Teoría de Números - Práctica 1

2do. Cuatrimestre 2005 Anillo de enteros y discriminante

Por K denotaremos un cuerpo de numeros. Dado un cuerpo K, su anillo de enteros sera denotado 𝒪_{K}.

(1) Sea K un cuerpo de grado 2 sobre ℚ. Probar que K = ℚ[\sqrt{m}] para algún m libre de cuadrados.

(2) Sea K = ℚ[\sqrt{3}, \sqrt[3]{5}]. Hallar un α tal que K = ℚ[α] y hallar el polinomio minimal de α sobre ℚ.

(3) Dar un ejemplo de un cuerpo K y un elemento α ∈ K tal que 𝒩(α) ∈ ℤ y Tr(α) ∈ ℤ pero α no es un entero algebraico.

(4) Sea 𝔞 el ideal 𝔞 = ⟨2, 1 + \sqrt{−3}⟩ en el anillo R = \{a + b\sqrt{−3} : a, b ∈ ℤ\}. Probar que 𝔞 ≠ ⟨2⟩, pero 𝔞^{2} = 2𝔞. Concluir que R no tiene factorización única en ideales (más aún, 𝔞 es el único ideal primo que contiene a ⟨2⟩, con lo cual ⟨2⟩ no tiene factorización en ideales primos). ¿Contradice esto el teorema de factorización única demostrado?

(5) Sea K = ℚ[\sqrt{−2}].

• Probar que 𝒪_{K} es un Dominio Integro Principal (DIP).

• Hallas TODAS las soluciones enteras de la ecuación y^{2} + 2 = x^{3}. (correspondiente a la curva elíptica 1728V, ¿como se explica que esta curva tiene rango 1?)

(6) Probar que 1 + \sqrt{2} es una unidad en ℤ[\sqrt{2}]. ¿Es una raíz de la unidad? Concluir que ℤ[\sqrt{2}] tiene infinitas unidades.

(7) Sean G y H dos grupos abelianos de rango n tal que H ⊂ G. Probar que Δ(H) = |G/H|^{2}Δ(G). Deducir que si R = ∑_{i=1}^{n} ℤα_{i} ⊂ 𝒪_{K} es tal que Δ(R) = Δ(𝒪_{K}) entonces R = 𝒪_{K}.

(8) Sea R = ∑_{i=1}^{n} ℤα_{i}, con R ⊊ 𝒪_{K}. Probar que existe un primo p tal que p^{2} | Δ(R) y γ = \frac{1}{p}(∑_{i=1}^{n} c_{i}α_{i}) con c_{i} ∈ ℤ y 0 ≤ c_{i} < p tal que γ ∈ 𝒪_{K}.

(9) Hallar una base de 𝒪_{K} para K = ℚ[\sqrt[3]{5}]. (sugerencia: elegir un candidato a base para 𝒪_{K}, calcular su discriminante y usar el ejercicio anterior).

(10) Si K = ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{−1}], probar que 𝒪_{K} = ℤ ⊕ ℤ\sqrt{2} ⊕ ℤ\sqrt{−1} ⊕ ℤ^{\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{−1})}{2}}.

(11) Sea K = ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{3}]. Calcular una base para 𝒪_{K}.

(12) Sea K el cuerpo bicuadrático K = ℚ[\sqrt{m}, \sqrt{n}], donde m y n son enteros libres de cuadrados coprimos. Hallar la una base de enteros de K en los casos:

• m, n ≡ 1 mod 4

• m ≡ 1 mod 4, n ≢ 1 mod 4. (sugerencia: usar que si L, K son dos extensiones finitas de ℚ tales que gcd(Δ(𝒪_{L}), Δ(𝒪_{K})) = 1 entonces Δ(𝒪_{KL}) = Δ(𝒪_{K})^{[L:ℚ]}Δ(𝒪_{L})^{[K:ℚ]}).