Topología

Práctica 4

Compacidad

(1) a) Sean T y T′ dos topologías en X. Supongamos que T′ ⊃ T . ¿La compacidad de alguna de

estas topologías implica la compacidad de la otra?

b) Si X es compacto y Hausdorff tanto para T como para T′ entonces T = T′ o no son comparables.

(2) a) Mostrar que todo subconjunto de ℝ es compacto en la topología del complemento finito. b) ¿Es [0, 1] compacto como subespacio de ℝ en la topología

T_{c} = {U : ℝ \ A es numerable o todo ℝ}?

¿Lo es como subespacio de ℝ_{l}?

(3) Sean A, B dos subespacios compactos de un espacio X compacto y Hausdorff. Mostrar que existen abiertos disjuntos U, V tales que U ⊃ A, V ⊃ B.

(4) Sea f : X → Y, con Y compacto y Hausdorff. Entonces f es continua si y sólo si el gráfico de f,

G_{f} = {(x, f(x)) : x ∈ X},

es cerrado en X × Y.

(Sugerencia: Si G_{f} es cerrado y V es un entorno abierto de f(x_{0}), encontrar un tubo que contenga a {x_{0}} × (Y \ V) que no corte a G_{f}.)

(5) Sean X → Y, Z → Y funciones continuas, con X, Z compactos e Y Hausdorff. Consideremos el

producto fibrado

\xymatrix{X ×_{Y} Z \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y.}

Probar que X ×_{Y} Z es compacto.

Dar un contraejemplo en el que Y no sea Hausdorff.

(6) Mostrar que ℚ no es localmente compacto.

(7) Mostrar que si ∏_{α∈Λ} X_{α} es localmente compacto, entonces cada X_{α} es localmente compacto y todos los X_{α}, salvo una cantidad finita, son compactos.

(8) Sea X un espacio localmente compacto. Si f : X → Y es continua, ¿Es f(X) localmente compacto? ¿Y si f es además abierta?

(9) Probar que la compactificación a un punto de ℕ es homeomorfa a {0} ∪ {1/n : n ∈ ℕ} con la topología que hereda como subespacio de ℝ.

(10) Probar que la compactificación a un punto de ℝ^{n} es homeomorafa a S^{n}. (Considerar la proyección estereográfica p : S^{n} \ \{(0, 0, …, 0, 1)\} → ℝ^{n}, p(x_{1}, …, x_{n+1}) = \frac{1}{1−x_{n+1}} (x_{1}, …, x_{n}).)

(11) Sea A un anillo conmutativo con unidad. Probar que Spec A es compacto. Más generalmente, probar que los conjuntos (Spec A)_{f} (ejercicio 19, práctica 1) son compactos.

Funciones propias

Sea f : X → Y una función continua entre espacios topológicos. Decimos que es propia si es universalmente cerrada, es decir, si:

(i) f es cerrada; (ii) Para toda función continua Z → Y, f_{(Z)} es cerrada, donde f_{(Z)} es la función inducida en el

producto fibrado

\xymatrix{X ×_{Y} Z \ar[d]_{f_{(Z)}} \ar[r] & X \ar[d]^{f} \\ Z \ar[r] & Y.}

(12) Probar:

(a) un homeomorfismo es una función propia;

(b) la composición de dos funciones propias es propia;

(c) las funciones propias son estables por cambio de base. Esto significa que si f : X → Y es propia y g : Z → Y es cualquier función continua, entonces f_{(Z)} : X ×_{Y} Z → Z es propia.

(13) Sean f : X → Y, f′ : X′ → Y′ propias. Entonces f × f′ : X × X′ → Y × Y′ es propia.

(14) Sea h : X → Y suryectiva y propia. Probar que si X es Hausdorff, entonces Y también lo es.

(15) Sea X un espacio topológico. Probar que son equivalentes:

(i) X es compacto; (ii) la función X → 1 es propia; (iii) para todo espacio Z, la proyección π_{2} : X × Z → Z es cerrada; (iv) toda red en X tiene una subred convergente.

(16) Dar un ejemplo de una función cerrada que no sea propia.

(17) Probar que si f : X → Y es propia, entonces las fibras f^{−1}(y) son compactas para todo y ∈ Y.