topología algebraica

edición 2005

Profesor: gabriel minian

Sistema de Aprobación

Para aprobar la materia se deben entregar ejercicios resueltos y también se debe exponer un tema final.

Con respecto a los ejercicios para entregar, se deben elegir  5 o 6 ejercicios  de las distintas prácticas y listas adicionales. Los ejercicios no deberían ser todos del mismo tema.

 Con respecto al tema a exponer para el final: más abajo aparece una lista con algunos temas sugeridos para elegir.

Listas de Ejercicios

   Práctica Uno                                                                                          Adicionales   

   Práctica Dos                                                                                          Práctica Cinco

   Práctica Tres                                                                                         Práctica Seis

   Práctica Cuatro                                                                                      Adicionales II (nuevos)

Lista de algunos temas sugeridos para exponer en el final

(Incluyen algunas referencias. Mirar también las referencias que aparecen debajo del programa de la materia)

• Cohomología. Relación con la homología. Teorema del coeficiente universal (Referencias: libros de Spanier, Hatcher y Vick).

• Introducción a la teoría estable de homotopía y Spectra. (Referencias: libro de Switzer, libro de Adams [stable homotopy and generalised homology], libro de May).

• Cohomologia de Cech. (Ref: Spanier, libro de Warner [Foundations of differential manifolds and Lie groups]).

• Conjuntos simpliciales. Realización geométrica. Relación entre la realización geométrica y el conjunto singular de un espacio. (Ref:  libro de Gelfand y Manin [Methods of Homological Algebra], libro de May, otro libro de May [Simplicial Objects in Algebraic Topology]).

• G-fibrados principales y espacios clasificantes de grupos topológicos.(Ref: libro de Hüsemoller [Fibre Bundles])

• Fibrados vectoriales. Relación con la K-Teoría. Relación con las fibraciones. (Ref: libro de Hüsemoller, Spanier, May)

Programa  de la materia

1. Teoría de homotopía: conos y cilindros, deformaciones y retractos. Fibraciones, cofibraciones. H-espacios y H-grupos, Espacios de Lazos y Suspensiones. Grupos de homotopía de orden superior. Equivalencias débiles y fuertes. Sucesión de la fibra y aplicaciones.

2. Espacios celulares, CW-complejos. Aproximación celular, teoremas de Whitehead, teorema de la suspensión de Freudenthal. Espacios de Eilenberg-MacLane.

3. Homología singular, simplicial y celular. Aplicación de la homología en diversas áreas, teoremas de punto fijo, teoremas de separación de Jordan. Caracterización axiomática de una teoría de homología: Axiomas de Eilenberg-Steenrod.

4. Cohomología y productos.

5. Relación entre los grupos de homología y los de homotopía. Morfismos de Hurewicz.

Bibliografía Recomendada

• E. Spanier. Algebraic Topology. Springer.

• A. Dold. Lectures on Algebraic Topology. Springer.

• R. Switzer. Algebraic Topology- Homotopy and Homology. Springer.

• J.W. Vick. Homology Theory, an Introduction to Algebraic Topology. Academic Press.

• A. Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge University Press.

• P. May. A concise course in Algebraic Topology. University of Chicago Press.

• T. tom Dieck, Kamps, D. Puppe. Homotopietheorie. Springer.

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