Topología

Práctica 2

Durante esta práctica, σ_{n} denotará al n-simplex estándar de dimensión n,

σ_{n} := {(x_{0}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n+1}/x_{0} + ⋯ + x_{n} = 1} .

Homología y aplicaciones

(1) Sea X un espacio topológico y A ⊂ X un retracto. Probar que la inclusión ι : A ↪ X induce un monomorfismo ι_{∗} : H_{∗}(A) → H_{∗}(X), y que si A es un retracto por deformación fuerte, entonces ι_{∗} es un isomorfismo.

(2) Calcular H_{∗}(ℙ^{2}(ℝ)).

(3) Calcular H_{∗}(S^{n}), para todo n ≥ 1 y mostrar que S^{n} no es contráctil.

(4) Probar que S^{n} no es un retracto de D^{n+1} y que toda función continua f : D^{n} → D^{n} tiene algún punto fijo.

(5) a) Sea s_{n} : S^{n} → S^{n} la simetría respecto al hiperplano {x_{n} = 0}. Probar que s_{n} no es homotópica

a la identidad.

b) Sea a : S^{n} → S^{n} la aplicación antipodal (a(x) = −x). Probar que si n es par, entonces a no es homotópica a la identidad.

c) Probar que si f : S^{n} → S^{n} es homotópica a la identidad y n es par, entonces f tiene un punto fijo.

d) Probar que si n es par, no existe ninguna función f : S^{n} → S^{n} tal que los vectores x y f(x) sean ortogonales (en ℝ^{n+1}) para todo x ∈ S^{n}. ¿Qué pasa si n es impar?

(6) Dado un espacio topológico X, se define la suspensión de X como Σ(X) = X × I/ ∼ donde ∼ es

la menor relación de equivalencia tal que (x, 0) ∼ (y, 0) y (x, 1) ∼ (y, 1), para todos x, y ∈ X. Probar que Σ(S^{n}) es homeomorfo a S^{n+1}. Una función continua f : X → Y induce una función Σ(f) : Σ(X) → Σ(Y), definida por Σ(f)[(x, t)] = [(f(x), t)]. Verificar que Σ(f) está bien definida y resulta continua. Si X es arcoconexo, calcular H_{0}(X) y H_{1}(X). Probar que H_{n}(Σ(X)) ≃ H_{n−1}(X), para n ≥ 2.

(7) Sea U ⊂ ℝ^{n} abierto. Probar que toda función f : U → ℝ^{n} continua e inyectiva es abierta.

(8) Sean U ⊆ ℝ^{n} y V ⊆ ℝ^{m} abiertos. Probar que si U y V son homeomorfos, entonces n = m.

(9) Probar que si U ⊆ ℝ^{n} es abierto y existe f : U → ℝ^{m} continua e inyectiva, entonces n ≤ m.