Topología

Práctica 2

Topologías inciales y finales

(1) Sea {X_{i}}_{i∈I} una familia de espacios topológicos. Sean Z = ∏_{i∈I} X_{i}, W = ∐_{i∈I} X_{i}, y para cada i ∈ I, π_{i} : Z → X_{i} la proyección i-ésima, y λ_{i} : X_{i} → W la inclusión.

(a) Probar que π_{i} es abierta para todo i ∈ I.

(b) Probar que λ_{i} es abierta y cerrada.

(2) Sea {X ⟶^{f_{i}} X_{i}}_{i∈I} una familia inicial de funciones (o sea, X tiene la topología inicial inducida

por las funciones f_{i}), y f : X → ∏ X_{i} la función definida por

f(x) = (f_{i}(x))_{i∈I}.

Sea Z la imagen de f. Probar que f : X → Z es abierta.

(3) Consideremos el espacio de Sierpinski, S = {0, 1}, T (S) = {∅, {1}, S}. Sea X un espacio topológico.

(a) Probar que A ⊆ X es abierto si y sólo si la función característica de A, χ_{A} : X → S, es continua.

(b) Probar que la familia {χ_{U}}_{U∈T_{X}} es una familia inicial para la topología de X.

(4) Probar que si f : X → Y es final e inyectiva entonces es inicial.

(5) Si f : X → Y es inicial y suryectiva entonces es cociente (es decir, f es final y suryectiva).

(6) Sea f : X → Y una función continua. Probar que si existe g : Y → X continua tal que f ∘ g = id_{Y} entonces f es un cociente.

(7) Sea π_{1} : ℝ × ℝ → ℝ la proyección a la primer coordenada.

(a) Sea X el subespacio ({0} × ℝ) ∪ (ℝ × {0}) de ℝ × ℝ, y sea g = π_{1}|_{X}. Mostrar que g es cerrada pero no abierta.

(b) Sea Y el subespacio (ℝ_{≥0} × ℝ) ∪ (ℝ × {0}) de ℝ × ℝ, y sea h = π_{1}|_{Y}. Mostrar que h no es abierta ni cerrada pero es cociente.

(8) Caracterizar el espacio cociente ℝ^{2}/ ∼ en cada uno de los siguientes casos (a) (x_{0}, y_{0}) ∼ (x_{1}, y_{1}) ⇔ x_{0} + y_{0}^{2} = x_{1} + y_{1}^{2}.

(b) (x_{0}, y_{0}) ∼ (x_{1}, y_{1}) ⇔ x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}.

(9) Sea Z el subespacio ℝ × {0} ∪ {0} × ℝ de ℝ × ℝ. Definimos g : ℝ × ℝ → Z por la fórmula

\{ \begin{matrix}g((x, y)) & = & (x, 0) si x ≠ 0 \\ g((0, y)) & = & (0, y) \end{matrix}

(a) ¿Es g un cociente? ¿Es g continua?

(b) Mostrar que Z con la topología cociente inducida por g no es Hausdorff.

(10) Sean X un espacio topológico, ∼ una relación de equivalencia en X y p : X → X/_{∼} la proyección

al cociente.

Sea R = {(x, y) ∈ X × X : x ∼ y }. Probar que:

(a) Si X/_{∼} es Hausdorff, entonces R es cerrado en X × X.

(b) Si p: X → X/_{∼} es abierta y R es cerrado en X × X, entonces X/_{∼} es Hausdorff .

(c) Si p × p : X × X → X/_{∼} × X/_{∼} dada por p × p (x_{1}, x_{2}) = (p(x_{1}), p(x_{2})) es final, y R es cerrado en X × X, entonces X/_{∼} es Hausdorff.

Grupos topológicos

(11) Probar que los siguientes espacios son grupos topológicos con las operaciones indicadas. (a) (ℝ, +).

(b) (S^{1}, ·) (· el producto en ℂ).

(c) (GL(n, ℝ), ·) considerando a GL(n, ℝ) como subespacio de R^{n^{2}}.

(d) Los subgrupos de GL(n, ℝ), SL(n, ℝ) de matrices de determinante 1, y O(n, ℝ) de matrices ortogonales.

(12) Sea G un grupo topológico y ℱ_{e} el filtro de entornos de la identidad del grupo.

(a) Probar que A ⊆ G es abierto si y sólo si g^{−1} · A ∈ ℱ_{e} para todo g ∈ A.

(b) ℱ_{e} tiene las siguientes propiedades:

(i) Si U ∈ ℱ_{e}, existe V ∈ ℱ_{e} tal que V · V^{−1} ⊆ U, (ii) Si U ∈ ℱ_{e}, y g ∈ G, g · U · g^{−1} ∈ ℱ_{e}.

(c) Sea G un grupo y ℱ una familia de subconjuntos de G que verifican e ∈ U para todo U ∈ ℱ,

si U, V ∈ ℱ, entonces U ∩ V ∈ ℱ,
si U ∈ ℱ y U ⊆ V, entonces V ∈ ℱ

y las propiedades (i) y (ii) de la parte (b). Probar que existe una única topología en G que lo hace un grupo topológico con ℱ_{e} = ℱ.

(13) Sea G un grupo topológico. Probar que son equivalentes:

(a) {e_{G}} es cerrado;

(b) G es Hausdorff;

(c) G es T_{0}.

(14) Sean A, B subconjuntos de una grupo topológico G. Verificar que (a) \overline{A} · \overline{B} ⊆ \overline{A · B}.

(b) (\overline{A})^{−1} = \overline{(A^{−1})}.

(c) g · \overline{A} · h^{−1} = \overline{(g · A · h^{−1})} para todo g, h ∈ G.

(d) Deducir que si H es un subgrupo de un grupo topológico G, entonces la clausura de H es también un subgrupo. Es más, si H es invariante, su clausura también.

(15) Sean G, H grupos topológicos. Probar que un morfismo de grupos f : G → H es continuo si y sólo si es continuo en el elemento identidad de G.

(16) Sea G un grupo topológico y H un grupo abstracto. Sea f : G → H un morfismo de grupos. Probar

que son equivalentes:

(i) El núcleo ker f es abierto. (ii) f es continuo, considerando a H munido de la topología discreta. (iii) f es continuo para cualquier topología que se ponga en H.

(17) (a) Un subgrupo H de un grupo topológico G es abierto si y sólo si su interior es no vacío.

(b) Si H es un subgrupo abierto entonces es cerrado. ¿Es cierto que si H es cerrado entonces es abierto?

(c) Si H contiene un subconjunto abierto entonces es abierto.

Un espacio topológico X se dice un espacio homogéneo si para todo par de puntos x, y ∈ X, existe un homeomorfismo f : X → X tal que f(x) = y.

Si X es un G-espacio, decimos que la acción de G en X es transitiva si para todo par de puntos x, y ∈ X, existe un elemento g ∈ G tal que g · x = y. En particular, si G actúa transitivamente en X, entonces X es un espacio homogéneo.

(18) Verificar que un grupo topológico es un espacio homogéneo.

(19) Sea G un grupo topológico, y H ⊆ G un subgrupo. Sea G/H el espacio de coclases a izquierda con la topología cociente; esto es, definimos en G la relación de equivalencia

g ∼ g′ ⟺ gh = g′ para algún h ∈ H

y notamos con G/H al espacio cociente G/_{∼}. Probar:

(a) La proyección p : G → G/H es abierta.

(b) H es cerrado si y sólo si G/H es T_{1}.

(c) H es abierto si y sólo si G/H es discreto.

(d) G actúa transitivamente en G/H, por lo tanto, G/H es un espacio homogéneo.

(e) Si H es invariante, entonces G/H es un grupo topológico y p : G → G/H es un morfismo de grupos topológicos, esto es, es morfismo de grupos y continuo. Además, si H es cerrado, G/H es Hausdorff.

Acciones de un grupo en un espacio topológico

Sea X un espacio topológico y G un grupo topológico. Una acción (a izquierda) de G en X es una función continua G × X → X, que denotaremos (g, x) ↦ g · x, tal que

(i) e.x = x para todo x ∈ X, donde e ∈ G es la identidad de G. (ii) g · (h · x) = (gh) · x para todo x ∈ X y todo g, h ∈ G. Un espacio topológico munido de una acción de G se llama un G-espacio.

(20) Probar que las siguientes definiciones dan a X una estructura de G-espacio.

(a) X = ℝ, G = ℤ, y la acción es n · x = n + x, para n ∈ ℤ, x ∈ ℝ.

(b) X = ℝ^{2}, G = ℤ × ℤ, y la acción es (n, m) · (x, y) = (n + x, m + y).

(c) X = S^{n}, G = ℤ/2ℤ = {±1}, y la acción es ±1 · x = ±x.

(d) X = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : −1/2 ≤ y ≤ 1/2}, G = ℤ, y la acción es m · (x, y) = (m + x, (−1)^{m}y).

(21) Si X es un G-espacio, podemos definir en X una relación de equivalencia por

x ∼ y ⟺ ∃ g ∈ X tal que y = g · x.

El espacio de cociente resultante lo notamos con G\X, y consideramos en él la topología cociente.

(a) Probar que la proyección al cociente p : X → G\X es abierta.

(b) Probar que si G es finito, p es cerrada.

(c) Probar que el espacio cociente ℤ\ℝ (ejercicio (20), (a)) es homeomorfo a S^{1}.

(d) Probar que el espacio cociente (ℤ × ℤ)\ℝ^{2} (ejercicio (20), (b)) es homeomorfo al toro S^{1} × S^{1}.

(e) Probar que el espacio cociente ℤ\X (ejercicio (20), (d)) es homeomorfo a la banda de Möbius (recordar que esta última se define como el cociente de [0, 1]×[0, 1] por la relación que identifica (0, y) con (1, 1 − y), y ∈ [0, 1]).

Notación: al espacio cociente (ℤ/2ℤ)\S^{n} (ejercicio (11), (c)) se lo nota con ℙ^{n}(ℝ), y se llama el espacio proyectivo real de dimensión n.