Topología

Práctica 7

Homotopía

Notaciones varias:

∗: el singleton;

I: [0, 1] con la topología usual;

S^{n} = {x ∈ ℝ^{n+1} : ∥x∥ = 1}, la esfera n-dimensional; D^{n} = {x ∈ ℝ^{n} : ∥x∥ ≤ 1}, el disco n-dimensional; IX = X × I, el cilindro de X; CX = IX/ ∼, el cono de X; i : X → CX la inclusión en la base del cono; [X, Y]: el conjunto de clases homotópicas de funciones continuas de X a Y, es decir,

[X, Y] = {[f]/f : X → Y continua, [f] = [g] ⇔ f ∼ g} = Hom(X, Y)/ ∼ .

(1) Probar que i_{0}, i_{1} : X → IX definidas por i_{0}(x) = (x, 0) e i_{1}(x) = (x, 1) son equivalencias homotópicas, con la misma inversa p : IX → X, p(x, t) = x. Además, i_{0} ∼ i_{1}.

(2) (a) Probar que [∗, X] = π_{0}(X) para todo espacio X.

(b) En general, probar que [Y, X] = π_{0}(X) si Y es contráctil.

(3) Sean f : X → Y continua y Z otro espacio topológico. Definimos

f^{∗} : [Y, Z] → [X, Z], f^{∗}([g]) = [gf],
f_{∗} : [Z, X] → [Z, Y], f_{∗}([h]) = [fh].

(a) Probar que f^{∗} y f_{∗} están bien definidas.

(b) Probar que si f ∼ g entonces f^{∗} = g^{∗} y f_{∗} = g_{∗}.

(c) Deducir que si f es equivalencia homotópica entonces f^{∗} y f_{∗} son biyecciones. En particular, si X e Y son del mismo tipo homotópico, π_{0}(X) = π_{0}(Y).

(4) Sea G un grupo topológico. Probar que para todo espacio X, [X, G] es un grupo con la operación

[f].[g] = [f.g],

donde (f.g)(x) = f(x).g(x). Probar además que si f : X → Y es continua entonces f^{∗} : [Y, G] → [X, G] es morfismo de grupos.

(5) Sean f, g : X → Y funciones homotópicas. Probar que f es equivalencia homotópica si y sólo si g lo es.

(6) (a) Hallar una función continua con inversa homotópica a izquierda pero no a derecha y viceversa.

(b) Probar que si una función continua tiene inversa homotópica a izquierda y a derecha, entonces es equivalencia homotópica.

(7) Probar que f : X → Y es equivalencia homotópica si y sólo si existen g, h : Y → X tales que fg y hf son equivalencias homotópicas.

(8) Probar que i : X → CX es una inclusión cerrada.

(9) Probar que CX es contráctil para todo espacio X.

(10) Sea X = {(x, y) ∈ ℝ^{2}/0 ≤ y ≤ 1, x = 0 ó x = 1/n para algún n ∈ ℕ} ∪ {(x, y) ∈ ℝ^{2}/y = 0, 0 ≤ x ≤ 1}, con la topología inducida de ℝ^{2} (este espacio se conoce como el peine). Sea x_{0} = (0, 1) ∈ X. Probar que X es contráctil pero no existe una homotopía entre id_{X} y c_{x_{0}} que sea relativa a x_{0} (es decir, que toda homotopía entre la identidad y la constante x_{0} va moviendo al punto durante la deformación).

(11) Sea X el espacio que se obtiene al pegar dos copias del peine, identificando el punto (0, 1) de ambas copias (es decir, X es el cociente de la unión disjunta de dos copias del peine identificando tal punto de una copia con el mismo de la otra). Probar que X no es contráctil.

(12) Sea X un espacio topológico y A un subespacio discreto con más de un punto. Probar que si X es conexo entonces A no es un retrácto débil de X.

(13) Sea A el peine. Probar que la inclusión i : A → I^{2} es un retracto por deformación débil pero no un retracto por deformación fuerte.

(14) Sea X un subespacio convexo de ℝ^{n} y sea x_{0} un punto de X. Probar que {x_{0}} es un retracto por deformación fuerte de X.

(15) Sea f : X → Y continua. Definimos el cono de f como el espacio topológico Cf que se obtiene tomando la unión disjunta de CX e Y y luego identificando los puntos (0, x) ∈ CX con los puntos f(x) ∈ Y; es decir, pegamos la base del cono al espacio Y usando f. Denotamos con \overline{(x, t)} y con \overline{y} las clases de los elementos en el cociente.

(a) Probar que j : Y → Cf definida por j(y) = \overline{y} es subespacio (es decir, es inyectiva e inicial).

(b) Sea g : Y → Z una función continua. Probar que gf : X → Z es null-homotópica si y sólo si g se extiende continuamente a Cf (es decir, existe \overline{g} : Cf → Z tal que \overline{g}j = g).

(16) Probar que X es contráctil si y sólo si i : X → CX es un retracto.

(17) Sea f : X → Y continua. Definimos el cilindro de f como el espacio topológico Z_{f} que se obtiene tomando la unión disjunta de IX con Y, identificando luego los puntos (x, 0) con f(x); es decir, pegamos la base del cilindro al espacio Y usando f. Denotamos con \overline{(x, t)} e \overline{y} las clases de los elementos en el cociente. Sea i : X → Z_{f} la inclusión i(x) = \overline{(x, 1)} y sea j : Y → Z_{f} la inclusión j(y) = \overline{y}.

(a) Probar que r : Z_{f} → Y definida por r(\overline{(x, t)}) = f(x) y r(\overline{y}) = y está bien definida y es continua.

(b) Probar que j es equivalencia homotópica con inversa r.