Teoría de Números - Práctica 4

2do. Cuatrimestre 2005

(1) Sea K un cuerpo de números, 𝔞 ⊂ 𝒪_{K} un ideal.

• Probar que existe una extension finita L de K tal que 𝔞 se vuelve principal en L. (Hint: si h es el número de clases de 𝒪_{K}, que se puede decir de 𝔞^{h}?)

• Probar que existe una extensión finita L de K tal que todo ideal de K se vuelve principal en L. (esto NO quiere decir que L tiene número de clases 1).

• Hallar una extensión de grado 4 sobre ℚ[\sqrt{−21}] tal que todo

ideal de ℤ[\sqrt{−21}] se vuelva principal.

(2) Sea G un subgrupo (aditivo) de ℝ^{m} tal que todo subconjunto de G

acotado es finito. Vamos a probar que G es un retículo.

• Sea Λ un retículo de dimensión maximal (i.e. un ℤ-modulo generado por elementos ℝ-independientes) contenido en G (existe porque {0} ⊂ G). Probar que G esta contenido en el subespacio de ℝ^{m} generado por Λ.

• Sea F un paralelepípedo fundamental para Λ (i.e. si Λ = ⟨v_{1}, …, v_{n}⟩, F = {∑_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} : a_{i} ∈ ℝ, 0 ≤ a_{i} < 1}). Probar que cada coclase v + Λ, v ∈ G tiene un representante en F. Deducir que G/Λ es finito.

• Probar que rG ⊂ Λ para algun r ∈ ℕ. Concluir que rG es un grupo abeliano libre de rango menor o igual que d (donde d es el rango de Λ).

• Probar que G es un grupo abeliando libre de rango d.

• Sea B una ℤ-base de G. Probar que sus elementos son ℝindependientes. Concluir que G es un retículo. (esto concuye la demostración del Teorema de Unidades)

(3) Si f y g son dos funciones aritméticas (i.e. f, g : ℕ → ℂ), definimos su convolución (y notada f ∗ g) como

f ∗ g(n) = ∑_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})

Probar que f ∗ g = g ∗ f (conmutativa) y f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h (asociativa).

(4) Sea I la función I(n) = \{ \begin{matrix}1 & si n = 1 \\ 0 & sino \end{matrix} . Probar que f ∗I = I∗f = f.

(5) Probar que si f es una función arithmética y f(1) ≠ 0, entonces existe una única función f^{−1} tal que f ∗ f^{−1} = I. (hint: f^{−1}(n) = \frac{−1}{f(1)} + ∑_{d|n,d<n} f(\frac{n}{d})f^{−1}(d))

(6) (Fórmula de inversión de Frobenius) Sea μ la función de Möbius dada por

μ(n) = \{ \begin{matrix}(−1)^{k} & si n = p_{1} … p_{k} primos distintos \\ 0 & sino \end{matrix} Probar que si f(n) = ∑_{d|n} g(d) entonces g(n) = ∑_{d|n} f(d)μ(\frac{n}{d}) (equivalentemente, si 1 denota la función 1(n) = 1, entonces 1 ∗ μ = I).

(7) Probar que ∑_{n} \frac{μ(n)}{n^{s}} = \frac{1}{ζ(s)}.

(8) Probar que ∑_{n} \frac{φ(n)}{n^{s}} = \frac{ζ(s−1)}{ζ(s)}, donde φ denota la función de Euler.

(9) Definamos la función de Mangoldt como

Λ(n) = \{ \begin{matrix}log(p) & si n = p^{r} con r ≥ 1 \\ 0 & sino \end{matrix}

Probar que ∑_{n} \frac{Λ(n)}{n^{s}} = \frac{ζ′(s−1)}{ζ(s)}.

(10) Sea L(s) = ∑_{n} \frac{a_{n}}{n^{s}} una serie de Dirichlet convergente para ℜ(s) > s_{0} y tal que L(s) = 0 para todo s con ℜ(s) > s_{0}. Probar que a_{n} = 0 para todo n ∈ ℕ (deducir que si dos series de Dirichlet coinciden en un semiplano, sus coeficientes son iguales).