Teoría de Números - Primer Parcial

2do. Cuatrimestre 2005

(1) Probar que ℤ[\sqrt{3}] es un Dominio Integro Principal.

(2) Sean p, q primos distintos de ℤ. Probar que q se descompone completamente en ℚ(ξ_{p}) si y sólo si q ≡ 1 mod (p) (donde ξ_{p} es una raíz primitiva p-ésima de la unidad).

(3) Sea K = ℚ[\sqrt{5}, \sqrt{3}]. Hallar TODOS los ideales de norma 3^{2}7^{2}11^{2}. (Justifique por qué son todos).

(4) Sea α una raíz del polinomio x^{3} − 2x − 2 y K = ℚ[α].

• Probar que Δ(ℤ[α]) = −2^{2}19.

• Calcular 𝒪_{K} y el grupo de clases de 𝒪_{K} (Sugerencia: ¿que norma tiene α ?).