Topología

Programa

Primera Parte: Topología General.

1.  Conjuntos ordenados y bien ordenados. Axioma de Elección. Teorema de Zermelo.
2.  Espacios topológicos. Topologías. Topología discreta e indiscreta. Reticulado de topologías. Conjuntos  abiertos y cerrados, clausura e interior, entornos. Base y sub-base de una topología. Topología del orden. Topología métrica. Redes y sub-redes. Funciones continuas, abiertas, cerradas, homeomorfismos.
3.  Topología producto, topología caja. Union de espacios. Topología del subespacio. Topología cociente. Productos fibrados. Topologías finales e iniciales.
4.  Espacios conexos, localmente conexos, arco conexos, localmente arco conexos. Componentes arco conexas.  Espacios Hausdorff. Funciones propias. Espacios compactos y localmente compactos. Compactificación de un punto (Alexandroff). Grupos topológicos.
5. Axiomas de separación (Hausdorff, Regular, Completamente regular, Normal). Lema de Urysohn. Teorema de Tietze.
6. Teorema de Tychonoff. Compactificación de Stone-Cech.
7. Espacios de funciones. Topologías exponenciales y ley exponencial. Topología compacto-abierta. Topología uniforme sobre compactos.
8.  Espacios paracompactos y partición de la unidad.
   

Segunda Parte: Topología Algebraica.

1. Homotopía de funciones. Homotopía relativa. Equivalencias homotópicas y Tipos homotópicos. Espacios contráctiles. Retractos por deformación. Cilindros, conos, cilindros y conos de funciones. Extensión de funciones al cono, extensión de funciones de esferas a discos.
2.  Homotopía de caminos y lazos. Grupoide y grupo fundamental. Levantamiento de curvas y homotopías. Fibras. Fibraciones. Revestimientos. Grupo fundamental de las esferas. Teorema de Van Kampen (versión general para grupoides y para grupos). Grupo fundamental de superficies compactas. Algunas aplicaciones (teorema fundamental del álgebra, punto fijo, etc). Existencia y clasificación de revestimientos.
3.  Introducción a la Homología singular y simplicial. Complejo de cadenas. Complejo singular. Complejos simpliciales. Grupos de homologías de las esferas. Relación con la homotopía. Aplicaciones.
   

Bibliografía:

• Munkres. Topology, a first course. Edit. Prentice-Hall.
• Kelley. General Topology. Edit Van Nostrand Reinhold Co.
• Willard. General Topology. Addison-Wesley Publishing Co.
• Spanier. Algebraic Topology. Edit. McGraw-Hill.
• Greenberg. Lectures on Algebraic Topology. Edit. W.A. Benjamin, Inc.
• Vick. Homology Theory. Academic Press.
  

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