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Apellido y nombre:

Topología

Primer Parcial - 11/10/2007

(1) Sean I un conjunto codirigido y {X_{i}}_{i∈I} una familia de espacios topológicos compactos, Hausdorff y no vacíos. Supongamos que para cada i ≤ j ∈ I se tiene una función continua f_{i,j} : X_{i} → X_{j} de manera que:

f_{ii} = Id, para todo i ∈ I;

si i ≤ j ≤ k ∈ I entonces f_{k,j} ∘ f_{i,k} = f_{i,j}. Probar que existe una familia de puntos {a_{i}}_{i∈I} con a_{i} ∈ X_{i} y si i ≤ j, f_{i,j}(a_{i}) = a_{j}.

(2) Sea X un espacio topológico. Probar que son equivalentes:

(a) F ⊆ X es cerrado si y sólo si F es secuencialmente cerrado (es decir, si {x_{k}}_{k∈ℕ} ⊆ F es una sucesión de términos de F que converge a algún punto x, entonces x ∈ F);

(b) X es homeomorfo a un cociente de una unión disjunta de copias de ℕ^{∗}, donde ℕ^{∗} es la compactificación por un punto de ℕ:

X ≅ (⨆_{i∈I} ℕ^{∗}) / ∼ .

(3) Sea X = [0, 1]^{[0,1]} con la topología producto. Probar que X tiene un subconjunto contable (es decir, finito o numerable) y denso, pero existe un subespacio A ⊆ X que no contiene ningún subconjunto contable y denso (en A).

(4) Sea X un espacio de Hausdorff tal que existe una sucesión creciente de subespacios X_{1} ⊂ X_{2} ⊂ … de manera que X = ⋃_{n} X_{n} y X tiene la topología final respecto de las inclusiones X_{n} ↪ X. Probar que si A ⊂ X es compacto, entonces A ⊂ X_{n} para algún n.

(5) Sea X = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : y ≥ 0}. Consideramos la topología definida por los siguientes entornos: en un punto (x, y) con y > 0, los entornos son los usuales de la topología de ℝ × ℝ_{>0}. En un punto (x, y) con y = 0, una base de entornos está dada por B ∪ {(x, y)}, donde B es una bola abierta contenida en ℝ × ℝ_{>0}, tangente a la recta ℝ × {0} en (x, y). Decidir si X es localmente compacto.