El objetivo del curso será dar una aproximación a problemas de matemática presentados en la industria, por medio del estudio de algunos ejemplos reales. El análisis de problemas del mundo real, en un contexto industrial, requiere de la capacidad de manejar varios aspectos muy diferentes.

En primer lugar figura la comprensión del problema a estudiar, la determinación de las variables que intervienen, y de las magnitudes que es necesario estimar.

En segundo lugar, juega un rol importante la concepción de un modelo matemático adecuado. En general hay muchos modelos matemáticos distintos compatibles con el problema que se quiere estudiar, algunos de ellos extraordinariamente complejos y difíciles de resolver. La adecuación del modelo matemático al problema significa que permite recuperar los aspectos de interés, siendo a la vez suficientemente sencillo como para poder ser analizado y resuelto aproximadamente.

En tercer término, es necesario analizar el modelo matemático en cuestión, aproximar sus soluciones de alguna manera, habitualmente por medio de una computadora, y predecir resultados concretos que ayuden en la cuarta etapa: la mejora, el control, etc., de los procesos industriales involucrados.

En el curso se analizarán varios ejemplos de interés industrial real, como el funcionamiento de los convertidores catalíticos de los automóviles, la modelización del proceso de fotocopiado, problemas de crecimiento de cristales, y algunos relacionados con la industria siderúrgica en los que estoy actualmente involucrado. Como el objetivo del curso es recorrer juntos el camino descripto, desde el problema hasta los resultados concretos, en los ejemplos citados, introduciremos de paso las herramientas matemáticas necesarias, tanto para el análisis de los modelos, como para la aproximación numérica de las soluciones. La implementación de programas en la computadora que permitan resolver los problemas considerados será un aspecto importante. Utilizaremos para ello el lenguaje Matlab, que permitirá obtener resultados numéricos concretos con relativamente poco esfuerzo de programación.

El nivel del curso está dirigido a alumnos de los dos o tres últimos años de las licenciaturas en matemática y física; haremos uso de herramientas de ecuaciones ordinarias, en derivadas parciales, y de cálculo numérico, pudiendo algunos de los temas servir de germen para el desarrollo de tesis de licenciatura y de eventuales trabajos posteriores. La participación de estudiantes de doctorado será bienvenida, ya que encontrarán temas a lo largo del curso en los cuales profundizar, y que podrán dar lugar a trabajo posterior, tanto desde el punto de vista teórico como de las aplicaciones.

Estudio del problema y de sus bases físicas. Maduración de Ostwald. Un modelo elemental. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Algunos métodos numéricos para aproximar sus soluciones. Aplicación a cristales de un mismo tamaño. Aplicación a cristales de diferentes tamaños.

Modelo elemental: la ecuación de transporte. Métodos numéricos para la ecuación de transporte. Ecuación de transporte y difusión. Métodos numéricos. Criterios de estabilidad. Estabilidad, consistencia, convergencia.

Modelo matemático. La ecuación del calor. El efecto de proximidad. Inclusión de retrodispersión. Experimentos numéricos. Series de Fourier. Sumabilidad de series de Fourier.

Un modelo. El problema de control. Un problema simplificado. Cálculo de variaciones. La ecuación de Euler Lagrange. Un problema simple de control. Control óptimo.

Introducción. La máquina de fotocopiado. Principio de funcionamiento. La imagen eléctrica. Resolución numérica de la ecuación de Poisson. Aplicaciones.

Proceso Sendzimir para galvanizado continuo. Distintos problemas para modelizar. Modelización de hornos túnel. Intercambios radiativos en cavidades. Intercambios convectivos. Combinación de modos de transmisión de calor. Enfriamiento forzado. El problema de solidificación. Distintos problemas de control.