Topología

Práctica 1

Bases y sub-bases de topologías

(1) Sea {T_{α}}_{α∈A} una colección de topologías en X.

(a) Probar que ⋂_{α∈A} T_{α} es una topología en X. ¿Es ⋃_{α∈A} T_{α} una topología en X?

(b) Probar que existe una única topología en X que es la menor de todas las topologías que contienen a todas las topologías T_{α} (α ∈ A), y una única topología en X que es la mayor de todas las topologías contenidas en cada una de las topologías T_{α} (α ∈ A).

(2) Probar que si B es base de una topología en X, entonces la topología generada por B es igual a la intersección de todas las topologías que contienen a B. Probar que vale lo mismo si B es una sub-base.

(3) Sea (X, <) un conjunto ordenado. Sean S = {S_{x} : x ∈ X} y R = {R_{x} : x ∈ X}, donde R_{x} = {y ∈ X : x < y}. Probar que S ∪ R son una sub-base para la topología del orden en X.

(4) Considerar las siguientes colecciones de subconjuntos de ℝ:

B_{1} = {(a, b) : a < b}, B_{2} = {[a, b) : a < b}, B_{3} = B_{1} ∪ {B \ K : B ∈ B_{1}}, donde K = {1/n : n ∈ ℕ}, B_{4} = {B : ℝ \ B es finito}.

(a) Probar que cada B_{i} es una base para una topolología en ℝ.

(b) Comparar las cuatro topologías entre sí.

Notación: Notaremos ℝ_{l} al espacio topológico ℝ con la topología definida por B_{2}.

(5) Topologías definidas por filtro de entornos.

Supongamos que tenemos para cada x ∈ X un subconjunto (no vacío) ℱ_{x} ⊂ 𝒫(X) con las siguientes propiedades: E1: si A ∈ ℱ_{x} entonces x ∈ A; E2: si B ⊂ A y B ∈ ℱ_{x} entonces A ∈ ℱ_{x}; E3: si A, B ∈ ℱ_{x} entonces A ∩ B ∈ ℱ_{x}; E4: dado A ∈ ℱ_{x} existe B ⊂ A tal que B ∈ ℱ_{x}, y B ∈ ℱ_{y} para cada y ∈ B.

Probar:

(a) T = {B ∈ 𝒫(X) : B ∈ ℱ_{x} ∀x ∈ B}∪{∅} es una topología en X (observar que no se necesita la propiedad E4). Esta topología se llama la topología definida por los filtros de entornos de sus puntos.

(b) Si (X, T ) es un espacio topológico, los conjuntos

ℱ_{x} = {A ∈ 𝒫(X) : x ∈ U ⊂ A para algún U ∈ T }

verifican los axiomas E1-E4. Los conjuntos ℱ_{x} se llaman filtros de entornos del punto x.

(c) El filtro de entornos de una topología definida por filtro de entornos coincide con éste.

(d) Si (X, T ) es un espacio topológico, la topología definida por los filtros de entornos de X coincide con T .

(6) Topologías definidas por operador de clausura.

Un operador \overline{(·)} : 𝒫(X) → 𝒫(X) que verifica las siguientes propiedades: C1: \overline{∅} = ∅; C2: A ⊆ \overline{A} ∀A ∈ 𝒫(X); C3: \overline{\overline{A}} = \overline{A} ∀A ∈ 𝒫(X); C4: \overline{A ∪ B} = \overline{A} ∪ \overline{B} , ∀A, B ∈ 𝒫(X),

se llama un operador de clausura.

(a) Probar que, dado un operador de clausura, se tiene en X una topología definida por

U ∈ T ⇔ \overline{X \ U} = X \ U.

Observación: Lo que estamos haciendo es definir la topología por sus cerrados, esto es,

F es cerrado ⟺ \overline{F} = F.

(b) Probar que si (X, T ) es un espacio topológico, la fórmula

\overline{A} = ⋂_{F ⊇A} F donde F es cerrado

define un operador de clausura.

(c) Probar que si se parte de un operador clausura en un espacio X y se construye una topología como en (a), el operador clausura definido a partir de esta topología (como en (b)) es el original.

(d) Probar que si se parte de un espacio topológico X y se define un operador clausura como en (b), la topología definida a partir de este operador (como en (a)) es la original de X.

(7) Considerar el conjunto X = [0, 1] × [0, 1] con la topología del orden del diccionario. Determinar la clausura de los siguientes subconjuntos de X. A = {(1/n, 0) : n ∈ ℕ}, B = {(1 − 1/n, 1/2) : n ∈ ℕ}, C = {(x, 0) : 0 < x < 1}, D = {(x, 1/2) : 0 < x < 1}, E = {(1/2, y) : 0 < y < 1}.

(8) Considerar las cuatro topologías definidas en el ejercicio 4. Determinar la clausura del conjunto K = {1/n : n ∈ ℕ} en cada una de ellas.

Redes

(9) Sea (X, T ) un espacio topológico. Probar que las redes convergentes verifican las las siguientes propiedades: R1: Si (x_{α})_{α∈Λ} es eventualmente constante, entonces (x_{α})_{α∈Λ} converge a la constante. R2: Si (x_{α})_{α∈Λ} converge a x, entonces toda sub-red de (x_{α})_{α∈Λ} converge a x. R3: Si (x_{α})_{α∈Λ} verifica que toda sub-red tiene una sub-sub-red que converge a x, entonces (x_{α})_{α∈Λ}

converge a x. R4: Sean Λ un conjunto dirigido, y para cada α ∈ Λ sea Γ_{α} un conjunto dirigido. Supongamos

que para cada α ∈ Λ se tiene una red (x_{k}^{α})_{k∈Γ_{α}}, que converge a x^{α} ∈ X, y además (x^{α})_{α∈Λ} converge a x ∈ X. Consideremos Φ = Λ × ∏_{α∈Λ} Γ_{α} ordenado por el orden producto, esto es,

(α, (k_{β})_{β∈Λ}) ≥ (α′, (k′_{β})_{β∈Λ}) ⟺ α ≥ α′ y k_{β} ≥ k′_{β} ∀β ∈ Λ.

Entonces la red (α, (k_{β})_{β∈Λ}) ↦ x_{k_{α}}^{α} converge a x.

(10) Sea (X, T ) un espacio topológico. Probar que la fórmula

\overline{A} = \{x ∈ X : ∃(x_{α})_{α∈Λ} ⊆ A, y x_{α} → x\}

define un operador de clausura. Probar que la clausura usual coincide con la recién definida.

(11) Si (x_{α})_{α∈Λ} es una red, decimos que x ∈ X es un punto de acumulación de la red si para todo A ∈ ℱ_{x}, el conjunto {α ∈ Λ : x_{α} ∈ A} es cofinal en Λ. Probar que x es un punto de acumulación de la red si y sólo si existe una subred de (x_{α})_{α∈Λ} que converge a x (para la ida, considerar Γ el conjunto de pares (α, U) con α ∈ Λ, U entorno abierto de x que contiene a x_{α}, con el orden (α, U) ⪯ (β, V) si α ≤ β y V ⊆ U).

(12) (a) Sean X, Y conjuntos ordenados, con la topología del orden. Si f : X → Y es biyectiva y

preserva el orden entonces f es un homeomorfismo.

(b) Sea n ∈ ℕ. Sea g : ℝ_{≥0} → ℝ_{≥0}, g(x) = \sqrt[n]{x}. Probar que g es un homeomorfismo.

(c) Sea X = (−∞, −1) ∪ [0, +∞) con la topología euclídea. Definimos f : X → ℝ por:

f(x) = \{ \begin{matrix}x + 1 & si & x < −1 \\ x & si & x ≥ 0 \end{matrix}

Probar que f es biyectiva y preserva el orden. ¿Es f un homeomorfismo?

(13) Sea {A_{α}}_{α∈A} una colección de subconjuntos del espacio topológico X tal que X = ⋃_{α∈A} A_{α}. Sea

f : X → Y y supongamos que f|_{A_{α}} es continua para cada α ∈ A.

(a) Probar que si cada A_{α} es abierto entonces f es continua.

(b) Probar que si A es finito y cada conjunto A_{α} es cerrado, entonces f es continua.

(c) Encontrar un ejemplo donde la colección A = ℕ, cada A_{α} es cerrado, pero f no es continua.

(d) Una familia {A_{α}}_{α∈A} se dice localmente finita si para cada x ∈ X existe un abierto U ⊆ X, x ∈ U, tal que U ∩ A_{α} ≠ ∅ sólo para finitos valores de α. Mostrar que si la familia {A_{α}}_{α∈A} es localmente finita y cada A_{α} es cerrado, entonces f es continua.

(14) Mostrar que ℝ × ℝ con la topología del orden del diccionario es metrizable (esto es, existe una métrica tal que la topología que induce la métrica coincide con la dada).

(15) Topología de Zariski en k^{n} (tener en mente k = ℝ o k = ℂ).

Consideremos el anillo de polinomios en n variables sobre un cuerpo k, k[x] = k[x_{1}, …, x_{n}]. Para cada subconjunto S ⊆ k[x] definimos el conjunto algebraico dado por S como

V (S) = {(z_{1}, …, z_{n}) ∈ k^{n} : p(z_{1}, …, z_{n}) = 0 ∀ p ∈ S}.

Verificar las siguientes propiedades

(a) Si S ⊆ T ⊆ k[x] , entonces V (S) ⊇ V (T).

(b) V (S) = V (I_{S}), donde I_{S} es el ideal generado por S.

(c) V ({0}) = k^{n}, y V ({1}) = ∅.

(d) Si I, J ⊆ k[x] son ideales, entonces V (I ∩ J) = V (I) ∪ V (J).

(e) Si {I_{a}}_{a∈A} es una familia de ideales, entonces V (⋃_{a∈A} I_{a}) = ⋂_{a∈A} V (I_{a}).

Observación: los items (c), (d), (e) muestran que los conjuntos algebraicos verifican los axiomas de los cerrados de una topología. Esta es la topología de Zariski de k^{n}.

(f) Los conjuntos D_{f} = k^{n} \ V ({f}) forman una base para dicha topología.

(16) Caracterizar la topología de Zariski de k. Compararla con la usual en el caso en que k = ℝ ó k = ℂ.

(17) Comparar la topología de Zariski en k^{2} con la topología usual de k^{2} (k = ℝ, ó k = ℂ).

Espectro de un anillo

(18) Sea A un anillo conmutativo con unidad. Sea Spec A el conjunto de todos los ideales primos de A. Para cada subconjunto E de A, notamos con V (E) al conjunto de todos los ideales primos que contienen a E. Demostrar que

(a) si 𝔞 es el ideal generado por E entonces V (E) = V (𝔞);

(b) V (0) = Spec A, V (A) = ∅;

(c) si (E_{i})_{i∈I} es una familia cualquiera de subconjuntos de A entonces

V (⋃_{i∈I} E_{i}) = ⋂_{i∈I} V (E_{i});

(d) V (𝔞 ∩ 𝔟) = V (𝔞𝔟) = V (𝔞) ∪ V (𝔟) para cualesquiera ideales 𝔞, 𝔟 de A.

Estos resultados muestran que los conjuntos V (E) satisfacen los axiomas de los conjuntos cerrados en un espacio topológico. La topología resultante se denomina la topología de Zariski en Spec A.

(19) Para cada f ∈ A, se indica por (Spec A)_{f} el complemento de V (f) en Spec A. Estos conjuntos son abiertos. Probar que forman una base de abiertos para la topología de Zariski, y que

(a) (Spec A)_{f} ∩ (Spec A)_{g} = (Spec A)_{fg};

(b) (Spec A)_{f} = ∅ si y sólo si f es nilpotente;

(c) (Spec A)_{f} = Spec A si y sólo si f es una unidad;

(d) (Spec A)_{f} = (Spec A)_{g} si y sólo si r((f)) = r((g)) (recordemos que dado un ideal I, el radical r(I) se define como

r(I) = {x ∈ A : x^{n} ∈ I para algún n ∈ ℕ}).

Observación: Si consideramos el subespacio Specm A de Spec A formado por los ideales maximales de A (con la topología de subespacio), una de las consecuencias del nullstelensatz (teorema de los ceros) de Hilbert es que, cuando k es un cuerpo algebraicamente cerrado, Specm k[x_{1}, …, x_{n}] es homeomorfo a k^{n} con la topología de Zariski. Esto establece la relación entre las topologías definidas en los ejercicios anteriores.

(20) Sea A un anillo conmutativo (con unidad) y x un ideal primo. Probar que

(a) el conjunto {x} ⊂ Spec A es cerrado (se dice que x es un “punto cerrado”) si y sólo si x es un ideal maximal;

(b) \overline{\{x\}} = V (x);

(c) y ∈ \overline{\{x\}} si y sólo si x ⊂ y;

(d) si x, y son puntos distintos de Spec A, entonces existe un entorno de x que no contiene a y o viceversa.

Topología producto

Salvo que se especifique otra cosa, la topología en un producto de espacios topológicos es la producto.

(21) Sean X, Y espacios topológicos. Probar que π_{1} : X × Y → X y π_{2} : X × Y → Y son abiertas.

(22) Probar que la topología del orden del diccionario en ℝ × ℝ coincide con la topología producto de ℝ_{d} × ℝ donde ℝ_{d} es la topología discreta en ℝ. Comparar con la topología usual de ℝ^{2}.

(23) Sea ℝ_{l} la topología cuya base de abiertos son los conjuntos de la forma [a, b) donde a, b ∈ ℝ. Sea L una recta en el plano. Describir la topología que hereda L como subespacio de ℝ_{l} × ℝ y como subespacio de ℝ_{l} × ℝ_{l}.

(24) Sean A ⊆ X y B ⊆ Y. Probar que \overline{A × B} = \overline{A} × \overline{B}. Concluir que si A es cerrado en X y B es cerrado en Y, entonces A × B es cerrado en X × Y.

(25) Probar que X es Hausdorff si y sólo si la diagonal Δ = {(x, x) : x ∈ X} es cerrada en X × X.

(26) (a) Sean x_{0} ∈ X e y_{0} ∈ Y. Probar que las funciones f : X → X × Y y g : Y → X × Y definidas por f(x) = (x, y_{0}), g(y) = (x_{0}, y) son inmersiones (i.e. definen un homeomorfismo con su imagen).

(b) Sea X un espacio con una distancia d : X × X → ℝ. Probar que la topología inducida por la métrica es la mínima tal que d es continua. (Sugerencia: si d es continua, también lo es d_{x_{0}} : X → ℝ, d_{x_{0}}(x) = d(x, x_{0}).)

(27) Sea {X_{i}}_{i∈I} una familia de espacios topológicos, y sea para cada i ∈ I un subconjunto A_{i} ⊆ X_{i}. Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas y cuáles falsas si se toma en X = ∏_{i∈I} X_{i} la topología producto. ¿Y si se toma la topología caja?

(a) Si cada A_{i} es cerrado en X_{i} entonces ∏_{i∈I} A_{i} es cerrado en X.

(b) \overline{∏_{i∈I} A_{i}} = ∏_{i∈I} \overline{A_{i}}.

(28) Sea (x_{α})_{α∈Λ} una red de puntos en el espacio topológico X = ∏_{i∈I} X_{i} (considerado con la topología producto). Probar que la sucesión (x_{α})_{α∈Λ} converge a x si y sólo si la red π_{i}(x_{α}) converge a π_{i}(x) en X_{i} para todo i ∈ I. ¿Es cierto esto si se toma en X la topología caja?

Espacios irreducibles

Un espacio topológico X se dice irreducible si X ≠ ∅ y si cada par de conjuntos abiertos no vacíos de X se cortan.

(29) Probar que un espacio topológico X es irreducible si y sólo si cada subconjunto abierto no vacío de X es denso.

(30) Probar que Spec A es irreducible si y sólo si el nilradical de A es un ideal primo (recordar que el nilradical de un anillo es igual a la intersección de todos sus ideales primos).

(31) Sea X un espacio topológico.

(a) Si Y es un subconjunto de X, irreducible con la topología de subespacio, entonces la clausura \overline{Y} de Y en X también es irreducible.

(b) Cada subespacio irreducible de X está contenido en un subespacio maximal irreducible.

(c) Los subespacios maximales irreducibles de X son cerrados y recubren X. Se denominan componentes irreducibles de X. ¿Cuáles son las componentes irreducibles de un espacio de Hausdorff?

(d) Caracterizar las componentes irreducibles del espectro de un anillo Spec A.