Topología

Práctica 6

Espacios de funciones

(1) Sea (Y, d) un espacio métrico. Probar que una sucesión de funciones continuas f_{n} : X → Y converge a una función f en la topología de convergencia sobre compactos si y sólo si para cada compacto C ⊂ X, la sucesión f_{n}| : C → Y converge uniformemente a f|C.

(2) Similarmente a como se definió la topología uniforme en ℝ^{ω}, definimos en Y^{X} la topología uniforme, para (Y, d) métrico. Primero tomamos la métrica acotada \overline{d}(y_{1}, y_{2}) = mín\{d(y_{1}, y_{2}), 1\}. Luego tomamos en Y^{X} la métrica d′(f, g) = sup\{\overline{d}(f(x), g(x)) : x ∈ X\}. La topología uniforme en Y^{X} es entonces la inducida por la métrica d′.

Probar que la topología uniforme es más fina que la topología de convergencia sobre compactos, y que esta es más fina que la topología de convergencia puntual. Probar además que si X es compacto las dos primeras coinciden, y que si X es discreto la dos últimas coinciden.

(3) Probar que si (Y, d) es métrico, la topología compacto abierta y la de convergencia sobre compactos coinciden.

(4) Mostrar que en la topología compacto abierta, C(X, Y) es Hausdorff si Y lo es, y regular si Y lo es. (Sugerencia: Si \overline{U} ⊂ V, entonces \overline{S(C, U)} ⊂ S(C, V).)

(5) Notemos con C′(X, Y) al conjunto C(X, Y) en alguna topología T . Mostrar que si la evaluación

e : X × C′(X, Y) → Y

es continua, entonces T contiene la topología compacto abierta.

(6) Mostrar que ev : [0, 1]^{ℚ} × ℚ → [0, 1] no es continua. (Sugerencia: ℚ no es localmente compacto y es completamente regular.)