DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - FCEyN - UBA

Teoría Geométrica de la Medida

(Materia optativa Licenciatura y Doctorado en Ciencias Matemáticas)
Segundo Cuatrimestre 2004

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• Profesor: Julián Fernández Bonder (Oficina 2093 - email: jfbonder@dm.uba.ar ).

• Horarios y aulas: Lunes de 11 a 13hs, Aula 13, Pab. 1. Miércoles de 11 a 13hs, Aula 11, Pab. 1.

• Puntaje: 4 puntos para la Licenciatura y 3 puntos para el Doctorado (solicitados).

• Programa de la materia:
  
1. Teoría General de la Medida

1.1 Repaso de Teoría General de la Medida

1.2 Teoremas de cubrimiento de Vitali y de Besicovich

1.3 Diferenciación de medidas de Radon

1.4 Puntos de Lebesgue; Continuidad aproximada

1.5 Teorema de representación de Riesz

1.6 Convergencia débil y criterio de compacidad para medidas de Radon

2. Medidas de Hausdorff

2.1 Definición y propiedades elementales; dimensión de Hausdorff

2.2 Desigualdad Isodiamétrica; L^N = H^N

2.3 Densidades

2.4 Medida de Hausdorff y propiedades elementales de las funciones

3. Fórmulas de área y de co-área

3.1 Funciones Lipschitz, Teorema de Rademacher

3.2 Mapas lineales; Jacobianos

3.3 La fórmula de área

3.4 La fórmula de co-área

4. Funciones de Variación Acotada (BV) y Conjuntos de Perímetro Finito

4.1 Definiciones; Teorema de Estructura

4.2 Aproximación y compacidad

4.3 Trazas y extensiones

4.4 Fórmula de co-área para funciones BV

4.5 Desigualdades Isoperimétricas

4.6 La frontera reducida; El borde en el sentido de la teoría de la medida; El Teorema de Gauss - Green

4.7 Propiedades puntuales de funciones BV

4.8 Variación escencial en líneas; Criterio para perímetro finito

5. Funciones de Sobolev

5.1 Definición y propiedades elementales

5.2 Aproximación, trazas y extensión

5.3 Desigualdades de Sobolev; Teorema de compacidad Rellich - Kondrashov

5.4 Capacidad

5.5 Cuasicontinuidad; Representante preciso de funciones de Sobolev

5.6 Diferenciabilidad en líneas

• Bibliografía:
  
1. L.C. Evans - R.F. Gariepy, "Measure Theory and Fine Properties of Functions". Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, 1992.
2. K. Falconer, "Fractal Geometry". Wiley, New York, 1990.
3. H. Federer, "Geometric Measure Theory". Springer-Verlag, New York, 1969.
4. D. Gilbarg - N. Trudinger, "Elliptic Partial Differential Equations of Second Order", (2nd edn.). Springer-Verlag, New York, 1983.
5. E. Stein, "Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions". Princeton University Press, Princeton, NJ, 1970.
6. W. Ziemer, "Weakly Differentiable Functions". Springer-Verlag, New York, 1989.

• Correlatividades:  Análisis Real (orientación Pura) o Medida y Probabilidad (orientación Aplicada).

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