Teoría de álgebras

Segundo Cuatrimestre 2004 Práctica 2 Álgebras semisimples

1. Encontrar las representaciones irreducibles del grupo cíclico C_{n} sobre ℝ. ¿Cómo se descompone ℝC_{n} como producto de álgebras de matrices?

2. Dado un grupo finito G, probar que las representaciones de dimensión 1 de G forman un grupo con la operación dada por el producto tensorial. Probar que si G es abeliano, este nuevo grupo es isomorfo a G. ¿Es un isomorfismo canónico? ¿Qué pasa si G no es abeliano?

3. Recordar que el grupo diedral 𝔻_{n} está generado por r, s con relaciones s^{2} = r^{n} = (sr)^{2} = 1. Encontrar la tabla de caracteres de 𝔻_{4} sobre ℂ.

4. Recordar que el grupo cuaterniónico ℍ está generado por i, j con relaciones i^{4} = j^{2}i^{2} = jiji^{3} = 1. Encontrar la tabla de caracteres de ℍ sobre ℂ.

5. Probar que ℂ𝔻_{4} ≃ ℂℍ como álgebras, aunque 𝔻_{4} y ℍ no son isomorfos.

6. Sea G un grupo finito y DG su doble. Sea M un DG-módulo; M = ⊕_{g∈G}M^{g}, M^{g} = δ_{g}M su descomposición en componentes homogéneas. Sea c ∈ Aut(M ⊗M) definido por c(m⊗n) = gn ⊗ m si m ∈ M^{g}. Probar que c satisface la ecuación de trenzas:

(c ⊗ 1)(1 ⊗ c)(c ⊗ 1) = (1 ⊗ c)(c ⊗ 1)(1 ⊗ c) ∈ Aut(M ⊗ M ⊗ M).

7. Sea G un grupo finito, g ∈ G un elemento y Z_{g} = {x ∈ G | xg = gx} su centralizador. Sea ρ : 𝕂Z_{g} → End(M) una representación de Z_{g}, y sea M_{g,ρ} = Ind_{Z_{g}}^{G} ρ = 𝕂G ⊗_{𝕂Z_{g}} M, con la acción a izquierda de G y la G-graduación gr(h ⊗ m) = hgh^{−1}. Probar que M_{g,ρ} es un módulo sobre el doble DG. Probar que M_{g,ρ} es irreducible si y solo si M lo es.

8. Sea V un espacio vectorial con una forma bilineal y q su forma cuadrática asociada. Se define el álgebra de Clifford C(V) como el álgebra generada por V bajo las relaciones x^{2} = q(x) ∀x ∈ V.

a) Si x ⊥ y (es decir, si (x|y) = 0), mostrar que xy = −yx.

b) Considerar la filtración 𝕂1 = F_{0} ⊂ F_{1} ⊂ … dada por F_{1} = 𝕂1 ⊕ V ⊆ C(V). Probar que el álgebra graduada asociada a esta filtración, ⊕_{n≥0}F_{n+1}/F_{n} es isomorfa al álgebra exterior ΛV.

c) Sea {x_{1}, …, x_{n}} una base de V. Para A ⊆ {1, …, n} se define x_{A} = “x_{1}^{1∈A} … x_{n}^{n∈A}” = ∏_{i∈A} x_{i}, donde el orden del producto es creciente en i. Probar que {x_{A}} es una base de C(V).

d) Probar que si q está asociada a una forma bilineal no degenerada y car 𝕂 ≠ 2 entonces C(V) es semisimple. Sugerencia: encontrar una base ortogonal {x_{1}, …, x_{n}} y, dentro de C(V) ⊗ C(V), una combinación lineal de los vectores x_{A} ⊗ x_{A}^{t}, donde x_{A}^{t} = x_{n}^{n∈A} ⋯ x_{1}^{1∈A}, así como en 𝕂G se toma el elemento \frac{1}{|G|} ∑_{g∈G} g ⊗ g^{−1}.