Teoría de álgebras

Segundo Cuatrimestre 2004 Lista de ejercicios N^{o} 1. 1/9/04. Generalidades

Notaciones generales: 𝕂 es un cuerpo, Hom = Hom_{𝕂}.

(1) Sea A una 𝕂-álgebra y M un A-módulo.

(a) Supongamos que A es aumentada, es decir que hay un morfismo de álgebras ε : A → 𝕂. Probar que M ⊕ A con el producto dado por (m, a) · (n, b) = (ε(b)m + an, ab) es una 𝕂-álgebra.

(b) Ahora M es un A-bimódulo. Probar que M ⊕A con el producto dado por (m, a)·(n, b) = (mb+an, ab) es una 𝕂-álgebra.

(2) Si A y B son 𝕂-álgebras y M es un (A, B)-bimódulo, (a) probar que

C = ( \begin{matrix}A & M \\ 0 & B \end{matrix} ) = \{( \begin{matrix}a & m \\ 0 & b \end{matrix} ) | a ∈ A, m ∈ M, b ∈ B\}

con la multiplicación y suma naturales, es una 𝕂-álgebra.

(b) Explicar los items del ejercicio 1 dentro del contexto más general de (2a).

(c) Notar que M se incluye en C como un ideal nilpotente de paso 2, i.e. mn = 0 ∀m, n ∈ M. Calcular el cociente C/M.

(d) (El trencito) Sean A_{0}, …, A_{n} álgebras sobre 𝕂, y para i = 1, …, n, M_{i} un (A_{i−1}, A_{i})-bimódulo. Encontrar una 𝕂-álgebra que contenga a los M_{i} como ideales nilpotentes (de paso 2) y ortogonales, y cuyo cociente por el ideal generado por los M_{i} sea A_{0} × … × A_{n}.

(e) Dadas las 𝕂-álgebras A_{0}, A_{1}, A_{2}, encontrar condiciones sobre los espacios vectoriales M_{1}, M_{2}, N para

que se pueda hablar de una estructura “natural” de álgebra sobre el espacio ( \begin{matrix}A_{0} & M_{1} & N \\ 0 & A_{1} & M_{2} \\ 0 & 0 & A_{2} \end{matrix} ).

(3) Probar que si 𝕂 es algebraicamente cerrado, no existen 𝕂-álgebras de división y de dimensión finita sobre 𝕂 (a excepción, claro, de 𝕂).

(4) Sin usar el ejercicio anterior, probar que si M es un A-módulo irreducible de dimensión finita y 𝕂 es algebraicamente cerrado, entonces End_{A}(M) ≃ 𝕂.

(5) Recordar la ℝ-álgebra de cuaterniones, con base 1, i, j, k y producto definido por i^{2} = j^{2} = k^{2} = −1, ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik. Observar/recordar que es un álgebra de división. ¿Por qué no es un álgebra sobre ℂ?

(6) Probar que si A es una 𝕂-álgebra de dimensión finita, tiene una representación fiel de dimensión finita. Deducir que un elemento de A es inversible a izquierda si y solo si es inversible a derecha.

(7) Sea M un A-módulo de dimensión finita. Probar que M es indescomponible (= inescindible) si y sólo si End_{A}(M) es una 𝕂-álgebra local (es decir, tiene un único ideal maximal).

(8) Sea W el álgebra de Weyl, con generadores x, ∂ y la relación ∂x − x∂ = 1. Probar que si car 𝕂 = 0, la única representación de W de dimensión finita es la trivial. Encontrar una representación no trivial de dimensión finita en el caso car 𝕂 = p.

(9) Encontrar un contraejemplo para la recíproca del lema de Schur. Es decir, encontrar un álgebra A y un A-módulo reducible M tal que End_{A}(M) sea un anillo de división. Sugerencia, considerar 𝕂(• → •).

(10) Sea 𝕊_{3} el grupo simétrico en tres elementos, {1, 2, 3}. Probar que los siguientes son 𝕂𝕊_{3}-módulos irreducibles (car 𝕂 = 0):

(a) La representación trivial, M_{0} = 𝕂, gx = x ∀g ∈ 𝕊_{3}, x ∈ M_{0}.

(b) La representación signo, M_{1} = 𝕂, gx = sgn(g)x.

(c) M_{2} = 𝕂^{2}, (1, 2) ↦ ( \begin{matrix}−1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ), (2, 3) ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & −1 \end{matrix} ).

Probar que 𝕂𝕊_{3}, visto como módulo a izquierda sobre sí mismo, es isomorfo a M_{0} ⊕ M_{1} ⊕ 2M_{2}. ¿Qué pasa a derecha?