Teoría de álgebras

Segundo Cuatrimestre 2004 Práctica 3 Álgebras de carcaj

(1) Sea C un carcaj, R un ideal admisible de 𝕂C, y M = (M_{v}, f_{α}) un 𝕂C/R-módulo. Definimos el soporte de M como el subcarcaj de C cuyos vértices son los {v ∈ V | M_{v} ≠ 0} y cuyas flechas son las {α ∈ E | f_{α} ≠ 0}. Probar que el soporte de un módulo indescomponible es conexo (como grafo).

(2) (a) Describir las clases de isomorfismo de los módulos de dimensión ≤ 2 sobre 𝕂C, donde

C es el carcaj • ⟹ • .

(b) Definición: Un álgebra A se dice mansa si para cada dimensión n ∈ ℕ existen finitos A − 𝕂[x]-bimódulos M_{i} tales que, a excepción de finitos, todos los A-módulos indescomponibles de dimensión n son isomorfos a algun módulo M_{i} ⊗_{𝕂[x]} N, donde N es un 𝕂[x]-módulo indescomponible. Encontrar módulos M_{i} como en la definición para el caso A = 𝕂C, n ≤ 2.

(3) (a) Encontrar todos los módulos indescomponibles sobre 𝕂C, donde C es un carcaj cuyo

diagrama subyacente es de tipo A_{n}.

(b) Elegir alguna orientación de las flechas de C y descomponer 𝕂C (visto como módulo a izquierda sobre sí mismo) en una suma de módulos indescomponibles.

(4) Sea C el carcaj [figure: •; •; •; •] . Encontrar todos los módulos indescomponibles sobre 𝕂C.

(5) (Tomado de [CLS]) Sea C el carcaj \begin{aligned}1 & ⟶^{α} & & 2 & ⟶^{β} & 3 \\ & & γ & ↓ \\ 4 & ⟶^{δ} & & 5 & ⟶^{ε} & 6 \end{aligned} y R el ideal admisible generado

por εγ y εδ. Sea A = 𝕂C/R. Describir los módulos simples sobre A, los proyectivos indescomponibles, sus radicales y sus radicales cuadrados. Describir los inyectivos indescomponibles. Para esto último puede ser conveniente mirar el carcaj opuesto [CLS, ejs. 1.E y 2.G].

(6) Definición: Si A es un álgebra, un A-módulo M tiene dimensión proyectiva n si existe una sucesión exacta

0 ⟶ P_{n} ⟶ P_{n−1} ⟶ ⋯ ⟶ P_{1} ⟶ P_{0} ⟶ M ⟶ 0,

donde los P_{i} son módulos proyectivos, y no existe una sucesión similar pero más corta. La dimensión proyectiva de M es ∞ si no existe ninguna sucesión (finita) de este tipo. La dimensión proyectiva global de un álgebra A es el supremo de las dimensiones proyectivas de sus módulos.

(a) Encontrar las dimensiones proyectivas de los módulos simples S_{i} (i = 1, 2, 5, 6) para el álgebra del ejercicio (5).

(b) Según un resultado de Auslander, si A es artiniana entonces su dimensión global proyectiva es el máximo de las dimensiones proyectivas de los simples. Probar que en un álgebra 𝕂C/R (C un carcaj, R un ideal admisible), la dimensión global proyectiva está acotada por la longitud del camino dirigido más largo.