Teoría de Álgebras

Segundo cuatrimestre 2004 Práctica 4 Álgebras no asociativas

(1) Sea V un espacio vectorial y f : V × V → 𝕂 una forma bilineal. Sea

L = {x ∈ End(V) | f(xv, w) + f(v, xw) = 0 ∀v, w ∈ V }.

Probar que L es una subálgebra de Lie de 𝔤𝔩_{n}. Encontrar L en los casos:

(B_{n}) dim V = 2n + 1, f está representada por la matriz ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_{n} \\ 0 & I_{n} & 0 \end{matrix} )

(C_{n}) dim V = 2n, f está representada por la matriz ( \begin{matrix}0 & I_{n} \\ −I_{n} & 0 \end{matrix} )

(D_{n}) (n ≥ 2) dim V = 2n, f está representada por la matriz ( \begin{matrix}0 & I_{n} \\ I_{n} & 0 \end{matrix} )

Probar que C_{2} ≃ B_{2} y que D_{3} ≃ 𝔰𝔩_{4}.

(2) Sea 𝔤 un álgebra de Lie sobre ℂ y M un 𝔤-módulo de dimensión finita. Si x ∈ 𝔤, definimos e^{x} ∈ Aut(M) por e^{x} = ∑_{n≥0} \frac{x^{n}}{n!} , donde x^{n} ∈ End(M) representa la potencia n-ésima de x ∈ End(M). Si A es un álgebra y a la vez un 𝔤-módulo en el que 𝔤 actúa por derivaciones, probar que e^{x} es un automorfismo de álgebras ∀x ∈ 𝔤.

(3) Probar que si A es un álgebra de dimensión finita y C = A^{∗} su coálgebra dual, un A-módulo a derecha M da lugar a una estructura de C-comódulo a izquierda sobre el mismo M. Probar que esta construcción es recíproca de la que, dado un C-comódulo a izquierda, le da una estructura de A-módulo a derecha.

(4) (a) Probar que si C es una coálgebra y A es un álgebra (asociativa), el espacio vectorial Hom_{𝕂}(C, A) tiene una estructura de monoide dada por

(f ∗ g)(c) = f(c_{(1)})g(c_{(2)}).

Encontrar el elemento neutro de este monoide.

(b) Verificar que si H es un álgebra de Hopf, S la antípoda, entonces S es inverso de la identidad 1_{H} : H → H en el monoide Hom(H, H).

(c) Verificar que en este caso a ⊗ b ↦ S(ab) y a ⊗ b ↦ S(b)S(a) son ambos inversos de la multiplicación μ : H ⊗ H → H en el monoide Hom(H ⊗ H, H), y por lo tanto coinciden.

(5) Probar que un álgebra de Hopf de dimensión finita sobre un cuerpo de característica 0 no puede tener elementos primitivos no nulos. Sug: probar que si x ∈ H es primitivo, x genera una subálgebra isomorfa a 𝕂[x].

(6) Sea 𝕂𝕊_{∞} = ⨁_{n≥1} 𝕂𝕊_{n}. Comprobar que la siguiente da una estructura de álgebra dendriforme sobre 𝕂𝕊_{∞}:

σ ≻ τ = ∑_{x∈Sh_{n,m}^{1}} x ∘ (σ × τ), σ ≺ τ = ∑_{x∈Sh_{n,m}^{2}} x ∘ (σ × τ), para σ ∈ 𝕊_{n}, τ ∈ 𝕊_{m},

y donde Sh_{n,m}^{1} = {x ∈ Sh_{n,m} | x(n) < x(n + m)}, Sh_{n,m}^{2} = {x ∈ Sh_{n,m} | x(n) > x(n + m)}.