Teoría de Números - Práctica 2

2do. Cuatrimestre 2005 Divisibilidad y Teorema de Dirichlet

(1) Sea K un cuerpo de números, 𝒪_{K} su anillo de enteros y I un ideal no nulo. Probar que 𝒩(I) divide a 𝒩(α) para todo α ∈ I. En particular 𝒩(I) | gcd {𝒩(α) : α ∈ I}.

(2) Sea K un cuerpo de números, 𝒪_{K} su anillo de enteros y I un ideal fraccionario no nulo. Sea J := {α ∈ K : αI ⊂ 𝒪_{K}}. Probar que IJ = 𝒪_{K}. Deducir que J = I^{−1}.

(3) Calcular el número de clases, unidades y anillo de enteros de los cuerpos ℚ[\sqrt{−1}], ℚ[\sqrt{−5}], ℚ[\sqrt{7}] y ℚ[\sqrt{15}].

(4) Sea K = ℚ[\sqrt{−17}] y 𝒪_{K} = ℤ[\sqrt{−17}].

• Verificar que si 𝔭_{1} = ⟨2, 1 + \sqrt{−17}⟩, 𝔭_{2} = ⟨3, 1 + \sqrt{−17}⟩ y 𝔭_{3} = ⟨3, 1 − \sqrt{−17}⟩ entonces ⟨2⟩ = 𝔭_{1}^{2}, ⟨3⟩ = 𝔭_{2}𝔭_{3}.

• Descomponga en primos ⟨1 ± \sqrt{−17}⟩ y ⟨18⟩.

• Hallar todos los ideales 𝔞 ∈ 𝒪_{K} con 𝒩(𝔞) = 18.

(5) • Probar que el ideal ⟨2, x⟩ en ℤ[x] no es principal.

• Probar el Lema de Gauss: si f, g ∈ ℤ[x] y n (respetivamente m) es el máximo común divisor de los coeficientes de f (resp. de g) entonces mn es el máximo común divisor de los coeficientes de fg.

• Deducir que si f es irreducible sobre ℤ entonces lo es sobre ℚ.

• Supongamos que f ∈ ℤ[x] es un polinomio irreducible. Probar que si f | gh en ℤ[x] entonces f | g ó f | h. Deducir que ℤ[x] es un DFU.

• ¿Quienes son los ideales primos de ℤ[x]?

(6) Sea K un cuerpo de números y 𝒪_{K} su anillo de enteros. Probar que 𝒪_{K} es un DFU si y sólo si 𝒪_{K} es un DIP.

(7) Hallar “todas” las soluciones de los elementos α ∈ ℤ[\sqrt{−5}] tales que α ≡ 1 + \sqrt{−5} mod ⟨1 + \sqrt{−5}, 3⟩ y α ≡ 2 − \sqrt{−5} mod ⟨3 − \sqrt{−5}, 7⟩.

(8) Sea K un cuerpo de números y 𝒪_{K} su anillo de enteros. Enunciar y demostrar el Teorema Chino del Resto para un sistema de ideales I_{1}, …, I_{r} de 𝒪_{K} no necesariamente coprimos entre ellos.

(9) Hallar la factorización de los primos racionales en los cuerpos indicados: • 2, 3, 5 y 7 en el anillo de enteros de K = ℚ[\sqrt[3]{2}].

• 3, 5 y 7 en el anillo de enteros del cuerpo K = ℚ[\sqrt[3]{3}].

• 11, 13 en el anillo de enteros de K = ℚ[\sqrt{7}, \sqrt{10}]. Se puede probar que el anillo de enteros de K no esta generado por las potencias de ningún elemento (ver ejercicio 30, página 46 de Marcus para una sugerencia). ¿Se puede decir algo de la factorización del 7?