Topología

Práctica 3

Conexión

(1) Sean T , T′ dos topologías en X. Si T′ ⊃ T , ¿qué puede implicar la conexión de X en una de las topologías respecto de la conexión en la otra?

(2) (a) Sea {A_{n}}_{n∈ℕ} una sucesión de subespacios conexos de X tales que A_{n} ∩ A_{n+1} ≠ ∅ para

todo n ∈ ℕ. Demostrar que ⋃_{n∈ℕ} A_{n} es conexo.

(b) Sean {A_{α}}_{α∈Λ} una colección de subespacios conexos de X y A un subespacio conexo de X. Demostrar que si A ∩ A_{α} ≠ ∅ para todo α ∈ Λ, entonces A ∪ ⋃_{α∈Λ} A_{α} es conexo.

(3) ¿Es cierto que si X tiene la topología discreta, entonces X es totalmente disconexo? ¿Vale la vuelta?

(4) Mostrar que todo espacio irreducible es conexo.

(5) ¿Es cierto que si X es conexo, entonces para todo subconjunto A de X propio no vacío se tiene Fr A ≠ ∅? ¿Vale la vuelta?

(6) Considere los siguientes conjuntos con la topología del orden. Decidir cuáles son conexos. (a) ℕ × [0, 1).

(b) [0, 1) × ℕ.

(c) [0, 1) × [0, 1].

(d) [0, 1] × [0, 1).

(7) (a) Mostrar que entre los espacios (0, 1), (0, 1] y [0, 1] no hay dos homeomorfos.

(b) Supongamos que f : X → Y, g : Y → X son inmersiones (esto es, son iniciales e inyectivas). Mostrar que no necesariamente X e Y son homeomorfos.

(8) (a) ¿Es el producto de espacios arco-conexos arco-conexo?

(b) Si A ⊂ X y A es arco-conexo, ¿Es \overline{A} arco-conexo?

(c) Si f : X → Y es continua y X es arco-conexo, ¿Es f(X) arco-conexo?

(d) Si {A_{α}}_{α∈Λ} es una colección de subconjuntos arco-conexos de X y ⋂_{α∈Λ} A_{α} ≠ ∅, ¿Es ⋃_{α∈Λ} A_{α} arco-conexo?

(9) Mostrar que ℝ^{n} y ℝ no son homeomorfos si n > 1.

(10) Calcular las componentes conexas y arco-conexas de ℝ_{l}.

(11) Definamos en X la relación x ∼ y si no existe separación X = A ∪ B de X en dos conjuntos abiertos y disjuntos tales que x ∈ A, y ∈ B. Mostrar que es una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia se llaman cuasi-componentes de X. Mostrar que cada componente conexa de X está contenida en una cuasi-componente.

(12) Determinar las cuasi-componentes, las componentes conexas y las arco-conexas de los siguientes subconjuntos de ℝ^{2} (donde K denota el conjunto {1/n : n ∈ ℕ}, y −K denota el conjunto {−1/n : n ∈ ℕ}). A = (K × [0, 1]) ∪ ({0} × [0, 1]). B = (A \ {(0, 1/2)}). C = B ∪ ([0, 1] × {0}). D = (K × [0, 1]) ∪ (−K × [−1, 0]) ∪ ([0, 1] × −K) ∪ ([−1, 0] × K).

(13) Sea X localmente arco-conexo. Mostrar que todo abierto conexo de X es arco-conexo.

(14) Sea X un espacio topológico tal que cada uno de sus puntos tiene una base de entornos conexos (i.e. X es localmente conexo). Probar que entonces, cada punto tiene un base de entornos abiertos y conexos.

(15) Probar que todo subconjunto conexo de ℝ^{n} con más de un punto, es no numerable.

(16) Probar que toda función f : ℝ → ℝ continua e inyectiva es abierta.

(17) ¿Existe una función f : [0, 1] → [0, 1] estrictamente creciente tal que para todo a < b, f((a, b)) no sea conexo?

(18) Caracterizar las componentes conexas de GL(n, ℝ) y GL(n, ℂ).

(19) Sea G un grupo topológico y sea H un subgrupo. Probar que si H y G/H son conexos, entonces G es conexo.

(20) Probar que SO(n, ℝ), el subgrupo de O(n, ℝ) de las matrices con determinante 1 es conexo. Concluir que O(n, ℝ) tiene dos componentes conexas.

(21) Mostrar que la componente conexa de la identidad de un grupo topológico G es un subgrupo normal y cerrado.

(22) Sea A = ∏_{i=1}^{n} A_{i} el producto directo de anillos A_{i}. Probar que Spec(A) es la unión disjunta de

subespacios abiertos (y cerrados) X_{i}, donde X_{i} es canónicamente homeomorfo a Spec(A_{i}).

Recíprocamente, sea A un anillo cualquiera. Probar que las siguientes proposiciones son equivalentes:

(i) Spec(A) es no conexo; (ii) A ≃ A_{1} × A_{2}, donde ninguno de los anillos A_{1}, A_{2} es el anillo cero; (iii) A contiene un elemento idempotente distinto de 0, 1.