k}Z_{k}) = ∑_{k=1}^{r} α_{ij}^{k}λ_{sk}.

Si v = (λ_{s1}, …, λ_{sr})^{t} ∈ ℂ^{r×1} un vector columna, y A ∈ ℂ^{r×r}, A_{jk} = α_{ij}^{k}, la igualdad anterior dice Av = λ_{si}v, por lo que λ_{si} es un autovalor de A si logramos probar que v ≠ 0. Esto último es sencillo: tomando la clase de conjugación de e ∈ G, supongamos que es Z_{1}, tenemos λ_{s1} = ρ_{s}(e) = dim M_{s} ≠ 0. Como A ∈ ℤ^{r×r}, su característico es un polinomio mónico con coeficientes enteros, y dado que λ_{si} es una raíz de este polinomio, resulta ser un entero algebraico ∀s, i (recordemos que los enteros algebraicos son las raíces de polinomios mónicos con coeficientes enteros, que forman un subanillo de los complejos y que si un entero algebraico es racional, entonces es entero).

Por otra parte, χ_{i}(g_{j}) es una suma de raíces de la unidad, así que es también un entero algebraico, y entonces también lo es \overline{χ_{i}(g_{j})}. Luego,

∑_{j=1}^{r} λ_{ij}\overline{χ_{i}(g_{j})} = ∑_{j=1}^{r} \frac{|C_{j}|χ_{i}(g_{j})\overline{χ_{i}(g_{j})}}{dim M_{i}} = |G|\frac{(χ_{i} | χ_{i})}{dim M_{i}} = \frac{|G|}{dim M_{i}}

es un entero algebraico. Pero también es un racional, y por lo tanto es entero. □

17. Potencias simétricas y exteriores. Dado un espacio vectorial V, notamos V^{⊗n} = V ⊗ ⋯ ⊗ V (n veces). Dentro de V^{⊗n} viven dos subespacios importantes, definidos a continuación. El grupo simétrico 𝕊_{n} actúa en V^{⊗n} por

(6)  σ · (v_{1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{n}) = v_{σ1} ⊗ ⋯ ⊗ v_{σn}.

La n-ésima potencia simétrica de V es el subespacio de V^{⊗n} de los invariantes por esta acción. La n-ésima potencia antisimétrica (o exterior) de V es el subespacio de V^{⊗n} de los “antiinvariantes” por esta acción. Explícitamente:

S^{n}(V) = (V^{⊗n})^{𝕊_{n}} = {x ∈ V^{⊗n} | σx = x ∀σ ∈ 𝕊_{n}},
Λ^{n}(V) = {x ∈ V^{⊗n} | σx = sgn(σ)x ∀σ ∈ 𝕊_{n}}.

Ejemplicio 17.1. Probar que si car k = 0, entonces

S^{n}(V) = im(S),  S = \frac{1}{n!} ∑_{σ∈𝕊_{n}} σ,

Λ^{n}(V) = im(A),  A = \frac{1}{n!} ∑_{σ∈𝕊_{n}} sgn(σ)σ.

Las representaciones S^{n}(V) y Λ^{n}(V), a diferencia de las que vimos antes, tienen una particularidad: no se pueden leer de la tabla de caracteres.

Ejemplicio 17.2. Sean t_{1}, t_{2} las representaciones irreducibles de grado 2 de 𝔻_{4} y ℍ respectivamente (mirar 9.2). Probar que, pese a que las tablas de caracteres de 𝔻_{4} y ℍ coinciden, Λ^{2}(t_{1}) y Λ^{2}(t_{2}) corresponden a “distintas filas”.

Como conclusión: a veces mirar las representaciones con sumas directas y productos tensoriales solamente no alcanza para determinar un grupo. Si agregamos las potencias simétricas y exteriores, realmente tenemos más información.

Referencias

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[9] T. Y. Lam, Representations of finite groups: a hundred years. II. Notices Amer. Math. Soc. 45 (1998), no. 4, 465–474.

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