Topología

Práctica 8

Grupo fundamental y revestimientos

Notación: H : ω ≃_{p} ω′ denota una homotopía de caminos entre ω y ω′.

(1) Sean H : ω_{1} ≃_{p} ω_{2}, G : ω_{2} ≃_{p} ω_{3} y F : ω′_{1} ≃_{p} ω′_{2}, M : ω′_{2} ≃_{p} ω′_{3} con ω_{i}(1) = ω′_{i}(0). Probar que

(H + G) ∗ (F + M) = (H ∗ F) + (G ∗ M)

(2) Probar que un grupoide es trivial si y sólo si es equivalente al grupoide singleton (grupoide de un solo elemento y una sola flecha).

(3) Sean X un espacio topológico y x_{0} ∈ X. Sea ΩX = {ω : I → X , ω(0) = ω(1) = x_{0}} con la topología del subespacio de la compacto abierta. Probar que π_{1}(X, x_{0}) = π_{0}(ΩX).

(4) Sean X espacio topológico, x_{0} ∈ X y s ∈ S^{1} un punto cualquiera. Probar que π_{1}(X, x_{0}) = Hom_{HTop_{∗}}((S^{1}, s), (X, x_{0})).

(5) Sean x_{0}, x_{1} ∈ X dos puntos en un espacio arco-conexo X. Probar que π_{1}(X, x_{0}) es abeliano si y

sólo si para todo par de caminos x_{0} ⟶^{ω, ω′} x_{1}, se tiene ω̂ = ω̂′.

(6) Sea A ⊂ ℝ^{n} un subespacio, y sea f : A → X una función continua, donde X es un espacio topológico arbitrario. Probar que si f se extiende a una función g : ℝ^{n} → X, entonces, para todo a ∈ A, el morfismo f_{∗} : π_{1}(A, a) → π_{1}(X, f(a)) es el morfismo trivial.

(7) Sea A ⊂ X un subespacio.

(a) Probar que si A es un retracto de X con retracción r : X → A, entonces para cualquier a_{0} ∈ A se tiene que r_{∗} : π_{1}(X, a_{0}) → π_{1}(A, a_{0}) es un epimorfismo e i_{∗} : π_{1}(A, a_{0}) → π_{1}(X, a_{0}) es un monomorfismo (donde i : A ↪ X es la inclusión).

(b) Probar que si A es un retracto por deformación (débil o fuerte) entonces π_{1}(A) y π_{1}(X) son grupoides equivalentes. En particular, para todo a_{0} ∈ A, π_{1}(A, a_{0}) = π_{1}(X, a_{0}).

(8) Sea G un grupo topológico con multiplicación · y elemento neutro e. Dados f, g ∈ Ω(G, e), definimos el lazo f ⊙ g como (f ⊙ g)(s) = f(s) · g(s).

(a) Mostrar que Ω(G, e) es un grupo con la operación ⊙.

(b) Probar que ⊙ induce una nueva operación de grupo en π_{1}(G, e), que por abuso notaremos ⊙.

(c) Demostrar que ⊙ coincide con ∗ en π_{1}(G, e) (sugerencia: considerar (f ∗ c_{e}) ⊙ (c_{e} ∗ g)).

(d) Deducir que π_{1}(G, e) es abeliano.

(9) Sea G un grupo topológico y H un subgrupo discreto. Probar que la proyección p : G → G/H es un revestimiento.

(10) Probar que p : ℝ_{>0} → S^{1} definida por p(x) = (cos 2πx, sen 2πx) es un homeo local pero no es un revestimiento.

(11) Sean X, Y espacios topológicos. Probar que las proyecciones p : X × Y → X y q : X × Y → Y inducen un isomorfismo de grupos:

π_{1}(X × Y, (x_{0}, y_{0})) = π_{1}(X, x_{0}) × π_{1}(Y, y_{0})

(12) Sea E = {(x, y) ∈ ℝ^{2} , x ∈ ℤ ó y ∈ ℤ} y sea B = {(z, w) ∈ S^{1} × S^{1} , z = 1 ó w = 1} (donde S^{1} lo vemos como subespacio de ℂ). Probar que p : E → B definida por p(x, y) = (e^{2πix}, e^{2πiy}) es un revestimiento.

(13) Sea X espacio topológico. Probar que f : X → S^{1} puede levantarse a una función continua f̃ : X → ℝ tal que pf̃ = f (donde p : ℝ → S^{1} es la función definida por p(x) = (cos 2πx, sen 2πx)) si y sólo si f es homotópicamente nula.

(14) Sea p × p : ℝ × ℝ → S^{1} × S^{1} el revestimiento usual del toro. Sea ω el camino

w(t) = ((cos 2πt, sen 2πt), (cos 4πt, sen 4πt)).

Dibujar w en el toro inmerso en ℝ^{3}, y calcular y dibujar un levantamiento ω̃.

(15) Sean f, g : S^{1} → S^{1} dadas por f(z) = z^{n}, g(z) = 1/z^{n}, donde n ∈ ℕ. Calcular f_{∗}, g_{∗} : π_{1}(S^{1}, 1) → π_{1}(S^{1}, 1).

(16) Sea p : X → B un revestimiento, con B simplemente conexo y X arco-conexo. Probar que es un homeomorfismo.

(17) Probar que si p : X → B y p : X′ → B′ son revestimientos, también es un revestimiento el producto p × p′ : X × X′ → B × B′.

(18) Sean p : X → Y y q : Y → Z revestimientos.

(a) Probar que si las fibras q^{−1}(z) de q son finitas entonces q ∘ p : X → Z es un revestimiento.

(b) Probar que (a) es falso si las fibras no son finitas.

(19) Sea p : X → B un revestimiento. Supongamos que B es conexo y localmente conexo. Probar que si C es una componente de X entonces p |_{C} : C → B es un revestimiento.

(20) Sean X → B e Y → B revestimientos. Probar que el producto fibrado X ×_{B} Y → B es un revestimiento.

(21) Sea p : X → B un revestimiento, Y ⊂ X un subespacio y supongamos que p |_{Y} : Y → B es revestimiento. Probar que también lo es el complemento p |_{X−Y} : X − Y → B (suponer B localmente conexo si es necesario).

(22) Sean p_{α} : X_{α} → B (con α ∈ I) revestimientos, y sea

Z = {(x_{α})_{α∈I} : p_{α}(x_{α}) = p_{β}(x_{β}) ∀ α, β ∈ I} = ∏_{α}_{B}X_{α}.

Sea q : Z → B la función natural.

(a) Probar que si I es finito entonces q es un revestimiento.

(b) Encontrar un contraejemplo con I infinito y los X_{α} conexos para todo α.

(c) Probar que si los X_{α} y los p_{α} son todos iguales entonces q es un revestimiento siempre (suponer aquí que X es conexo).

(23) Calcular π_{1}(X, x_{0}) en cada uno de los siguientes casos (como son todos arco-conexos elegir su punto base favorito). Algunos ejercicios se pueden encarar de distintas maneras: buscar retractos por deformación, revestimientos apropiados, acciones propiamente discontinuas.

(a) X = S^{1} × [0, 1] (un cilindro).

(b) X = S^{1} × ℝ (un cilindro infinito).

(c) X = M, la banda de Möbius.

(d) X = T = S^{1} × S^{1}, el toro usual. Dibujar los generadores en una inmersión de T en ℝ^{3}.

(e) X = ℝ^{3} \ L, donde L es una variedad lineal de dimensión 1 o 2 (o sea, una recto o un plano).

(24) Definimos la botella de Klein como el cociente del cuadrado [0, 1]×[0, 1], donde identificamos (x, y) con (−x, −y). Calcular su grupo fundamental.

(25) Calcular el grupo fundamental del plano punteado en n puntos, ℝ^{2} − {x_{1}, …, x_{n}}.

(26) Sea f un lazo en ℂ − {0}, basado en el punto x_{0} ∈ ℂ − {0}.

(a) Sea p : ℝ → S^{1} el revestimiento usual. Consideremos el lazo h(s) = f(s)/∥f(s)∥ en S^{1}; levantándolo a un camino h̃ en ℝ, se tiene que h̃(1) = h̃(0) + n para algún n ∈ ℤ. Probar que la clase de homotopía de caminos [f] ∈ π_{1}(ℂ − {0}, x_{0}) determina n unívocamente, y viceversa. El entero n se llama el número de rotación de f respecto al 0.

(b) Supongamos que f es diferenciable a trozos. Probar que su número de rotación respecto al 0 es igual a la integral

\frac{1}{2πi} ∫_{f} \frac{dz}{z}

(sugerencia: si z = g(s) es un camino arbitrario, diferenciable a trozos, en ℂ − {0}, considerar el camino s ↦ g(s)/∥g(s)∥ en S^{1} y tomar θ un levantado al revestimiento ℝ; entonces g(s) = ∥g(s)∥e^{2πiθ(s)}. Calcular ∫_{g} \frac{dz}{z}).

(c) Sea b_{0} = 1 + 0i. Existen isomorfismos estándar π_{1}(ℂ − {0}, x_{0}) → π_{1}(ℂ − {0}, b_{0}) → π_{1}(S^{1}, b_{0}) → ℤ. Probar que el número de rotación de f es igual a la imagen de [f] vía estos isomorfismos.

(27) Definimos el grado de una función continua h : S^{1} → S^{1} de la siguiente manera:

Sea b_{0} = (1, 0) ∈ S^{1}; elijamos un generador γ del grupo cíclico infinito π_{1}(S^{1}, b_{0}) (sólo hay dos posibles opciones, diferenciadas por el signo). Si x_{0} es cualquier punto de S^{1}, escojamos un camino α en S^{1} de b_{0} a x_{0}, y definamos γ(x_{0}) = α̂(γ). Entonces γ(x_{0}) genera π_{1}(S^{1}, x_{0}). El elemento γ(x_{0}) es independiente de la elección del camino α (¿por qué?).

Dada ahora h : S^{1} → S^{1}, elijamos x_{0} ∈ S^{1} y pongamos h(x_{0}) = x_{1}. Conderemos el morfismo h_{∗} : π_{1}(S^{1}, x_{0}) → π_{1}(S^{1}, x_{1}). Como ambos grupos con cíclicos infinitos, tenemos que

(∗) h_{∗}(γ(x_{0})) = d.γ(x_{1})

para algún d ∈ ℤ, escribiendo el grupo aditivamente. El entero d se llama el grado de h y de senota por deg h. El grado de h es independiente de la elección del generador γ; eligiendo el otro generador simplemente cambiaría el signo de ambos lados de (∗).

(a) Demostrar que d es independiente de la elección de x_{0}.

(b) Probar que si h, k : S^{1} → S^{1} son homotópicas entonces tienen el mismo grado.

(c) Demostrar que deg(h ∘ k) = deg h. deg k.

(d) Calcular los grados de la aplicación constante, la aplicación identidad, la aplicación reflexión ρ(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}, −x_{2}) y la aplicación h(z) = z^{n}.

(e) Probar que si h, k : S^{1} → S^{1} tienen el mismo grado entonces son homotópicas.