Teoría de Números - Práctica 3

2do. Cuatrimestre 2005 Factorización en extensiones y Teoría de Galois

(1) Sea K = ℚ[α] donde α es ua raíz del polinomio x^{3} − x^{2} − 2x + 1.

• Calcular el anillo de enteros y el grupo de clases de 𝒪_{K}. Calcular como factorizan los primos p ≤ 100.

• Probar que K/ℚ es Galois (luego su grupo de Galois es isomorfo a ℤ/3ℤ). Usar este hecho para verificar las factorizaciones obtenidas. Notar que en este ejemplo sucede lo mismo que en extensiones cuadráticas, a saber los primos no ramificados son inertes o se parten completamente.

(2) Sea K un cuerpo de números y E su clausura normal. Probar que ℚ[\sqrt{D_{K}}] ⊂ E. Deducir que una extensión de ℚ con grupo de Galois cíclico de grado 3 tiene discriminante un cuadrado perfecto.

(3) Sea K un cuerpo de números. Un primo p ∈ ℤ ramifica completamente si

p𝒪_{K} = 𝔮^{n}, donde n = [K : ℚ].

• Probar que si p es totalmente ramificado en 𝒪_{K} entonces lo es en cualquier cuerpo intermedio, o sea si ℚ ⊂ L ⊂ K entonces p es totalmente ramificado en 𝒪_{L}.

• Probar que si K,K′ son dos extensiones de ℚ y p ∈ ℤ es tal que p es totalmente ramificado en K y es no ramificado en K′ entonces K ∩ K′ = ℚ.

• Utilizando el item anterior, probar que si p_{1}, …, p_{r} son primos distintos de ℤ entonces ℚ[\sqrt{p_{1}}, …, \sqrt{p_{r}}] es una extensión de grado 2^{r} de ℚ.

(4) Sea K una extensión normal de ℚ con grupo de Galois G. Probar que si p ∈ ℤ es inerte en 𝒪_{K} entonces G es cíclico.

(5) Sean m y n dos enteros libres de cuadrados y ≠ 1. El cuerpo bicuadrático K = ℚ[\sqrt{m}, \sqrt{n}] es una extensión normal de ℚ con grupo de Galois ℤ/2ℤ⊕ ℤ/2ℤ. Luego hay tres subextensiones de grado dos de ℚ (¿cual es la tercera?). Sea p un primo de ℤ.

• Supongamos que p ramifica en cada subextensión cuadrática de 𝒪_{K}. ¿Que pasa con p en 𝒪_{K}? Dar un ejemplo.

• Supongamos que p se parte en cada subextensión cuadrática de 𝒪_{K}, ¿que pasa con p en 𝒪_{K}? Dar un ejemplo.

• Supongamos que p es inerte en cada subextensión cuadrática de 𝒪_{K}, ¿que pasa con p en 𝒪_{K}? ¿Puede esto suceder?