Resolución eficaz de sistemas de ecuaciones polinomiales

José Enrique Morais San Miguel

Agradecimientos

Es imposible recoger en unas simples líneas las continuas muestras de apoyo, de confianza y de paciencia recibidas durante la realización de esta memoria por parte de los Doctores Luis Miguel Pardo Vasallo y Joos Heintz. Sin sus ideas, su inspiración y su ejemplo habría sido imposible que esta memoria viese la luz. Por todo ello, gracias a ambos.

Por otro lado, merece mi especial reconocimiento la colaboración mostrada por los profesores Marc Giusti y José Luis Montaña cuya aportación a esta tesis es importante. También, quiero destacar la colaboración con el resto de los miembros del equipo Tera en las Universidades de Cantabria y Pública de Navarra: Mikel Aldaz y Klemens Hägele.

Finalmente, deseo hacer este agradecimiento extensible a todos aquellos, tanto en el Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación de la Universidad de Cantabria como del Departamento de Matemática e Informática de la Universidad Pública de Navarra, que en mayor o menor medida han contribuido a crear un adecuado ambiente de trabajo y que han hecho que mi estancia en ambos centros a lo largo de estos últimos años haya sido agradable y fructífera.

“Gabriel felt humiliated by the failure of his irony and by the evocation of this figure from the dead, a boy in the gasworks. While he had been full of memories of their secret life together, full of tenderness and joy and desire, she had been comparing him in her mind with another. A shameful consciousness of his own person assailed him”.

JAMES JOYCE: The Death

Índice General

Introducción 1

1 Modelos de computación 15 1.1 Máquinas de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Esquemas de evaluación y redes aritméticas . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Preliminares 25

2.1 El problema de consistencia y las nociones de resolución . . . . . . . 25 2.1.1 Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Resolución de variedades intersección completa reducidas. Aspectos

cualitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Parámetros intrínsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Resolución en el caso intersección completa reducida. Aspectos cuan-

titativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5 Polinomios en posición general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.6 Newton–Hensel en anillos locales noetherianos y completos . . . . . . 56 2.7 Traza y dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Sobre esquemas de evaluación 65

3.1 Polinomios y esquemas de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.1.1 Operador de Newton sin divisiones . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Construcción de un elemento primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3 Números racionales y esquemas de evaluación . . . . . . . . . . . . . 86

4 Un algoritmo para la resolución geométrica 89 4.1 Introducción y resultados principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2 Paso inductivo del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.1 De dimensión cero a dimensión positiva . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.2 De dimensión positiva a dimensión cero . . . . . . . . . . . . . 103

4.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.3.1 Resolución fuera de una hipersuperficie dada . . . . . . . . . . 111 4.3.2 Consistencia de sistemas de ecuaciones polinomiales . . . . . . 114 4.3.3 Cotas inferiores relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.3.4 Consistencia modular: cotas inferiores . . . . . . . . . . . . . 115 4.4 Conclusiones y preguntas abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5 Cota inferior para la aproximación diofántica 119 5.1 División módulo ideales intersección completa . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 Cota inferior para la aproximación diofántica . . . . . . . . . . . . . . 125

6 Apéndice: Cotas inferiores para redes aritméticas: Números de Betti 129 6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.2 Homología de Borel–Moore de conjuntos semialgebraicos . . . . . . . 133 6.3 Redes aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.3.1 Cotas inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3.2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Introducción

A lo largo de la memoria nos ocuparemos del estudio de la consistencia y de la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales multivariados. Este tipo de sistemas aparecen de manera natural en múltiples problemas procedentes de los más diversos campos.

Cuando se trata de tratar un tipo específico de problemas desde el punto de vista de la Informática Teórica, se plantean dos preguntas básicas: ¿Cómo resolver los mismos en el menor tiempo y espacio posibles? ¿Qué tipo de obstrucciones inherentes a los problemas hacen que estos sean más o menos complejos? La primera pregunta se responde mediante el diseño de algoritmos que resuelvan el problema, mientras que la segunda pregunta se responde mediante el estudio de cotas inferiores. En esta memoria nos centraremos en ambos aspectos de los problemas de la eliminación.

Sean, por lo tanto, f_{1}, …, f_{s} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] polinomios con coeficientes enteros. En esta memoria nos ocuparemos, básicamente de dos problemas. Por un lado, el problema de decidir la consistencia del sistema y, por otro lado, la resolución del mismo. El primero de los problemas objeto de estudio puede formularse en los siguientes términos:

Problema de consistencia: Decidir si la variedad algebraica afín

V := V (f_{1}, …, f_{s}):= {x ∈ C^{n} : f_{1}(x) = 0, …, f_{s}(x) = 0},

es vacía.

En cuanto a la resolución, el problema consiste en dar una descripción sencilla de la variedad definida por los polinomios de entrada f_{1}, …, f_{s}, a través de la cual podamos, por ejemplo, dar respuesta al problema de decisión. A lo largo de esta memoria demostraremos que ambos problemas se pueden resolver mediante una complejidad booleana no muy alta, medida esta última en términos de parámetros de carácter geométrico asociados a la variedad de entrada. Para conseguir este propósito, es necesario tener en cuenta algunos aspectos básicos inherentes a la resolución en cualquier ordenador de problemas matemáticos. El primer problema que se plantea es conocer exactamente que se entiende por solución del problema en cuestión, es decir, conocer la semántica del problema. Por otro lado, es necesario considerar cuál es la mejor forma de representar las entidades matemáticas que aparecen en el desarrollo de los algoritmos propuestos para resolver los mismos.

Queda claro, pues, que para resolver este tipo de problemas hay que tener en consideración las limitaciones propias de la Informática, cosa esta última que parece olvidarse en la mayoría de trabajos del Cálculo Formal. Para poder observar los requerimientos de tiempo y espacio que demandan los algoritmos, en primer lugar, hay que fijar un modelo de computación. El modelo que se ha revelado como el más adecuado para estas consideraciones es de las máquinas de Turing (véase Subsección 1.1).

Para ilustrar estas consideraciones consideremos el siguiente problema NP –completo:

3SAT: Sean dadas Φ_{i}(X_{i_{1}}, …, X_{i_{3}}), 1 ≤ i ≤ n, claúsulas de tres variables del cálculo proposicional, X_{i_{1}}, X_{i_{2}}, X_{i_{3}} ∈ {X_{1}, …, X_{n}}. Decidir si la fórmula dada en forma normal conjuntiva:

Φ(X_{1}, …, X_{n}) := ⋀_{i=1}^{n} Φ_{i}(X_{i_{1}}, X_{i_{2}}X_{i_{3}}),

decidir si es satisfacible.

Este problema es una restricción del primer problema NP –completo conocido: el problema de satisfabilidad ([Cook, 1971]). La relevancia de este tipo de problemas se encuentra en el hecho de que se sitúan en la frontera de los problemas intratables. Este problema admite una traducción al lenguaje de polinomios sobre un cuerpo de característica cero:

Problema 1 Dada la sucesión de n polinomios con coeficientes enteros de grado a lo más dos, con coeficientes en {0, 1}, cada uno de ellos con tres variables involucradas:

p_{1}(X_{1,1}, X_{1,2}, X_{1,3}), …, p_{n}(X_{n,1}, X_{n,2}, X_{n,3})

decidir si el siguiente sistema de ecuaciones polinomiales tiene solución:

X_{1}^{2} − X_{1} = 0, …, X_{n}^{2} − X_{n} = 0, Y_{1}^{2} − Y_{1} = 0, …, Y_{3n}^{2} − Y_{3n} = 0

∏_{i=1}^{n} p_{i}(X_{i,1}, X_{i,2}, X_{i,3}) − (1 + ∑_{i=1}^{3n} Y_{j}2^{j}) = 0

Por lo tanto, podemos ver el problema 3SAT como un caso particular del problema de consistencia enunciado anteriormente. Hasta el momento se desconoce la existencia de un algoritmo que resuelva 3SAT en tiempo polinomial. La entrada puede escribirse usando O(n) bits, mientras que los mejores algoritmos existentes lo resuelven en tiempo n2^{n}.

Buena parte de los problemas que aparecen en el Cálculo Formal parten de su propósito absolutamente generalista y de su dependencia básica del álgebra. Consideremos el siguiente problema:

Problema 2 Dado un entero en representación binaria y los polinomios

X_{1}^{2} − X_{1} = 0, …, X_{n}^{2} − X_{n} = 0

k − (X_{1} + 2X_{2} + ⋯ + 2^{n−1}X_{n}) = 0

Decidir si el sistema posee solución.

De una mera inspección de la descripción de los Problemas 1 y 2, se extraería la conclusión de que se trata de problemas muy similares. Sin embargo, poseen caracteres semánticos completamente diferentes : como hemos dicho ya, el primero de los problemas no es más que la traducción algebraica de un famoso problema NP– completo. El segundo problema es una instancia particular de otro problema NP – completo: el problema de la mochila ([Heintz – Morgenstern, 1993]). Sin embargo, en él nos preguntamos si un número dado k puede ser codificado en binario usando, a lo más, n dígitos. Los métodos clásicos del Álgebra Computacional, basados en la sintaxis, son incapaces de distinguir las peculiaridades semánticas de ambos problemas y, por lo tanto, los tratarían de manera similar. Sin embargo, el significado de ambos problemas demanda soluciones diferentes para cada uno de ellos.

A través de los ejemplos anteriores se puede extraer la conclusión de que un punto de vista puramente sintáctico (algebraico) es incapaz de “distinguir” las características propias de los problemas en consideración. Esta forma de pensar es una de las causas que determinan los inconvenientes de los algoritmos tradicionales del Cálculo Formal en la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales. Por otro lado, los problemas que trataremos en esta memoria tienen un fuerte carácter geométrico y, por lo tanto, parece lógico adoptar un punto de vista más cercano a la geometría. Veamos en primer lugar cuál ha sido el acercamiento habitual al problema de resolución y los problemas a los que se enfrentan los algoritmos actualmente existentes:

La aproximación más habitual a la decisión de consistencia de sistemas de ecuaciones polinomiales consiste en trasladar la cuestión de manera directa a un problema de Algebra Lineal. El Teorema de los ceros de Hilbert asegura que la variedad dada V (f_{1}, …, f_{s}) es vacía si, y sólo si, el polinomio constante 1 pertenece al ideal generado en Q[X_{1}, …, X_{n}] por los polinomios de entrada f_{1}, …, f_{s} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}]. Por lo tanto, se trataría de ver si existen polinomios g_{1}, …, g_{s} ∈ Q[X_{1}, …, X_{n}] tales que

1 = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{s}f_{s}.

Si se conoce una cota sobre los grados de los polinomios g_{1}, …, g_{s} el problema, finalmente, se reduce a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Esta reducción al Algebra Lineal es, por otro lado, una constante en todos los algoritmos de eliminación. Este es el punto de vista adoptado en muchos trabajos (veánse como ejemplos [Berenstein – Yger, 1991a], [Berenstein – Yger, 1991b], [Brownawell, 1987], [Caniglia et al., 1989], [Caniglia et al., 1988], [Canny, 1988], [Chistov – Grigoriev, 1983], [Dubé, 1993], [Fitchas et al., 1995], [Giusti – Heintz, 1993], [Giusti et al., 1993], [Kollár, 1988], [Krick – Pardo, 1996], [Krick – Pardo, 1994], [Lakshman – Lazard, 1991], [Philippon, 1991a], [Sabia – Solernó, 1996]). Sin embargo, esta aproximación no es del todo satisfactoria, pues las mejores cotas conocidas son del tipo d^{n}, si d es una cota para los grados de los polinomios de entrada. Esto implica que los sistemas que deberíamos resolver son demasiado grandes.

Por otro lado, una aproximación diferente considera la resolución como un paso previo a la decisión de consistencia. Por ejemplo, supongamos dados f_{1}, …, f_{s} de tal forma que los s−1 primeros polinomios definen una variedad cero–dimensional y queremos averiguar si (f_{1}, …, f_{s}) definen el ideal trivial y, por lo tanto, si la variedad V (f_{1}, …, f_{s}) es vacía o no. Supongamos que s = n + 1. Se dispone de dos nociones de resolución simbólica básicamente. La primera de ellas, trataría de describir el comportamiento de la Q –álgebra

Q [X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{n})

mientras que la segunda describe la Q –álgebra reducida

Q [X_{1}, …, X_{n}]/\sqrt{(f_{1}, …, f_{n})},

donde \sqrt{(f_{1}, …, f_{n})} denota el ideal radical de (f_{1}, …, f_{n}). En ambos casos, esta descripción ha de contener, en cualquier caso, la manera en la que se comportan las variables, es decir, deben permitir conocer las matrices M_{X_{1}}, …, M_{X_{n}} que describen la multiplicación en la Q –álgebra correspondiente por cada una de las variables en una base prefijada. A partir de estas matrices, es fácil construir la matriz de la multiplicación por f_{n+1}. Se tiene, además, que el determinante de esta matriz es cero si, y sólo si, el ideal (f_{1}, …, f_{n+1}) es trivial. De hecho, este determinante no es más que la clásica resultante. Para una más detallada presentación de las diferentes nociones de resolución así como de los inconvenientes y ventajas de cada una de ellas, nos referimos al Capítulo 2 de esta memoria.

Veamos pues, cuáles han sido los diversos acercamientos al problema de resolver un sistema de ecuaciones polinomiales. Supongamos que la variedad de partida, V (f_{1}, …, f_{s}) es una variedad de dimensión cero. Un primer paso en la solución de este problema consiste en la sustitución del sistema original por n combinaciones ZZ–lineales genéricas de los polinomios que forman el sistema original (tómense como ejemplos [Giusti – Heintz, 1993] o [Lakshman – Lazard, 1991]). A través de estas combinaciones lineales genéricas, podemos suponer, de ahora en adelante, que s = n y que el sistema inicial f_{1}, …, f_{n} forma localmente una intersección completa con respecto a los puntos de la variedad V. Dada que la cota sobre la regularidad de la función de Hilbert para ideales homogéneos intersección completa es sorprendentemente baja, en una primera aproximación, se podría pensar en reemplazar los polinomios iniciales por unos polinomios homogéneos bien elegidos y la variedad afín inicial por la correspondiente proyectiva. Los primeros candidatos obvios a ser tales polinomios homogéneos serían los homogeneizados de los polinomios de entrada. Sin embargo, incluso en el caso de que los polinomios de entrada formen una sucesión regular, sus homogeneizados pueden no generar un ideal intersección completa, dado que, por ejemplo, pueden aparecer componentes al infinito que destrocen el carácter de regularidad. Así, por ejemplo, la sucesión de polinomios homogéneos obtenida al homogeneizar los polinomios de la sucesión regular

f_{1} = X_{1}(X_{2} − 1), f_{2} = X_{2}, f_{3} = X_{3}(X_{2} − 1)

no es regular (la variedad proyectiva resultante contiene toda una recta proyectiva en el hiperplano del infinito). Este fenómeno ha hecho que muchos autores se decanten en sus trabajos por la utilización de deformaciones homotópicas que permitan construir sucesiones regulares de polinomios homogéneos G_{1}, …, G_{n}, a partir de cuyos ceros se pueda reconstruir la variedad afín inicial, {f_{1} = 0, …, f_{n} = 0} (veánse como ejemplos de lo dicho [Alonso et al., 1996], [Canny, 1988], [Chistov, 1983], [Chistov – Grigoriev, 1983], [Dickenstein et al., 1991], [García – Zangwill, 1981], [Giusti – Heintz, 1993], [Krick – Pardo, 1996], [Krick – Pardo, 1994], [Lakshman – Lazard, 1991], [Moeller, 1993], [Shub – Smale, 1994a]). Los polinomios G_{1}, …, G_{n} así construidos serán homogéneos en las variables X_{0}, X_{1}, …, X_{n} y dependerán de un parámetro de deformación, ε. Por lo tanto, definirán una variedad cero dimensional en IP^{n}(C(ε)) sin puntos en el infinito. Especializando estos polinomios en ε = 0 obtendremos una variedad proyectiva de IP^{n}(C) entre cuyas componentes irreducibles aparecerán los puntos de la variedad V.

Por lo tanto, estos métodos de deformación introducen una dependencia en la complejidad de los algoritmos tanto de la regularidad de la función de Hilbert del ideal homogéneo (G_{1}, …, G_{n}) de Q(ε)[X_{0}, X_{1}, …, X_{n}], como del número de Bézout del mismo ideal. La regularidad de la función de Hilbert de este ideal está acotada por nd−n. Por lo tanto, este tipo de algoritmos, basados en deformaciones homotópicas,

tienen que tratar con matrices rectangulares de talla \binom{nd}{n} × n\binom{nd}{n}.

Sin embargo, dado el carácter geométrico de los problemas que tratamos, resulta extraño que la complejidad tanto de los algoritmos de resolución como de decisión de consistencia sea únicamente dependiente de la dificultad del ideal de entrada y no de la dificultad de la variedad en cuestión. Esta primera dificultad se soslaya en nuestros algoritmos mediante la introducción de un parámetro intrínseco asociado al sistema: el grado geométrico afín. Así, el tiempo de ejecución de los algoritmos dependerá, básicamente, de este parámetro y, en cierto sentido, nos permitirá distinguir los buenos sitemas de aquellos frente a los cuales, dada su íntrinseca dificultad, no podemos dar respuesta.

Hemos visto que el punto de vista que se adopta en la resolución es especialmente relevante para obtener buenos resultados de complejidad. Un segundo aspecto relevante en el estudio de los problemas considerados en esta memoria, es la forma de representar las entidades algebraicas (polinomios y números enteros) con las que tratamos.

La forma habitual de representar los polinomios es la llamada codificación densa en la que los polinomios vienen representados por su vector de coeficientes. Esta

codificación hace que el tamaño de la entrada sea del orden \binom{d + n}{n} ≤ c · d^{n} (si

n, d ≥ 3 podemos tomar c = 1, en caso contrario tomamos c la base del logaritmo neperiano). Si las ecuaciones f_{1}, …, f_{n} son genéricas, el grado geométrico de la variedad V y el número de Bézout del sistema coinciden y son del tipo d^{n}. En este caso, una cota de complejidad del orden d^{O(n)} es polinomial en el tamaño de la entrada y en el grado de la variedad V, que es a lo máximo que podemos esperar en el caso peor (véase [Heintz – Morgenstern, 1993] y [Shub – Smale, 1994b]). Sin embargo, en el caso de que el grado sea pequeño, de grado 2, estas estimaciones de complejidad son exponenciales en el tamaño de la entrada.

Si, como hemos visto, en el caso genérico la codificación densa es razonable, cuando el grado geométrico es pequeño, es normal el introducir una codificación más económica para los polinomios que aparecen como entradas, salidas y resultados intermedios. De manera intuitiva, podemos formular esta idea diciendo que lo que nos interesa es minimizar los recursos teniendo en cuenta el problema del que nos ocupamos. La naturaleza del problema en cuestión ha de ser tenida en cuenta cuando se trata de la elección de una estructura de datos. Esta idea se asemeja a la idea madre de la complejidad de Kolmogorov, es decir, ¿cuál es la cantidad de información mínima que necesito de un objeto para caracterizarlo completamente? (véase [Li – Vitanyi, 1988], [Li – Vitányi, 1990]). Así, la codificación densa de los polinomios nos da una información precisa de los mismos, pero, en determinados casos, mucha más información de la realmente necesaria. Naturalmente, la restricción de la información sobre los polinomios que manipulamos hace que haya que replantearse de nuevo una serie de cuestiones que aparecen como evidentes en la codificación densa. Por ejemplo, determinar si un polinomio dado es nulo o no, que en el caso de codificación densa es obvio, requiere, en el caso de la codificación adoptada en esta tesis, un análisis más detallado (véase Lema 44).

La estructura de datos adoptada en esta tesis es la conocida como esquemas de evaluación o straigth–line programs. De forma intuitiva, puede decirse que en esta representación, los polinomios son vistos como funciones y no como elementos de un espacio vectorial. Así, los polinomios se representan por un esquema de evaluación.

Pensemos por un momento en un ejemplo clásico : el determinante.

Supongamos dada un matriz A := (a_{ij}). El determinante de esta matriz es un polinomio con coeficientes enteros en las n^{2} variables a_{11}, …, a1n, …, a_{n1}, …, a_{nn} (detA ∈ ZZ[a_{11}, …, a_{nn}]). La expresión de dicho polinomio consta de n! monomios, es decir, la expresión del determinante en codificación densa es exponencial en el tamaño de la entrada. Sin embargo, usando, por ejemplo, el algoritmo de Berkowitz descrito en el Capítulo 3 de esta memoria, se demuestra que el determinante de A se evalúa en tiempo polinomial en el tamaño de la entrada. Por otro lado, en la mayor parte de las aplicaciones, uno se interesa sobre todo en aspectos cualitativos del determinante, en particular si es cero o no y, para ello, como queda dicho, es suficiente la codificación en esquema de evaluación del mismo. Tomemos como ejemplo el discriminante de un polinomio univariado f(x) := X^{d} + a_{d−1} + ⋯ + a_{0}. El discriminante de f es un polinomio g ∈ ZZ[a_{d−1}, …, a_{0}] que define un abierto Zariski {g ≠ 0} en el cual todo punto representa un polinomio que no posee raíces dobles. Por lo tanto, dados valores concretos a los coeficientes de f, nos interesa saber cuando el discriminante es distinto de cero para saber si f posee o no raíces dobles.

La idea de usar esquemas de evaluación como una forma de representar polinomios especiales se remonta al final de los años setenta. Esta idea aparece de forma implícita o explícita en una serie de artículos ([Heintz – Schnorr, 1982], [Ibarra – Moran, 1983], [Schwartz, 1980], [Millo – Lipton, 1978], [Zippel, 1979]), la mayor parte de los cuales estaban dedicados a test de nulidad probabilísticos para polinomios. Las primeras aplicaciones desde el punto de vista del Álgebra Computacional trataban cuestiones como la computación del máximo común divisor o la factorización de polinomios univariados ( [Heintz – Sieveking, 1981], [Kaltofen, 1988], [Kaltofen, 1989]). Posteriormente esta codificación se extendió a la eliminación en le caso de polinomios multivariados mediante el uso de técnicas de dualidad y la evitación de divisiones de Strassen ([Fitchas et al., 1995], [Giusti – Heintz, 1993], [Giusti et al., 1993], [Krick – Pardo, 1996], [Krick – Pardo, 1994], [Heintz – Morgenstern, 1993]).

Sin embargo, es una ilusión esperar que los algoritmos de eliminación, incluso en el caso de que los polinomios sean dados por esquemas de evaluación, resuelvan los problemas en tiempo polinomial ([Heintz – Morgenstern, 1993], [Pardo, 1995]). Si esto fuese cierto, se tendría que la conjetura de Cook, P ≠ NP, sería falsa. Por lo tanto, surge de nuevo la necesidad de introducir un parámetro que “mida” la dificultad del problema concreto que se considera. Este parámetro, como queda dicho, será el grado geométrico afín del sistema.

Pasamos ahora a enunciar los principales resultados contenidos en la memoria. Por el momento, fijemos las notaciones e hipótesis siguientes : Suponemos dada una familia de n polinomios f_{1}, …, f_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] que forman una sucesión regular reducida, es decir, una sucesión regular en la que los ideales intermedios f_{1}, …, f_{i} son radicales. En la Sección 2.5 explicamos un modo de conseguir, a partir de cualquier sucesión de polinomios que definen una variedad de dimensión cero, estas condiciones. En este caso, una resolución geométrica de V := V (f_{1}, …, f_{n}) consta de una buena dirección de proyección (elemento primitivo), es decir, una forma lineal u ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] tal que #u(V) = #V, polinomios univariados q, v_{1}, …, v_{n} ∈ ZZ[T] y enteros ρ_{1}, …, ρ_{n} tales que el conjunto u(V) esté parametrizado por

\{(\frac{v_{1}(t)}{ρ_{1}}, …, \frac{v_{n}(t)}{ρ_{n}} : t ∈ C, q(t) = 0\}.

Obsérvese que por lo tanto, podemos interpretar la resolución geométrica de la variedad cero dimensional V como una sucesión de números enteros.

Supongamos, por otro lado, que los polinomios de entrada f_{1}, …, f_{n} vienen dados por un esquema de evaluación β sin divisiones. Denotamos la talla y la profundidad no escalar de β por L y ℓ respectivamente (para una detallada explicación del modelo y de las medidas de complejidad asociadas, referimos al Capítulo 1 de esta memoria).

Por hipótesis, las variedades intermedias V_{i} := V (f_{1}, …, f_{i}) son variedades equidimensinales de dimensión igual a n − i. Sea δ_{i} el grado geométrico afín de V_{i}. Definimos ahora δ:= max{degV (f_{1}, …, f_{i}) ; 1 ≤ i ≤ n} como el grado geométrico afín del sistema de ecuaciones f_{1}, …, f_{n} y sea V := V_{n}. En estas condiciones, se tiene:

Teorema A : Existe una máquina de Turing probabilística de error acotado que, a partir de una sucesión regular reducida de polinomios f_{1}, …, f_{n} de Q[x_{1}, …, x_{n}] de grado a lo más d dada por un esquema de evaluación de talla L, profundidad no escalar ℓ y que utiliza parámetros de talla acotada por h y que definen una variedad cero dimensional de grado δ, produce un resolución geométrica en tiempo polinomial en ndLδ.

En el enunciado anterior, si los polinomios vienen dados en representación “sparse”(sólo aquellos coeficientes distintos de cero aparecen), podemos reformular el Teorema A sustituyendo, donde corresponda, L por el número de monomios distintos de cero y ℓ por log_{2}d. Por otro lado, en el enunciado del Teorema A se asume que los enteros que conforman la resolución geométrica de V vienen representados en esquemas de evaluación. Sin embargo, en algunas aplicaciones de la resolución geométrica (por ejemplo, la determinación de raíces reales) la codificación en esquemas de evaluación de los enteros es, por el momento, insuficiente y es preciso la codificación binaria de los mismos. Si queremos la representación binaria de los mismos enteros, en la complejidad en tiempo aparece un parámetro intrínseco de naturaleza diofántica: la altura de la variedad (véase la Sección 2.3 para una precisa definición de este concepto).

El algoritmo subyacente al Teorema A trabaja de manera inductiva con las variedades intermedias V_{i}. Por otro lado, uno de los objetivos centrales del algoritmo que demuestra el enunciado y que se desarrolla en esta memoria es el de minimizar la talla de las matrices que ha de manipular. En este algoritmo, la talla del álgebra lineal viene determinada, básicamente por el grado geométrico del sistema y por el grado de los polinomios involucrados, siendo del orden (dδ)^{O(1)}, es decir, polinomial en d y δ. Por otro lado, nuestros algoritmos trabajan sistemáticamente con variedades algebraicas cero dimensionales, utilizando para ello especializaciones de las variables libres en puntos de talla binaria moderada (y, por lo tanto, con codificación en esquema de evaluación no muy grande). La transición entre las variedades cero dimensionales y las variedades de dimensión positiva viene dada por una aplicación coherente de una versión de la iteración de Newton–Hensel.

De hecho, el algoritmo que presentamos en el Capítulo 4 puede adaptarse al siguiente caso:

Supongamos dado una hipersuperficie en C^{n} definida por un polinomio g en ZZ[X_{1}, …, X_{n}] y supongamos dada una sucesión f_{1}, …, f_{n} de polinomios en ZZ[X_{1}, …, X_{n}] y sea V = V (f_{1}, …, f_{n}). Diremos que la sucesión es una sucesión regular fuera de la hipersuperficie {g = 0} si para todo 1 ≤ i ≤ n, las componentes irreducibles de V (f_{1}, …, f_{i}) que no se encuentran en la hipersuperficie {g = 0} son todas de dimensión n − i. Para 1 ≤ i ≤ n, definimos δ_{i}^{∗} como la suma de los grados de las componentes de V (f_{1}, …, f_{i}) que no se encuentran contenidas en {g = 0} y sea δ^{∗}:= max{deg^{∗}V (f_{1}, …, f_{i}) ; 1 ≤ i ≤ n}. De manera análoga, podemos definir la altura de la variedad fuera de la hipersuperficie {g = 0}. En estas condiciones, se tiene: Teorema B: Existe una máquina de Turing probabilística de error acotado que, a partir de una sucesión regular reducida de polinomios f_{1}, …, f_{n} de Q [x_{1}, …, x_{n}] y de un polinomio g de grado a lo más d dados por un esquema de evaluación de talla L, profundidad no escalar ℓ y que utiliza parámetros de talla acotada por h y tales que la variedad cero dimensional V = V (f_{1}, …, f_{n}) tiene grado δ^{∗} fuera de la hipersuperficie {g = 0}, produce un resolución geométrica en tiempo polinomial en ndLδ^{∗} de la variedad definida como la clausura Zariski del abierto Zariski {f_{1} = , …, f_{n} = 0, g ≠ 0}.

De nuevo, se supone que los enteros que conforman la resolución geométrica de la variedad fuera de la hipersuperficie, vienen dados en esquema de evaluación.

Esta situación puede aplicarse a ejemplos típicos provenientes de la demostración automática de teoremas en geometría, en los que las situaciones degeneradas suelen venir dadas como hipersuficies que, obviamente, se pretenden evitar.

Como caso particular de esta situación es especialmente interesante el caso tórico

en el que g = ∏_{i=1}^{n} X_{i}, es decir, consideramos la situación fuera de cualquiera de los

ejes coordenados.

Por otro lado, podemos dar un resultado de complejidad similar para el caso de variedades de dimensión positiva teniendo en cuenta el carácter inductivo del algoritmo que demuestra el Teorema A. Supongamos, pues, dada una sucesión regular reducida de polinomios f_{1}, …, f_{s} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] que definen una variedad algebraica V de dimensión n − s, dada por un esquema de evaluación de talla L. Sea, como antes, δ := max{degV (f_{1}, …, f_{i}) ; 1 ≤ i ≤ n}. En el caso de dimensión positiva, entenderemos como resolución geométrica de la variedad:

• una normalización de Noether de V

• un punto P ∈ ZZ^{n−s} tal que todos los puntos de la fibra sean lisos

• una resolución geométrica de la fibra asociada.

Si {X_{1}, …, X_{n}} ⟶ {Y_{1}, …, Y_{n}} es la normalización de Noether, la hipótesis sobre P implica que el número de puntos de la fibra coincide con el rango como Q [Y_{1}, …, Y_{n−s}]–módulo libre de Q [Y_{1}, …, Y_{n}]/(f_{1}, …, f_{s}). Por otro lado, como se demuestra en el algoritmo del levantamiento desarrollado en el Capítulo 4 de esta memoria, la resolución geométrica así definida, permite conocer la variedad de dimensión positiva completamente. De nuevo subrayamos que esto es posible gracias a una versión de la iter ación de Newton–Hensel

Teorema C:Con estas notaciones, existe una máquina de Turing probabilística de error acotado que, a partir de una sucesión regular reducida de polinomios f_{1}, …, f_{s}, produce un resolución geométrica en tiempo polinomial en ndLδ.

Al igual que ocurría en el caso de dimensión cero, los enteros vienen representados por un esquema de evaluación.

Por otro lado, basados en los algoritmos de resolución, podemos formular un resultado para la decisión de consistencia. Supongamos dados polinomios f_{1}, …, f_{s+1} y supongamos que f_{1}, …, f_{s} forman una sucesión regular reducida de polinomios. A partir de cualquier sucesión de polinomios, usando las técnicas de reducción explicadas en la Sección 2.5 podemos conseguir una situación similar. Supongamos, además, que estos polinomios viene dados por un esquema de evaluación de talla L y profundidad no escalar ℓ. Sea δ := max_{i=1}^{s}{degV (f_{1}, …, f_{i})}. Teorema D En las condiciones anteriores, existe una máquina de Turing probabilística de error acotado que decide si la variedad dada V := V (f_{1}, …, f_{s+1}) es vacía o no en tiempo polinomial en sdLδ.

Junto al punto de vista de al resolución hasta ahora estudiado, en esta memoria se considera otro enfoque:

Aproximación Diofántica: Dada una variedad algebraica cero dimensional V y ε > 0, encontrar, para cada raíz α de V, a ∈ Q [i] tal que

∥a − α∥ < ε

Con respecto a este problema, damos una cota inferior para los denominadores de cualquier aproximación. La cota inferior, esta basado en el estudio de un algoritmo de división módulo ideales intersección completa. Este algoritmo está basado en la observación de que la fórmula de la traza de Tate se puede evaluar bien ([Giusti et al., 1997]).

Teorema E: Supongamos dada, mediante un esquema de evaluación de talla y profundidad acotadas respectivamente por L y ℓ una sucesión regular reducida de polinomios f_{1}, …, f_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] de altura y grado acotados por d y h respectivamente. Sea δ el grado y η la altura de la variedad cero dimensional V que definen los polinomios f_{1}, …, f_{n}. Supongamos, además que ningún punto de la misma es racional (es decir, V ∩ Q [i]^{n} = ∅. Entonces, existe una constante universal C que verifica que todo denominador q de cualquier aproximación racional de orden ε verifica:

log_{2} q ≥ \frac{− log_{2} ε}{(ndδ)^{C}} − (h + η)

En la práctica, este Teorema implica que la codificación binaria y la codificación en coma flotante son ineficientes. Obsérvese que para un nivel de aproximación del orden 2^{d^{O(n)}}, necesario por consideraciones acerca de la estructura geométrica de la variedad, el resultado implica que aun en el caso de que la variedad tenga altura y grado pequeño, la altura de los denominadores ha de ser exponencial.

Por otro lado, la relevancia del grado y la altura no sólo se manifiesta en los resultados anteriormente expuestos. En el Capítulo 4, probamos el siguiente resultado que demuestra el interés de dichos invariantes: Supongamos dado un sistema de ecuaciones polinomiales

f_{1} = 0, …, f_{s} = 0  (0.1)

donde los polinomios f_{1}, …, f_{s} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] vienen dados por un esquema de evaluación de talla L y profundidad no escalar ℓ. Supongamos, además que tales polinomios forman una sucesión regular reducida de polinomios. Sea δ el grado de V := V (f_{1}, …, f_{s}) y sea η la altura de V. Sea π_{S}(x) el número de primos menores o iguales que x tales que 4.5 admite solución en una clausura algebraica de F_{p} : ZZ/ZZ_{p}.

Con estas notaciones, se tiene: Teorema F: Existe una constante universal c tal que

π_{S}(x) ≥ \frac{1}{δ}[π(x) − η − cx^{1/2}log_{2}(2^{η}x^{δ})]

Este Teorema, cuya prueba descansa sobre la hipótesis de Riemann generalizada, mejora, aun en el caso genérico, las cotas hasta ahora conocidas ([Koiran, 1996]) que, a su vez, también asumen la misma hipótesis. Además, en el caso de que el gra do y la altura de la variedad sean pequeñas, el resultado es espectacularmente mejor.

Finalizamos esta introducción señalando que en el Apéndice de esta memoria nos ocupamos cotas inferiores y de cotas inferiores para el paralelismo.

Comenzamos por considerar el problema de decisión (uno de los principales asuntos de preocupación en esta memoria) para los siguientes sistemas de ecuaciones polinomiales :

i) X_{1}^{2} − X_{1}, …, X_{n}^{2} − X_{n}, A_{1}X_{1} + ⋯ + A_{n}X_{n} + 1

ii) X_{1} − A, X_{2} − X_{1}^{d}, …, X_{n} − X_{n−1}^{d}, X_{n} − B

En ambos casos, el problema de consistencia es equivalente a un Problema de pertenencia a un conjunto constructible. Este problema, de manera general, se puede formular en los siguientes términos:

Sea K = IR o C y sea {W_{n}}_{n∈IN} una sucesión de conjuntos constructibles de K^{n}. El problema consiste en decidir, dado (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n}, si dicho punto pertenece o no a W_{n}.

Así, la decisión sobre la consistencia de i) es equivalente a averiguar si el punto (A_{1}, …, A_{n}) ∈ K^{n} pertenece o no a la hipersuperficie definida por el polinomio

∏_{(α_{1},...,α_{n})∈{0,1}^{n}} α_{1}Z_{1} + ⋯ + α_{n}Z_{n} + 1

Análogamente, la decisión sobre la consistencia del sistema ii) es equivalente a testar si (A, B) ∈ K^{2} pertenece o no a a la curva dada por la ecuación

Y − X^{d^{n−1}} = 0

El modelo que usaremos para el estudio de estas cotas inferiores viene dado por sucesiones, N_{n}, de redes aritméticas (véase [von zur Gathen, 1988] y [Montaña – Pardo, 1993], [Montaña et al., 1996]). La diferencia de este modelo con su correspondiente secuencial radica en el hecho de que se permite la realización de operaciones aritméticas y test de signos de manera simultánea.

Como queda dicho, nuestro interés se refiere al paralelismo. Varias son las razones que impulsan el estudio del mismo. Por un lado, podemos señalar razones de tipo práctico pues modeliza el hecho del trabajo simultáneo de varias procesadores. Por otro lado, el paralelismo, tal como se demuestra en [Borodin, 1977], [Matera – Turull, 1995] o [Matera, 1997] posee una estrecha relación con el espacio memoria requerido.

Históricamente, el estudio de cotas inferiores para la complejidad del problema de pertenencia a un constructible se inicia con la relación de invariantes topogeométricos y las distintas nociones de complejidad. Los primeros pasos se dieron con la utilización del número de componentes conexas del conjunto constructible ([Ben-Or, 1983], [Steele – Yao, 1982], [Cucker et al., 1992]) o con el uso del grad o geométrico [Montaña, 1992] en el caso secuencial.

Sin embargo, las técnicas de demostración de estos resultados se basan en cotas superiores, no sólo de las componentes conexas del constructible, sino de la suma de todos los números de Betti. Por otro lado, un giro importante se puede encontrar en el trabajo de J.L. Montaña y L. M. Pardo ([Montaña – Pardo, 1993]) dentro del estudio de la complejidad y su relación con invariantes de tipo topológico o geométrico : los invariantes se relacionan con la complejidad no a través de la complejidad secuencial sino a través de la complejidad paralela.

En el Apéndice se demuestra que la suma de los números de Betti de un conjunto constructible puede utilizarse como cota inferior para la complejidad paralela de la decisión de pertenencia la mismo. Por un lado, este resultado responde a la it conjetura de Ben–Or sobre el uso de los números de Betti en el estudio de cotas inferiores y por otro lado, refuerza la tesis de [Montaña – Pardo, 1993]. Este resultado, que es el resultado principal del artículo [Montaña et al., 1996], fue el primer resultado conocido que utilizaba la suma de los números de Betti como cota inferior. Posteriormente, A. Yao los utilizó para obtener cotas inferiores para la complejidad secuencial. Por último, podemos señalar que, aplicando las cotas inferiores contenidas en el Apéndice de esta memoria o bien las de [Montaña – Pardo, 1993], se deduce que el tiempo paralelo necesario para resolver el problema de consistencia de i) está en Ω(\sqrt{n}). Por otro lado, la aplicación de la cota que relaciona el tiempo paralelo con el grado de la variedad establece una cota inferior del orden Ω(n log_{2} d) para el problema de decidir la consistencia del sistema ii).

14 Introducción

Capítulo 1

Modelos de computación

Cuando se trata de algoritmos que pretenden resolver problemas matemáticos concretos, es preciso considerar dos aspectos básicos en los mismos: de un lado la semántica y por otro lado, la sintaxis del problema. El aspecto semántico de los problemas se puede entender como el significado matemático de la solución, mientras que el aspecto sintáctico trata de la representación y manejo de las entidades matemáticas involucradas. En este Capítulo nos centramos en el aspecto sintáctico de los problemas objeto de análisis en la memoria.

Siguiendo la Tesis de Church, un algoritmo es una máquina de Turing. Por lo tanto, el primer objetivo del Capítulo será una breve exposición del modelo Máquinas de Turing, así como de los recursos que requieren los algoritmos para su funcionamiento y que dependen, básicamente, de la sintaxis del problema. Por otro lado, estudiaremos las diferentes formas de representar los objetos algebraicos (polinomios y números enteros) con los que trataremos a lo largo de la memoria, haciendo especial hincapié en la representación que constituye uno de los fundamentos básicos de los principales resultados contenidos en la memoria : los esquemas de evaluación.

El modelo de computación que nos permitirá analizar el comportamiento de los algoritmos es el de las máquinas de Turing.

1.1 Máquinas de Turing

El análisis de la sintaxis de los algoritmos se explica mediante el comportamiento concreto de un ordenador que resuelve el problema. Por lo tanto, es necesario que las entradas y salidas de los procedimientos sean representables sobre un alfabeto finito, por ejemplo, {0, 1}. Estas entradas y salidas vendrán dadas como una secuencia finita de símbolos del alfabeto, es decir, palabras en {0, 1}^{∗} = ∪_{n∈IN}{0, 1}^{n}. Si x ∈ {0, 1}^{N}, se dice que la palabra en cuestión tiene longitud N.

El modelo que se ha revelado como el más eficaz para apreciar el comportamiento en los ordenadores es el de las máquinas de Turing. Una máquina de Turing determinística es un dispositivo que consta de un conjunto finito de estados, también llamado control finito y un número finito de cintas divididas en celdas y equipadas cada una de ellas con una cabeza de lectura–escritura que puede moverse a derecha o a izquierda y puede leer los contenidos de una sola celda en un instante de tiempo (véase [Aho et al., 1974], [Balcázar et al., 1988], [Garey – Johnson, 1979], [Papadimitrou, 1994]).

A cada momento, el dispositivo se encuentra en uno de sus estados. Entonces, el dispositivo puede leer los contenidos de cada una de las celdas en las que se hallan situadas las cabezas de cada cinta, cambiar el contenido de las mismas escribiendo nuevos símbolos, moverse a derecha o izquierda y cambiar el estado interno. Todas estas operaciones constituyen un paso de computación y están unívocamente determinados por una función de transición. Obsérvese que no está permitido el cambio de la cinta de entrada.

Una máquina M empieza a operar a partir de una palabra w contenida en la cinta de entrada y con la palabra vacía en el resto de las cintas. El estado interno en ese momento es el estado inicial q_{0}. Entonces, la máquina actúa aplicando la función de transición hasta que sea posible. Cuando la función de transición no está definida, la máquina se para. Si al cabo de varios pasos, la máquina se para en un estado aceptador, se dice que la máquina acepta w. En caso contrario, decimos que lo rechaza. Se observa, por lo tanto, que hay dos maneras de rechazo: parándose en un estado no aceptado o no parándose nunca.

La definición formal correspondiente a la idea intuitiva anterior es la siguiente:

Definición 1 Una máquina de Turing M con k cintas, una de las cuales, llamada cinta de entrada, sólo permite la lectura, es una quíntupla (Q, Σ, q_{0}, F, δ), donde:

i) Q es un conjunto finito que llamaremos conjunto de estados

ii) Σ es un conjunto finito (alfabeto)

iii) q_{0} ∈ Q es el estado inicial

iv) F ⊆ Q son los estados finales aceptadores

v) δ : Q × Σ^{k} ⟶ Σ^{k−1} × Q × {R, N.L}^{k} es una función parcial llamada función de transición de M.

Empezamos desarrollando esta definición y, para ello, introducimos el concepto de configuración instantánea. Esta no es más que una lista que describe el estado de la máquina en una unidad de tiempo concreta. Se llama configuración instantánea a una lista

(q, \underline{n}, α_{1}, …, α_{k}), \underline{n} ∈ IN^{k}, α_{i} ∈ Σ^{∗}, q ∈ Q,

donde q es el estado en el que están las unidades de control, n_{i} es la celda sobre la que se encuentra la cabeza de la cinta i–ésima y α_{i} es la palabra escrita en la cinta i–ésima. El paso de una configuración a otra se realiza atendiendo a la función de transición. Así, si a_{i} es el símbolo escrito en la celda n_{i}–ésima de la cinta i–ésima, y δ(q, a_{1}, …, a_{k}) = (q′, y_{2}, …, y_{k}, ε_{1}, …, ε_{k}), la máquina realiza lo siguiente:

• En el lugar n_{i} de la cinta i–ésima borra lo que haya escrito y escribe el símbolo y_{i}

• En las cabezas cambia el estado q por q′

• Si ε_{i} = L, la cabeza da un paso a la izquierda, si ε_{i} = R la cabeza se mueve un lugar hacia la derecha y si ε_{i} = N, la cabeza no se mueve.

De esta manera, una computación puede definirse como una sucesión de configuraciones. Por otro lado, una cierta palabra del alfabeto Σ se dice que es aceptada si en la sucesión de configuraciones correspondiente la máquina alcanza una configuración aceptadora, es decir, una configuración que contiene un estado aceptador.

Dada una entrada w aceptada por la máquina M, se define el tiempo de computación sobre w como la cantidad de pasos de computación que M realiza hasta su parada y el espacio de memoria como la máxima cantidad de celdas de trabajo utilizadas durante el proceso.

Teniendo en cuenta lo anterior, se definen dos funciones S, T : IN ⟶ IN que permiten medir los recursos utilizados por una máquina de Turing en el caso peor:

• T (N) igual al máximo de los tiempos de computación de la máquina M sobre entradas de talla N

• S(N) el máximo espacio utilizado por la máquina M sobre entradas de longitud N

Atendiendo a estas medidas, los problemas se clasifican en diferentes clases de complejidad. Los problemas que pueden resolverse en tiempo polinomial en el tamaño de la entrada T (N) = N^{O(1)}, se dice que pertenecen a la clase P. Dentro de la clase de problemas claramente intratables se encuentra la clase EXT IME, es decir, T (N) = 2^{O(N)}. Análogamente, aquellos problemas que pueden resolverse en espacio polinomial se dice que pertenecen a la clase P SP ACE y aquellos que requieren espacio exponencial, S(N) = 2^{O(N)} se dice que pertenecen a la clase EXP SP ACE. Es una opinión comúnmente aceptada en Informática que aquellos problemas que requieren más espacio que polinomial son intratables en la práctica. Por otro lado, se tienen las siguientes inclusiones estrictas

P ⊂ EXT IME

P SP ACE ⊂ EXP SP ACE

En el caso de máquinas de Turing determinísticas, cada configuración sólo admite una única configuración posterior. Si esta condición se relaja y se permite que las configuraciones puedan tener distintas configuraciones siguientes, las máquinas así definidas se dicen máquinas de Turing no determinísticas. Análogamente al caso anterior, se define la clase de complejidad NP como los lenguajes aceptados por una máquina de Turing no–determinística en tiempo polinomial. Uno de los problemas más interesantes de la Informática Teórica y al que se le ha prestado mucha atención es la célebre conjetura de Cook que establece que P ≠ NP ([Cook, 1971]). Obviamente, P ⊆ NP, pero se desconoce si esta inclusión es estricta. De manera intuitiva, puede decirse que los problemas que se encuentran en P son aquéllos que pueden resolverse en tiempo polinomial, mientras que los problemas que están en NP son problemas en los que se puede verificar si una posible solución dada es correcta en tiempo polinomial, pero no se sabe si pueden resolverse polinomialmente. Además se tiene que NP ⊆ P SP ACE, pero al igual que en el caso anterior, se desconoce si la inclusión es estricta.

Dentro del estudio de las clases de complejidad, es especialmente relevante la clase NP puesto que ahí se sitúa la frontera de los problemas posiblemente tratables. Dentro de los problemas que pertenecen a NP son importantes los problemas NP – completos. Supongamos que nos encargan resolver un cierto problema concreto. Ante esta demanda, podemos tener suerte y tras un tiempo razonable (polinomial) encontrar una solución. Sin embargo, podemos no encontrar una solución después de transcurrido un tiempo grande. Ante dicha situación podemos tomar dos posturas: demostrar que el problema es intrínsecamente muy complicado (cotas inferiores) y que nadie será capaz de encontrar una solución o, en el peor caso, hacer ver al que nos hizo el encargo que, si bien no hemos encontrado una solución del problema, dudamos que alguien lo pueda hacer. Este último tipo de problemas son los llamados problemas NP –completos. Frente a este tipo de problemas, parece aconsejable desechar la idea de dar un algoritmo eficiente que los resuelva en su generalidad. Sin embargo, pueden buscarse algoritmos que se adapten a casos especiales de los mismos o que se comporten de manera eficiente en muchos casos. Dada la existencia de cotas inferiores relativas para los problemas de eliminación ([Heintz – Morgenstern, 1993],[Pardo, 1995]), éste será el tratamiento que daremos en esta memoria a los problemas de la eliminación.

Dada una cierta clase de complejidad C, se distinguen dos tipos especiales de conjuntos: C–duros y C completos. Se dice que un conjunto A es C–duro si todo conjunto de la clase C se puede reducir en tiempo polinomial a A. Si este conjunto pertenece a la clase C, el conjunto se dice C–completo. Si C = NP, se prueba que si un problema NP –completo pertenece a la clase P, NP = P.

El primer problema NP –completo conocido es el problema de la satisfabilidad, del que, en una forma restringida hablamos en la introducción. Asimismo, muchos problemas de interés práctico (problema del viajante, problema de la mochila,...) y muchos otros, algunos de ellos provenientes de la teoría de grafos son NP –completos.

1.2 Esquemas de evaluación y redes aritméticas

Clásicamente, los polinomios son descritos mediante su vector de coeficientes (codificación densa). Así, todo polinomio P (X_{1}, …, X_{n}) ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] admite una representación densa de la forma :

P (X_{1}, …, X_{n}) = ∑_{|μ|≤deg(P)} P^{μ} X_{1}^{μ_{1}} … X_{n}^{μ_{n}}

donde deg(P) denota el grado total de P, μ := (μ_{1}, …, μ_{n}) ∈ IN_{0}^{n} es un multi–índice, | μ |:= μ_{1} + ⋯ + μ_{n} es su longitud y P^{μ} es un entero. Por lo tanto, la codificación densa de un polinomio de este tipo exigirá la escritura de un vector de tamaño igual

al número de posibles monomios, es decir, \binom{d + n}{n} ≤ d^{n}. Si h es una cota para la

altura logarítmica de P^{μ}, la longitud binaria de esta codificación es

h · \binom{d + n}{n} = h · \binom{d + n}{d}.

Sin embargo, a veces es posible evaluar un polinomio de una manera más sencilla: por ejemplo, el vector de coeficientes del polinomio x^{2^{n}−1} + ⋯ + x + 1 está formado por 2^{n} coordenadas (todas iguales a 1). Sin embargo, la identidad

x^{2^{n}−1} + ⋯ + x + 1 = (1 + x) · (1 + x^{2}) ⋯ (1 + x^{2^{n−1}})

describe una forma de evaluar dicho polinomio realizando únicamente 3n operaciones aritméticas. Los resultados contenidos en esta memoria vienen a demostrar que éste es el caso de los polinomios que aparecen como resultados intermedios y “outputs”de los procesos de eliminación.

La estructura de datos asociada a esta idea intuitiva (describir los polinomios mediante la forma en la que se evalúan, es decir, interpretar los polinomios como funciones y no como elementos de un espacio vectorial) es conocida como esquema de evaluación (straight–line program en inglés).

Ya en 1667, Newton ([Newton, 1667]) observó que la expresión

\overline{\overline{\overline{y − 4} × y : +5} × y :: −12} × y : +17

que traducida al lenguaje actual significa (((y − 4)y + 5) − 12)y + 17, establece una forma de evaluar el polinomio correspondiente de manera distinta a la densa. La primera evidencia de la noción de esquemas de evaluación se encuentra en un trabajo de A. Scholz de los años treinta sobre las cadenas de adición. Uno de los momentos trascendentales en el desarrollo de la complejidad algebraica se sitúa en los años cincuenta en los que A. Ostrowski ([Ostrowski, 1954]) se preguntaba si la regla de Horner era óptima para evaluar polinomios. A partir de esta pregunta, la complejidad algebraica alcanzó un gran desarrollo, sobre todo por el estudio de cotas inferiores para la evaluación de polinomios y los problemas de pertenencia a conjuntos constructibles. Para una completa información sobre la complejidad algebraica y su relación con los esquemas de evaluación, pueden consultarse los ”surveys“ y libros que siguen: [Borodin – Munro, 1972], [Bürgisser et al., 1997], [?], [Grigoriev, 1988b], [Heintz, 1989], [Knuth, 1981], [Pardo, 1995], [Strassen, 1990])

La idea de usar los esquemas de evaluación como codificación de algunos tipos especiales de polinomios se remonta a los años setenta. Esta idea aparece de manera explícita o implícita en una serie de trabajos la mayoría de ellos dedicados a test de nulidad de polinomios de tipo probabilístico [Heintz – Schnorr, 1982], [Ibarra – Moran, 1983], [Schwartz, 1979], [Millo – Lipton, 1978], [Zippel, 1979]. Las primeras aplicaciones desde el punto de vista del Cálculo Formal tenían que ver con la eliminación en una sola variable; máximo común divisor, factorización de polinomios u otros problemas relacionados [Heintz – Sieveking, 1980], [Kaltofen, 1988], [Kaltofen, 1989]). Posteriormente, este mismo enfoque se traslada a la eliminación en varias variables usando técnicas de dualidad y diversas versiones de la técnica de evitación de divisiones dediba a V. Strassen y conocida por “Vermeidung von Divisionen”( véanse [Fitchas et al., 1995], [Giusti – Heintz, 1993], [Giusti et al., 1995b], [Giusti et al., 1996], [Giusti et al., 1997], [Giusti et al., 1995a], [Giusti et al., 1993], [Heintz – Morgenstern, 1993], [Krick – Pardo, 1994] o [Krick – Pardo, 1996] como ejemplos).

Otra alternativa diferente a la codificación densa y a los esquemas de evaluación es la llamada codificación rala (sparse). En esta codificación, sólo se consideran aquellos coeficientes del polinomio que sean diferentes de cero. Si un polinomio f ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] de grado acotado por d, con coefcientes de altura a lo más h posee N coeficientes distintos de cero, la longitud de la codificación rala de este polinomios es

h · N · n · log_{2} d.

En cualquier caso, esta codificación rala es muy sensible a operaciones propias de la Geometría como, por ejemplo, los cambios de coordenadas. Así, el polinomio X^{d}, al hacer el cambio X ⟶ X + 1 se convierte en un polinomio de grado d con todos sus coeficientes distintos de cero.

Este tipo de codificación ha sido considerada por diferentes autores. Se trata de aprovechar el hecho de que en muchas aplicaciones, los polinomios que aparecen contienen pocos coeficientes distintos de cero ([Sturmfels, 1993]). Cuando se utiliza este tipo de codificación, en las estimaciones de complejidad de los algoritmos de eliminación, suele aparecer el volumen o el volumen mixto del politopo de Newton asociado al sistema (envoltura convexa de los exponentes) y los resultados de complejidad binaria que se obtienen dependen polinomialmente del volumen, pero de manera exponencial en el número de variables ([Emiris, 1994], [Sturmfels, 1993]).

Una discusión similar a la hecha con polinomios, puede hacerse para los números enteros. Ya a principios de este siglo E. Borel escribía en [Borel, 1948]: “Il est intéressant de classer les entiers qui peuvent être définis, d’après le temps nécessaire pour les définir, en admettant que l’on puisse, chaque second, prononcer un mot ou écrire un chiffre... Nous appellerons hauteur d’un nombre le temps minimum nécessaire pour le définir (exprimé en secondes, d’après les conventions précédents)”.

Normalmente, la manera de representar los enteros es su codificación binaria. La longitud de dicha codificación binaria es lo que en teoría de números se denomina altura de un número. Sin embargo, la definición de Borel, aunque difusa, es mucho más próxima a la computación. Del mismo modo que con los polinomios, podemos adoptar como representación de los enteros los esquemas de evaluación. De este modo, un esquema de evaluación que representa un entero no sería nada más que un esquema de evaluación general sin variables. Finalmente, la idea más próxima a la definición de Borel, puede formularse en términos de la complejidad de Kolmogorov: La complejidad de Kolmogorov de un número n ∈ IN es la longitud más pequeña de cualquier palabra x ∈ {0, 1}^{∗} tal que x es la entrada de una máquina de Turing universal que produce, a partir de x, la codificación binaria de n. Dicho de otro modo, es la menor longitud de programas cuyo output es la codificación binaria de n.

Para poder comparar estas tres aproximaciones (codificación binaria, esquemas de evaluación y complejidad de Kolmogorov) consideramos los ejemplos siguientes:

C_{d} := \binom{2d}{d} B_{d} := 2^{2^{d}} − 1

Los números de Catalan C_{d} aparecen en eliminación ([Heintz – Morgenstern, 1993], [Pardo, 1995]), así como en estimaciones de complejidad de la Geometría Computacional ([Hurtado – Noy, 1993]). Estos números enteros están ligados al polinomio de Pochammer–Wilkinson

P_{d}(T) := ∏_{i=1}^{d}(T − i),

pues P_{d}(2d) = d!C_{d}, y los ceros de este polinomio forman la imagen de la proyección

de la variedad algebraica {0, 1}^{d} por la forma lineal Y := 1+∑_{i=1}^{d} 2^{i}X_{i}. La complejidad

de Kolmogorov de C_{d} es del orden O(log_{2} d), su altura es de orden O(d), pero se desconoce si existe alguna manera de evaluarlos con menos de O(d) operaciones y este mismo fenómeno se reproduce con el polinomio de Pochammer–Wilkinson. Sin embargo, los números B_{d}, que aparecen de manera natural en eliminación y en la fundamentación del análisis numérico (como consecuencia del estudio del operador de Newton), tienen altura exponencial en d, complejidad Kolmogorov del orden O(log_{2} d) y se pueden calcular usando O(d) operaciones aritméticas.

En todos los algoritmos que describiremos en la memoria, los polinomios serán siempre representados por un esquema de evaluación y, dependiendo del contexto, los números enteros se representarán en codificación binaria o en esquema de evaluación.

Definición 2 Un esquema de evaluación genérico Γ′ sobre ZZ es un par Γ′ = (G, Q), donde G es un grafo dirigido acíclico y Q es una función que asigna instrucciones a las puertas (es decir, vértices) del grafo. G contiene n + 1 puertas de indegree (número de aristas que llegan a la puerta) 0 que están etiquetadas con las variables X_{1}, …, X_{n}y por la constante 1 ∈ ZZ. Estas puertas se denominan puertas de entrada de Γ′. Se define la profundidad de una puerta ν como la distancia del camino más largo que une ν con alguna puerta de entrada. Denotamos las puertas del grafo dirigido acíclico G mediante un par de números enteros (i, j), donde i representa la profundidad de la puerta en el grafo y j es el valor correspondiente a la puerta en una cierta enumeración de las puertas de profundidad i (esta codificación está motivada por [Montaña – Pardo, 1993] y puede verse también en [Giusti et al., 1995b], [Krick – Pardo, 1996], [Montaña et al., 1996], [Pardo, 1995]). Asociada a la puerta intermedia (i, j) se tiene la siguiente operación.

Q_{i,j} := ( ∑_{0≤r≤i−1} A_{i,j}^{rs}Q_{rs}) · ( ∑_{0≤r′≤i−1} B_{i,j}^{r′s′}Q_{r′s′}),

donde A_{i,j}^{rs}, B_{i,j}^{r′s′} son indeterminadas que se llaman parámetros del esquema de evaluación Γ′ y Q_{rs}, Q_{r′s′} son los valores precomputados correspondientes a las puertas (r, s) y (r′, s′).

Denotaremos por Ā = (A_{i,j}^{rs}), B̄ = (B_{i,j}^{rs}) la lista de parámetros del esquema de evaluación Γ′. De esta manera, los resultados intermedios Q_{ij} de Γ′ son polinomios en ZZ[Ā, B̄, X_{1}, …, X_{n}]:

Q_{ij} = ∑_{|μ|≤2^{i}} Q_{ij}^{μ}(Ā, B̄)X_{1}^{μ_{1}} ⋯ X_{n}^{μ_{n}}.

Especializando los parámetros del esquema de evaluación genérico, Ā, B̄, en enteros concretos ᾱ = (α_{ij}^{rs}) y β̄ = (β_{ij}^{rs}), obtenemos un esquema de evaluación Γ en ZZ[X_{1}, …, X_{n}]. Los resultados intermedios de este esquema de evaluación serán, obviamente, polinomios en ZZ[X_{1}, …, X_{n}]. Sea F = {ᾱ, β̄}. Así, se dirá que un conjunto de polinomios f_{1}, …, f_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] se dice que puede ser evaluado por un esquema de evaluación Γ′ con parámetros en F, si para cada polinomio f_{k} (1 ≤ k ≤ n), existe una puerta (i_{k}, j_{k}) tal que

f_{k} = Q_{i_{k},j_{k}}(ᾱ, β̄, X_{1}, …, X_{n}).

Las medidas de complejidad que asociaremos a los esquemas de evaluación Γ′ son:

• La talla de Γ′ = La talla del grafo G= número de nodos (puertas) de G.

• La profundidad no escalar de Γ′ = la profundidad del grafo G = longitud del camino más larga que une una puerta de entrada con una de salida.

La noción de talla se corresponde con el tiempo secuencial, mientras que la profundidad lo hace con el tiempo paralelo. En este sentido, se dice que un esquema de evaluación es bien paralelizable si la relación entre la talla y la profundidad es logarítmica, es decir, si el tiempo paralelo es lineal en el logaritmo del tiempo secuencial. Si Γ es un esquema de evaluación de talla L y profundidad no escalar ℓ se dice bien paralelizable si ℓ ≤ c · log_{2} L, para alguna constante c.

Finalmente, para cualquier número entero positivo h diremos que la especialización \underline{A} ⟶ \underline{α}, \underline{B} ⟶ \underline{β} tiene altura a lo más h o equivalentemente que P ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] puede evaluarse por un esquema de evaluación Γ con parámetros de altura h si ht(\underline{α}) ≤ η y ht(\underline{β}) ≤ η.

De esta manera, la codificación de un polinomio f ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] por un esquema de evaluación Γ de talla L, profundidad no escalar ℓ y con parámetros de talla h tiene longitud bit igual a

2(L^{2}h + L log_{2} L).

Por otro lado, como hemos expresado anteriormente, podemos definir el análogo al esquema de evaluación para polinomios, pero, esta vez para números enteros. Un entero α ∈ ZZ se dice que es computable por un esquema de evaluación Γ cuando es computable por un esquema de evaluación como elemento de ZZ[X]. Por ejemplo, el número entero 2^{2^{k}} puede evaluarse por un esquema de evaluación de talla k + 1 y profundidad no escalar k.

Por último, señalamos que la codificación en esquemas de evaluación de los polinomios cubre tanto la codificación densa como la rala:

• Un polinomio f ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] de grado d y altura h dado en codificación

densa, puede evaluarse por un esquema de evaluación de talla O (d\binom{d + n}{n})

y profundidad no escalar O(log_{2} d) con parámetros de altura h.

• Análogamente, un polinomio f ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] de grado d y altura h y con N coeficientes distintos de cero, puede evaluarse por un esquema de evaluación de talla O(dN) y profundidad no escalar O(log_{2} d) con parámetros de altura h.

Del mismo modo, podemos considerar la codificación binaria de los números enteros como un caso particular de la codificación en esquema de evaluación. Un número entero de altura binaria (logarítmica) H, siempre puede representarse por un esquema de evaluación cuya talla es de orden O(H).

En la modelización algebraica de los algoritmos conviene tener en cuenta la posibilidad de que los mismos puedan tener ramificaciones. El modelo de computación algebraico que permite modelizar este comportamiento es el conocido como redes aritméticas: Una red aritmética es un esquema de evaluación aumentado con dos tipos especiales de puertas de carácter booleano: puertas de signo y puertas de selección. Para un valor intermedio precomputado, la puerta de signo responde con los siguientes valores booleanos:

sign(f, ε) = \{ \begin{matrix}T, & si f = 0 \\ F, & en caso contrario. \end{matrix}

Por otro lado, las puertas de selección escogen entre dos valores de la entrada de acuerdo a una instancia booleana. Es decir, poseen asociada una función sel : ZZ × ZZ × {T, F} → IR definida por

sel(g, h, B) = \{ \begin{matrix}g, & si B=T \\ h, & en caso contrario. \end{matrix}

Preliminares

Los contenidos que se exponen en este Capítulo no son completamente originales. Sin embargo, la presentación de los mismos difiere, en algunos casos, de su habitual exposición. Además, a a lo largo de este Capítulo pretendemos fijar muchos de los conceptos y notaciones que serán de gran relevancia en el resto de la memoria. Por otro lado, pretendemos dar una visión de conjunto sobre distintos aspectos que sustentan teóricamente todo el trabajo posterior.

2.1 El problema de consistencia y las nociones de resolución

En el Capítulo anterior nos hemos ocupado del aspecto sintáctico de los problemas objeto de esta memoria. En esta primera Sección, analizamos el aspecto semántico de los mismos, en particular analizaremos lo que entenderemos por resolución de una variedad. Este análisis adquiere especial relevancia en el diseño de los algoritmos que resuelven los problemas que trataremos y se proyecta en los resultados de complejidad obtenidos.

2.1.1 Consistencia

Uno de los problemas de los que nos ocuparemos en la memoria es el problema de decidir la consistencia de un sistema de ecuaciones polinomiales. Este problema se puede establecer como sigue:

Problema 3 Dada una sucesión de polinomios f_{1}, …, f_{s} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}], decidir si la variedad algebraica afín

V (f_{1}, …, f_{s}) := {x ∈ C^{n} : f_{1}(x) = 0, ⋯, f_{s}(x) = 0}

es vacía o no.

En virtud del Teorema de los ceros de Hilbert, este problema es equivalente a decidir si el polinomio constante 1 pertenece al ideal generado por la sucesión de polinomios f_{1}, …, f_{s}, es decir, decidir si existen polinomios g_{1}, …, g_{s} ∈ Q[X_{1}, …, X_{n}] tales que

1 = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{s}f_{s}.

Hacemos ver aquí que una cota apriorística sobre los grados de los polinomios g_{1}, …, g_{s} transforma el problema inicial en un problema de Algebra Lineal: decidir la consistencia de un sistema de ecuaciones lineales. En el caso de que dicho sistema de ecuaciones posea solución, la resolución del mismo nos permite encontrar polinomios que expresan 1 como combinación lineal de los polinomios de entrada.

Sin embargo, una aplicación simple de esta idea genera innumerables problemas: Los grados de los polinomios g_{1}, …, g_{s} son típicamente d^{n}, si d es una cota para el grado de los polinomios f_{1}, …, f_{s}. Esto implica que si queremos escribir los polinomios g_{i} por sus coeficientes necesitaríamos un vector de coeficientes de tamaño doblemente exponencial d^{n^{2}}. Por lo tanto, no se podría esperar que ningún procedimiento que resolviese el problema de la División en el Teorema de los Ceros, es decir que expresase el 1 como combinación lineal de los polinomios de entrada que generan el ideal trivial, lo hiciese en menos de d^{n^{2}} pasos.

2.1.2 Resolución

Junto al problema de la consistencia, estudiaremos la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales. El concepto de resolución varía según el punto de vista desde el que se trate.

Supongamos dados polinomios f_{1}, …, f_{s} en ZZ[X_{1}, …, X_{n}]. Sea (f_{1}, …, f_{s}) el ideal generado por tales polinomios en Q [X_{1}, …, X_{n}] y sea V la variedad algebraica que definen en C^{n}:

V = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ C^{n} : f(x_{1}, …, x_{n}) = 0, …, f_{s}(x_{1}, …, x_{n}) = 0}

Un primer paso en la resolución del sistema es la determinación de la dimensión afín de la variedad. Ésta puede obtenerse mediante la determinación de una normalización de Noether. Se trataría, pues, de encontrar un cambio lineal de coordenadas

( Y_{1} ; ⋮ ; Y_{n} ) = ( \begin{matrix}a_{1,1} & ⋯ & a_{1,n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n,1} & ⋯ & a_{n,n} \end{matrix} ) × ( X_{1} ; ⋮ ; X_{n} ),

tal que:

• la extensión de anillos Q [Y_{1}, …, Y_{r}] ⟶ Q [Y_{1}, …, Y_{n}]/(f_{1}, …, f_{s}) sea entera y

• (f_{1}, …, f_{s}) ∩ Q [Y_{1}, …, Y_{r}] = (0)

En particular, la dimensión de la variedad es igual a r. Las variables Y_{1}, …, Y_{r} se dicen variables libres, mientras que las variables Y_{r+1}, …, Y_{n} se dicen dependientes o ligadas.

El otro ingrediente de la resolución depende del punto de vista matemático. Así, si adoptamos un punto de vista algebraico se trataría de describir el comportamiento de la Q [Y_{1}, …, Y_{r}]–álgebra

A := Q [Y_{1}, …, Y_{n}]/(f_{1}, …, f_{s})

y si adoptamos un punto de vista geométrico la Q [Y_{1}, …, Y_{r}]–álgebra objeto de estudio sería

A_{red} := Q [Y_{1}, …, Y_{n}]/\sqrt{(f_{1}, …, f_{s})},

donde \sqrt{(f_{1}, …, f_{s})} denota el ideal radical de (f_{1}, …, f_{s}). Obsérvese que este ideal radical se corresponde con el ideal asociado a la variedad V y que A_{red} es una Q [Y_{1}, …, Y_{r}]–álgebra reducida que es isomorfa al anillo coordenado de V.

En ambos casos, para determinar salvo isomorfismo birracional las álgebras correspondientes, es suficiente determinar una base de cada una de ellas como espacio vectorial sobre Q (Y_{1}, …, Y_{r}) y matrices M_{Y_{j}} (n − i + 1 ≤ j ≤ n) que describan la multiplicación por Y_{j} en el Q [Y_{1}, …, Y_{r}]–módulo A o A_{red}, según el caso.

Para ilustrar la diferencia entre ambos enfoques, consideramos un ejemplo sencillo pero demostrativo. Sean

f_{1} := X_{1}^{2}, …, f_{n} := X_{n}^{2}.

Estos polinomios definen una variedad algebraica cero–dimensional:

V (f_{1}, …, f_{n}) = {(0, …, 0)}.

En este caso,

A = Q [X_{1}, …, X_{n}]/(X_{1}^{2}, …, X_{n}^{2})

y

A_{red} = Q [X_{1}, …, X_{n}]/(X_{1}, …, X_{n}).

La dimensión de A como Q–espacio vectorial es igual a 2^{n}, mientras que la de A_{red} es 1. Esta diferencia viene dada porque el álgebra A contiene información sobre la multiplicidad del ideal de entrada con respecto a su único primo asociado (X_{1}, …, X_{n}). En el caso general, A puede contener más información de la necesaria para describir la variedad de entrada. Este hecho, obviamente, hace que la complejidad de los algoritmos que traten con uno u otro enfoque sea radicalmente distintos en algunos casos concretos. A lo largo de esta memoria, el enfoque que adoptaremos es el geométrico, es decir, a lo largo de la misma trabajaremos con las álgebras reducidas.

Finalmente, consideraremos en esta memoria un tercer enfoque de la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales : Aproximación Diofántica. Supongamos, en este caso, que la variedad dada es cero dimensional (es decir, posee un número finito de puntos). En tal caso el problema se puede describir como:

Problema 4 (Aproximación Diofántica) Dada una variedad algebraica cero dimensional V y ε > 0, encontrar, para cada raíz α de V, a ∈ Q [i] tal que

∥a − α∥ < ε

Esta es la aproximación al problema que puede verse en [Shub – Smale, 1993], [Shub – Smale, 1994a] a través del análisis del operador de Newton.

En general, una buena resolución es una lista de datos que facilitan la decisión de problemas tales como la consistencia. Por las razones expuestas anteriormente y que aparecerán desarrolladas con posterioridad, la resolución geométrica requiere una menor cantidad de información por lo que facilita la escritura de la misma. Por lo tanto, en el resto de la memoria, nos centraremos en la resolución geométrica desechando el punto de vista algebraico. En el Capítulo 4 de esta memoria expondremos un algoritmo que determina la resolución geométrica de una variedad intersección completa, a partir del cual podemos obtener un resultado para la decisión de consistencia de sistemas de ecuaciones polinomiales.

Con respecto a la aproximación diofántica, de gran interés en teoría de números y la fundamentación del análisis numérico, estableceremos, en el Capítulo 5, una cota inferior para la altura de los denominadores de aproximaciones a raíces de variedades cero dimensionales.

2.2 Resolución de variedades intersección completa reducidas. Aspectos cualitativos

Hemos visto en la Sección anterior los diferentes acercamientos posibles al concepto de resolución. En esta Sección nos centramos en el punto de vista geométrico. Por tanto, nuestro interés se centra en el estudio de los anillos coordenados asociados a variedades, más concretamente, a variedades intersección completa. Comenzamos el estudio cualitativo de dichos anillos. En primer lugar, establecemos el carácter Cohen–Macaulay de los mismos. Recordamos, por lo tanto, la definición de anillo Cohen–Macaulay.

Definición 3 Un anillo noetheriano R se dice que es Cohen–Macaulay si verifica la condición de la pureza, es decir, si todo ideal de altura r de R generado por r elementos no posee primos asociados inmersos.

2.2. Resolución de variedades intersección completa reducidas. Aspectos cualitativos 29

Ejemplos típicos de anillos Cohen–Macaulay son los anillos de polinomios con coeficientes en un cuerpo ([Macaulay, 1916]) o los anillos locales regulares ([Cohen, 1946]). Por otro lado, en anillos noetherianos cualesquiera, todo ideal generado por una sucesión regular verifica la condición de pureza. Además, si R es un anillo Cohen– Macaulay e I = (a_{1}, …, a_{r}) es un ideal generado por una sucesión regular, el anillo cociente R/I es también Cohen–Macaulay.

Ahora, centramos nuestra atención en el caso de anillos de polinomios con coeficientes en Q .

Supongamos que I es un ideal de Q [X_{1}, …, X_{n}] equidimensional (todos sus primos asociados tienen la misma altura) que define una variedad de dimensión r. Supongamos que las variables están en posición de Noether. En ese caso, se tiene que Q[X_{1}, …, X_{n}]/I es un anillo Cohen–Macaulay si, y sólo si, el Q[X_{1}, …, X_{r}]–módulo Q [X_{1}, …, X_{n}]/I es libre.

En [Armendáriz – Solernó, 1995] se demuestra este hecho siguiendo, esencialmente, un argumento de [Giusti et al., 1993]. En el Lema 3.3.1 de [Giusti et al., 1993] se demuestra, mediante un elegante argumento inductivo en la codimensión, que si (f_{1}, …, f_{s}) es un ideal en Q [X_{1}, …, X_{n}] que define una variedad algebraica de dimensión n−s, el Q[X_{1}, …, X_{n−s}]–módulo Q[X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{s}) es proyectivo (es decir, localmente libre). Como consecuencia del resultado debido a Quillen y Suslin que resuelve una conjetura de J. P. Serre al respecto ([Serre, 1955]), se deduce que Q [X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{s}) es un Q [X_{1}, …, X_{n−s}]–módulo libre de rango finito. Para mayor información sobre la aplicación de la conjetura de Serre al Cálculo Formal puede verse [?].

Como caso particular de ideales que verifican estas condiciones, se encuentran los ideales generados por sucesiones regulares de polinomios. En la memoria consideraremos también sucesiones regulares reducidas de polinomios:

Definición 4 Una sucesión regular de polinomios f_{1}, …, f_{s} en Q [X_{1}, …, X_{n}] se dice reducida si para cada 1 ≤ i ≤ n el determinante de la matriz jacobiana J(f_{1}, …, f_{i}) no es divisor de cero módulo (f_{1}, …, f_{i}).

En la definición anterior, está implícita la condición de que las variables se encuentran en posición de Noether con respecto a todos los ideales intermedios. En el caso de sucesiones reducidas de polinomios, los anillos coordenados

Q [V_{i}] ≅ Q [X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{i})

correspondientes a las variedades intermedias V_{i} := V (f_{1}, …, f_{i}) unen a su carácter Cohen–Macaulay y su carácter libre como Q [X_{1}, …, X_{n−i}]–módulo libre, el hecho de ser álgebras reducidas.

A lo largo del resto de esta Sección trataremos de expresar el concepto de resolución geométrica de variedades intersección completa.

Sea V ⊂ C^{n} una variedad intersección completa ZZ–definible de dimensión r. Por lo tanto, existen polinomios f_{1}, …, f_{n−r} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] tales que:

V = {f_{1} = 0, …, f_{n−r} = 0}.

Supongamos que las variables se encuentran en posición de Noether con respecto a V. Sea R := Q [X_{1}, …, X_{r}] y sea B := Q [V]. Precisamos, pues, una forma de describir el comportamiento de la R–álgebra B. Para describir la R–álgebra B habría que conocer una base de B como R-módulo libre. Sin embargo, no se conocen algoritmos admisibles que permitan calcular una base y, por ende, el resto de la información contenida en los tensores. Ante esta situación, se busca una descripción de B, y de la variedad V, salvo isomorfismos birracionales. En otras palabras, si K es el cuerpo de fracciones de R y B′ := K ⊗_{R} B, se determina:

• una base del K–espacio vectorial B′ y

• para r + 1 ≤ j ≤ n, las matrices M_{X_{j}} de los endomorfismos definidos por la multiplicación en B por X_{j}, η_{X_{i}} : B ⟶ B, con respecto a la base dada. Estas matrices describen los tensores de multiplicación de la K–álgebra B′ y, por lo tanto, también los de la R–álgebra B.

Como ilustración de la forma en la que una base y los tensores de multiplicación determinan B como R-álgebra, consideramos la cuestión de encontrar ecuaciones de dependencia entera de polinomios de Q [X_{1}, …, X_{n}] en B:

Ejemplo 5 Supongamos dado un polinomio g ∈ Q [X_{1}, …, X_{n}]. Puesto que, por hipótesis, las variables están en posición de Noether, g verifica una ecuación de dependencia entera sobre B, es decir, existe un polinomio G ∈ Q [X_{1}, …, X_{r}][T] tal que G(X_{1}, …, X_{r}, g) ∈ I(V). El cálculo de G puede hacerse como sigue:

Empezamos sustituyendo en el polinomio g las variables dependientes X_{r+1}, …, X_{n} por las matrices de los tensores M_{X_{r+1}}, …, M_{X_{n}}:

M_{g} := g(X_{1}, …, X_{n−i}, M_{X_{n−i+1}}, …, M_{X_{n}}).

La matriz M_{g} es la matriz correspondiente al endomorfismo η_{g} : B′ ⟶ B′ definido por la multiplicación por g con respecto a la base prefijada. Podemos tomar como G el polinomio característico de la matriz M_{g}. Este es un polinomio que pertenece al anillo Q [X_{1}, …, X_{r}][T] al ser R ⟶ B extensión entera y Q [X_{1}, …, X_{n}] un anillo normal (íntegramente cerrado en su cuerpo de fracciones). Del mismo modo, el polinomio mínimo de g en B se corresponde con el polinomio mínimo de la matriz M_{g}, que dado el carácter reducido del R–módulo B, es un polinomio libre de cuadrados. Este polinomio m_{g} define una hipersuperficie en C^{r+1} que es la clausura Zariski de la imagen de V, G(V), dada por la aplicación de C^{n} en C^{r+1} definida mediante

G(x_{1}, …, x_{n}) := (x_{1}, …, x_{r}, g(x_{1}, …, x_{n}))

Las matrices de los tensores y sus correspondientes polinomios característicos pueden expresarse de manera alternativa como sigue. Sea U := U_{r+1}X_{r+1} + ⋯ + U_{n}X_{n} una forma lineal genérica y sea R_{U} := R[U_{r+1}, …, U_{n}]. Puesto que B es una R– álgebra libre, B_{U} := R_{U} ⊗_{R} B es R_{U}–álgebra libre. Sea M_{U} la matriz definida por la homotecia

η_{U} : B_{U} ⟶ B_{U}

dada por la multiplicación por U. Esta matriz es una matriz con coeficientes en R_{U} y contiene toda la información sobre los tensores de multiplicación de B: para calcular la matriz M_{X_{k}} basta especializar las entradas de la matriz en (0, …, 1, …, 0) con 1 en la coordenada k–ésima. El polinomio característico de M_{U}, que coincide con el mínimo, es un polinomio con coeficientes en R_{U}. A este polinomio se le conoce con el nombre de polinomio de Chow o polinomio eliminante de la variedad V con respecto a la normalización de Noether dada. Mediante la misma especialización que antes, se pueden obtener todos y cada uno de los polinomios característicos de las variables dependientes X_{r+1}, …, X_{n} a partir del polinomio eliminante de V.

Se observa, sin embargo, que en todos los casos hasta ahora expuestos (cálculo de una ecuación de dependencia entera y polinomio de Chow), es necesario conocer una base del R–módulo libre B. Como hemos dicho ya, ningún algoritmo de complejidad aceptable es capaz de dar una base explícita de un módulo libre. Por lo tanto, debemos buscar alternativas para la descripción de B. Distintas opciones se han estudiado (veánse como ejemplos [Giusti – Heintz, 1991], [Giusti – Heintz, 1993], [Krick – Pardo, 1996], [Fitchas et al., 1995], [Giusti et al., 1995b], [Pardo, 1995], [Giusti et al., 1995a], [Giusti et al., 1997]). Una de estas alternativas es la dada por el así llamado elemento primitivo.

En el caso de variedades cero dimensionales, un elemento primitivo u ∈ Q [V] de la extensión de anillos Q ⟶ Q [V] no es más que la imagen en Q [V] de una forma separante de V, es decir, un polinomio U ∈ Q [X_{1}, …, X_{n}] que verifica

U(P) ≠ U(Q) para todo par de puntos P y Q de V distintos

Por otro lado, si V es una variedad cero dimensional, el número de puntos de la misma coincide con el rango de Q [V] como Q –álgebra. Sea ahora m_{u} el polinomio mínimo de u que, dado el carácter reducido de Q [V] es un polinomio libre de cuadrados. Como m_{u}(U(P)) = 0 para todo punto de la variedad, y puesto que el cardinal del conjunto {U(P) : P ∈ V } es igual a rgQQ [V], se sigue que el grado de m_{u} coincide con rgQQ [V]. De hecho, las dos condiciones (separar puntos y deg m_{u} = rgQQ[V]) son equivalentes. En el caso de variedades intersección completa de dimensión positiva adoptaremos como definición de elemento primitivo:

Definición 6 Sea R un anillo de polinomios sobre Q y R ⊆ B una extensión entera tal que B es reducida y B es un R-módulo libre de rango finito. Un elemento u ∈ B se dice elemento primitivo de la extensión de anillos R ⊆ B si el grado del polinomio mínimo m_{u} de u es igual al rango de B como R-módulo, es decir, si

deg m_{u} = rg_{R} B.

En virtud de las consideraciones anteriores, queda claro que esta definición de elemento primitivo no es más que la natural generalización del concepto de elemento primitivo en el caso cero dimensional.

En el contexto de esta memoria, el elemento primitivo u ∈ B siempre se escogerá como la imagen en B de alguna combinación lineal en ZZ de las variables ligadas X_{r+1}, …, X_{n}. En particular, podemos suponer que u es la imagen de una forma lineal U = λ_{r+1}X_{r+1} + ⋯ + λ_{n}X_{n}, con λ_{i} ∈ ZZ para r + 1 ≤ i ≤ n.

Diversas definiciones de elemento primitivo podrían haberse dado. Las diferentes formas equivalentes de definir este concepto se resumen en la siguiente Proposición.

Proposición 7 Con las mismas notaciones e hipótesis que antes, consideramos una forma lineal U := λ_{r+1}X_{r+1} + ⋯ + λ_{n}X_{n} ∈ ZZ[X_{r+1}, …, X_{n}] q y sea u su imagen en B. Son equivalentes:

i) u es elemento primitivo de la extensión R ↪ B.

ii) el conjunto {1, u, …, u^{D−1}} representa una base del K-espacio vectorial B′, donde D := rank_{R}B = dim_{K}B′

iii) • para todo ideal maximal 𝔪 asociado de I(V), el polinomio mínimo de u módulo 𝔪 tiene grado [K(𝔪) : K]_{sep} (aquí [K(𝔪) : K]_{sep} denota el grado de separabilidad de la extensión finita de cuerpos K ⟶ K(𝔪) y K(𝔪):= K[X_{1}, …, X_{n}]/𝔪.).

• para cualesquiera ideales maximales distintos 𝔪 y 𝔪′ asociados de I(V), los polinomios mínimos de u módulo 𝔪 y 𝔪′ son distintos.

iv) U es un forma separante para la variedad cero dimensional definida por el ideal I(V) en IK^{n−r}, donde IK es una clausura algebraica de K.

v) el punto (λ_{r+1}, …, λ_{n}) ∈ ZZ^{n−r} no anula el discriminante de la forma de Chow de V.

Ahora, sea T una nueva indeterminada. El polinomio mínimo m_{u}(T) de u como elemento de la R-álgebra B (o, equivalentemente como elemento de la K-álgebra B′) será un polinomio en Q [X_{1}, …, X_{r}, T] mónico con respecto a la variable T. De hecho, multiplicando por un entero adecuado, escogeremos este polinomio mínimo como elemento de ZZ[X_{1}, …, X_{r}, T].

Asimismo, dado que {1, u, …, u^{D−1}} es base del K–espacio vectorial B′, se deduce la existencia de polinomios ρ_{r+1}, …, ρ_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{r}] y polinomios v_{r+1}, …, v_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{r}, T] mónicos en T y cuyo grado es estrictamente menor que rg_{R}B = deg_{T} m_{u}(T), tales que:

ρ_{j}X_{j} − v_{j}(u) ∈ I(V),

para todo r + 1 ≤ j ≤ n.

El concepto de elemento primitivo admite una interpretación geométrica en los términos siguientes. Sea U el morfismo regular

U : C^{n} ⟶ C^{r+1} : U(X_{1}, …, X_{n}) = (X_{1}, …, X_{r}, u(X_{1}, …, X_{n})).

Entonces, u es elemento primitivo si, y sólo si, U define un isomorfismo birracional entre V y la hipersuperficie de C^{r+1} definida por el polinomio mínimo de u:

H_{u} := {(x_{1}, …, x_{r+1}) : m_{u}(x_{1}, …, x_{r+1}) = 0}

Es claro que, en este caso, la morfismo inverso de U viene dado por

U^{−1}(x_{1}, …, x_{r+1}) = (x_{1}, …, x_{r}, ρ_{r+1}X_{r+1} − v_{r+1}, …, ρ_{n}X_{n} − v_{n}).

Ahora, centraremos nuestra atención en el caso r = 0, es decir, en el caso de variedades cero dimensionales. Suponemos, por lo tanto que existen polinomios f_{1}, …, f_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] que definen un ideal radical en Q [X_{1}, …, X_{n}] y tales que V = V (f_{1}, …, f_{n}). En este caso, R = K = Q . Ahora, supongamos que u es un elemento primitivo de la extensión

Q ⟶ Q [V] = B.

Así, m_{u} es un polinomio en ZZ[T] de grado positivo e igual al rango de Q [V] como Q -álgebra. Este polinomio se conoce con el nombre de u–polinomio de Chow de la variedad cero dimensional V. Si hacemos a este polinomio primitivo (es decir, dividimos sus coeficientes por el máximo común divisor de los mismos) obtenemos un polinomio q_{u} ∈ ZZ[T] que llamaremos polinomio mínimo primitivo de u.

Por otro lado, {1, u, u^{2}, …, u^{D−1}} es base del Q –espacio vectorial B. Entonces, existen polinomios v_{i}^{(u)} ∈ ZZ[T] y enteros ρ_{i}^{(u)} (1 ≤ i ≤ n) tales que ρ_{i}^{(u)}X_{i} − v_{i}^{(u)} pertenecen al ideal (f_{1}, …, f_{n}). En particular se tiene la igualdad

(f_{1}, …, f_{n}) = (q_{u}(U), ρ_{1}^{(u)}X_{1} − v_{1}^{(u)}, …, ρ_{n}^{(u)}X_{n} − v_{n}^{(u)})

Dicho de otro modo, se tiene una parametrización de la variedad cero dimensional V (f_{1}, …, f_{n}) en términos del elemento primitivo de V. Además, se tiene:

Q [X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{n}) =

= Q [X_{1}, …, X_{n}]/(q_{u}(u), ρ_{1}^{(u)}X_{1} − v_{1}^{(u)}, …, ρ_{n}^{(u)}X_{n} − v_{n}^{(u)}) =
= Q [T]/(q_{u}(T))

El uso del elemento primitivo es una herramienta comúnmente utilizada en el ámbito del Cálculo Formal para la resolución simbólica de sistemas de ecuaciones polinomiales cero dimensionales, pues reduce la resolución de los mismos a cómputos en una sola variable. En el cálculo formal, la existencia de elemento primitivo se suele conocer como “Shape Lemma” en sus diferentes variantes (como ejemplos, podemos citar [Alonso et al., 1996], [Canny, 1988], [Chistov, 1985], [Chistov – Grigoriev, 1983], [Gianni – Mora, 1989], [González-Vega – Trujillo, 1995], [Kobayashi et al., 1988], [Lakshman – Lazard, 1991]).

Finalmente, con todas estas nociones en mente, damos la definición de resolución geométrica:

Definición 8 Un algoritmo para la resolución geométrica en dimensión cero es un procedimiento que dada una sucesión regular reducida de polinomios f_{1}, …, f_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] como entrada produce:

• un elemento primitivo u de la extensión de anillos

Q ↪ Q [X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{n})

representado por una forma ZZ-lineal U = λ_{1}X_{1} + ⋯ + λ_{n}X_{n}

• el polinomio mínimo primitivo q_{u} ∈ ZZ[T]

• las parametrizaciones de la variedad V (f_{1}, …, f_{n}) por los ceros de q_{u}, a saber los polinomios primitivos ρ_{1}^{(u)}X_{1}−v_{1}^{(u)}(T), …, ρ_{n}^{(u)}X_{n}−v_{n}^{(u)}(T) con ρ_{1}^{(u)}, …, ρ_{n}^{(u)} enteros no nulos y v_{1}^{(u)}, …, v_{n}^{(u)} ∈ ZZ[T] que satisfacen las condiciones

max{deg v_{1}^{(u)}, …, deg v_{n}^{(u)}} < deg q_{u}

y

(f_{1}, …, f_{n}) = (q_{u}(U), ρ_{1}^{(u)}X_{1} − v_{1}^{(u)}(U), …, ρ_{n}^{(u)}X_{n} − v_{n}^{(u)}(U))

en Q [X_{1}, …, X_{n}]. Aun más, el entero no nulo ρ := ∏_{i=1}^{n} ρ_{i} ∈ ZZ, llamado discriminante del sistema de entrada, es un múltiplo del discriminante de q_{u}.

En lo que sigue, nos referiremos a la forma lineal U = λ_{1}X_{1} + ⋯ + λ_{n}X_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] (con imagen u in Q [X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{n})) y a los polinomios q_{u}(T), v_{1}^{(u)}(T), …, v_{n}^{(u)}(T) ∈ ZZ[T] y ρ_{1}^{(u)}, …, ρ_{n}^{(u)} ∈ ZZ como resolución geométrica del sistema de ecuaciones polinomiales f_{1} = 0, …, f_{n} = 0.

La noción de resolución geométrica tiene una larga tradición. Así, por ejemplo, en [Gianni – Mora, 1989] se demostraba que dado un ideal radical cerodimensional en Q [X_{1}, …, X_{n}] que define una variedad algebraica con δ puntos, y si Y_{n} := X_{n} + c_{1}X_{1} + ⋯ + c_{n−1}X_{n−1} ((c_{1}, …, c_{n}) ∈ Q^{n−1}) es un elemento primitivo, existen polinomios g_{1}, …, g_{n} ∈ Q[X_{1}, …, Y_{n}], g_{n} libre de cuadrados y de grado δ y deg g_{i} < deg g_{n} para todo i ∈ {1, …, n − 1}, tales que (X_{1} − g_{1}, …, X_{n−1} − g_{n−1}, g_{n}) = I.

Por otro lado, es necesario establecer una definición análoga para el caso de variedades intersección completa de dimensión positiva.

Definición 9 Sea V ⊂ C^{n} una variedad algebraica ZZ–definible de dimensión r. Llamaremos resolución geométrica de la variedad V a

• Una normalización de Noether de V

• un punto del levantamiento, es decir, un punto P ∈ ZZ^{r} tal que la fibra correspondiente posee todos suspuntos lisos, y

• los enteros que conforman la resolución geométrica de la fibra correspondiente al punto del levantamiento elegido.

La Definición 9 encuentra su justificación en el algoritmo del levantamiento descrito en el Capítulo 4 y el concepto de punto del levantamiento desarrollado en el mismo Capítulo de esta memoria. Los enteros que conforman la resolución geométrica de V codifican toda la información necesaria para conocer la variedad en cuestión.

2.3 Parámetros intrínsecos

Como expresamos en la Introducción, uno de los intereses básicos de esta memoria es el desarrollo de algoritmos cuyo comportamiento, en especial su complejidad en tiempo y espacio, dependa esencialmente de parámetros intrínsecos de la entrada. Esto quiere decir que pretendemos diseñar algoritmos que puedan beneficiarse de las posibles buenas propiedades geométricas de la variedad definida por el sistema inicial. En la Introducción se habló ya de lo que significan “buenas” propiedades. Sin embargo, conviene precisar exactamente estos términos. En este apartado, definiremos dos invariantes : un parámetro de naturaleza geométrica (el grado afín del sistema) y otro de naturaleza diofántica (la altura de variedades algebraicas diofánticas)

Primero recordamos la noción de grado de una variedad algebraica afín. Empezamos definiendo el grado de una variedad algebraica afín cero dimensional y extendemos posteriormente la definición a variedades de dimensión positiva equidimensionales. En el contexto proyectivo, el concepto de grado juega, junto a otros invariantes tales como la multiplicidad de intersección, un importante papel en la Teoría de la Intersección ([Fulton, 1984], [Lejeune-Jalabert, 1984], [Shafarevich, 1994], [Vogel, 1984]).

En el contexto proyectivo se busca una noción de grado que verifique una igualdad de Bézout, es decir, una noción de grado que cumpla

deg(V ∩ W) = deg(V) · deg(W)

para el caso de que las variedades se cortan propiamente. El análogo a esta igualdad para curvas es un resultado clásico. Sin embargo, para que la igualdad sea cierta se crea una noción de grado que tiene en cuenta las multiplicidades de las curvas que se intersecan propiamente. La extensión de la igualdad de Bézout a dimensiones mayores que uno, se corresponde con el esfuerzo de Fulton y Vogel. El primero utilizaba la multiplicidad de ciertos divisores, mientras que el segundo utilizaba el polinomio de Hilbert.

El inconveniente de estas nociones radica en el hecho de su dependencia de la sintaxis: están fundamentalmente controladas por el ideal que usamos para buscar la variedad y no por la propia variedad. En el caso afín, una aproximación más geométrica al concepto de grado es la que damos a continuación y que coincide con la dada en [Heintz, 1983]. En este caso, se pierde la igualdad para obtener simplemente una desigualdad. A cambio, el grado sólo depende de la variedad y no del ideal.

Sea V ⊆ C^{n} una variedad algebraica equidimensional. Si V es cero dimensional el grado de V se define como el número de puntos en V. Supongamos ahora que la dimensión de V es positiva e igual a r ≤ n. En este caso consideramos la clase D de subespacios afines de dimensión n − r (definidos como el conjunto de soluciones en C^{n} de sistemas de ecuaciones lineales L_{1} = 0, …, L_{r} = 0 donde L_{k} = a_{k1}X_{1} + ⋯ + a_{kn}X_{n} + a_{k0} es una forma con coeficientes a_{kj} ∈ ZZ con 1 ≤ k ≤ r y 0 ≤ j ≤ n).

Definición 10 Sea D_{V} la subclase de D de todos los subespacios afines H ∈ D tales que H ∩ V es una variedad cero dimensional. Definimos el grado de V como el máximo de los grados de las intersecciones de V con los subespacios afines de la clase D_{V}.

En primer lugar, recordamos que esta definición de grado no tiene en cuenta multiplicidades y, por lo tanto, es en este sentido en el que hablaremos de grado geométrico de una variedad afín.

Por otro lado, esta definición coincide con la dada en [Heintz, 1983]. De hecho, no es más que la misma definición, pero adaptada al caso de variedades equidimensionales, es decir, variedades cuyas componentes irreducibles son todas de la misma dimensión. En el mismo artículo ya referenciado, la definición para variedades irreducibles es la misma que la que damos aquí y, en el caso general, si V es una variedad algebraica y V = ∪_{i}C_{i} es una descomposición irredundante de la variedad en componentes irreducibles, se define el grado de V como

deg(V) = ∑_{i} deg(C_{i}).

Obviamente, en el caso de variedades equidimensionales, podemos definir el grado tal y como lo hemos hecho. El grado, así definido, es siempre un número natural positivo. El grado, además, verifica la siguiente propiedad conocida como desigualdad de Bézout:

Teorema 11 (Desigualdad de Bézout) Sean V y W dos variedades algebraicas. Se tiene

deg(V ∩ W) ≤ deg(V) · deg(W).

Esta desigualdad de Bézout para variedades afines se sigue de la correspondiente igualdad de Bézout para variedades proyectivas como puede verse en [Schnorr, 1981]. En [Heintz, 1983] se da una prueba directa basada en álgebra conmutativa. La formulación de la desigualdad expuesta aquí evita la noción de multiplicidad de intersección.

De la desigualdad de Bézout y de la observación de que el grado de una hipersuperficie es igual al grado del polinomio que la define, se deduce que si V es una variedad definida por una sucesión regular de polinomios f_{1}, …, f_{i} de grado d_{1}, …, d_{i} respec-

tivamente, deg(V) ≤ ∏_{i=1}^{n} d_{i}. Al número ∏_{i=1}^{n} d_{i} se le conoce como número de Bézout

del sistema f_{1}, …, f_{i}. Sin embargo, esta no es más que una cota superior y existen ejemplos en los que el grado es mucho menor que el número de Bézout. Tomemos, por ejemplo, la siguiente variedad algebraica cero dimensional:

V := {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ C^{n} : x_{1}^{2} + x_{1} + 1 = 0, x_{2} − x_{1}^{2} = 0, …, x_{n} − x_{n−1}^{2} = 0}.

El grado de esta variedad (igual al cardinal de la misma) es igual a 2, que es mucho menor que el número de Bézout del sistema que la define que es igual a 2^{n}. Señalamos también que este comportamiento del grado afín difiere del comportamiento de la noción de grado para variedades proyectivas, por cuanto en el caso de estas últimas el grado proyectivo es siempre igual al número de Bézout del sistema de polinomios homogéneos que la define ([Lejeune-Jalabert, 1984]).

Podemos, por otro lado, dar una definición de grado equivalente a la anterior y que la relaciona con la normalización de Noether:

Consideremos todos los posibles cambios de coordenadas en C^{n} definidos por matrices no singulares con entradas enteras, es decir cambios lineales del tipo

(X_{1}, …, X_{n}) ↦ (Y_{1}, …, Y_{n}),

donde Y_{k} = a_{k1}X_{1} + ⋯ + a_{kn}X_{n} es una forma lineal con coeficientes enteros para 1 ≤ k ≤ n. Cualquier cambio lineal genérico de coordenadas induce una extensión entera de anillos

Q [Y_{1}, …, Y_{n−i}] ⟶ Q [Y_{1}, …, Y_{n}]/(f_{1}, …, f_{i}) = Q [V].

Se verifica que el anillo coordenado Q [V] es un Q [Y_{1}, …, Y_{n−i}]-módulo libre de rango finito ([Giusti et al., 1993] o Proposición 19 de esta memoria). Este rango es el mismo para cualquier cambio lineal genérico de coordenadas y coincide con el grado de la variedad V.

Una tercera forma de aproximarse al concepto de grado viene dada por el elemento primitivo. Sea U = λ_{1}X_{1} + ⋯ + λ_{n}X_{n} con λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ZZ una forma lineal genérica. Su imagen u en Q [V] es un elemento primitivo de la extensión de anillos Q [Y_{1}, …, Y_{n−i}] ⟶ Q [V]. El grado de la ecuación mínima (de grado mínimo) de dicho elemento primitivo u es igual al rango de Q [V] como Q [Y_{1}, …, Y_{n−i}]-módulo y dado que es reducida, con el grado de la variedad.

Como queda dicho, el segundo parámetro intrínseco que consideraremos es de naturaleza diofántica: la altura de las variedades algebraicas diofánticas. Los resultados en forma de Teorema de Bézout aritmético (que relacionan la altura de la intersección con la altura y el grado de las variedades intersecadas) son un aval para el uso de este concepto. De hecho, este paralelismo existente entre altura y grado de variedades proyectivas, expresado en términos de Teoremas de Bézout aritméticos ([Bost et al., 1991], [Philippon, 1995]) no es sorprendente si se tiene en cuenta que la teoría de Arakelov juega el mismo papel en la aritmética que la teoría de la intersección geométrica. Normalmente, la noción de altura de variedades proyectivas se define a partir de la forma de Chow de la variedad, adoptando directamente la altura de Weil (como hace Nesterenko) o combinando valores absolutos p–ádicos con medidas de Mahler generalizadas. La noción de altura que definimos a continuación para variedades afines es una adaptación natural de estas nociones a nuestro caso.

Definimos ahora el concepto de altura de una variedad algebraica cero dimensional. Para ello, debemos recordar el concepto de altura logarítmica de un entero, de un vector de enteros y de una matriz con entradas enteras. Sea a ∈ ZZ un entero. Su altura se define como ht(a) := max{log_{2} | a |, 1}. Es obvio que la altura mide la longitud bit del número en cuestión.

Para un vector α := (a_{1}, …, a_{n}) ∈ ZZ^{n}, definimos su altura, ht(α), como el máximo de las alturas de sus coordenadas. La altura de una matriz con coeficientes enteros se define análogamente. De manera similar, se define la altura de un polinomio f ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] como la altura de su vector de coeficientes.

Definición 12 Dada una variedad cero dimensional V ⊆ C^{n} y un elemento primitivo, u = λ_{1}X_{1} + ⋯ + λ_{n}X_{n} con coeficientes enteros, de la extensión de anillos Q ⟶ Q[V], se define la altura de V con respecto a u como el máximo de las alturas de los polinomios a q_{u}(T), ρ_{1}^{(u)}X_{1} − v_{1}^{(u)}(T), …, ρ_{n}^{(u)}X_{n} − v_{n}^{(u)}(T) . La denotamos por ht(V; u).

Con esta definición de altura respecto a un elemento primitivo, podemos pasar a una definición de altura para variedades cero dimensionales. Así, definimos la altura de una variedad cero dimensional V como la función ht_{V} : IN ⟶ IN que a cada número natural c ∈ IN le asocia el valor ht_{V} (c) := max{ht(V; u) : ht(u) ≤ c} si la extensión Q ⟶ Q [V] posee un elemento primitivo de talla acotada por c o 1 en caso contrario.

Esta noción de altura está relacionada con la norma de la variedad V. Para explicar esta relación introducimos las siguientes notaciones:

Dado que la variedad cero dimensional V está contenida en C^{n}, se define su norma, ||V ||, como :

||V || := max{||α|| : α ∈ V }.

Por otro lado, un número natural d ∈ IN se dice denominador de V si todos los elementos del conjunto

d · V := {d · α : α ∈ V }

tienen como coordenadas enteros algebraicos. Al más pequeño de entre estos denominadores le llamaremos denominador de la variedad V y lo denotaremos por d_{V}. Con estas notaciones, podemos establecer la relación ya anunciada.

Lema 13 Existe una constante universal κ > 0 tal que para cualquier variedad diofántica cero dimensional V en C^{n} de grado δ y para cualquier c ∈ IN se verifica:

ht_{V} (c) ≤ δ^{κ}(c + log_{2}(nd_{V} ||V ||)).

(Por lo tanto, la función ht_{v} es de orden ht_{V} (c) = δ^{O(1)} (c + log_{2}(nd_{V} ||V ||))).

Demostración.– Sea V ⊂ C^{n} variedad diofántica cero dimensional de grado δ ∈ IN. La desigualdad es trivial para el caso ht_{V} (c) = 1. Así pues, podemos suponer, sin restricción de generalidad, que la extensión de anillos Q ↪ Q [V] posee un elemento primitivo de talla acotada por c, u = λ_{1}X_{1} + ⋯ + λ_{n}X_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}]. Probaremos primero la desigualdad:

2^{ht(q_{u}(T))} ≤ (2^{c+1}nd_{V} ||V ||)^{δ}

Al ser d_{V} un denominador de V y al tener u coordenadas enteras, d_{V} es denominador del conjunto de números algebraicos u(V) ⊆ C. Si V = {α_{1}, …, α_{δ}} ∈ C^{n} y si T es una nueva indeterminada, el polinomio

f(T) := ∏_{i=1}^{δ} (T − d_{V} u(α_{i}))

pertenece a ZZ[T], es decir, posee coeficientes enteros. De hecho, dado que el polinomio f(d_{V} T) se hace cero en u(V), que f y q_{u} tienen el mismo grado δ y que q_{u} es el polinomio mínimo primitivo del elemento primitivo u of Q [V], existe b ∈ ZZ tal que f(T) = bq_{u}(T). Dado que |b| ≥ 1 y que los coeficientes de f son funciones elementales simétricas de los puntos de u(V) ⊂ C, se tiene la siguiente cadena de desigualdades:

2^{ht(q_{u})} ≤ 2^{ht(f)} ≤ (2d_{V} ||u(V)||)^{δ} ≤ (2d_{V})^{δ}(n2^{c})^{δ}||V ||^{δ} ≤ (2^{c+1}nd_{V} ||V ||)^{δ}.

El siguiente paso será el de estimar las cantidades d_{V} y ||V || que aparecen en el Lema anterior.

Proposición 14 Sea c ∈ INun número natural tal que la extensión de anillos Q ↪ Q[V]tiene un elemento primitivo u := λ_{1}X_{1} + ⋯ + λ_{n}X_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] de altura acotada por c. Entonces:

i) Se verifica la desigualdad

d_{V} ≤| a_{δ}^{δ−1} ∏_{i=1}^{n} ρ_{i}^{(u)} |,

donde a_{δ} es el coeficiente director de q_{u}(T) y ∏_{i=1}^{n} ρ_{i}^{(u)} es el discriminante que aparece en la definición de resolución geométrica. Esta cota implica que la variedad V admite denominadores de altura O((n + δ)ht_{V} (c)).

ii) La norma ||V || de V satisface

||V || ≤ \sqrt{n}δ2^{δht_{V} (c)}.

Demostración.– El número entero |a_{δ}| es un denominador para el conjunto u(V) dado que es el coeficiente director del polinomio entero que lo define. Puesto que los polinomios con coeficientes enteros ρ_{1}^{(u)}X_{1} − v_{1}^{(u)}(T), …, ρ_{n}^{(u)}X_{n} − v_{n}^{(u)}(T) “parametrizan” la variedad V en función de los ceros de q_{u}(T) y que el grado de los polinomios v_{1}^{(u)}(T), …, v_{n}^{(u)}(T) está acotado por δ−1 se deduce que | a_{δ}^{δ−1} ∏_{i=1}^{n} ρ_{i}^{(u)} | es un denominador de V.

De [Mignotte, 1989, Chapitre IV, Théorème 2 (ii)] se deduce :

||u(V)|| ≤ 2^{ht_{V} (c)}.

Por lo tanto, para α = (α_{1}, …, α_{n}) ∈ V y 1 ≤ k ≤ n se tiene:

| α_{k} |= |ρ_{k}^{(u)}|^{−1}|v_{k}^{(u)}(u(α))|,

de donde

|α_{k}| ≤ δ2^{ht_{V} (c)}||u(V)||^{δ−1} ≤ δ2^{δht_{V} (c)}.

Esto implica

||V || := max\{||α|| : α ∈ V \} ≤ \sqrt{n}δ2^{δht_{V} (c)}.

Observación 15 La altura está muy relacionada con la complejidad. De hecho, dada una sucesión regular de polinomios f_{1}, …, f_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] que definen una variedad diofántica cero dimensional V, una cota para la longitud de la salida de cualquier algoritmo que resuelva geométricamente el sistema f_{1} = 0, …, f_{n} = 0 es:

(n + 1)deg V ht_{V} (c).

Aquí asumimos de forma implícita que la salida viene dada por un elemento primitivo de la extensión de anillos Q ↪ Q [V] y por los polinomios que representan la resolución geométrica de la variedad y que dichos polinomios están dados por su codificación densa.

También es posible dar una cota superior para la altura de de variedades cero dimensionales intersección completa en términos de parámetros puramente sintácticos. Esto es el contenido de lo que sigue, que puede interpretarse como una versión débil de los así llamados teoremas de Bézout aritméticos ([Berenstein – Yger, 1991b], [Berenstein – Yger, 1991a], [Bost et al., 1991],[Bost et al., 1993], [Elkadi, 1993], [Philippon, 1991b], [Philippon, 1994], [Philippon, 1995], [Krick – Pardo, 1994], [Krick – Pardo, 1996]).

Proposición 16 Sean f_{1}, …, f_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] polinomios de grado a lo más d y de altura acotada por h. Supongamos que definen una variedad cero dimensional V := V (f_{1}, …, f_{n}). Entonces la función ht_{V} puede estimarse como sigue: para cualquier c ∈ IN se tiene

ht_{V} (c) ≤ d^{O(n)} · h · c.

Esta Proposición es consecuencia inmediata de [Krick – Pardo, 1996]. Bajo las mismas hipótesis que en la Observación 15, es decir, que cualquier algoritmo que resuelve una variedad cero dimensional intersección completa devuelve un elemento primitivo y la correspondiente resolución geométrica, se puede establecer una obvia cota inferior para la longitud bit de la salida (de nuevo, suponemos que la salida está dada en forma densa y sus coeficientes por su representación binaria) :

Proposición 17 Sea f_{1}, …, f_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] una sucesión regular que define una variedad algebraica cero dimensional V = V (f_{1}, …, f_{n}). Sea η := min{ht(V; u) : u es un elemento primitivo de la extensión Q ⟶ Q[V]}. Entonces, la complejidad bit de cualquier algoritmo que resuelva geométricamente f_{1} = 0, …, f_{n} = 0 es, con representación densa de la salida, al menos:

max{deg V, η}.

Consideremos ahora el caso de variedades diofánticas intersección completa V de dimensión positiva. Sea 1 ≤ i < n y sean dada una sucesión regular reducida de polinomios f_{1}, …, f_{i} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] que definen una variedad diofántica intersección completa de dimensión (n − i). Sea N_{V} la clase de todos los cambios lineales de coordenadas:

( Y_{1} ; ⋮ ; Y_{n} ) = ( \begin{matrix}a_{1,1} & ⋯ & a_{1,n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n,1} & ⋯ & a_{n,n} \end{matrix} ) × ( X_{1} ; ⋮ ; X_{n} ),

tales que la matriz A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} posee entradas enteras ( A ∈ M_{n}(ZZ)), A es no singular y tales que la extensión de anillos

Q [Y_{1}, …, Y_{n−i}] ⟶ Q [Y_{1}, …, Y_{n}]/(f_{1}, …, f_{i}) = Q [V]  (2.1)

es entera. El cambio lineal de coordenadas dado por la matriz A induce un morfismo finito de variedades afines π : V ⟶ C^{n−i}. Para cada forma lineal U = λ_{n−i+1}X_{n−i+1} + ⋯ + λ_{n}X_{n} con coeficientes enteros tal que su imagen u en Q [V] es un elemento primitivo de la extensión de anillos, consideramos la clase F_{u} de todos los puntos a ∈ ZZ^{n−i} que tienen fibra por π no ramificada y para los que la imagen de u en el anillo coordenado Q [V_{a}] de la fibra V_{a} := π^{−1}({a}) sigue siendo un elemento primitivo para la extensión de anillos Q ⟶ Q [V_{a}].

Dicho de otro modo, esto quiere decir que pedimos a todos los elementos de V_{a} = π^{−1}(a) que sean puntos lisos de V y que el número deg V_{a} sea igual al rango del Q [Y_{1}, …, Y_{n−i}]-módulo libre Q [V]. Además, pedimos que la imagen de la forma lineal U en Q [V_{a}] sea elemento primitivo de la extensión Q ⟶ Q [V_{a}]. Con estas notaciones definimos la noción de altura de variedades algebraicas.

Definición 18 Dada V una variedad diofántica intersección completa, un cambio de coordenadas A ∈ N_{V} , una forma lineal U ∈ ZZ[Y_{n−i+1}, …, Y_{n}] cuya imagen u en Q [V] es un elemento primitivo para la extensión (2.1) y dado un punto a ∈ F_{u}, se define la altura de V con respecto a la terna (A, U, a) como:

ht(V; (A, U, a)) := ht(V_{a}; U).

2.4. Resolución en el caso intersección completa reducida. Aspectos cuantitativos 43

Por lo tanto, la definición de altura de una variedad diofántica intersección completa viene dada por la función ht_{V} : IN ⟶ IN que asocia a cada número natural c ∈ IN el valor ht_{V} (c) := max{ht(V; (A, U, a)) | ht(A, U, a) ≤ c} si la terna (A, U, a) satisface las hipótesis de la definición, y 1 en caso contrario.

2.4 Resolución en el caso intersección completa reducida. Aspectos cuantitativos

En la Sección 2.2 se establecían propiedades sobre los anillos coordenados de variedades intersección completa. En el comienzo de esta Sección analizamos los mismos anillos coordenados pero desde un punto de vista cuantitativo. Por ejemplo, estudiamos cotas para el rango como módulos libres de los mismos, así como cotas sobre los grados de los polinomios que aparecen en la resolución geométrica.

Empezamos en primer lugar, acotando el rango de los anillos coordenados:

Proposición 19 ([Giusti et al., 1993]) Sea f_{1}, …, f_{r} una sucesión regular en el anillo k[X_{1}, …, X_{n}] y supongamos que las variables están en posición de Noether con respecto al ideal F = (f_{1}, …, f_{r}). Sea A := k[X_{1}, …, X_{r}] y B := k[X_{1}, …, X_{n}]/F. Entonces, B es un A–módulo libre de rango acotado por el grado de la variedad definida por F.

A continuación, vemos cómo se comportan los grados de los polinomios mínimos. El resultado que enunciamos a continuación puede verse en [Sabia – Solernó, 1996]

Proposición 20 ([Sabia – Solernó, 1996]) Sea F un ideal radical, V =: V (F) y supongamos que la dimensión de V es r y que las variables están en posición de Noether. Sea A := k[X_{1}, …, X_{r}] y B := k[X_{1}, …, X_{n}]/F y sea f ∈ k[X_{1}, …, X_{n}]. Entonces, existe un polinomio mónico F ∈ A[T] que verifica que F (f) = 0 en B y cuyo grado total está acotado por deg(V) · deg f.

Como consecuencia de la Proposición anterior, se tiene:

Corolario 21 Sea f_{1}, …, f_{n−r} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] una sucesión regular que genera un ideal radical F y sea V := V (f_{1}, …, f_{n−r}). Supongamos las variables en posición de Noether con respecto a V. Sea A := Q [X_{1}, …, X_{r}] y B := k[X_{1}, …, X_{n}]/F, K := Q (X_{1}, …, X_{r}) y B′ := B ⨂_{A} K. Sea f ∈ Q [X_{1}, …, X_{n}], f̄ su clase en B y sea η_{f} ∈ End_{K}(B′) el endomorfismo inducido por la multiplicación por f en B′. Entonces, el polinomio mínimo de η_{f}, m_{f}, es un elemento de A[T] y su grado total está acotado por deg(V) · deg f. Además, dicho polinomio mínimo es libre de cuadrados.

Demostración.– Sea F : V ⟶ C^{r+1} el morfismo regular dado por

F (x_{1}, …, x_{n}) := (x_{1}, …, x_{r}, f(x_{1}, …, x_{n}))

y sea W := \overline{F (V)}^{Zar} la clausura Zariski de la imagen de F. Es claro que W es una hipersuperficie en C^{r+1} definida por el polinomio mínimo de η_{f} módulo F. Además, las componentes irreducibles de W se corresponden con los factores irreducibles de m_{f}. Por lo tanto, deg(W) = degm_{f}.

Sea ahora W_{1} el grafo de de la aplicación f : C^{n} ⟶ C definida por f restringida a V, es decir,

W_{1} = {(x_{1}, …, x_{n}, y) ∈ C^{n+1} : (x_{1}, …, x_{n}) ∈ V, y − f(x_{1}, …, x_{n}) = 0}.

Es obvio que, por la desigualdad de Bézout,

deg W_{1} ≤ deg V · deg(f).

Ahora bien, si π es la proyección dada por π((x_{1}, …, x_{n}, y) = (x_{1}, …, x_{r}, y), se tiene que π(W_{1}) = W. Finalmente, la estabilidad del grado bajo proyecciones ([Heintz, 1983]), implica que

deg W ≤ deg W_{1} ≤ degV · deg f.

La siguiente Proposición estudia el grado total de las parametrizaciones que aparecen en la resolución geométrica de una variedad intersección completa. Fijemos antes algunas notaciones. Sea f_{1}, …, f_{i} ∈ Q [X_{1}, …, X_{n}] una sucesión regular de polinomios. Supongamos que las variables están en posición de Noether con respecto al ideal I := (f_{1}, …, f_{i}). Sea δ el grado de la variedad V definida por I, u una forma lineal en Q [X_{n−i+1}, …, X_{n}] que representa un elemento primitivo y q ∈ Q [X_{1}, …, X_{n}][T] su polinomio mínimo módulo I. Sean ρ_{n−i+1}, …, ρ_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] y v_{n−i+1}, …, v_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}, T] tales que

(f_{1}, …, f_{i})_{ρ} = (q(u), ρ_{n−i+1}X_{n−1+1} − v_{n−i+1}(u) ⋯ ρ_{n}X_{n} − v_{n}(u))_{ρ},

donde ρ = ∏_{j=n−i+1}^{n} ρ_{j}.

Proposición 22 Con las notaciones anteriores, el grado total de v_{j} y de ρ_{j} está acotado por 2δ^{3}, para todo j ∈ {n − i + 1, …, n}

Demostración.– Sea r = n − i. Sabemos que

rg_{Q[X_{1},...,X_{r}]}Q [X_{1}, …, X_{n}]/I ≤ δ.

Sin embargo, por comodidad de notación, supondremos que se verifica la igualdad. Esta hipótesis no resta generalidad a los argumentos y permite una mejor explicac ión de los mismos, evitando un exceso de notación.

Consideraremos las Q –álgebras C:= Q [X_{1}, …, X_{r}, u]/q(u) y

C_{ρ}:= k[X_{1}, …, X_{r}]_{ρ}[u]/(q(u))_{ρ}

y las compararemos con la Q –álgebra B:= Q [X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{i}) y su localización

B_{ρ}:= Q [X_{1}, …, X_{r}]_{ρ}[X_{r+1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{i})_{ρ}.

Sea ¯ el homomorfismo canónico de Q –álgebras que asocia a cada elemento en Q [X_{1}, …, X_{n}], Q [X_{1}, …, X_{r}]_{ρ}[X_{r+1}, …, X_{n}], Q [X_{1}, …, X_{r}, u] o Q [X_{1}, …, X_{r}]_{ρ}[u] su clase en B, B_{ρ}, C o C_{ρ}. La condición

(f_{1}, …, f_{i})_{ρ} = I_{ρ} = (q(u), ρ_{r+1}X_{r+1} − v_{r+1}(u), …, ρ_{n}X_{n} − v_{n}(u))_{ρ}

induce un isomorfismo de Q –álgebras τ : B_{ρ} ⟶ C_{ρ} que fija k[X_{1}, …, X_{r}]_{ρ} y

que verifica τ(X̄_{r+1}) = \frac{v_{r+1}(ū)}{ρ_{r+1}}, …, τ(X̄_{n}) = \frac{v_{n}(ū)}{ρ_{n}}. Puesto que los polinomios

f_{1}, …, f_{i} forman una sucesión regular en Q [X_{1}, …, X_{n}] y las variables X_{1}, …, X_{n} están en posición de Noether con respecto al ideal (f_{1}, …, f_{i}), la Q –álgebra B es un Q [X_{1}, …, X_{r}]–módulo libre. La misma propiedad es cierta para la Q –álgebra C. Por lo tanto, B_{ρ} y C_{ρ} son Q [X_{1}, …, X_{r}]_{ρ}–módulos libres.

Por hipótesis, q es un polinomio separable con respecto a la variable u. Por lo tanto, las trazas ordinarias que envían B y C en k[X_{1}, …, X_{r}] son no constantes y las correspondientes trazas de B_{ρ} y C_{ρ} son no degeneradas (obsérvese que ρ es un múltiplo del discriminante de q). Puesto que el isomorfismo de Q –álgebras es Q[X_{1}, …, X_{r}]_{ρ}–lineal, deja la traza fija. Denotaremos por tanto a ambas aplicaciones por el mismo símbolo “Tr”. Sea r < j ≤ n.

Escribimos ahora

v_{j} = ∑_{0≤m<δ̄}a_{m}^{(j)}u^{m},

donde a_{m}^{(j)} ∈ Q[X_{1}, …, X_{r}]. Se observa que ρX̄_{j} = v_{j}(ū) = ∑_{0≤m<δ̄}a_{m}^{(j)}ū^{m} en B. Para

0 ≤ m′ < δ consideramos el polinomio

c_{m′}^{(j)} := ρ_{j}T r(X̄_{j}ū^{m′}) = ∑_{0≤m<δ} a_{m}^{(j)}T r(ū^{m+m′})  (2.2)

que pertenece a k[X_{1}, …, X_{r}]. Por lo tanto, T r(X̄_{j}ū^{m′}) es también un polinomio en Q [X_{1}, …, X_{r}] que satisface (véase [Sabia – Solernó, 1996], Theorem 13) la cota de grado deg T r(X̄_{j}ū^{m′}) ≤ deg V deg(X_{j}u^{m′}) = (m′ + 1)δ ≤ δ^{2}.

De 2.2 se tiene que c_{m′}^{(j)} es divisible en Q [X_{1}, …, X_{r}] por ρ_{j} y que \frac{c_{m′}^{(j)}}{ρ} satisface

deg \frac{c_{m′}^{(j)}}{ρ_{j}} ≤ δ^{2}.  (2.3)

Análogamente se tiene que para cualquier 0 ≤ m < δ la traza T r(ū^{m+m′}) es un polinomio en Q [X_{1}, …, X_{r}] que verifica

deg T r(ū^{m+m′}) ≤ 2δ(δ − 1).  (2.4)

Para un j fijo interpretamos las ecuaciones (2.2) como un sistema de ecuaciones lineales no homogéneas de talla δ ×δ con vector de coeficientes (a_{0}^{(j)}, …, a_{δ−1}^{(j)}). La matriz de este sistema es (T r(ū^{m+m′}))_{0≤m,m′<δ} cuyas entradas pertenecen a Q[X_{1}, …, X_{r}]. El determinante de este sistema de ecuaciones coincide, por tanto, con el discriminante de q. Aplicando la regla de Cramer y las cotas de grado (2.3) y (2.4) se concluye

deg a_{m}^{(j)} ≤ 2δ^{3}.

2.5 Polinomios en posición general

Siguiendo el estudio de los anillos coordenados correspondientes a variedades intersección completa, en esta Sección establecemos algunos enunciados existenciales sobre los mismos. El principal resultado contenido en esta Sección es el estudio de un preprocesamiento para los ideales que definen variedades intersección completa y que reduce el estudio de los mismos al estudio de sucesiones de polinomios que se encuentran en posición general con respecto de ellos.

Definición 23 Una sucesión de polinomios g_{1}, …, g_{t} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] se dice que está en posición general con respecto al ideal I de K[X_{1}, …, X_{n}] que generan si:

• g_{1}, …, g_{t−1} es una sucesión regular en K[X_{1}, …, X_{n}],

• para 1 ≤ i ≤ t − 1 los ideales (g_{1}, …, g_{i}) son radicales en K[X_{1}, …, X_{n}],

• g_{t} no es divisor de cero K[X_{1}, …, X_{n}]/(g_{1}, …, g_{t−1}).

El objetivo principal de esta sección es presentar una forma en la que se pueden conseguir estas condiciones. Ahora, establecemos cómo detectar si un polinomio dado es divisor de cero módulo un ideal intersección completa.

Lema 24 Sea f_{1}, …, f_{s} una sucesión regular de polinomios de k[X_{1}, …, X_{n}] que genera un ideal radical y supongamos que las variables X_{1}, …, X_{n} están en posición de Noether con respecto al ideal I = (f_{1}, …, f_{s}). Sea g ∈ k[X_{1}, …, X_{n}] otro polinomio , η_{g} el endomorfismo definido por la multiplicación por g y M_{g} la matriz de η_{g} en alguna base prefijada. En estas condiciones,

• g es divisor de cero en K[X_{1}, …, X_{n}]/I si, y sólo si, det(M_{g}) = 0

• si g no es divisor de cero, el ideal (f_{1}, …, f_{s}, g) es el ideal trivial si, y sólo si, el determinante de M_{g} es un elemento no nulo del cuerpo K.

Observación 25 Obsérvese que la segunda afirmación del Lema conecta los dos problemas objeto de nuestra atención a lo largo de la memoria: Resolución y consistencia de sistemas de ecuaciones polinomiales. Conocida una resolución geométrica de la variedad V (f_{1}, …, f_{s}), conocemos la matriz M_{g} y podemos testar si la variedad V (f_{1}, …, f_{s}, g) es vacía o no.

Demostración del Lema 24.– Puesto que las variables X_{1}, …, X_{n} están en posición de Noether con respecto al ideal I, la extensión

A = K[X_{1}, …, X_{r}] ↪ K[X_{1}, …, X_{n}]/I = B

es entera y B es un A-módulo libre de rango a lo más deg V (f_{1}, …, f_{s}), siendo r = n − s. Sea F = K(X_{1}, …, X_{r}) el cuerpo de cocientes de A y IK la clausura algebraica de este cuerpo. Sea Ā = IK[X_{1}, …, X_{r}], B̄ = Ā ⊗_{A} B. Entonces, g es divisor de cero en B si, y sólo si, es divisor de cero en F [X_{r+1}, …, X_{n}]/I^{e} = F ⊗_{A} B = B′. Ahora, g es divisor de cero en B′ si, y sólo si, det(M_{g}) = 0. Para probar la segunda afirmación, supongamos que g no es divisor de cero en B. El ideal (g, f_{1}, …, f_{s}) es el ideal trivial de K[X_{1}, …, X_{n}] si, y sólo si, para todo (a_{1}, …, a_{r}) ∈ IK^{r} la variedad \{\underline{x} ∈ IK^{n} : g = 0, g_{1} = 0, …, g_{t} = 0, X_{1} − a_{1} = 0, …, X_{r} − a_{r} = 0} es vacía.

Para cada \underline{a} = (a_{1}, …, a_{r}) ∈ IK^{r} llamemos 𝔪_{a} al ideal maximal de Ā asociado, es decir, (X_{1}−a_{1}, …, X_{r}−a_{r}) = 𝔪_{a}. Observamos que para cada \underline{a} = (a_{1}, …, a_{r}) ∈ IK^{r}, la extensión de anillos

IK = Ā/𝔪_{a} ↪ B̄/𝔪_{a}B̄

es entera y la dimensión de B̄/𝔪_{a}B̄ como IK-espacio vectorial es igual al rango de B como A–módulo. En particular, para cada g ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] la matriz del endomorfismo

η̄_{g} : B̄/𝔪_{a}B̄ ⟶ B̄/𝔪_{a}B̄

se corresponde con la especialización de la matriz M_{g} en el correspondiente punto. Por lo tanto, (g, f_{1}, …, f_{s}) es el ideal trivial K[X_{1}, …, X_{n}] si, y sólo si, g no es divisor de cero en B̄/𝔪_{a}B̄ para cada \underline{a} ∈ IK^{r}. Por lo tanto, (g, f_{1}, …, f_{s}) es el ideal trivial de si, y sólo si, para todo \underline{a} ∈ IK^{r} det(M_{g})(\underline{a}) ≠ 0. Como sabemos que det(M_{g}) es un polinomio no nulo, det(M_{g}) ∈ K \ {0}.

Lema 26 Sea I ⊆ K[X_{1}, …, X_{n}] un ideal no mezclado. Entonces, I es radical si, y sólo si, para todo ideal primo minimal 𝔭 de I se tiene

I · K[X_{1}, …, X_{n}]_{𝔭} = 𝔭 · K[X_{1}, …, X_{n}]_{𝔭}.

Demostración.– Sea I = ∩_{i=1}^{m}𝔮_{i} una descomposición primaria irredundante de I, donde 𝔮_{i} es 𝔭_{i}-primario para cada 1 ≤ i ≤ m. Si I es un ideal radical, es claro que 𝔮_{i} puede ser escogido igual a 𝔭_{i} con lo que se sigue la afirmación.

Para probar la implicación contraria, supongamos, en primer lugar, que I es un ideal cerodimensional. Se tiene que la extensión

K ⟶ K[X_{1}, …, X_{n}]/I

es entera. En este caso, el espectro maximal y el espectro primo de K[X_{1}, …, X_{n}]/I coinciden al ser I no mezclado y es igual a {𝔭_{1}/I, …, 𝔭_{m}/I}. Se tiene el morfismo inyectivo canónico

B ⟶ ∏_{i=1}^{m} B_{𝔭_{i}}.

Esto significa que B𝔭_{i} es un cuerpo y que B es una F -álgebra reducida. En otros términos \sqrt{I} = ∩_{i=1}^{m}𝔭_{i} = I e I es un ideal radical. Supongamos ahora que el ideal I tiene altura r y que las variables están en posición de Noether con respecto a I o, lo que es lo mismo que la extensión de anillos

A = K[X_{1}, …, X_{r}] ↪ K[X_{1}, …, X_{n}]/I = B.

es entera. Para cada 𝔭_{i} se tiene que 𝔭_{i} ∩ K[X_{1}, …, X_{r}] = (0) puesto que I no posee primos minimales inmersos. Ahora, sea F = K(X_{1}, …, X_{r}) el cuerpo de cocientes de A y B′ = F ⊗_{A} B. Para cada ideal J de K[X_{1}, …, X_{n}], denotamos por J^{e} la localización por A \ {0} (i.e. J^{e} = F ⊗_{A} J).

Para reducirnos al caso cero dimensional basta hacer notar que I^{e} es un ideal cerodimensional en F [X_{r+1}, …, X_{n}] y I^{e} · F [X_{r+1}, …, x_{n}]_{𝔭_{i}^{e}} = 𝔭_{i}^{e} · F [X_{r+1}, …, X_{n}]𝔭_{i}^{e} y que para todo f ∈ K[X_{1}, …, X_{n}], f ∈ \sqrt{I} si, y sólo si, f ∈ \sqrt{I^{e}}. Probemos, pues, esta última afirmación. Es obvio que si f ∈ \sqrt{I}, f ∈ \sqrt{I^{e}}. Recíprocamente, supongamos que f ∈ \sqrt{I^{e}} = ∩_{i=1}^{m}𝔭_{i}^{e}. En este caso, existe h ∈ K[X_{1}, …, X_{r}] tal que hf ∈ 𝔭_{i} para todo 1 ≤ i ≤ m. Entonces, existe un natural N tal que (hf)^{N} ∈ 𝔮_{i} para todo 1 ≤ i ≤ m y 𝔮_{i} es 𝔭_{i}-primario. Así pues, dado que h^{N} ∉ 𝔭_{i} (𝔭_{i} ∩ K[X_{1}, …, X_{r}] = (0)), se deduce que f ∈ \sqrt{I}.

Este lema lo utilizaremos en la prueba del siguiente criterio de radicalidad (criterio del jacobiano) para ideales en anillos de polinomios generados por sucesiones regulares.

Proposición 27 Sea K un cuerpo de característica cero y f_{1}, …, f_{s} una sucesión regular de polinomios en K[X_{1}, …, X_{n}]. Supongamos que las variables están en posición de Noether con respecto al ideal I = (f_{1}, …, f_{s}), es decir, la extensión de anillos

A = K[X_{1}, …, X_{r}] ↪ K[X_{1}, …, X_{n}]/I = B,

es entera, siendo r = n − s. Sea J(f_{1}, …, f_{s}) la matriz jacobiana con respecto a las variables ligadas dada por

J(f_{1}, …, f_{s}) = (\frac{∂f_{i}}{∂X_{j}} )_{1≤i≤s , r+1≤j≤n}

y sea D ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] su determinante. Entonces, el ideal I es radical si, y sólo si, D es no divisor de cero en B.

Demostración.– Sea F = K(X_{1}, …, X_{r}) el cuerpo de fracciones de A. Para cada ideal J de K[X_{1}, …, X_{n}], denotemos por J^{e} la extensión de J en el anillo F [X_{r+1}, …, X_{n}]. Por hipótesis, (f_{1}, …, f_{s}) un ideal intersección completa de codimensión s equidimensional. Por lo tanto, los primos asociados coinciden con los primos minimales. Adaptando el contenido del Lema 26 a nuestro caso, se concluye que I es un ideal radical si, y sólo si, f_{1}, …, f_{s} es un sistema regular de parámetros del anillo local regular K[X_{1}, …, X_{n}]_{𝔭} = F [X_{r+1}, …, X_{n}]_{𝔭^{e}} para todo ideal primo asociado de I. Por el criterio del Jacobiano, [Matsumura, 1986, p.233, Theorem 30.3], se deduce que esto es equivalente a decir que el determinante de la matriz jacobiana J(g_{1}, …, g_{i}) es distinto de cero en

K[X_{1}, …, X_{n}]_{𝔭}/𝔭 · K[X_{1}, …, X_{n}]_{𝔭}

para todo primo asociado de I. En particular, esta última propiedad es equivalente a

D(𝔭^{e}) := D + 𝔭^{e} ∈ F [X_{r+1}, …, X_{n}]/𝔭^{e} \ {0}

para todo primo minimal 𝔭 de I dado que I es equidimensional. Esto quiere decir que \overline{D} no es divisor de cero en B′ y, por lo tanto, tampoco en B.

Además del interés por si mismo, el resultado anterior nos permite establecer enunciados geométricos para puntos no ramificados como el que sigue.

Proposición 28 Sea V una variedad intersección completa definible sobre un cuerpo K de característica cero y supongamos que las variables están en posición de Noether con respecto a V. Por lo tanto, la extensión de anillos

R := K[X_{1}, …, X_{r}] ↪ K[V]

es entera. Sea π la proyección sobre las r primeras coordenadas, P = (p_{1}, …, p_{r}) ∈ K^{r} y V_{P} = π^{−1}(P) la fibra correspondiente. Entonces, #V_{P} = deg(V_{P}) ≤ rg_{R}B (B es R–módulo libre) y la igualdad es cierta si, y sólo si, todos los puntos de la fibra son lisos.

Demostración.– Sea I(V) = (f_{1}, …, f_{n−r}). Se tiene

K[V] = K[X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{n−r})

Por otro lado, sea I el ideal cero dimensional en K[X_{1}, …, X_{n}] generado por los polinomios X_{1} − p_{1}, …, X_{r} − p_{r}, f_{1}, …, f_{n−r}.

Es evidente que, sea cual sea el punto P, se tiene

rg_{R}K[V] = rg_{K}K[X_{1}, …, X_{n}]/I.

Puesto que el rango del K–espacio vectorial K[X_{1}, …, X_{n}]/I es siempre mayor que el grado de V_{P}, se sigue la desigualdad.

Para probar la segunda afirmación de la Proposición, sea J el determinante de la matriz jacobiana de los polinomios f_{1}, …, f_{n−r} con respecto a las variables dependientes. Puesto que, por hipótesis, (f_{1}, …, f_{n−r}) es radical, J es no divisor de cero módulo (f_{1}, …, f_{n−r}) en virtud del Lema 27. Sea χ_{J} el polinomio característico de la homotecia definida por J en K[V] y sea μ ∈ K[X_{1}, …, X_{r}] su término independiente. Todos los puntos de la variedad V_{P} son lisos si, y sólo si, la matriz jacobiana es regular en todos los puntos de V_{P}. Esta última condición es obviamente equivalente a la condición μ(P) ≠ 0.

Para acabar la demostración basta ver, por lo tanto, que la condición μ(P) ≠ 0 es equivalente a que el número de puntos de la variedad V_{P} sea exactamente rg_{R}B. Para ello veremos que el ideal I es radical, si, y sólo si, μ(P) ≠ 0 puesto que en el caso de que I fuese radical, el grado de la variedad coincidiría con rg_{K}K[X_{1}, …, X_{n}]/I. Por la Proposición 27 anterior, I es radical si, y sólo si, el determinante de la matriz jacobiana de X_{1} − p_{1}, …, X_{r} − p_{r}, f_{1}, …, f_{n−r}) , J′, no es divisor de cero módulo I o lo que es lo mismo, si el término independiente del polinomio característico de J′ módulo I, χ_{J′}, es un elemento del cuerpo distinto de cero. Es obvio que J y J′ son iguales como polinomios en K[X_{1}, …, X_{n}]. Por lo tanto, χ_{J′} = χ_{J}(p_{1}, …, p_{r}) y, en particular, el término independiente de χ_{J′} es igual a μ(P), con lo que se demuestra la segunda afirmación de la Proposición.

El enunciado que sigue puede verse como una formulación alternativa del Teorema de Bertini.

Proposición 29 Sea g_{1}, …, g_{t} (t < n) una sucesión regular K[X_{1}, …, X_{n}] tal que el ideal I = (g_{1}, …, g_{t}) es radical en K[X_{1}, …, X_{n}]. Sean f_{1}, …, f_{s} polinomios en K[X_{1}, …, X_{n}] que generan el ideal trivial.Sean T_{1}, …, T_{s} nuevas variables y sea g el polinomio

g = T_{1}f_{1} + ⋯ + T_{s}f_{s}.

Si F := K(T_{1}, …, T_{s}), se tiene

• g no es divisor de cero en F [X_{1}, …, X_{n}]/(g_{1}, …, g_{t}),

• y

– o bien (g_{1}, …, g_{t}, g) es el ideal trivial de F [X_{1}, …, X_{n}],

– o bien (g_{1}, …, g_{t}, g) es un ideal radical F [X_{1}, …, X_{n}]/(g_{1}, …, g_{t}).

Demostración.– Sea V ⊆ IK^{n} la variedad algebraica no vacía dada por

V = V (g_{1}, …, g_{r}).

Para cada i, 1 ≤ i ≤ s, definimos los subconjuntos de V abiertos Zariski

U_{i} := \{\underline{x} ∈ V : f(\underline{x}) ≠ 0\}.

También, definimos el morfismo

Φ_{i} : U_{i} ⟶ IK^{s−1} : \underline{x} ↦ (\frac{f_{1}(\underline{x})}{f_{i}(\underline{x})}, …, \frac{f_{i−1}(\underline{x})}{f_{i}(\underline{x})}, \frac{f_{i+1}(\underline{x})}{f_{i}(\underline{x})}, …, \frac{f_{s}(\underline{x})}{f_{i}(\underline{x})}) .

Del Teorema de Bertini ( [Jouanolou, 1983, Theorem 6.3]) se concluye que

• si dim \overline{Φ_{i}(U_{i})} = 0, para casi todo (t_{1}, …, t_{s}) ∈ K^{s} el ideal (t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}, g_{1}, …, g_{r}) es el ideal trivial de K[U_{i}].

• si dim \overline{Φ_{i}(U_{i})} ≥ 1, para casi todo (t_{1}, …, t_{s}) ∈ K^{s} el polinomio t_{1}f_{1} +⋯+t_{s}f_{s} no es divisor de cero en K[U_{i}].

Recordamos que la terminología “para casi todo” quiere decir que se verifica la propiedad salvo en un cerrado Zariski y que

K[U_{i}] = K[X_{1}, …, X_{n}]_{f_{i}}/I 1 ≤ i ≤ s.

En ambos casos para casi todo (t_{1}, …, t_{s}) ∈ K^{s} el polinomio t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s} no es divisor de cero K[U_{i}] para todo i, 1 ≤ i ≤ s. Dado que f_{1}, …, f_{s} generan el ideal trivial en K[X_{1}, …, X_{n}] se concluye que para todo primo minimal 𝔭 de I, existirá algún f_{k} ∉ 𝔭 y por lo tanto

(t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}) ∉ 𝔭 · K[X_{1}, …, X_{n}]_{f_{k}}.

Por lo tanto, para casi todo (t_{1}, …, t_{s}) ∈ K^{s}, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s} no es divisor de cero en K[X_{1}, …, X_{n}]/I, lo que prueba la primera afirmación de la Proposición.

Para probar la segunda afirmación sabemos que

• o bien dim \overline{Φ_{i}(U_{i})} = 0 para todo i, 1 ≤ i ≤ s

• o existe l < s tal que dim \overline{Φ_{i}(U_{i})} ≥ 1 si, y sólo si, 1 ≤ i ≤ l.

En el primer caso, se concluye que para casi todo (t_{1}, …, t_{s}) ∈ K^{s}, el ideal (t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}, g_{1}, …, g_{t}) es el ideal trivial en K[U_{i}]. Por lo tanto, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s} no se anula en ningún punto de U_{i}. Puesto que V = ∪_{i=1}^{s}U_{i}, el polinomio t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s} no se anula en ningún punto de V. Finalmente, para casi todo (t_{1}, …, t_{s}) ∈ K^{s} el ideal (t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}, g_{1}, …, g_{t}) es el ideal trivial de K[X_{1}, …, X_{n}].

Supongamos que para casi todo (t_{1}, …, t_{s}) ∈ K^{s} el ideal (t_{1}f_{1} +⋯+t_{s}f_{s}, g_{1}, …, g_{t}) no es el ideal trivial en K[X_{1}, …, X_{n}]. Sea l, l < s tal que dim \overline{Φ_{i}(U_{i})} = 0 si, y sólo si, 1 ≤ i ≤ l.

Se tiene: existe un polinomio no nulo G ∈ K[T_{1}, …, T_{s}] tal que ∀(t_{1}, …, t_{s}) ∈ IK^{s}, si G(t_{1}, …, t_{s}) ≠ 0 se verifica:

• Para 1 ≤ i ≤ l, (g_{1}, …, g_{t}, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}) es el ideal trivial en K[U_{i}].

• Para l + 1 ≤ i < s, (g_{1}, …, g_{t}, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}) es un ideal radical en K[U_{i}].

• (g_{1}, …, g_{t}, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}) no es el ideal trivial en K[X_{1}, …, X_{n}].

• t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s} no es divisor de cero en K[X_{1}, …, X_{n}]/(g_{1}, …, g_{t})

Trataremos de concluir que si G(t_{1}, …, t_{s}) ≠ 0, entonces (g_{1}, …, g_{t}, t_{1}f_{1} +⋯+t_{s}f_{s}) es un ideal radical de codimensión t + 1 en K[X_{1}, …, X_{n}].

Para probar esto, supongamos que las variables X_{1}, …, X_{n} están en posición de Noether con respecto al ideal (g_{1}, …, g_{t}, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}), es decir

K[X_{1}, …, X_{n}] ⟶ K[X_{1}, …, X_{n}]/(g_{1}, …, g_{t}, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s})

es una extensión entera de anillos. Sea r := n − t − 1 y sea 𝔮 un ideal primo minimal de (g_{1}, …, g_{t}, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}). Puesto que f_{1}, …, f_{s} generan el ideal trivial en K[X_{1}, …, X_{n}], existen k, 1 ≤ k ≤ s, tales f_{k} ∉ 𝔮. Veamos que k ≥ l + 1. Si no, 1 ≤ k ≤ l y (g_{1}, …, g_{t}, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}) sería el ideal trivial en K[U_{i}]_{f_{k}}. Entonces, f_{k}^{N} ∈ (g_{1}, …, g_{t}, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}) para algún N ≥ 1. Esto implica f_{k} ∈ 𝔮, lo que se contradice con las hipótesis f_{k} ≠ 𝔮. Por lo tanto, (g_{1}, …, g_{t}, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}) es radical en K[X_{1}, …, X_{n}]_{f_{k}} y también en (K[X_{1}, …, X_{n}]_{f_{k}})_{𝔮} = K[X_{1}, …, X_{n}]_{𝔮}.

Se concluye: para todo ideal primo minimal 𝔮 sobre (g_{1}, …, g_{t}, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}) se tiene

(g_{1}, …, g_{t}, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}) · K[X_{1}, …, X_{n}]_{𝔮} = 𝔮 · K[X_{1}, …, X_{n}]_{𝔮}

lo que obviamente implica la radicalidad del ideal (g_{1}, …, g_{t}, t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}).

Sea g_{1}, …, g_{r} ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] una sucesión de polinomios en posición general con respecto al ideal que generan I = (g_{1}, …, g_{r}). Para 1 ≤ i ≤ t − 1, let V_{i} ⊆ C^{n} la variedad intersección completa dada por V_{i} := V (g_{1}, …, g_{i}). Se define

δ(g_{1}, …, g_{t}) := max_{1≤i≤t−1}{deg(V_{i})}.

Con estas notaciones, se tiene:

Proposición 30 Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] tales que:

• f_{1}, …, f_{s} genera el ideal trivial en K[X_{1}, …, X_{n}],

• o (f_{1}, …, f_{s}) es un ideal propio de codimensión s.

Entonces, existen enteros t_{ij} ∈ ZZ, 1 ≤ i ≤ t, 1 ≤ j ≤ s, tales que:

• | t_{ij} | ≤ (ndδ)^{c} para alguna constante universal c > 0

• los polinomios g_{i} = ∑_{j=1}^{s} t_{ij}f_{j}, 1 ≤ i ≤ t verifican

– g_{1}, …, g_{t} es una sucesión de polinomios en posición general

– (g_{1}, …, g_{t}) = (f_{1}, …, f_{s}).

Demostración.– Nos centraremos en el caso de que los polinomios de entrada generen el ideal trivial. La prueba sigue un argumento inductivo en la codimensión. Supongamos, por lo tanto, que existen g_{1}, …, g_{i} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] combinaciones ZZlineales de f_{1}, …, f_{s} tales que el ideal (g_{1}, …, g_{i}) es un ideal propio de codimensión i. Supongamos, además que las variables están en posición de Noether con respecto al ideal (g_{1}, …, g_{i}), es decir, la extensión de anillos

A = K[X_{1}, …, X_{n−i}] ↪ K[X_{1}, …, X_{n}]/(g_{1}, …, g_{i}) = B

es entera.

Introducimos nuevas variables T_{1}, …, T_{s} y el polinomio

g = T_{1}f_{+} ⋯ + T_{s}f_{s} ∈ K(T_{1}, …, T_{s})[X_{1}, …, X_{n}].

Sean A′ y B′ las álgebras obtenidas de A y B extendiendo escalares, es decir,

A′ = K(T_{1}, …, T_{s}) ⊗_{K} A = K(T_{1}, …, T_{s})[X_{1}, …, X_{n−i}],

B′ = K(T_{1}, …, T_{s}) ⊗_{K} B.

De nuevo, la extensión A′ ↪ B′ es entera y B′ es un A′-módulo libre. Se observa que una base de B como A–módulo es también una base de B′ como A′-modulo y que para todo polinomio f ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] la matriz del endomorfismo

η_{f} : B ⟶ B

es también matriz del endomorfismo η′_{f} : B′ ⟶ B′. Dicho de otro modo, M′_{f} = M_{f} para todo polinomio en K[X_{1}, …, X_{n}]. En particular, sea η′_{g}B′ ⟶ B′ el endomorfismo definido por la multiplicación por g. Se tiene

M′_{g} = T_{1}M_{f_{1}} + ⋯ + T_{s}M_{f_{s}}.

Las entradas de M′_{g} son polinomios en K[T_{1}, …, T_{s}, X_{1}, …, X_{n−1}] de grado a lo más 1 en las variables T_{1}, …, T_{s}. Sea, ahora, χ_{g} el polinomio característico de M′_{g}. Se tiene

χ_{g} = Z^{δ} + a_{δ−1}Z^{δ−1} + ⋯ + a_{0}

donde δ = rk_{A}B = rk_{A′}B′, a_{i} ∈ K[T_{1}, …, T_{s}, X_{1}, …, X_{n−1}] y a_{0} = det(M′_{g}). Los coeficientes de a_{i} son polinomios de grado a lo más dδ en las variables T_{1}, …, T_{s}. Ahora, hay dos posibilidades:

i) o bien a_{0} ∈ K[T_{1}, …, T_{s}]

ii) o a_{0} ∈ K[T_{1}, …, T_{s}, X_{1}, …, X_{n−i}] \ K[T_{1}, …, T_{s}].

En el primer caso, escogemos un punto \underline{t} := (t_{1}, …, t_{s}) ∈ ZZ^{s} tal que a_{0}(t_{1}, …, t_{s}) ≠ 0. El polinomio

g_{i+1} = t_{1}g_{1} + ⋯ + t_{s}g_{s}

verifica que g_{i+1} no es divisor de cero módulo (g_{1}, …, g_{i}) y (g_{1}, …, g_{i+1}) es el ideal trivial de K[X_{1}, …, X_{n}] (véase Lema 24). Como el grado de a_{0} está acotado por dδ, el punto \underline{t} = (t_{1}, …, t_{s}) ∈ ZZ^{s} puede escogerse verificando la condición | t_{i} | ≤ dδ, para 1 ≤ i ≤ s. En este caso, hemos acabado.

En el segundo caso, hay que hacer un esfuerzo adicional. Primero hacemos un cambio de coordenadas (X_{1}, …, X_{n}) → (Y_{1}, …, Y_{n}) tales que las nuevas variables Y_{1}, …, Y_{n} verifiquen que la extensión

A′_{1} = K(T_{1}, …, T_{s})[Y_{1}, …, Y_{n−i−1}] ↪ K(T_{1}, …, T_{s})[Y_{1}, …, Y_{n}]/(g_{1}, …, g_{i}, g) = B′_{1}

es entera. Esto se puede conseguir fácilmente haciendo que el polinomio a_{0} verifique

a_{0}(T_{1}, …, T_{s}, Y_{1}, …, Y_{n−i}) = Y_{n−i}^{D} + ⋯ + b_{0}  (2.5)

donde b_{i} ∈ K[T_{1}, …, T_{s}, Y_{1}, …, Y_{n−i−1}]. El grado D es, a lo más δ ·d. Por otro lado, es obvio que los grados de los polinomios b_{i} con respecto a las variables T_{1}, …, T_{s} están acotados por dδ. Sea u = λ_{n−i}Y_{n−i} + ⋯ + λ_{n}Y_{n} un elemento primitivo de la extensión

A′_{1} ↪ B′_{1}.

Por lo tanto, existe una constante c_{1} > 0 tal que los grados de los polinomios que conforman la correspondiente resolución geométrica

m_{u}, ρ_{n−i}, …, ρ_{n}, v_{n−i}, …, v_{n}

con respecto a las variables T_{1}, …, T_{s} son, a lo más, (dδ)^{c_{1}}. Finalmente, consideramos el determinante jacobiano

J = det J(g_{1}, …, g_{i}, g)

que es, por hipótesis, no divisor de cero en B′_{1}. Esto quiere decir que consideramos la matriz M′_{J} del endomorfismo

η′_{J} : B′_{1} ⟶ B′_{1}.

El determinante de esta matriz es un polinomio en K[T_{1}, …, T_{s}, Y_{1}, …, Y_{n−i−1}] cuyo grado en las variables T_{1}, …, T_{s} es como mucho (ndδ)^{c} para alguna constante universal c ≥ c_{1} > 0. Sean

F_{1} = det(M′_{g}) ∈ K[T_{1}, …, T_{s}, Y_{1}, …, Y_{n−i}],
F_{2} = det(M′_{J}) ∈ K[T_{1}, …, T_{s}, Y_{1}, …, Y_{n−i−1}].

Ambos polinomios no están en K[T_{1}, …, T_{s}]. Escogemos, por lo tanto, puntos \underline{y}_{1} = (y_{1}^{(1)}, …, y_{n−i}^{(1)}) y \underline{y}_{2} = (y_{1}^{(2)}, …, y_{n−i}^{(2)}) ∈ ZZ^{n−i} tales que

H_{1} = F_{1}(T_{1}, …, T_{s}, \underline{y}_{1}) − F_{1}(T_{1}, …, T_{s}, \underline{y}_{2}) ≠ 0,

H_{2} = F_{2}(T_{1}, …, T_{s}, \underline{y}_{1}) − F_{2}(T_{1}, …, T_{s}, \underline{y}_{2}) ≠ 0.

Finalmente, el polinomio H_{1} · H_{2} ∈ K[T_{1}, …, T_{s}] es un polinomio no cero de grado a lo más (ndδ)^{c} + δ. Para cada punto (t_{1}, …, t_{s}) ∈ ZZ^{s} tal que

H_{1} · H_{2}(t_{1}, …, t_{s}) ≠ 0

se tiene que F_{1}(t_{1}, …, t_{s}, Y_{1}, …, Y_{n−i}) y F_{2}(t_{1}, …, t_{s}, Y_{1}, …, Y_{n−i−1}) son distintos de cero. En particualr, si g_{i+1} es el polinomio

g_{i+1} = t_{1}f_{1} + ⋯ + t_{s}f_{s}

se tiene:

• g_{i+1} no es divisor de cero módulo (g_{1}, …, g_{i}),

• el ideal (g_{1}, …, g_{i}, g_{i+1}) es un ideal radical propio de codimensión i + 1.

Por otro lado, las coordenadas (t_{1}, …, t_{s}) pueden escogerse de manera obvia verificando la condición exigida en el enunciado:

| t_{i} | ≤ (ndδ)^{c} + δ.

2.6 Newton–Hensel en anillos locales noetherianos y completos

El objetivo principal de esta Subsección es el de demostrar el Teorema de las Funciones Implícitas que constituye una herramienta importante para la demostración del principal resultado contenido en esta tesis. En algunos casos, este Teorema se deduce del Lema bilineal y del Lema de Hensel (véase [Zariski – Samuel, 1960]). Por razones estéticas, pero también de tipo práctico, lo probamos aquí usando para ello el algoritmo de Newton en anillos locales noetherianos y completos. En particular, probaremos que en estos casos, la convergencia de Newton es doblemente exponencial, mientras que en situaciones de tipo arquimediano, el análisis de la convergencia de Newton no ofrece tan buenos resultados. Además, esta presentación se adapta de forma mucho más conveniente al uso que hacemos del mismo y sirve para explicar cómo aplicarlo a nuestro caso. Esta forma de presentación de estos resultados se asemeja a la que se puede encontrar en [Zippel, 1993], aunque ha sido desarrollada independientemente. Antes de seguir adelante, precisamos el contexto en el que nos moveremos en el resto de la Subsección. Supondremos la siguiente situación :

• (R, 𝔪) es un anillo local noetheriano y completo.

• | a |∈ IR es la norma del elemento a ∈ R para la topología definida por la filtración 𝔪–ádica.

• ν : R ⟶ IN la función de orden asociada a la filtración 𝔪–ádica. Recordemos que existe p ∈ IR, p > 1 tal que:

| a |= \frac{1}{p^{ν(a)}}

• f_{1}, …, f_{n} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] una sucesión de polinomios.

Escribimos F := (f_{1}, …, f_{n}). Para cada elemento b ∈ R denotaremos por b̄ su clase en R/𝔪 y para cada polinomio f ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] denotaremos por f̄ el polinomio en R/𝔪[X_{1}, …, X_{n}] obtenido al tomar clases módulo 𝔪 en los coeficientes de f. Consideramos en R^{n} la topología producto, con lo que R^{n} es un espacio topológico completo. Además, definimos ∥ · ∥ la extensión de la norma en R usando la norma del máximo (∥(b_{1}, …, b_{n})∥ = max_{j}{| b_{j} |}). Consideramos la matriz jacobiana (que pertenece a R[X_{1}, …, X_{n}]^{n×n}) asociada a la sucesión F de polinomios:

J(F)_{X} := ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂X_{1}} & … & \frac{∂f_{1}}{∂X_{n}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂f_{n}}{∂X_{1}} & … & \frac{∂f_{n}}{∂X_{n}} \end{matrix} )

Supongamos que existe un punto \underline{a} = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ R^{n} verificando que :

• \overline{f_{i}(a_{1}, …, a_{n})} = f̄_{i}(ā_{1}, …, ā_{n}) = 0 en R/𝔪, para 1 ≤ i ≤ n.

• \overline{det(J(F))_{a}} ≠ 0 en R/𝔪.

En particular, det(J(F))_{a} es una unidad en el anillo local (R, 𝔪). El operador de Newton se define como

N_{F} (X_{1}, …, X_{n}) = ( X_{1} ; ⋮ ; X_{n} ) − J(F)_{X}^{−1} ( f_{1}(X) ; ⋮ ; f_{n}(X) )

Lema 31 Sea ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ R^{n} tal que • min{ν(f_{i}(ξ)) : 1 ≤ i ≤ n} ≥ N

• ξ̄_{j} = ā_{j} en R/𝔪, para 1 ≤ j ≤ n

y consideremos el punto σ = (σ_{1}, …, σ_{n}) ∈ R^{n} dado por:

( σ_{1} ; ⋮ ; σ_{n} ) = N_{F} (ξ).

Entonces,

min{ν(f_{i}(σ)) : 1 ≤ i ≤ n} ≥ 2N

Demostración.– Comenzamos considerando los polinomios f_{j} como elementos de R[[X_{1} − ξ_{1}, …, X_{n} − ξ_{n}]] y escribiendo su desarrollo de Taylor en ξ:

f_{j} = f_{j}(ξ) + ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f_{j}}{∂X_{i}} (ξ) · (X_{i} − ξ_{i}) + G^{(j)},

donde G^{(j)} ∈ R[[X_{1} − ξ_{1}, …, X_{n} − ξ_{n}]] es una serie de potencias formales de orden mayor o igual a 2. Ahora observamos qué valor toman los polinomios G^{(j)} en el punto σ. Para verlo, escribimos:

σ = (ξ_{1} − h_{1}, …, ξ_{n} − h_{n})

donde

( h_{1} ; ⋮ ; h_{n} ) = J(F)_{ξ}^{−1} ( f_{1}(ξ) ; ⋮ ; f_{n}(ξ) )

Dado que f_{j}(ξ) ∈ 𝔪^{N}, es obvio que

min{ν(h_{j}) : 1 ≤ i ≤ n} ≥ N

Ahora, dado que los polinomios G^{(j)} son homogéneos de grado mayor o igual que 2, teniendo en cuenta el desarrollo de Taylor y la definición de σ concluimos que :

( f_{1}(σ) ; ⋮ ; f_{n}(σ) ) = ( f_{1}(ξ) ; ⋮ ; f_{n}(ξ) ) + J(F)_{ξ} ( ξ_{1} − h_{1} − ξ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n} − h_{n} − ξ_{n} ) + ( g_{1} ; ⋮ ; g_{n} )

donde g_{i} = G^{(i)}(σ) ∈ 𝔪^{2N}. Ahora, basta ver la definición de h_{i} para darse cuenta de que de la igualdad anterior se deduce

( f_{1}(σ) ; ⋮ ; f_{n}(σ) ) = ( g_{1} ; ⋮ ; g_{n} ) ,

lo que demuestra el enunciado del Lema.

Lema 32 En las hipótesis anteriores, sea ξ ∈ R^{n} y supongamos que J(F)_{ξ} inversible en M_{n}(R). Sea σ ∈ R^{n}. Entonces,

min{ν(ξ_{j} − σ_{j}) : 1 ≤ j ≤ n} = min{ν(f_{j}(ξ) − f_{j}(σ)) : 1 ≤ j ≤ n}

Demostración.– Usaremos las notaciones anteriores. En particular, escribimos el desarrollo de Taylor de los polinomios f_{j} en el punto ξ ∈ R^{n} en la forma:

f_{j} = f_{j}(ξ) + ∑_{i=1}^{n} \frac{∂f_{j}}{∂X_{i}} (ξ) · (X_{i} − ξ_{i}) + G^{(j)}

Supongamos que ξ_{j} − σ_{j} ∈ 𝔪^{N} para 1 ≤ j ≤ n. Tendremos,

G^{(j)} = G_{2}^{(j)} + ⋯ + G_{d}^{(j)}

G_{i}^{(j)}(X_{1}, …, X_{n}) es homogéneo de grado i para 2 ≤ i ≤ d en X_{1} − ξ_{1}, …, X_{n} − ξ_{n}. Por lo tanto, G_{i}^{(j)}(σ_{1}, …, σ_{n}) ∈ 𝔪^{iN} ⊆ 𝔪^{2N} para todo i ∈ {2, …, d}. Finalmente tenemos

(( f_{1}(σ) ; ⋮ ; f_{n}(σ) ) − ( f_{1}(ξ) ; ⋮ ; f_{n}(ξ) )) = J(F)_{ξ} ( ξ_{1} − σ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n} − σ_{n} ) + ( G^{(1)}(σ) ; ⋮ ; G^{(n)}(σ) )

De esta desigualdad se concluye que

min{ν(f_{j}(σ) − f_{j}(ξ)) : 1 ≤ j ≤ n} ≥ N

Recíprocamente, supongamos que f_{j}(ξ) − f_{j}(σ) ∈ 𝔪^{M} y, supongamos que ξ_{j} − σ_{j} ∈ 𝔪^{N} para 1 ≤ j ≤ n. De la igualdad anterior se deduce:

J(F)_{ξ}^{−1} (( f_{1}(σ) ; ⋮ ; f_{n}(σ) ) − ( f_{1}(ξ) ; ⋮ ; f_{n}(ξ) ) − ( G^{(1)}(σ) ; ⋮ ; G^{(n)}(σ) )) = ( ξ_{1} − σ_{1} ; ⋮ ; ξ_{n} − σ_{n} )

Por hipótesis, J(F)_{ξ}^{−1} ∈ M_{n}(R). Las coordenadas G^{(j)}(σ) ∈ 𝔪^{2N}. Por lo tanto,

N := ν(ξ_{j} − σ_{j}) ≥ min{M, 2N},

de donde, obviamente, se deduce que N ≥ M.

Teorema 33 (Newton) En las hipótesis anteriores de esta Subsección, existen (σ_{1}, …, σ_{n}) ∈ R^{n} tales que f_{j}(σ_{1}, …, σ_{n}) = 0. Además, definiendo recursivamente

( σ_{1}^{(1)} ; ⋮ ; σ_{n}^{(1)} ) = N_{F} (a_{1}, …, a_{n})

y

( σ_{1}^{(k)} ; ⋮ ; σ_{n}^{(k)} ) = N_{F} (σ_{1}^{(k−1)}, …, σ_{n}^{(k−1)}),

se tiene

| σ_{j} − σ_{j}^{(k)} |≤ \frac{1}{2^{2^{k}}}

Demostración.– Por inducción en k, probaremos que cada sucesión (σ_{j}^{(k)})_{k∈IN} es una sucesión de Cauchy. Se tiene, por hipótesis, que f_{j}(a_{1}, …, a_{n}) ∈ 𝔪. Aplicando el Lema 31 tendremos que min{ν(f_{j}(σ^{(k)}) : 1 ≤ j ≤ n} ≥ 2^{k}. Finalmente, min{ν(f_{j}(σ^{(k)} − f_{j}(σ^{(k−1)}) : 1 ≤ j ≤ n} = min{ν(σ_{j}^{(k)} − σ_{j}^{(k−1)} : 1 ≤ j ≤ n}, de donde concluimos

∥σ^{(k)} − σ^{(k−1)}∥ ≤ \frac{1}{2^{2^{k−1}}} .

Queda demostrado que la sucesión es de Cauchy en R^{n} que es un espacio topológico completo con la topología producto. Así pues, existirá σ = (σ_{1}, …, σ_{n}) = lim_{k}σ^{(k)}. Dado que los polinomios son continuos, se tendrá lim_{k}f_{j}(σ^{(k)}) = f_{j}(σ). Además

lim_{k∈N} | f_{j}(σ^{(k)}) |= 0.

La separabilidad de R implica que f_{j}(σ) = 0, 1 ≤ j ≤ n. Finalmente, por el Lema 32 se tiene

min{ν(σ_{j} − σ_{j}^{(k)}) : 1 ≤ j ≤ n} =
min{ν(f_{j}(σ) − f_{j}(σ^{(k)}) : 1 ≤ j ≤ n} =
min{ν(f_{j}(σ^{(k)})) : 1 ≤ j ≤ n} ≥ 2^{k}

Tomando normas, se tiene

∥σ − σ^{(k)}∥ ≤ \frac{1}{2^{2^{k}}}

Del enunciado y de la prueba de la Proposición anterior, se deduce

Teorema 34 Sea A el anillo de series formales k[[X_{1}, …, X_{m}]] en m variables sobre un cuerpo k, y sea

P (z) = z^{n} + a_{n−1}(x)z^{n−1} + ⋯ + a_{1}(x)z + a_{0}(x)

un polinomio mónico sobre A. Supongamos que el polinomio

z^{n} + a_{n−1}(0)z^{n−1} + ⋯ + a_{1}(0)z + a_{0}(0)

admite una raíz simple α ∈ K. Entonces, existe una serie formal g(x) tal que g(0) = α y tal que P (g(x)) = 0.

2.7 Traza y dualidad

La fórmula de la traza de Tate para álgebras de dimensión positiva aparece en varios contextos y de forma reciente en varios trabajos de Teoría de la Eliminación. Algunos de estos trabajos usan la fórmula de la traza para computar cocientes de divisiones módulo ideales intersección completa (cf. [Fitchas et al., 1995], [Krick – Pardo, 1996]). Otros, como método para computar bases en anillos de Gorenstein ([Alonso et al., 1996], [Becker et al., 1996], [Cardinal, 1993]). Finalmente, otro tipo de trabajos utilizan esta fórmula para obtener cotas superiores de los grados en el Nullstellensatz ([Sabia – Solernó, 1996], [Krick et al., 1997]).

Sea R un anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo. Ahora, R[X_{1}, …, X_{n}] es un anillo de polinomios en n variables con coeficientes en R y sea K el cuerpo de coeficientes de R. Sea f_{1}, …, f_{n} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] una sucesión regular reducida de polinomios de grado a lo más d y supongamos que el ideal (f_{1}, …, f_{n}) es radical.

Ahora sea B la R−álgebra

B := R[X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{n})

Supongamos también que el morfismo R → B es una extensión entera de anillos y que R es una normalización de Noether de B. Por lo tanto, B es un R−módulo de rango acotado por el grado de la variedad V (f_{1}, …, f_{n}). Aún más, B es un R−álgebra de Gorenstein. Sea ahora B^{∗} := Hom_{R}(B, R) el B–módulo con la operación natural dada por b · τ(x) := τ(b · x). Dos morfismos importantes se pueden considerar en B^{∗}. La traza usual, que denotaremos por Tr y σ. La traza canónica de un elemento b ∈ B se define como la traza del endomorfismo dado por la multiplicación por b. Por otro lado, se sabe que B^{∗} es un B–módulo libre de rango uno. Todo elemento σ de B^{∗} tal que {σ} sea base de B^{∗} como B–módulo, se llama traza. Para computar una traza, se dispone de un método que utiliza el determinante pseudo–jacobiano. Antes de describir este método, introduzcamos algunas notaciones. Para cada elemento de g ∈ R[X_{1}, …, X_{n}], ḡ representará su clase definida módulo (f_{1}, …, f_{n}). Sean Y_{1}, …, Y_{n} nuevas variables y f_{j}^{(Y)} := f_{j}(Y_{1}, …, Y_{n}) ∈ R[Y_{1}, …, Y_{n}]. Para cada 1 ≤ j ≤ n consideremos los polinomios :

f_{j}^{(Y)} − f_{j} = ∑_{k=1}^{n} l_{j,k}(Y_{k} − X_{k}) ∈ R[X_{1}, …, X_{n}, Y_{1}, …, Y_{n}]

donde los polinomios l_{j,k} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}, Y_{1}, …, Y_{n}] tienen grado total a lo más d − 1. Hacemos ver que estos polinomios no están unívocamente determinados por la sucesión regular. Consideramos ahora el determinante de la matriz (l_{k,j}), 1 ≤ k, j ≤ n y lo escribimos en la forma:

Δ := ∑_{m} a_{m}(X)b_{m}(Y_{1}, …, Y_{n}) ∈ R[X_{1}, …, X_{n}, Y_{1}, …, Y_{n}],

Al polinomio Δ se le denomina pseudo–jacobiano de la sucesión de polinomios f_{1}, …, f_{n}. Obsérvese que los polinomios a_{m}(X), b_{m}(Y) pueden escogerse con grados acotados por n(d − 1) en las variables {X_{1}, …, X_{n}} y {Y_{1}, …, Y_{n}} respectivamente. Sea c_{m} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] el polinomio obtenido al sustituir en b_{m} las variables Y_{1}, …, Y_{n} por las variables X_{1}, …, X_{n}. Si J̄ es la clase del determinante jacobiano de la sucesión J(f_{1}, …, f_{n}) módulo el ideal (f_{1}, …, f_{n}), se tiene:

J̄ = ∑_{m} ā_{m} · c̄_{m}

De hecho, la imagen del polinomio Δ en R[X_{1}, …, X_{n}, Y_{1}, …, Y_{n}] módulo el ideal (f_{1}, …, f_{n}, f_{1}^{Y} , …, f_{n}^{Y}) es independiente de la elección de la matriz (l_{kj})_{1≤k,j≤n}. Con estas notaciones fijadas, existe una única traza σ ∈ B^{∗} tal que en B se verifica:

¯1 = ∑_{m} σ_{Δ}(ā_{m}) · b̄_{m}

Esta igualdad, conocida como la fórmula de la traza de Tate ([Kunz, 1986, Appendix F], [Iversen, 1973]), es un caso especial de la propiedad siguiente: para todo g ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] la identidad

ḡ = ∑_{m} σ(ḡ · ā_{m}) · c̄_{m}  (2.6)

se verifica en B. El principal uso que haremos de esta fórmula de Tate de la traza es la resolución del siguiente problema:

Problema 5 Dado un polinomio g ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] grado arbitrario en las variables X_{1}, …, X_{n}, encontrar un polinomio g_{1} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] de grado acotado por n(d − 1) en las variables X_{1}, …, X_{n} tal que ḡ_{1} = ḡ en B.

La fórmula de la traza nos permite dar un tal polinomio:

ḡ_{1} = ∑_{m} σ_{Δ}(ḡ · ā_{m}) · c_{m} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}]

Sin embargo, el gran inconveniente de esta expresión radica en el hecho de que exige calcular los polinomios a_{m} y c_{m}, lo que implica manejar todos los monomios de grado a lo más n(d − 1). En el Capítulo IV de esta memoria se explica como evitar este problema y se establece una forma de evaluar la fórmula de la traza y por lo tanto de resolver el problema 5 mediante un método de complejidad adecuada.

Otras corrientes dentro del Cálculo Formal utilizan la traza como instrumento para el cálculo de la base de B como R–módulo. Supongamos que θ_{1}, …, θ_{n} es un sistema generador de la R–álgebra B. En estas condiciones, existe un sistema generador de B como R–módulo formado por monomios en los generadores de grado a lo más n(d − 1):

M := {θ_{1}^{μ_{1}} ⋯ θ_{n}^{μ_{n}} : 0 ≤ μ_{1} + ⋯ + μ_{n} ≤ n(d − 1)}.

Este acercamiento, sin embargo, presenta inconvenientes claros. De un lado, no es claro, en el caso de que la dimensión del anillo sea mayor o igual que 1, que M contenga una base de B como R–módulo. Por otro lado, manejar el conjunto de todos los monomios de grado total acotado por n(d − 1) supone una complejidad del orden (nd)^{n}. Por estas razones, usaremos la formúla de la traza sólo para resolver el Problema 5. El uso de la fórmula de Tate en este contexto es debida a [Fitchas et al., 1995].

64 Capítulo 2. Preliminares

Sobre esquemas de evaluación

3.1 Polinomios y esquemas de evaluación

En el Capítulo 1 de esta memoria se definían los conceptos de red aritmética y de esquema de evaluación. Nuestro propósito ahora es el de presentar algunos de las principales herramientas técnicas sobre las que se asentarán buena parte de nuestros resultados. Así, el primer paso es el de relacionar las medidas de complejidad con cantidades “matemáticas” como el grado y altura. Posteriormente, estableceremos el carácter bien paralelizable del Algebra Lineal usando el algoritmo de Berkowitz, a partir del cual mostraremos cómo representar, y con qué complejidad, el máximo común denominador de polinomios. Asimismo, presentaremos la manera en la que se puede testar la equivalencia de esquemas de evaluación y cómo evitar divisiones. Aunque la mayor parte de los enunciados y demostraciones son conocidos, mostraremos las pruebas de algunos de ellos con la idea de dar una pequeña indicación sobre la forma en la que operan los esquemas de evaluación. En particular, cabe destacar el análisis detallado de la forma en la que se puede verificar la equivalencia de esquemas de evaluación. Este análisis constituye un magnífico ejemplo de cómo el estudio de problemas como el que nos ocupa requiere del uso de herramientas provenientes de la geometría algebraica. En este caso, el concepto de grado y el Teorema de la dimensión de la fibra.

Empezamos, pues, con un primer resultado que se refiere a la altura y grado de un polinomio dado por un esquema de evaluación. Para hacer el resultado lo más general posible, observamos que la noción de altura de un polinomio (máximo de los valores absolutos de sus coeficientes) tiene sentido para polinomios con coeficientes en un dominio equipado con un valor absoluto.

Lema 35 ([Krick – Pardo, 1996]) Sea R un anillo equipado con un valor absoluto

| · |: R ⟶ IR.

Supongamos que f ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] es un polinomio que puede ser evaluado por un esquema de evaluación Γ de talla L y profundidad no escalar ℓ con parámetros de altura h. Sea H > 0 un número real y α = (α_{1}, …, α_{n}) un punto en R^{n} tal que log_{2} |α_{i}| ≤ H para todo 1 ≤ i ≤ n. Se tiene, entonces, que:

• deg(f) ≤ 2^{ℓ}

• ht(f) ≤ (2^{ℓ+1} − 1) · (h + log_{2} L)

• log_{2} |f(α)| ≤ (2^{ℓ+1} − 1) · (max{h, H} + log_{2} L)

Observación 36 Las cotas anteriores permiten establecer una relación entre los esquemas de evaluación y la complejidad en el modelo Turing: Sea f ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] un polinomio dado por un esquema de evaluación de talla L y profundidad no escalar ℓ que usa parámetros de talla h. En primer lugar, señalamos que un esquema de evaluación de este tipo puede codificarse en talla binaria (Lh)^{O(1)}. Sea α ∈ ZZ^{n} un punto de altura h′ dado en representación binaria. Entonces, existe una máquina de Turing determinística que computa la representación bit del valor f(α) en tiempo (2^{ℓ}Lmax{h, h′})^{O(1)}.

Análogamente, la codificación en esquema de evaluación del entero f(α) puede hacerse en tiempo polinomial en Lmax{h, h′}. Se observa que, en este caso, la profundidad no escalar no juega ningún papel. Puesto que representamos los enteros que aparecen como resultados intermedios mediante esquemas de evaluación, la altura de los mismos no juega ningún papel y, por lo tanto, tampoco la profundidad no escalar.

Tras este primer resultado, nos ocupamos de manera detallada del cómputo del determinante usando esquemas de evaluación. Supongamos dada un matriz A := (a_{ij}). El determinante de esta matriz es un polinomio con coeficientes enteros en las N^{2} variables a_{11}, …, a_{1N}, …, a_{N1}, …, a_{NN} (detA ∈ ZZ[a_{11}, …, a_{NN}]). La expresión de dicho polinomio consta de N! monomios, es decir, la expresión del determinante en codificación densa es exponencial en el tamaño de la entrada. Sin embargo, el clásico algoritmo de eliminación gaussiana, proporciona un método que calcula el determinante usando O(n^{3}) operaciones aritméticas. De todos modos, el algoritmo de Gauss presenta dos inconvenientes claros: de un lado, exige divisiones y, por el otro, es esencialmente secuencial. El primer algoritmo paralelo para el cálculo del determinante fue dado por Csanky [Csanky, 1976], pero necesitaba lagunas restricciones especiales sobre la característica del cuerpo. En [Borodin et al., 1982] se resuelve este problema, pero de manera “admittedly awful” en palabras de uno de los coautores del artículo: J. von zur Gathen en [von zur Gathen, 1993]. Finalmente en [Chistov, 1985] y en [Berkowitz, 1984] se dan algoritmos que resuelven el problema, no sólo del cálculo del determinante, sino del resto de los coeficientes del polinomio característico de una matriz cuadrada sobre cualquier dominio. El enunciado y la demostración que damos aquí se ha tomado de [Krick – Pardo, 1996] y se ocupa del análisis de la complejidad no escalar del algoritmo de Berkowitz. De hecho, este algoritmo establece el carácter bien paralelizable del álgebra lineal. Recordamos que un esquema de evaluación o una red aritmética se dicen bien paralelizables si la relación entre la talla L y la profundidad ℓ del mismo es del tipo ℓ ≤ c log_{2} L.

Lema 37 ([Berkowitz, 1984], [Krick – Pardo, 1996]) Sea R un dominio. Entonces, existe un esquema de evaluación de talla N^{O(1)} y de profundidad no escalar O(log_{2} N) con parámetros {−1, 0, 1} que dadas las entradas de una matriz N × N con coeficientes en R computa todos y cada uno de los coeficientes del polinomio característico de la matriz citada.

Demostración.– Sea A una matriz cuadrada de talla N con coeficientes en R:

A = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1N} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{N1} & … & a_{NN} \end{matrix} )

Para cada m ∈ {1, …, N − 1} se definen las matrices:

M_{m} := ( \begin{matrix}a_{m+1m+1} & … & a_{m+1N} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{Nm+1} & … & a_{NN} \end{matrix} )

R_{m} := (a_{mm+1} … a_{mN})
S_{m} := (a_{m+1m} … a_{Nm})^{t}

Definimos ahora la matriz Toeplitz C_{m} de talla (N − m + 1) × (N − m):

(C_{m})_{ij} := \{ \begin{matrix}−1 & si i = j \\ a_{mm} & si i = j + 1 \\ −R_{m}M_{m}^{k−1}S_{m} & si i = j + k (k > 1) \\ 0 & en otro caso \end{matrix}

En [Berkowitz, 1984] se prueba que si χ_{A}(T) := det(A − T Id) = ∑_{k=0}^{N} p_{k}T^{k},

( p_{0} ; ⋮ ; p_{N−1} ) = ∏_{m=1}^{N} Cm

Siguiendo este procedimiento, podemos representar los coeficientes de χ_{A} mediante el siguiente esquema de evaluación:

• Para cada m ∈ {1, …, N − 1}, se computan en puertas paralelas las coordenadas de todas las potencias M_{m}^{i} para i = 0, …, N. Para cada m, este proceso puede realizarse mediante un esquema de evaluación de talla O(N^{4}) y profundidad no escalar log_{2} n + 2 con parámetros en {0, 1}. Por lo tanto, esto proporciona una talla total del orden O(N^{5}) y misma profundidad no escalar log_{2} n + 2.

• Ahora, calculamos, para cada m y para cada i, −R_{m}M_{m}^{i}S_{m}. Esto se puede hacer usando un esquema de evaluación en talla adicional O(N^{3}) y profundidad no escalar 3. En definitiva, el cálculo de todos los elementos de R −R_{m}M_{m}^{i}S_{m} puede realizarse en talla O(N^{5}) y profundidad no escalar 3.

• Finalmente, hay que computar ∏_{m=1}^{N} Cm. Esto se hace con talla adicional O(N^{4})

y profundidad no escalar log_{2} n + 2.

Sumando todas las cantidades obtenidas en los tres pasos del algoritmo descrito, se obtienen las cotas anunciadas.

Este algoritmo no sólo puede usarse para el cómputo de los coeficientes del polinomio característico de una matriz, sino también para computar el máximo común divisor de polinomios univariados en un dominio de factorización única. Dicha tarea se puede reducir, a través de la matriz de Sylvester, a la resolución de ciertos sistemas de ecuaciones lineales (véase, por ejemplo, [Krick – Pardo, 1996]). Utilizando el algoritmo de Berkowitz y el método de K. Mulmuley ([Mulmuley, 1987]) para el cálculo del rango de una matriz, se tiene:

Lema 38 Existe una red aritmética de talla O(D^{6}) y de profundidad no escalar O(log_{2} D) que, a partir de los coeficientes de P y Q y usando como parámetros {−1, 0, 1}, computa los coeficientes de un máximo común divisor de dichos polinomios.

El máximo común divisor computado por el algoritmo subyacente a este lema es un polinomio en R[T] que denotaremos por gcd(P, Q). Si se quiere computar el máximo común divisor de s polinomios, la cota de complejidad que se obtiene es del orden O(s^{5}D^{6}) para el tiempo secuencial. De nuevo, este algoritmo es bien paralelizable. A veces, el segundo polinomio Q viene dado por un esquema de evaluación sin divisiones en R[T] de talla L y profundidad no escalar ℓ. En tal caso se tiene:

Lema 39 Existe una red aritmética que computa los coeficientes de un máximo común divisor de P y Q con talla LD^{O(1)} y profundidad no escalar O(log_{2}(D) + ℓ).

El algoritmo que se encuentra tras el enunciado del Lema usa subrutinas de álgebra lineal que tratan con matrices que, en ningún caso, tienen tamaño superior a 2D−1.

Análogamente al caso anterior, este lema puede generalizarse al caso de la computación del máximo común divisor de más de dos (digamos, s) polinomios, uno dado por escritura y de grado a lo más D y el resto por un esquema de evaluación sin divisiones en R[T] de talla L y profundidad no escalar ℓ. En este caso, la red aritmética que se obtiene tiene talla (L + s)D^{O(1)} y profundidad no escalar O(log_{2}(D) + ℓ). De nuevo, las subrutinas de algebra lineal tratan matrices cuadradas de talla a lo más 2D − 1. El Lema 38 puede usarse para computar un polinomio separable (y, por lo tanto, libre de cuadrados) P̃ ∈ R[T] con las mismas raíces que P (a un tal polinomio lo llamaremos una representación separable de P).

Lema 40 Supongamos que la derivada P′ no es nula. Entonces, existe un esquema de evaluación sin divisiones y bien paralelizable de talla O(D^{6}) que, a partir de los coeficientes de P y usando como parámetros {−1, 0, 1, …, D}, computa los coeficientes de un polinomio univariado P^{∗} ∈ R[T] y un elemento no nulo del anillo θ ∈ R, tales que :

P^{∗} = θ\frac{P}{gcd(P, P′)}.

Además, θ y los coeficientes de P^{∗} son polinomios enteros en los coeficientes de P de grado acotado por 2D(D + 1).

Observamos que si R es un anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo k de característica cero, P^{∗} es una representación separable de P.

Por otro lado, la simple aplicación de las reglas de derivación, permite concluir un resultado del tipo:

Lema 41 Sea R un dominio y sea β un esquema de evaluación en R[X_{1}, …, X_{n}] de talla L y de profundidad no escalar ℓ que representa la familia de polinomios {f_{1}, …, f_{s}} ⊂ R[X_{1}, …, X_{n}]. En estas condiciones, existe un esquema de evaluación en R[X_{1}, …, X_{n}] de talla (2n + 1)L y profundidad no escalar ℓ + 1 con los mismos parámetros de β que evalúa f_{1}, …, f_{s} y todas sus primeras derivadas parciales de primer orden:

\{\frac{∂f_{i}}{∂X_{j}} : 1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ n\}.

Existen métodos de mejor complejidad secuencial para el cálculo de las derivadas de polinomios dados por esquemas de evaluación (en particular, el número de variables no aparece en las estimación de la talla del esquema de evaluación final). Todos estos métodos conocidos como “backward methods” tienen su origen en un trabajo de W. Baur y V. Strassen ([Baur – Strassen, 1983]). También pueden verse en [Morgenstern, 1984].

De la combinación del lema anterior y del Lema 37, se concluye que si f_{1}, …, f_{n} es una familia de polinomios de R[X_{1}, …, X_{n}] dados por una cálculo de evaluación β de talla L y profundidad no escalar ℓ, existe un esquema de evaluación en R[X_{1}, …, X_{n}] de talla n^{O(1)}L y de profundidad no escalar O(ℓ + log_{2} n) que utiliza los mismos parámetros que β y que evalúa el determinante jacobiano, es decir, el polinomio definido por:

J(f_{1}, …, f_{n}) := det(\frac{∂f_{i}}{∂X_{j}})_{1≤i,j≤n}.

Otro aspecto importante en los algoritmos que expondremos en esta memoria es su carácter probabilístico. Un algoritmo probabilístico es un procedimiento que se comporta de manera determinística, excepto por el hecho de que, eventualmente toma decisiones con una distribución de probabilidad fija. Ejemplos típicos de este tipo de algoritmos son los test de primalidad de Rabin [Rabin, 1980] y de Solovay– Strassen [Solovay – Strassen, 1977].

La modelización de este tipo de algoritmos viene dada por las Máquinas de Turing probabilísticas, concepto este último introducido por J. Gill en su tesis doctoral ([Gill, 1972]). Una máquina de Turing probabilística es una máquina de Turing con estados distinguidos, que se llaman estados “coin-tossing” (tiradores de monedas). Para cada uno de estos estados, la unidad de control finito especifica dos posibles nuevos estados. Por lo tanto, el comportamiento de una máquina de Turing probabilística es determinístico salvo por la aparición de estos estados que deciden, “lanzando una moneda”, entre los dos posibles nuevos estados. En este modelo, la aceptación se define de la siguiente manera: se dice que una máquina de Turing probabilística M acepta una entrada x si al menos la mitad de todas las posibles computaciones que parten de x alcanzan un estado aceptador. El espacio de memoria y el tiempo de computación que requiere M sobre una entrada x, se define como el mínimo entre todas las computaciones aceptadores.

Por otro lado, se define la probabilidad de error como la razón entre la cantidad de computaciones que dan una respuesta errónea y el número de computaciones totales.

Un tipo especial de máquinas de Turing probabilísticas es el de las máquinas de Turing probabilísticas de error acotado, que se definen como máquinas de Turing probabilísticas para las cuales la probabilidad de error sobre toda palabra x ∈ {0, 1}^{∗} está acotada superiormente por una constante ε estrictamente menor que \frac{1}{2}. En el caso de este tipo de máquinas, la probabilidad de error decrece de manera drástica por debajo de cualquier constante positiva mediante la iteración de computaciones sobre x.

Finalmente, acabamos este pequeño inciso recordando que la clase de complejidad BP P se define como el conjunto de los lenguajes aceptados en tiempo polinomial por una máquina de Turing probabilística de error acotado. Obviamente, se tiene

P ⊆ BP P ⊆ NP

pero se desconoce si estas inclusiones son estrictas.

En el caso de la codificación mediante esquemas de evaluación, el análisis de los recursos necesarios para testar la nulidad de un polinomio requiere un análisis minucioso. Para ello, introducimos, en primer lugar, la noción de conjunto cuestor.

Definición 42 Sea W un conjunto de polinomios en ZZ[X_{1}, …, X_{n}]. Un conjunto finito Q ⊆ ZZ^{n} se dice que es un conjunto cuestor para W si para cualquier polinomio f de la familia W se verifica la siguiente implicación :

f(x) = 0 para todo x ∈ Q implica f = 0.

Sea ahora W(n, d, ν) la clase de polinomios en n variables y de grado acotado por d evaluables por un esquema de evaluación de talla ν. En [Heintz – Schnorr, 1982], se prueba el siguiente Teorema que establece que la altura de los conjuntos cuestores es moderada.

Teorema 43 ( [Heintz – Schnorr, 1982]) Sean ν y d dos números naturales. Si u := 2ν(d + 1)^{2} y s := 6(ν + n)(ν + n + 1), el número de conjuntos cuestores en {1, …, u}^{ns} para W(d, n, ν) es de al menos u^{ns}(1 − u^{−s/6}).

La prueba de este Teorema descansa, fundamentalmente, en el concepto de grado de una variedad algebraica afín y en la desigualdad de Bézout.

Ahora, denotemos por W(n, L, ℓ) la clase de polinomios de ZZ[X_{1}, …, X_{n}] que pueden ser evaluados por un esquema de evaluación de talla a lo más L y de profundidad no escalar a lo más ℓ. Para esta clase de polinomios, puede adaptarse el resultado de [Heintz – Schnorr, 1982] obteniendo el resultado que sigue y que puede verse en [Krick – Pardo, 1996].

Proposición 44 ( [Krick – Pardo, 1996]) Dados los números naturales n, ℓ, L con L ≥ n + 1, consideramos las siguientes cantidades:

u := (2^{ℓ+1} − 2) (2^{ℓ} + 1)^{2}  y  t := 6 (ℓL)^{2}.

Entonces el conjunto finito \{1, …, u\}^{nt} ⊂ ZZ^{nt} contiene al menos u^{nt} (1 − u^{− \frac{t}{6}} ) conjuntos cuestores de talla t para W(n, L, ℓ).

Demostración.– Dados n, ℓ, L podemos establecer un esquema de evaluación Γ_{0} que tenga L puertas en cada nivel de profundidad, excepto para las puertas de entrada y la puerta de salida. Por lo tanto, todo esquema de evaluación de talla L, profundidad no escalar ℓ puede modelizarse como un subgrafo de Γ_{0}. Por esta razón, nos centramos en el caso de un esquema de evaluación genérico prefijado.

Sea Γ un esquema de evaluación genérico con una única salida Q y supongamos que la talla y la profundidad no escalar de Γ son L y ℓ respectivamente. A este esquema de evaluación genérico le asociamos el morfismo regular definido por la especialización de sus parámetros:

Φ : (\underline{A}, \underline{B}) ⟼ (Q_{ℓ}^{μ}(\underline{A}, \underline{B}))_{|μ|≤2^{ℓ}} .

Sea W (Γ) la clausura Zariski de la imagen por Φ. Se tiene:

• D := dimW (Γ) ≤ 2L(L − (n + 1))

• deg W (Γ) ≤ (2^{ℓ+1} − 2)^{2L(L−(n+1))}.

La cota sobre la dimensión de W (Γ) se deduce obviamente del hecho de que la cantidad 2L(L − (n + 1)) acota el número de parámetros de Γ. Una demostración de la cota sobre el grado de W (Γ) puede verse en [Krick – Pardo, 1996].

Con estas notaciones, se tiene:

Lema 45 Sea u := (2^{ℓ+1} − 2) (2^{ℓ} + 1)^{2} y t := 6L (L − (n + 1)). Entonces, en \{1, …, u\}^{n} existen, al menos, u^{nt}(1 − u^{− \frac{t}{6}} ) conjuntos cuestores de cardinal t para W (Γ).

Demostración.– Para probar este lema seguiremos los argumentos desarrollados en [Krick – Pardo, 1996] que, constituyen, a su vez, una adaptación de los argumentos de [Heintz – Schnorr, 1982].

Se define el conjunto algebraico E(Γ, t) ∈ C^{nt+N} mediante las condiciones:

(\underline{a}_{1}, …, \underline{a}_{t}, P) ∈ E(Γ, t) ⟺ P ∈ W (Γ) y P (\underline{a}_{i}) = 0 (1 ≤ i ≤ t)

(cada \underline{a}_{t} es un punto de C^{n} e identificamos P con su vector de N coeficientes en W (Γ)). Así pues, E(Γ, t) queda definido por las ecuaciones que definen W (Γ) junto con las ecuaciones de grado 2^{ℓ} + 1 :

∑_{|μ|≤2^{ℓ}} Z_{μ}X_{1j}^{μ_{1}} … X_{nj}^{μ_{n}} = 0 (1 ≤ j ≤ t)

De la desigualdad de Bézout y de la cota para el grado de W (Γ) se deduce

deg E(Γ, t) ≤ deg W (Γ) (2^{ℓ} + 1)^{t} ≤ (2^{ℓ+1} − 2)^{\frac{t}{3}} (2^{ℓ} + 1)^{t}

Consideramos ahora las proyecciones canónicas:

π_{1} : E(Γ, t) ⟶ C^{nt} y π_{2} : E(Γ, t) ⟶ C^{N}

Sean C_{j}, j ∈ J, las componentes irreducibles de E(Γ, t) tales que π_{2}(C_{j}) contiene algún punto que representa un polinomio P ≢ 0. Es obvio que π_{1}(∪_{j∈J}C_{j}) ⊂ C^{nt} es el conjunto de “falsos” cuestores para E(Γ, t).

Ahora acotamos la dimensión y el grado de π_{1}(∪_{j∈J}C_{j}) ∩ {1, …, u}^{nt}. En primer lugar, la dimensión de π_{2}^{−1}(P) es (n − 1)t y el teorema de la dimensión de la fibra implica que:

dim π_{2}^{−1}(P) ≥ dim C_{j} − dim W (Γ)

Por lo tanto, dim C_{j} ≤ (n − \frac{2}{3})t. Además, aplicando la Proposición 2.3 de [Heintz – Schnorr, 1982], se tiene:

# (π_{1}(∪C_{j}) ∩ {1, …, u}^{nt}) ≤
deg ((∪C_{j}) ∩ {1, …, u}^{nt}) ≤
deg(∪C_{j})u^{(n− \frac{2}{3} )t} ≤
(2^{ℓ+1} − 2)^{\frac{t}{3}} (2^{ℓ} + 1)^{t} u^{(n− \frac{2}{3} )t} ≤ u^{nt} u^{− \frac{t}{6}}

al ser u := (2^{ℓ+1} − 2) (2^{ℓ} + 1)^{2}.

En definitiva, se deduce que existen u^{nt} − u^{nt} u^{− \frac{t}{6}} = u^{nt}(1 − u^{− \frac{t}{6}} ) conjuntos cuestores de tamaño t en {1, …, u}^{n}.

Para terminar la demostración de la Proposición, basta señalar que el esquema de evaluación Γ_{0} que hemos definido al inicio y que, contiene como subgrafos del mismo a todo esquema de evaluación de talla L y profundidad no escalar ℓ, tiene profundidad no escalar igual a ℓ y talla a lo más ℓL.

Por otro lado, se observa que la proposición 44 no depende de un esquema de evaluación concreto, sino de toda una clase. Sin embargo, no se conocen algoritmos determinísticos que calculen un conjunto cuestor en tiempo polinomial. A pesar de este obstáculo, la generación aleatoria de conjuntos cuestores permite concluir:

Observación 46 Las cotas que aparecen en la proposición anterior, nos permiten construir un algoritmo probabilístico que verifica si un polinomio dado por su representación en esquema de evaluación es cero o no. Para ello, sea Γ un esquema de evaluación de talla L, profundidad no escalar ℓ y parámetros de talla h: La Observación 36 nos permite concluir que existe una máquina de Turing probabilística que en tiempo polinomial en 2^{ℓ}Lmax{h, 3ℓ + 3} da una respuesta. Además la probabilidad de error está acotada por \frac{1}{u^{t}}.

Junto al uso de conjuntos cuestores, se puede considerar una alternativa basada en la evaluación del esquema de evaluación en un único punto. Este test es conocido como el test de Zippel–Schwartz y se puede enunciar de la siguiente manera:

Lema 47 Sea P ∈ Q [X_{1}, …, X_{n}] un polinomio no nulo que se evalúa por un esquema de evaluación de profundidad no escalar ℓ. Sea A := {0, …, 2^{ℓ+1}}^{n} ⊂ ZZ^{n}. Entonces, la probabilidad de elegir aleatoriamente un punto en I que anule a P es menor que \frac{1}{2}.

El conjunto A que se considera depende tanto del tamaño de la entrada como del esquema de evaluación concreto, es decir, si se quiere mantener la probabilidad de error por debajo de \frac{1}{2}, es necesario generar un nuevo punto para cada esquema de evaluación.

En casos excepcionales, puede que el esquema de evaluación en consideración posea alguna división (de hecho en nuestro caso, una sola división). Sin embargo, nuestro interés se centra exclusivamente en los esquemas de evaluación sin divisiones. En este orden de cosas, es importante la consideración de la técnica conocida como “Vermeidung von Divisionen” debida a V. Strassen ([Strassen, 1973]). El enunciado y la demostración del mismo que presentamos aquí se ocupa del análisis de la complejidad no escalar de dicha técnica y han sido extraídos de [Krick – Pardo, 1996]. La prueba de esta proposición está basada en la computación de las componentes homogéneas de un polinomio dado por un esquema de evaluación. Este es el contenido del siguiente lema:

Lema 48 ([Krick – Pardo, 1996]) Sea P := ∑ P^{μ} X_{1}^{μ_{1}} … X_{n}^{μ_{n}} un polinomio en ZZ[X_{1}, …, X_{n}] evaluado por un esquema de evaluación de talla L y profundidad ℓ con parámetros en un subconjunto dado de F ⊂ ZZ. Sea D un número natural. En estas condiciones, existe un esquema de evaluación Γ′ en ZZ[X_{1}, …, X_{n}] que computa todas las componentes homogéneas de P de grado a lo más D. Γ′ verifica además que utiliza el mismo conjunto de parámetros que Γ, tiene talla (D + 1)^{2}L y profundidad no escalar 2ℓ.

El Lema anterior dice con que complejidad se puede hacer el proceso de cambio de la representación por esquema de evaluación a representación densa. Por su interés, extraemos, como Corolario del mismo, un enunciado que expresa cómo calcular la representación densa con respecto a una variable prefijada:

Corolario 49 Los coeficientes de P con respecto a una variable prefijada se pueden calcular mediante un esquema de evaluación de talla (D + 1)^{2}L y profundidad no escalar 2ℓ, si D es una cota para el grado de P con respecto a la variable fijada.

Una vez vista la forma en la que se calculan las componentes homogéneas de un polinomio dado por un esquema de evaluación, estamos en condiciones de probar el siguiente enunciado:

Proposición 50 ([Strassen, 1973], [Krick – Pardo, 1996]) Sea Γ un esquema de evaluación sin divisiones en ZZ[X_{1}, …, X_{n}] de talla L, profundidad no escalar ℓ y que utiliza como parámetros enteros de talla acotada por h. Supongamos que Γ computa una familia de polinomios f_{0}, …, f_{m} de ZZ[X_{1}, …, X_{n}] y que, además, f_{0} ≠ 0 y que f_{0} divide a f_{i} (en ZZ[X_{1}, …, X_{n}]) para todo i ∈ {1, …, n}. En estas condiciones, existe un esquema de evaluación sin divisiones Γ′ en ZZ[X_{1}, …, X_{n}] que verifica:

i) Γ′ evalúa polinomios P_{1}, …, P_{m} en ZZ[X_{1}, …, X_{n}] y un número entero θ tales que

P_{i} = θ\frac{f_{i}}{f_{0}}

ii) la talla de Γ′ es del orden O(2^{2ℓ}(L+n+2^{ℓ}+m)), su profundidad no escalar es del orden de O(ℓ) y los parámetros que utiliza tienen talla del orden max{h, O(ℓ)}.

Demostración.– Dado que el polinomio f_{0} se evalúa usando un esquema de evaluación Γ de talla L y profundidad no escalar ℓ, si denotamos u := (2^{ℓ+1}−2) (2^{ℓ}+1)^{2} existe (γ_{1}, …, γ_{n}) ∈ ZZ^{n} de talla acotada por log_{2} u = O(ℓ) tal que ρ := f_{0}(γ_{1}, …, γ_{n}) ≠ 0 (ver Proposición 44). Definimos los polinomios

F_{i}(X_{1}, …, X_{n}) := f_{i}(X_{1} + γ_{1}, …, X_{n} + γ_{n})

(tales que F_{0}(0, …, 0) := f_{0}(γ_{1}, …, γ_{n}) ≠ 0), y Q := ρ − F_{0}. Los polinomios F_{0}, …, F_{m}, Q ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}], y ρ ∈ ZZ se pueden computar mediante un esquema de evaluación de talla 2L + n + 1 profundidad no escalar ℓ + 2 y que usa parámetros de talla acotada por max{η, log_{2} u} = max{η, O(ℓ)}. Finalmente, sea θ := ρ^{2^{ℓ}+1}. Se tiene:

\frac{θ F_{i}}{F_{0}} = \frac{θ F_{i}}{ρ − Q} = \frac{ρ^{2^{ℓ}} F_{i}}{1 − \frac{Q}{ρ}} = (∑_{k=0}^{2^{ℓ}} ρ^{2^{ℓ}−k}Q^{k} + ∑_{k=2^{ℓ+1}}^{∞} ρ^{k−2^{ℓ}}Q^{k}) F_{i}.

Como \frac{θ F_{i}}{F_{0}} es un polinomio en ZZ[X_{1}, …, X_{n}] de grado acotado por 2^{ℓ} y el orden de Q^{i} es al menos i en 0, se concluye que \frac{θ F_{i}}{F_{0}} sólo depende de las componentes

homogéneas de grado a lo más ≤ 2^{ℓ} de (∑_{k=0}^{2^{ℓ}} ρ^{2^{ℓ}−k}Q^{k}) F_{i} (∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}]). En talla adicional 2^{ℓ+1} + 2, profundidad no escalar adicional ℓ + 1, y con el mismo conjunto de parámetros, podemos calcular las potencias ρ, …, ρ^{2^{ℓ}} y {Q, …, Q^{2^{ℓ}}}. Después calculamos la suma ∑_{k=0}^{2^{ℓ}} ρ^{2^{ℓ}−k}Q^{k} con talla adicional 2^{ℓ} y profundidad no escalar 1 y acabamos multiplicando el resultado por F_{i}. Por lo tanto, todos los polinomios (∑_{k=0}^{2^{ℓ}} ρ^{2^{ℓ}−k}Q^{k}) F_{i} se pueden evaluar con talla O(L + n + m + 2^{ℓ+1}) y profundidad no escalar O(ℓ), con las mismas cotas de altura para los parámetros. Finalmente, aplicando el Lema 48 se computan y suman todas las componentes homogéneas de grado acotado por 2^{ℓ} de este polinomio : esto se hace con talla O(2^{2ℓ} (L + n + m + 2^{ℓ})) y profundidad no escalar O(ℓ). La prueba se concluye computando los polinomios

P_{i} := θ\frac{f_{i}}{f_{0}} = θ\frac{F_{i}(X_{1} − γ_{1}, …, X_{n} − γ_{n})}{F_{0}(X_{1} − γ_{1}, …, X_{n} − γ_{n})}

con talla adicional n y profundidad no escalar 1.

Observación 51 En el enunciado anterior, se observa que las estimaciones de complejidad son independientes del grado de los polinomios. Si se conoce una estimación previa del grado de los polinomios involucrados, puede entonces construirse un esquema de evaluación de talla O((L+d+n+m)d^{2}), profundidad no escalar O(log_{2} nd) y parámetros de talla acotada por O(log_{2} nd), si d es una cota para el grado de los polinomios. De hecho, en la prueba de la Proposición, se toma 2^{ℓ} como cota del grado de los polinomios evaluados por Γ.

En el Capítulo V de esta memoria trabajaremos con un polinomio específico que llamaremos pseudo–jacobiano. Por su relevancia en nuestro trabajo, introducimos aquí dicho polinomio y explicamos cómo puede ser calculado. Sea R un dominio que contenga a Q . Sea K el cuerpo de fracciones de R y sea f_{1}, …, f_{n} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] una sucesión regular en K[X_{1}, …, X_{n}]. Sean Y_{1}, …, Y_{n} nuevas variables y escribamos Y = (Y_{1}, …, Y_{n}). Fijemos, por otro lado, j ∈ {1, …, n}. Denotemos f_{j}^{(Y)} := f_{j}(Y_{1}, …, Y_{n}) el polinomio obtenido al sustituir las viejas variables X_{1}, …, X_{n} por las nuevas Y_{1}, …, Y_{n}. En el anillo R[Y_{1}, …, Y_{n}, X_{1}, …, X_{n}] descomponemos el polinomio f_{j}^{(Y)} − f_{j} de la forma siguiente:

f_{j}^{(Y)} − f_{j} = ∑_{k=1}^{n} l_{k,j}(Y_{k} − X_{k}),

donde l_{k,j} ∈ R[Y_{1}, …, Y_{n}, X_{1}, …, X_{n}]. Sea Δ el determinante de la matriz A = (l_{k,j})_{1≤k,j≤n}. Este determinante se denomina determinante pseduo–jacobiano de la sucesión regular f_{1}, …, f_{n}. En estas condiciones, se tiene:

Lema 52 Sea f_{1}, …, f_{n} una sucesión regular de polinomios en R[X_{1}, …, X_{n}]. Si d es una cota para el grado de f_{1}, …, f_{n} y los mismos vienen dados por un esquema de evaluación β de talla L y profundidad no escalar ℓ, existe un esquema de evaluación β′ de talla (nd)^{O(1)}L y profundidad no escalar O(log_{2} n + ℓ) que evalúa el pseudo– jacobiano de la sucesión. Además, los parámetros que utiliza β′ o son parámetros de β o, en caso contrario, tienen altura logarítmica acotada por log_{2} d.

También consideraremos la ejecución de esquemas de evaluación en anillos de matrices. Las situaciones que aparecerán serán del siguiente tipo: Sea R un dominio y supongamos dado un polinomio por un esquema de evaluación β en R[X_{1}, …, X_{n}] de talla L y profundidad no escalar ℓ. Supongamos también que están dadas n matrices cuadradas M_{1}, …, M_{n} de talla D que conmutan sobre R. En esta situación, las entradas de la matriz g(M_{1}, …, M_{n}) pueden computarse a partir de las entradas de las matrices M_{1}, …, M_{n} y de los parámetros de β, mediante un esquema de evaluación β′ en R de talla D^{O(1)}L y profundidad no escalar O(ℓ). Los parámetros de β′ son simplemente 0, 1 (véase [Giusti et al., 1993] para más detalles). La situación más habitual en la que emplearemos la ejecución de esquemas de evaluación sobre anillos de matrices es el cómputo de polinomios característicos en anillos coordenados. A saber: Sea V ∈ C^{n} una variedad algebraica ZZ–definible y sea Q [V] su anillo coordenado. Supongamos que la extensión

Q [X_{1}, …, X_{r}] ⟶ Q [V]

es una extensión entera de anillos. Como sabemos, Q[V] es un Q[X_{1}, …, X_{r}]–módulo libre. Sea D el rango de dicho módulo. Supongamos que conocemos las matrices de los tensores M_{X_{r+1}}, …, M_{X_{n}} y supongamos dado un polinomio g ∈ Q [X_{1}, …, X_{n}] dado por un esquema de evaluación de talla L y profundidad no escalar ℓ. La matriz de la homotecia definida por g en Q [V] viene dada por

M_{g} = g(X_{1}, …, X_{r}, M_{X_{r+1}}, …, M_{X_{n}}).

Aplicando Berkowitz, obtenemos los coeficientes del polinomio característico de M_{g} (que proporciona una ecuación de dependencia entera de g en Q [V]) mediante un esquema de evaluación de talla LD^{O(1)} y profundidad O(ℓ + log_{2} D). Además, este esquema de evaluación sólo utiliza como parámetros {−1, 0, 1}

3.1.1 Operador de Newton sin divisiones

En el Capítulo siguiente, haremos uso de una versión de la iteración de Newton– Hensel. Describimos ahora cómo calcular esta iteración usando para ello un esquema de evaluación sin divisiones.

Sea R un anillo de polinomios sobre Q , sea K su cuerpo de fracciones y sean f_{1}, …, f_{n} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] polinomios de grado a lo más d. Supongamos que los polinomios f_{1}, …, f_{n} vienen dados por un esquema de evaluación sin divisiones β de talla L y profundidad no escalar ℓ. Supongamos que la matriz jacobiana

D(f) := D(f_{1}, …, f_{n}) := (\frac{∂f_{i}}{∂X_{j}} )_{1≤i,j≤n}

asociada al sistema f_{1}, …, f_{n} es regular. Consideramos el operador de Newton– Hensel definido por:

N_{f}(X_{1}, …, X_{n}) := ( X_{1} ; ⋮ ; X_{n} ) − D(f)^{−1} ( f_{1}(X_{1}, …, X_{n}) ; ⋮ ; f_{n}(X_{1}, …, X_{n}) ) .  (3.1)

Este operador define n funciones racionales de K(X_{1}, …, X_{n}) y lo mismo es válido para el resultado correspondiente a la iteración k veces del mismo operador, N_{f}^{k} ∈ K(X_{1}, …, X_{n})^{n}. Por lo tanto, para cualquier número natural, k ∈ IN, existen polinomios g_{1}^{(k)}, …, g_{n}^{(k)} y h^{(k)} ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] tales que

N_{f}^{k} = (\frac{g_{1}^{(k)}}{h^{(k)}} , …, \frac{g_{n}^{(k)}}{h^{(k)}} ) ∈ K(X_{1}, …, X_{n})^{n}.

El Lema que sigue muestra la existencia de un esquema de evaluación que calcula tales polinomios sin utilizar divisiones.

Lema 53 Consideremos las mismas notaciones e hipótesis que antes. Entonces, existe un esquema de evaluación en R[X_{1}, …, X_{n}] de talla O(kd^{2}n^{7}L) y profundidad no escalar O((log_{2} n + ℓ)k) que, utilizando los mismos parámetros que β, computa los numeradores g_{1}^{(k)}, …, g_{n}^{(k)} y un denominador (distinto de cero) h^{(k)} para N_{f}^{k}.

Demostración.– Sea A(f) = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} la matriz traspuesta de la adjunta de D(f). Tanto A(f) como el determinante de la matriz jacobiana J(f) := det(D(f)) se evalúan mediante un esquema de evaluación de talla O(n^{5} + nL) y profundidad no escalar O(log_{2} n + ℓ), como consecuencia de la combinación de los lemas 37 y 41. Puesto que D(f)^{−1} = A(f)/J(f), el operador N_{f} se puede escribir como

N_{f} = \frac{J(f) ( X_{1} ; ⋮ ; X_{n} ) − A(f) ( f_{1}(X_{1}, …, X_{n}) ; ⋮ ; f_{n}(X_{1}, …, X_{n}) )}{J(f)}.  (3.2)

Los coeficientes a_{ij} de la matriz A(f) son polinomios en R[X_{1}, …, X_{n}] con grado acotado por (n−1)(d−1). Por otro lado, es evidente que el determinante de la matriz jacobiana J(f) es un polinomio en R[X_{1}, …, X_{n}] cuyo grado, que denotaremos por ν, está acotado superiormente por n(d − 1). Definimos ahora, para 1 ≤ i ≤ n, los siguientes polinomios de R[X_{1}, …, X_{n}]

g_{i} := J(f)X_{i} − ∑_{j=1}^{n} a_{i,j}f_{j}.

Veamos, en primer lugar, que el grado total de g_{i} está acotado por ν + 1. Para ello, basta escribir el desarrollo de J(f) por los elementos de la columna i–ésima de

D(f): J(f) = ∑_{j=1}^{n} a_{i,j} \frac{∂f_{j}}{∂X_{i}}. Así,

g_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{i,j} (\frac{∂f_{j}}{∂X_{i}} · X_{i} − f_{j}) .

Esta identidad demuestra que, efectivamente, el grado de g_{i} es menor o igual que ν + 1.

Introducimos una nueva variable X_{0} y sean ^{h}g_{i}(X_{0}, X_{1}, …, X_{n}) ∈ R[X_{0}, …, X_{n}] y hJ(f)(X_{0}, X_{1}, …, X_{n}) ∈ R[X_{0}, …, X_{n}] los polinomios homogeneizados de g_{i} y del determinante jacobiano, J(f), con respecto a la variable X_{0}.

Sean ahora:

• G_{i}(X_{0}, …, X_{n}) := X_{0}^{ν+1−deg(g_{i})} ·^{h}g_{i},

• H(X_{0}, …, X_{n}) := X_{0} ·^{h}J(f).

De acuerdo con el Lema 48, existe un esquema de evaluación sin divisiones de talla O(d^{2}(n^{7}+n^{3}L)) y profundidad no escalar O(log_{2} n+ℓ) que representa los polinomios G_{1}, …, G_{n}, H. Por otro lado, definimos, de manera recursiva, los polinomios siguientes:

• para k = 1 y 1 ≤ i ≤ n, sea

g_{i}^{(1)} := G_{i}(1, X_{1}, …, X_{n}) y

h^{(1)} := H(1, X_{1}, …, X_{n}),

• para k ≥ 2 y 1 ≤ i ≤ n, sea

g_{i}^{(k)} := G_{i}(h^{(k−1)}, g_{1}^{(k−1)}, …, g_{n}^{(k−1)}) y

h^{(k)} := H(h^{(k−1)}, g_{1}^{(k−1)}, …, g_{n}^{(k−1)}).

Es claro que los polinomios g_{1}^{(k)}, …, g_{n}^{(k)} y que el polinomio h^{(k)} son, respectivamente, numeradores y denominador del operador de Newton–Hensel iterado k veces:

\frac{g_{i}^{(k)}}{h^{(k)}} = \frac{g_{i} (\frac{g_{1}^{(k−1)}}{h^{(k−1)}} , …, \frac{g_{n}^{(k−1)}}{h^{(k−1)}} )}{J(f) (\frac{g_{1}^{(k−1)}}{h^{(k−1)}} , …, \frac{g_{n}^{(k−1)}}{h^{(k−1)}} )} = \begin{matrix}(h^{(k−1)}) & ν+1 \\ (h^{(k−1)}) & ν+1 \end{matrix} · \frac{g_{i} (\frac{g_{1}^{(k−1)}}{h^{(k−1)}} , …, \frac{g_{n}^{(k−1)}}{h^{(k−1)}} )}{J(f) (\frac{g_{1}^{(k−1)}}{h^{(k−1)}} , …, \frac{g_{n}^{(k−1)}}{h^{(k−1)}} )} =

= \frac{(h^{(k−1)})^{ν+1−deg g_{i}} · ^{h}g_{i} (h^{(k−1)}, g_{1}^{(k−1)}, …, g_{n}^{(k−1)})}{h^{(k−1)} · ^{h}J(f) (h^{(k−1)}, g_{1}^{(k−1)}, …, g_{n}^{(k−1)})} = \frac{G_{i}(h^{(k−1)}, g_{1}^{(k−1)}, …, g_{n}^{(k−1)})}{H(h^{(k−1)}, g_{1}^{(k−1)}, …, g_{n}^{(k−1)})}

Para evaluar tales polinomios, no es preciso más que iterar k veces el esquema de evaluación anteriormente descrito. De tal forma, se obtienen las complejidades que se establecen en el enunciado del Lema.

3.2 Construcción de un elemento primitivo

El elemento primitivo es crucial para la resolución de sistemas polinomiales cero dimensionales de manera simbólica (véanse como ejemplos [Alonso et al., 1996], [Canny, 1988], [Chistov, 1985], [Chistov – Grigoriev, 1983], [Giusti – Heintz, 1993], [González-Vega – Trujillo, 1995], [Heintz – Morgenstern, 1993], [Moeller, 1993], [Krick – Pardo, 1996], [Lakshman – Lazard, 1991]). Un elemento primitivo proporciona una descripción cómoda y manejable de los tensores de multiplicación de la k–álgebra finito dimensional que aparece de forma natural (el anillo coordenado asociado a la variedad cero dimensional).

Antes de enunciar y demostrar el resultado principal de la sección, tratamos la computación de las parametrizaciones asociadas a un elemento primitivo en el caso de dos variables separadas. Este resultado será utilizado posteriormente, tanto en la prueba de la Proposición siguiente como en desarrollo del algoritmo de resolución geométrica objeto de estudio en el Capítulo IV de esta memoria.

Lema 54 Sean p(Y), q(X) dos polinomios univariados libres de cuadrados con coeficientes en un anillo de polinomios R sobre Q y sea J := (p(Y), q(X)) el ideal radical cero–dimensional que generan en K[X, Y] (K := c.f(R)). Sea D := deg p · deg q y γ := Y + αX (α ∈ ZZ fijado) una forma lineal que separa los puntos de J en IK^{2} (es decir, un elemento primitivo de J).

Entonces, existen dos polinomios univariados u, v ∈ R[Z] y un elemento no cero θ ∈ R tales que :

i) J = (u(γ), θX − v(γ)) ⊂ K[X, γ].

ii) deg(u) = D.

iii) deg(v) ≤ D − 1

iv) Los coeficientes de u son polinomios en los coeficientes de p y q de grado acotado por 4D; θ y los coeficientes de v son polinomios en los coeficientes de q y p de grados acotados por 2D^{2}. v) Los coeficientes de u pueden evaluarse, a partir de los coeficientes de p y q, por

un esquema de evaluación de talla D^{O(1)} y profundidad no escalar O(log_{2} D), usando como parámetros {−1, 0, 1, α}

vi) θ y los coeficientes de v pueden evaluarse por un esquema de evaluación con las mismas entradas de talla D^{O(1)}, profundidad no escalar O(log_{2} D) y que usa como parámetros {−1, 0, 1, α}.

Demostración.– El K–espacio vectorial K[X, Y]/J admite como base

B := {X^{i}Y^{j} : 0 ≤ i < deg q, 0 ≤ j < deg p}.

Puesto que la forma lineal γ separa los ceros del ideal J, el polinomio mínimo de γ coincide con el polinomio característico del endomorfismo η_{γ} inducido por γ. Además, 1, γ, …, γ^{D−1} definen una base de K[X, Y]/J. Las matrices de los tensores de multiplicación en K[X, Y]/J están dadas a partir de los coeficientes de p y q. Por lo tanto, la matriz de la homotecia dada por γ, M_{γ}, también está dada a través de la identidad M_{γ} = M_{Y} + γM_{x}.

Ahora, para evitar denominadores en K, computamos un polinomio característico diferente y no directamente el de M_{γ}: sean a y b los coeficientes directores de q y p respectivamente, y ρ := a · b.

Definimos:

u(Z) := ρ^{D}X_{γ}(Z) = det(M_{ργ} − ρZId)

(donde M_{∗} denota la matriz de la homotecia definida por ∗ en la base B). Es obvio que u ∈ R[Z] es un polinomio de grado D tal que u(γ) ∈ J. De hecho, los coeficientes de u son polinomios en los coeficientes de q y p de grado 4D.

Por otro lado, para computar θ ∈ R y v ∈ R[γ] tales que J = (u(γ), θX − v(γ)) ∈ k[X, γ], observamos que existe una matriz inversible P ∈ M_{D}(R) que verifica:

( 1 ; ργ ; ⋮ ; (ργ)^{D−1} ) = P ( 1 ; X ; ⋮ ; X^{deg q−1}Y^{deg p−1} ) .

En primer lugar, observamos que las columnas de P se corresponden con cada una de las primeras columnas de las matrices (M_{ργ})^{k}, 0 ≤ k < D. Por otro lado, multiplicando la identidad matricial anterior por la matriz adjunta de P, se tiene que (det P)X = v(γ) (mod J), donde v es un polinomio de grado acotado por D − 1 que proviene de una fila de la matriz Adj(P). Sea θ := det P. De la forma en la que se calculan las entradas de P, se sigue que los coeficientes de v son polinomios en los coeficientes de q y p de grado 2D^{2}.

Dado que el ideal (u(γ), θX − v(γ)) es un ideal radical contenido en I y que ambos ideales definen exactamente los mismos puntos, se concluye que, salvo un cambio de coordenadas, J = (u(γ), θX − v(γ)).

Para acabar la demostración del Lema, falta analizar la parte algorítmica del mismo: en primer lugar, computamos los coeficientes de u de los coeficientes de la matriz M_{ργ} en la base B. Este polinomio característico puede representarse, por lo tanto, por un esquema de evaluación de talla O(D^{5}) y profundidad no escalar O(log_{2} D), usando α como parámetro.

Para computar θ y los coeficientes de v, primero hay que computar las potencias de M_{ργ}. Esto puede hacerse en talla O(D^{4}) y profundidad no escalar O(log_{2} D). Finalmente, se computa Adj(P) y det(P) con talla O(D^{6}) y profundidad no escalar O(log_{2} D).

Sea R un k–álgebra con cuerpo de fracciones K. Sea I un ideal cero dimensional de K[X_{1}, …, X_{n}]. Sea \sqrt{I} el radical de I. Para ver cómo se puede construir un elemento primitivo a partir de un conjunto de generadores de I, seguimos las líneas trazadas en [Krick – Pardo, 1996]. Para explicar el método, introducimos nuevas variables T_{1}, …, T_{n} y para cada 1 ≤ j ≤ n consideramos:

R_{j} := R[T_{1}, …, T_{j−1}, T_{j+1}, …, T_{n}]
K_{j} := K(T_{1}, …, T_{j−1}, T_{j+1}, …, T_{n}),

y la forma lineal en X_{1}, …, X_{j−1}, X_{j+1}, …, X_{n} :

Z_{j}:= T_{1}X_{1} + ⋯ + T_{j−1}X_{j−1} + T_{j+1}X_{j+1} + ⋯ + T_{n}X_{n}.

Consideraremos también la forma lineal U in X_{1}, …, X_{n} :

U:= T_{1}X_{1} + ⋯ + T_{n}X_{n}.

Observamos que para todo 1 ≤ j ≤ n la identidad U = Z_{j} + T_{j}X_{j} se verifica. Sea T otra variable y D un número natural. La forma en la que se genera el elemento primitivo se especifica en el siguiente enunciado :

Lema 55 ([Krick – Pardo, 1996]) Supongamos dados:

• polinomios mónicos f_{1}, …, f_{n} ∈ R[T] de grado a lo más D tales que para cada 1 ≤ j ≤ n la especialización f_{j}(X_{j})pertenece al ideal I.

• para cada 1 ≤ j ≤ n un polinomio g_{j} ∈ R_{j}[T] que es mónico en T y con grado total a lo más D tal que la especialización g_{j}(Z_{j}) pertenece al ideal K_{j} ⨂_{K} I.

Supongamos que f_{1}, …, f_{n} y g_{1}, …, g_{n} están representados por sus coeficientes con respecto a la variable T. Supongamos que los coeficientes de g_{1}, …, g_{n} están dados por un esquema de evaluación sin divisiones en R[T_{1}, …, T_{n}] de talla L y profundidad ℓ. Entonces, existe una red aritmética sin divisiones en R de talla (nDL)^{O(1)} y profundidad O(log_{2}(nD) + ℓ) que computa los coeficientes de :

i) un elemento primitivo u = λ_{1}X_{1} + ⋯ + λ_{n}X_{n} ∈ k[X_{1}, …, X_{n}] para el ideal I,

ii) elementos no nulo ρ_{j} ∈ R y para cada 1 ≤ j ≤ n un polinomio v_{j} ∈ R[T] tal que ρ_{j}X_{j} − v_{j}(u) ∈ \sqrt{I},

iii) un polinomio mónico q ∈ R[T] tal que q(u) ∈ \sqrt{I}

De hecho, podemos suponer que deg v_{i} < deg q para 1 ≤ i ≤ n. Además, se puede suponer, sin restricción de generalidad que q es separable con respecto a la variable T y, por lo tanto, libre de cuadrados. Esto implica que el álgebra K[X_{1}, …, X_{n}]/\sqrt{I} es no ramificada sobre K y que \sqrt{I} = (q(u), ρX_{1} −v_{1}(u), …, ρX_{n} −v_{n}(u)) se verifica en K[X_{1}, …, X_{n}].

Demostración.– El primer paso de la demostración de la Proposición es el cálculo de un polinomio Q ∈ ZZ[T_{1}, …, T_{n}] que define un abierto Zariski, {Q(T_{1}, …, T_{n}) ≠ 0}, en el que todo elemento del mismo defina un elemento primitivo.

Para ello, sea j ∈ {1, …, n}. Por hipótesis, f_{j}(X_{j}) ∈ I y g_{j}(Z_{j}) ∈ K_{j} ⊗_{K} I. A partir de estos polinomios, construiremos otro polinomio Q_{j} ∈ R[T_{1}, …, T_{n}] de grado acotado por D^{O(1)} que verifica que las condiciones

Q_{j}(t_{1}, …, t_{n}) ≠ 0,
f_{j}(x_{j}^{(1)}) = f_{j}(x_{j}^{(2)}) = 0,
g_{j}(t_{1}, …, t_{j−1}, t_{j+1}, …, t_{n}, z_{j}^{(1)}) = g_{j}(t_{1}, …, t_{j−1}, t_{j+1}, …, t_{n}, z_{j}^{(2)}) = 0

implican

t_{j}x_{j}^{(1)} + z_{j}^{(1)} ≠ t_{j}x_{j}^{(2)} + z_{j}^{(2)}

Para construir dicho polinomio introducimos nuevas variables X_{j}^{(1)}, X_{j}^{(2)}, Z_{j}^{(1)}, Z_{j}^{(2)} y los ideales

I_{1} := (f_{j}(X_{j}^{(1)}), f_{j}(X_{j}^{(2)})), I_{2} := (g_{j}(Z_{j}^{(1)}), g_{j}(Z_{j}^{(2)}))

en K(T_{1}, …, T_{n})[X_{j}^{(1)}, X_{j}^{(2)}] y K(T_{1}, …, T_{n})[Z_{j}^{(1)}, Z_{j}^{(2)}] respectivamente.

Consideramos las homotecias:

η_{(X{(1) \atop j}−X{(2) \atop j})} : K(T_{1}, …, T_{n})[X_{j}^{(1)}, X_{j}^{(2)}]/I_{1} ⟶ K(T_{1}, …, T_{n})[X_{j}^{(1)}, X_{j}^{(2)}]/I_{1}

η_{(Z{(1) \atop j}−Z{(2) \atop j})} : K(T_{1}, …, T_{n})[Z_{j}^{(1)}, Z_{j}^{(2)}]/I_{2} ⟶ K(T_{1}, …, T_{n})[Z_{j}^{(1)}, Z_{j}^{(2)}]/I_{2}

Las matrices de ambas homotecias están dadas por los coeficientes de los polinomios f_{j} y g_{j}. Puesto que los polinomios f_{j} y g_{j} son mónicos, se tiene, además, que las matrices tienen entradas en R[T_{1}, …, T_{n}]. Computamos ahora los coeficientes de los polinomios característicos de ambas homotecias:

H(Y_{1}) := X_{(X_{j}^{(1)}−X_{j}^{(2)})} = Y_{1}^{M} + a_{M−1}Y_{1}^{M−1} + ⋯ + a_{m}Y_{1}^{m} ∈ R[Y_{1}] (a_{m} ≠ 0)

G(Y_{2}) := X_{(Z_{j}^{(1)}−Z_{j}^{(2)})} = Y_{2}^{M} + b_{M−1}Y_{2}^{M−1} + ⋯ + b_{m′}Y_{2}^{m′} ∈ R_{i}[Y_{2}] (b_{m′} ≠ 0)

Si m = M, f_{j}(x_{j}^{(1)}) = f_{j}(x_{j}^{(2)}) implica x_{j}^{(1)} = x_{j}^{(2)}, y, por lo tanto, bastaría tomar Q_{j} := 1. Análogamente, en el caso m′ = M, podríamos considerar como solución el polinomio Q_{j} = T_{j}.

Por lo tanto, asumiremos m, m′ < M ≤ D^{2} y definimos:

H′(Y_{1}) := \frac{H(Y_{1})}{Y_{1}^{m}}  ,  G′(Y_{2}) := \frac{G(Y_{2})}{Y_{2}^{m′}}

Consideramos ahora la matriz M_{T_{j}Y_{1}+Y_{2}} de la homotecia definida por la multiplicación por T_{j}Y_{1} + Y_{2} en K(T_{1}, …, T_{n})[Y_{1}, Y_{2}]/(H′(Y_{1}), G′(Y_{2})). Esta matriz puede construirse, sin coste extra alguno, a partir de los coeficientes de H′ y G′. Las coordenadas de esta matriz pertenecen a R[T_{1}, …, T_{n}]. Consideramos ahora el polinomio

Q_{j}(T_{1}, …, T_{n}) := T_{j} det(M_{T_{j}Y_{1}+Y_{2}}),

que es un polinomio en R[T_{1}, …, T_{n}]. En primer lugar, hacemos ver que este polinomio es un polinomio no nulo, puesto que si desarrollamos el mismo en potencias de T_{j}, el término correspondiente a T_{j} se corresponde con det(M_{Y_{2}}), que es no nulo dado que G′ no posee a cero como raíz.

Afirmamos que este polinomio verifica las condiciones exigidas:

Sea, pues, (t_{1}, …, t_{n}) ∈ IK^{n} un punto que verifica la condición Q(t_{1}, …, t_{n}) ≠ 0. Sea J_{t} el ideal generado por los polinomios H′(t_{1}, …, t_{n}, Y_{1}) y G′(t_{1}, …, t_{n}, Y_{2}) en IK[Y_{1}, Y_{2}]. La condición det(M_{t_{j}Y_{1}+Y_{2}}) ≠ 0 implica que la forma lineal t_{j}Y_{1} + Y_{2} no es divisor de cero en IK[Y_{1}, Y_{2}]/J_{t} y que, por lo tanto, la misma forma lineal no pertenece a ningún primo asociado al ideal J_{t} Sean ahora, (x_{j}^{(1)}, z_{j}^{(1)}) ≠ (x_{j}^{(2)}, z_{j}^{(2)}) tales que

f_{j}(x_{j}^{(1)}) = f_{j}(x_{j}^{(2)}) = 0,  (3.3)
g_{j}(t_{1}, …, t_{n}, z_{j}^{(1)}) = g_{j}(t_{1}, …, t_{n}z_{j}^{(2)}) = 0.  (3.4)

Hemos de ver que t_{j}x_{j}^{(1)} + z_{j}^{(1)} ≠ t_{j}x_{j}^{(2)} + z_{j}^{(2)}.

En primer lugar, si x_{j}^{(1)} = x_{j}^{(2)}, se tendría que z_{j}^{(1)} ≠ z_{j}^{(2)} y nada habría que probar. En el caso z_{j}^{(1)} = z_{j}^{(2)}, dado que t_{j} ≠ 0, se sigue la desigualdad de manera obvia. Por lo tanto, podemos suponer que x_{j}^{(1)} ≠ x_{j}^{(2)} y z_{j}^{(1)} ≠ z_{j}^{(2)}. Las condiciones 3.3 y 3.4 implican que H(η_{(X{(1) \atop j}−X{(2) \atop j})}) = 0, G(η_{(Z{(1) \atop j}−Z{(2) \atop j})}) = 0 en los anillos cocientes

correspondientes. Por lo tanto, se concluye que H(x_{j}^{(1)} − x_{j}^{(2)}) = G(z_{j}^{(1)} − z_{j}^{(2)}) = 0. Como x_{j}^{(1)} ≠ x_{j}^{(2)} y z_{j}^{(1)} ≠ z_{j}^{(2)}, se tiene H′(x_{j}^{(1)} − x_{j}^{(2)}) = G′(z_{j}^{(1)} − z_{j}^{(2)}) = 0. Esta última condición nos permite concluir t_{j}x_{j}^{(1)} + z_{j}^{(1)} ≠ t_{j}x_{j}^{(2)} + z_{j}^{(2)}, dado que (x_{j}^{(1)} − x_{j}^{(2)}, z_{j}^{(1)} − z_{j}^{(2)}) es un ideal maximal de J_{t}.

Consideramos ahora el polinomio Q := ∏_{j=1}^{n} Q_{j} y veamos en primer lugar que este

polinomio verifica las propiedades requeridas, es decir, Q(t_{1}, …, t_{n}) ≠ 0 implica que la forma lineal u := t_{1}X_{1} + ⋯ + t_{n}X_{n} es elemento primitivo. Sean (x_{1}^{(1)}, …, x_{n}^{(1)} y (x_{1}^{(2)}, …, x_{n}^{(2)} dos puntos de V (I) distintos. Por lo tanto, existe un índice j tal que x_{j}^{(1)} ≠ (x_{j}^{(2)}. Sean

z_{j}^{(1)} := t_{1}x_{1}^{(1)} + ⋯ + t_{j−1}x_{j−1}^{(1)} + t_{j+1}x_{j+1}^{(1)} + ⋯ + t_{n}x_{n}^{(1)}

y

z_{j}^{(2)} := t_{1}x_{1}^{(2)} + ⋯ + t_{j−1}x_{j−1}^{(2)} + t_{j+1}x_{j+1}^{(2)} + ⋯ + t_{n}x_{n}^{(2)}

Por hipótesis,

f_{j}(x_{j}^{(1)}) = f_{j}(x_{j}^{(2)}
g_{j}(z_{j}^{(1)}) = g_{j}(z_{j}^{(2)}

Puesto que Q_{j}(t_{1}, …, t_{n}) ≠ 0, se sigue que, efectivamente

u((x_{1}^{(1)}, …, x_{n}^{(1)}) ≠ u((x_{1}^{(2)}, …, x_{n}^{(2)}).

Finalmente, consideramos la complejidad del proceso del cálculo de Q. Para ello, basta hacer notar que el proceso consta básicamente de cálculos de polinomios característicos de matrices que en ningún caso tienen tamaño superior a D^{4}. De esta observación y del hecho de que los polinomios de entrada vienen dados por un esquema de evaluación de talla L y profundidad ℓ, se deduce que Q puede representarse por un esquema de evaluación de talla (nDL)^{O(1)} y profundidad no-escalar O(log_{2}(nD) + ℓ.

Utilizando el test de Zippel–Schwartz, encontramos un punto (t_{1}, …, t_{n}) ∈ ZZ^{n} de talla binaria O(log_{2}(nD) + ℓ que verifica Q(t_{1}, …, t_{n}) ≠ 0. Este punto define un elemento primitivo para I. Lo único que resta es ver como calcular las parametrizaciones. Reemplazando en cada uno de los polinomios g_{j} las variables T_{1}, …, T_{n} por t_{1}, …, t_{n}, se obtienen polinomios h_{j} ∈ R[T] tales que h_{j}(Z_{j}) ∈ I. Sean ahora, para cada j ∈ {1, …, n}, f̃_{j} y h̃_{j}, representaciones separables de f_{j} y h_{j} respectivamente. Para calcular ρ_{j} y v_{j}, basta aplicar el Lema 54 a estos polinomios libres de cuadrados, tomando como forma lineal γ := t_{j}X_{j} + Z_{j}.

Puesto que hay que aplicar n veces (una por cada variable) el Lema 54 y teniendo en cuenta la talla y la profundidad no escalar del esquema de evaluación que representa los polinomios de entrada, se sigue el enunciado.

3.3 Números racionales y esquemas de evaluación

En las secciones anteriores de este Capítulo hemos tratado con esquemas de evaluación que representaban polinomios. En esta última Sección nos dedicamos a estudiar los esquemas de evaluación que representan números racionales.

En primer lugar, explicamos el porqué de considerar la estructura de datos esquema de evaluación para números enteros. Es bien sabido, debido a un Teorema de Liouville, que los números algebraicos son difíciles de aproximar:

Teorema 56 Sea α ∈ C\ Q un número algebraico de grado d y sea h una cota para la altura de los coeficientes de su polinomio mínimo primitivo. Entonces, existe una constante que sólo depende de α, c(α) tal que para todo a ∈ Q [i] (a = \frac{c+di}{q}, con c, d, q ∈ ZZ) tal que

∥a − α∥ > \frac{c(α)}{q^{d}}

La constante verifica

((d + 1)(2^{h} + 1))^{−(d+2)} ≤ c(α)

Combinando las desigualdades del Teorema anterior es fácil concluir:

Corolario 57 ([Pardo, 1995]) El método de Newton, con codificación binaria (o en codificación coma flotante) de enteros y racionales no puede obtener aproximaciones a ∈ Q [i] tales que :

|| α − a ||< ε = \frac{1}{2^{2^{dh}}}

en tiempo menor que EXTIME.

Sin embargo, este hecho no es producto de la convergencia cuadrática del método de Newton. Observése que el propio método de Newton establece un esquema de evaluación extremadamente eficaz. De otra forma, se puede decir que considerando la codificación por esquemas de evaluación para números enteros, se obtiene un número a ∈ Q [i] tal que

|| α − a ||< ε = \frac{1}{2^{2^{dh}}}

en tiempo (dh)^{O(1)}.

Dentro del estudio de los esquemas de evaluación para números enteros, estudiaremos dos problemas: de un lado, un test de nulidad probabilístico para los mismos y un proceso de reconstrucción de números racionales dados por esquemas de evaluación.

Teorema 58 ([Hägele – Montaña, 1996]) El test de equivalencia para enteros dados por esquemas de evaluación pertenece a la clase BP P.

Supongamos dado un esquema de evaluación Γ de talla L sobre ZZ. El algoritmo que está detrás de este enunciado puede ser formulado en los siguientes términos:

• Entrada: Γ

• Computar un conjunto D_{L} de 4L números enteros aleatorios entre 1 y 2^{2L}.

• Salida SI si, y sólo si, Γ ≡ 0 para todos los enteros de D_{L} y NO en caso contrario

Se observa que si la respuesta dada por el algoritmo es NO, esta es siempre verdadera. Por otro lado, en virtud de los resultados contenidos en [Hägele – Montaña, 1996], la probabilidad de error en el caso de que la respuesta sea afirmativa está acotada por (1 − \frac{1}{4L})^{4L}.

Teorema 59 Dados enteros U y V representados por un esquema de evaluación de talla L y una cota η para la altura logarítmica de una representación \frac{A}{B} de \frac{U}{V} con mcd(A, B) = 1, existe una máquina de Turing que en tiempo polinomial en Lη produce la representación bit de A y de B.

Demostración.– Damos un algoritmo que construye A y B.

i) Encontrar un número primo p > η con mcd(U, p) = mcd(V, p) = 1.

ii) Determinar Ū ≡ U mod. p^{2} y V̄ ≡ V mod. p^{2}.

iii) Encontrar una solución a, b de la congruencia aV̄ − bŪ ≡ 0 con a, b < p.

iv) Reducir a, b por mcd(a, b) si es necesario para obtener A, B.

Veamos que cualquier solución de la congruencia del apartado iii) verifica \frac{a}{b} = \frac{U}{V}. En primer lugar, es obvio, a partir del planteamiento del problema que existe al menos una solución de la congruencia verificando esta igualdad. Veamos que todas las demás lo verifican: Supongamos pues dadas dos soluciones (A, B) y (C, D) de iii). Como tanto U y V son no divisibles por p, es obvio que sus clases módulo p^{2} son unidades en ZZ/p^{2}ZZ y, por lo tanto, también x = Ū · V̄^{−1}. Por lo tanto, A ≡ Bx mod. p^{2} y C ≡ Dx mod. p^{2} >, de donde, AD − CB ≡ 0 mod. p^{2}. Como A, B, C y D son enteros positivos menores que p, AD − CB = 0 en ZZ. De los cuatro pasos del algoritmo, tan sólo el tercero requiere una análisis de complejidad un poco más detallado, por cuanto los otros tres está claro que pueden simularse por una máquina de Turing en tiempo polinomial en Lη. La solución viene dada por el siguiente teorema de Dixon:

Teorema 60 ([Dixon, 1982]) Sean s, h > 1 enteros y supongamos que existen enteros f, g tales que

gs ≡ f(mod h) and | f |, | g |≤ λ\sqrt{h}

donde λ = 0.618... es una raíz de λ^{2} + λ − 1 = 0. Sean w_{i}/v_{i} las fracciones convergentes a la fracción continua de s/h y sea u_{i} = v_{i}s − w_{i}h. Si k es el menor entero tal que | u_{k} |< \sqrt{h}, entonces f/g = u_{k}/v_{k}.

Un algoritmo para la resolución geométrica

4.1 Introducción y resultados principales

“mannier tellement les inconnues ou l’inconnue, que le carré et les plus hautes puissances de cette inconnue disparaissent de l’équation, et qu’il ne reste que l’inconnue au premier degré”

Así describe D’Alambert, con su habitual lucidez (según A. Weil en [Weil, 1984]) en su artículo Diophante de la Enciclopedia, los métodos desarrollados por Diophantus para la resolución de los conjuntos de ecuaciones que pretendía resolver.

La misma idea subyace como uno de los ejes centrales de la Teoría de la Eliminación. Consideramos, en primer lugar

Problema 6 (Nullstellensatz) Dados polinomios f_{1}, …, f_{s} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}], decidir si la variedad algebraica afín

V (f_{1}, …, f_{s}) := {x ∈ C^{n} : f_{1}(x) = ⋯ = f_{s}(x) = 0}

es vacía o no.

Como es bien sabido, el problema es equivalente a decidir si 1 ∈ (f_{1}, …, f_{s}), es decir, decidir si existen polinomios g_{1}, …, g_{n} ∈ Q[X_{1}, …, X_{n}] tales que 1 = g_{1}f_{1}+⋯+g_{s}f_{s}. Si somos capaces de conocer una cota apriorística sobre los grados de los polinomios g_{1}, …, g_{s}, reducimos el problema a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales.

Sin embargo, con ser esto importante, no es suficiente para resolver de manera eficaz sistemas de ecuaciones polinomiales. Si el tamaño de las matrices que deben manejar los algoritmos de resolución es muy grande, obviamente, las posibilidades de obtener una respuesta de los algoritmos decrece notablemente. Por lo tanto, uno de los objetivos prioritarios de cualquier algoritmo que trate con problemas de eliminación, ha de ser el de minimizar el tamaño del Algebra Lineal con el que trata. En este Capítulo presentamos un algoritmo que trabaja con matrices de tamaño determinado por el grado geométrico del sistema de ecuaciones polinomiales que tratamos. Así pues, en el caso de que tratemos un sistema de ecuaciones con grado pequeño, las matrices que aparecen en nuestros algoritmos serán también pequeñas, lo mismo que la altura de sus entradas, lo que hará que la complejidad de dichos algoritmos decrezca considerablemente.

En el caso de variedades afines, el grado de éstas puede ser mucho más pequeño que el número de Bézout y por lo tanto también el tamaño de las matrices a manipular. Recordemos, por ejemplo la variedad ya estudiada en el Capítulo 2 de esta memoria:

V_{1} := {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ C^{n} : x_{1}^{2} + x_{1} + 1 = 0, x_{2} − x_{1}^{2} = 0, …, x_{n−1} − x_{n}^{2} = 0},

o

V_{2} := {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ C^{n} : x_{1} − 2 = 0, x_{2} − x_{1}^{2} = 0, …, x_{n−1} − x_{n}^{2} = 0}.

En ambos casos, el grado es muy inferior al número de Bézout: 2 y 1, respectivamente, frente a 2^{n}.

De este hecho pretendemos aprovecharnos en el algoritmo que expondremos a continuación. Para ello, es básico también considerar el tipo de codificación usada para representar los polinomios que aparecen tanto como entradas, salidas o resultados intermedios del algoritmo. Fijémonos primero en lo que ocurre con la codificación densa (un polinomio se representa mediante su vector de coeficientes).

Consideramos en primer lugar lo que ocurre para los problemas de decisión, en particular, para el problema de decidir si una variedad dada es vacía o no. Supongamos dada una sucesión de polinomios f_{1}, …, f_{s} de grado acotado por d en n variables. Por lo tanto, la talla de la entrada viene dada por un vector de longitud sd^{n}, o sd^{n}h si consideramos la talla de los coeficientes de los polinomios y h es una cota para la altura logarítmica de los mismos. Se trata de ver, pues, si existen polinomios g_{1}, …, g_{s} en ZZ[X_{1}, …, X_{n}] y un entero a tales que

a = f_{1}g_{1} + ⋯ + f_{s}g_{s}.

Una larga historia tiene el estudio de cotas para los grados y la altura de los polinomios g_{1}, …, g_{s}. el primer resultado conocido en este sentido se remonta a los años veinte ([Hermann, 1926]). En él, se establecía una cota doblemente exponencial para el grado de los polinomios g_{i}, es decir, deg g_{i} ≤ d^{2^{n}}. Sin embargo, O.H. Keller y W. Gröbner conjeturaron que la cota de grado debía ser simplemente exponencial, es decir, deg g_{i} ≤ d^{n}. Por otro lado, en los años setenta, una cota del mismo tipo (doblemente exponencial) se pudo probar para la altura de los polinomios ([Masser – Wüstholz, 1971]).

La conjetura de Keller y Gröbner se demostró en 1986 ([Brownawell, 1987]) para el caso de los números complejos. El mismo resultado fue establecido en el caso general en [Caniglia et al., 1988] y refinado posteriormente en [Kollár, 1988] y [Sabia – Solernó, 1996]. Se llega, de esta manera, a desigualdades del tipo deg(f_{i} · g_{i}) ≤ {3, d}^{n}. En cuanto a la altura de los polinomios, en [Berenstein – Yger, 1991b] y en [Krick – Pardo, 1996] se prueba una cota del tipo d^{n} para la altura de los polinomios.

La cota de grado simplemente exponencial implica, en primer lugar, que si la variedad es vacía y pretendemos dar los polinomios que verifican la igualdad a = f_{1}g_{1} + ⋯ + f_{s}g_{s} necesitamos un vector de coeficientes de talla sd^{n^{2}}. Por otro lado se tiene que, para decidir si la variedad definida por los polinomios dados f_{1}, …, f_{n} es vacía o no, debemos resolver sistemas de ecuaciones de tamaño d^{O(n^{2})}, lo que lleva a una complejidad de la decisión que es exponencial en el tamaño de la entrada. Además, esta cota sobre los grados es casi óptima como lo demuestra el siguiente ejemplo que ha sido considerado por varios autores (D. Lazard, T. Mora, W. Masser, P. Philippon entre otros):

Proposición 61 Consideremos los polinomios f_{1} := X_{1}^{d}, f_{2} := X_{1}−X_{2}^{d}, …, f_{n−1} := X_{n−2}−X_{n−1}^{d}, f_{n} := 1−X_{n−1}X_{n}^{d−1} ∈ Q[X_{1}, …, X_{n}] que no poseen ningún cero común

en C^{n}. Si 1 = ∑_{i=1}^{n} g_{i}f_{i}, deg g_{1} ≥ d^{n} − d^{n−1}.

Este ejemplo implica que la codificación densa ha alcanzado, en cierto modo sus límites y que, por lo tanto, había que buscar alternativas. En esa dirección, en [Giusti et al., 1993], se prueba que el mismo problema (decidir si s polinomios dados en n variables de grado acotado por d definen o no una variedad vacía) puede decidirse en s^{O(1)}d^{O(n)} operaciones aritméticas. Además, en caso de que la variedad sea vacía, los polinomios que expresan 1 como combinación lineal de los polinomios de entrada (dados en codificación densa) pueden evaluarse por un esquema de evaluación bien paralelizable de talla s^{O(1)}d^{O(n)}. Sin embargo, el grado de estos polinomios es, en este caso, doblemente exponencial. Posteriormente, en [Fitchas et al., 1995] se reduce el grado de los polinomios a d^{O(n)}, usando la dualidad, pero perdiendo el carácter bien paralelizable del esquema de evaluación que los evalúa. Finalmente, en [Krick – Pardo, 1996] se resuelve este último problema, mediante el uso de la profundidad no escalar. Así, se prueba que, en las mismas condiciones que anteriormente, se puede resolver el Nullstellensatz por una máquina de Turing probabilística de error acotado en tiempo polinomial en el tamaño de la entrada.

Finalmente, presentamos en esta memoria un resultado para el Nullstellensatz cuando los polinomios de entrada están dados por un esquema de evaluación: Este resultado es de tipo intrínseco y tanto las cotas de grado como de complejidad, dependen básicamente del grado del sistema de polinomios de entrada.

En cuanto a la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales es típico el uso de bases de Gröbner, pero su complejidad es típicamente doblemente exponencial. Para evitar esta alta complejidad, en [Giusti – Heintz, 1993], se introducen los esquemas de evaluación para codificar tanto los resultados intermedios como las salidas de los algoritmos, obteniendo que : “Une variété algébrique étant donnée par équations, le calcul de la dimension, sa mise en position de Noether et la détermination de ses points isolés peuvent se faire en temps polynomial par rapport à la entrée, et ce de manière non–uniforme”.

Aquí, polinomial quiere decir, de nuevo, que se realizan s^{O(1)}d^{O(n)} operaciones aritméticas. En nuestro caso, cuando el cuerpo de base es el cuerpo de los números racionales y admitiendo que el sistema de entrada sea representado por un esquema de evaluación, obtenemos una complejidad Turing para la resolución de una variedad cero dimensional que es polinomial en parámetros sintácticos, tales como el grado, la talla del esquema de evaluación o el número de variables y en parámetros de tipo intrínseco: el grado y la altura geométrica del sistema.

Finalizamos esta introducción, señalando que cuando se considera la estructura de datos “esquema de evaluación”para codificar todos los polinomios que aparecen en los procesos de eliminación, las cotas inferiores que se obtienen son relativas. Por ejemplo, una primera cota inferior relativa obvia es :

Proposición 62 Si existe una máquina de Turing que resuelve el Nullstellensatz en tiempo polinomial en el tamaño de la entrada (dada en esquema de evaluación), P = NP.

La razón de este hecho se encuentra en el 3SAT cuya codificación como esquema de evaluación es del orden O(n) y es un conocido problema NP –completo ([Pardo, 1995]). También, se pueden obtener cotas inferiores del mismo tipo para los problemas de eliminación (véase [Heintz – Morgenstern, 1993]). En concreto, en el artículo referenciado se hace uso de la U–resultante y del Permanente.

En la pequeña introducción a este Capítulo, se han esbozado ya los principales resultados contenidos en el mismo. A continuación, establecemos enunciados precisos. En primer lugar, enunciamos los resultados concernientes a la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales, tanto en el caso de variedades cero dimensionales como en el caso de variedades de dimensión positiva.

Antes de enunciar los resultados, precisamos algunas notaciones. Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] polinomios dados por un esquema de evaluación de talla L, profundidad no escalar ℓ y con parámetros de talla h′. Supongamos, además que dichos polinomios tienen grado acotado por d y que definen una variedad algebraica de dimensión n−s. Por la Proposición 30, podemos asumir que los mismos se encuentran en posición general con respecto al ideal que generan.

Si V_{i} denota la variedad algebraica definida por los polinomios f_{1}, …, f_{i}, definimos • δ_{i} := deg(V_{i}),

• δ := max{δ_{i} : 1 ≤ i ≤ s}.

• η_{i} := ht_{V_{i}}(C)

• η = max{η_{i} : 1 ≤ i ≤ s} , donde C = O((log_{2}n + ℓ)log_{2}δ),

Teorema 63 (Resolución cero dimensional) Sea dada una sucesión de polinomios, f_{1}, …, f_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}], que define una variedad algebraica cerodimensional V en C^{n}. Supongamos que los polinomios vienen dados por un esquema de evaluación de talla L y que d es una cota sobre los grados de los mismos. Entonces, existe una máquina de Turing probabilística de error acotado que en tiempo polinomial en ndLδ produce una resolución geométrica de V. Si queremos escribir la codificación binaria de los coeficientes de dicha resolución, el tiempo es polinomial en ndLδη_{0}, siendo η_{0} la altura de la variedad afín cerodimensional V.

En el resultado anterior se supone que todos los enteros que conforman la resolución geométrica de la variedad vienen representados por esquemas de evaluación.

Observación 64 En [Matera, 1997], G. Matera hace un estudio pormenorizado del algoritmo que demuestra este resultado en términos de espacio de memoria requerido por el mismo. El espacio de memoria requerido por el algoritmo es del orden O(nlog_{2}(nδ)(ℓ+log_{2}(ηnhδ))). En el caso del estudio de G. Matera, todos los enteros se codifican en binario y no mediante esquemas de evaluación.

Por otro lado, en el desarrollo del algoritmo, que sigue un argumento inductivo en la codimensión, se obtienen también cada una de las resoluciones geométricas de las variedades intermedias. Por lo tanto, se tiene:

Teorema 65 (Resolución en dimensión positiva) Supongamos dada una sucesión de polinomios f_{1}, …, f_{s} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] que define una variedad algebraica n − s dimensional V en C^{n}. Sea δ := max{deg V (f_{1}, …, f_{i})} y sea η la altura de V. Entonces, existe una máquina de Turing probabilística de error acotado que en tiempo polinomial en ndLδ produce una resolución geométrica de V. Si queremos escribir la codificación binaria de los coeficientes de dicha resolución, el tiempo es polinomial en ndLδη.

A partir de los resultados anteriores, se deriva un resultado del mismo tipo para la decisión de la consistencia de sistemas de ecuaciones polinomiales

Teorema 66 La misma cota de complejidad se verifica a la hora de testar si una variedad es vacía o no.

Como expresábamos anteriormente, uno de los objetivos centrales de los algoritmos que demuestran los resultados enunciados y que se desarrollan en este Capítulo es el de minimizar la talla de las matrices que manipulan los mismos. En estos algoritmos, la talla del álgebra lineal viene determinada, básicamente por el grado geométrico del sistema y por el grado de los polinomios involucrados, siendo del orden (dδ)^{O(1)}, es decir, polinomial en d y δ. Por otro lado, nuestros algoritmos trabajan sistemáticamente con variedades algebraicas cero dimensionales, utilizando para ello especializaciones de las variables libres en puntos de talla binaria moderada (y, por lo tanto, con codificación en esquemas de evaluación no muy grande). La transición entre las variedades cero dimensionales y las variedades de dimensión positiva viene dada por una aplicación coherente de una versión de la iteración de Newton–Hensel.

En otro orden de cosas, la cota superior expuesta para el problema de consistencia, nos permite concluir resultados del tipo:

Corolario 67 Si existe algún problema NP -completo que admite un grado δ polinomial, se tiene que BP P = NP.

Obsérvese que, por ejemplo, este no es el caso de los problemas NP –completos que hemos estudiado a lo largo de la memoria (3SAT y problema de la mochila) cuyo δ es igual a 2^{n}.

4.2 Paso inductivo del algoritmo

Describimos en esta Sección el algoritmo que demuestra el Teorema 63. En primer lugar, podemos suponer, basándonos en las técnicas desarrolladas en la Sección 2.5 que la entrada de nuestro algoritmo es una sucesión regular reducida de polinomios.

Por lo tanto, supondremos, sin restricción de generalidad, que la entrada de nuestro algoritmo es una sucesión regular reducida de polinomios f_{1}, …, f_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] con grado acotado por d. Supongamos, además, que tales polinomios son representados por un esquema de evaluación sin divisiones Γ de talla L, profundidad no escalar ℓ y parámetros de talla acotada por h. El algoritmo producirá una resolución geométrica de la variedad cero dimensional V := V (f_{1}, …, f_{n}) ⊆ C^{n}.

En el desarrollo del algoritmo haremos uso de las variedades intermedias V_{i} := V (f_{1}, …, f_{i}) que, en virtud de las hipótesis, son variedades intersección completa. Introducimos, por otro lado, los siguientes parámetros :

• δ_{i} := deg(V_{i}),

• δ := max{δ_{i} : 1 ≤ i ≤ n}.

• η_{i} := ht_{V_{i}}(C), donde C = O((log_{2}n + ℓ)log_{2}δ),

• η := max{η_{i} : 1 ≤ i ≤ n}.

En el transcurso del algoritmo obtendremos, como resultados intermedios, cada una de las resoluciones geométricas de las variedades V_{i}. De hecho, para cada i, el algoritmo computará un cambio lineal de coordenadas

(Y_{1}^{(i)}, …, Y_{n}^{(i)}) ⟷ (X_{1}, …, X_{n})

tal que la extensión de anillos:

R_{i} := Q [Y_{1}^{(i)}, …, Y_{n−i}^{(i)}] ⟶ B_{i} := Q [Y_{1}^{(i)}, …, Y_{n}^{(i)}]/(f_{1}, …, f_{i})

es entera. Además, el R_{i}−módulo B_{i} es un módulo libre de rango D_{i} ≤ δ_{i}. Sea π_{i} : V_{i} ⟶ C^{n−i} la proyección sobre las n − i primeras coordenadas de entre (Y_{1}^{(i)}, …, Y_{n}^{(i)}).

A partir de la normalización de Noether de la variedad intermedia V_{i}, un punto bien escogido, nos permite reducir la resolución de V_{i} a la resolución de una fibra.

Definición 68 Con estas nociones fijadas, un punto P_{i} ∈ ZZ^{n−i} se dice punto de “levantamiento”para V_{i} con respecto al morfismo π_{i} si :

• El rango de la fibra cero dimensional V_{P_{i}} := π_{i}^{−1}({P_{i}}) es igual al rango de B_{i} como R_{i}−módulo libre (es decir, #V_{P_{i}} = deg(V_{P_{i}}) = D_{i}).

• La fibra V_{P_{i}} sólo contiene puntos lisos de V_{i}. Bajo nuestras hipótesis, esto significa que la matriz jacobiana de f_{1}, …, f_{i} es regular en todos los puntos de la fibra.

A la fibra V_{P_{i}} la llamaremos fibra de levantamiento para V_{i}.

Observamos, en primer lugar, que la condición de que todos los puntos de la fibra sean lisos garantiza que P_{i} es un punto del levantamiento, en virtud de la Proposición 28. Esta última condición es obviamente equivalente a la siguiente:

el término independiente del polinomio característico del determinante de la matriz jacobiana no se anula en P_{i}.

Estas fibras así definidas tienen la propiedad de que una vez conocida la resolución geométrica de una de ellas, podemos obtener la resolución geométrica de la variedad V_{i}. Por lo tanto, la información sobre la estructura de la variedad especializada en un punto bien elegido (punto de levantamiento), nos permite reconstruir la estructura de la variedad original, es decir, nos permite “levantar”la información.

El paso inductivo del algoritmo realiza lo siguiente: a partir de un punto del levantamiento P_{i} ∈ ZZ^{n−i} y los números enteros que describen la resolución geométrica de V_{P_{i}}, computa un punto de levantamiento para V_{i+1}, P_{i+1} ∈ ZZn − i − 1, así como la correspondiente resolución geométrica de la fibra V_{P_{i+1}}. Dividiremos este paso inductivo en :

i) De dimensión cero a dimensión positiva: Obtención de la resolución geométrica de V_{i} a partir de P_{i}, de una normalización de Noether de V_{i} y de la resolución geométrica de V_{P_{i}}.

ii) De dimensión positiva a dimensión cero:

• Normalización de Noether de V_{i+1}

• Elección de un punto de levantamiento para V_{i+1}.

• Obtención de la resolución geométrica de la fibra de levantamiento correspondiente al punto elegido.

Llegados a este punto, conviene hacer una pequeña observación: dado que V_{P_{i}} tiene grado rank_{R_{i}}(B_{i}), toda forma lineal u_{i} := λ_{i,1}Y_{1}^{(i)} + ⋯ + λ_{i,n}Y_{n}^{(i)} que separe los puntos de V_{P_{i}} es elemento primitivo de la extensión de anillos R_{i} ⊆ B_{i}. Nuestro algoritmo computará una resolución geométrica tanto de V_{P_{i}} como de V_{i} con respecto a un mismo elemento primitivo adecuadamente elegido. Por otro lado, concluimos este pequeño inciso señalando que la longitud bit de la resolución geométrica de V_{P_{i}} está acotado (por la definición de resolución geométrica) por

(i + 1)(δ_{i} + 2)η_{i}

Finalmente, señalamos que el resultado que obtendremos para el paso inductivo del algoritmo puede formularse en los siguientes términos:

Proposición 69 Existe una máquina de Turing probabilística que en tiempo polinomial en idδ_{i}L y teniendo como entrada la codificación en esquema de evaluación de los enteros que definen

• una normalización de Noether V_{i},

• un punto de “levantamiento”P_{i} y

• resolución geométrica de la fibra V_{P_{i}},

produce

• un cambio lineal de las variables (X_{1}, …, X_{n}) ⟶ (Y_{1}^{(i+1)}, …, Y_{n}^{(i+1)}) tales que las nuevas variables Y_{1}^{(i+1)}, …, Y_{n}^{(i+1)} están en posición de Noether con respecto a la variedad V_{i+1}, • un punto del levantamiento P_{i+1} para V_{i+1} y

• una resolución geométrica de la fibra V_{P_{i+1}}.

De nuevo, todos estos números enteros, vienen codificados por un esquema de evaluación de talla (idδ_{i}L)^{O(1)}.

Observación 70 Si por alguna circunstancia concreta se precisa la codificación binaria de los enteros que aparecen en los enunciados anteriores, la máquina de Turing probabilística correspondiente resolvería el problema en tiempo polinomial en idδ_{i}Lη_{i+1}.

4.2.1 De dimensión cero a dimensión positiva

La idea de usar una versión simbólica de la iteración de Newton–Hensel puede encontrarse en [Giusti et al., 1995a] y desarrollada en [Giusti et al., 1997]. En el primer caso, era preciso el uso de números algebraicos, mientras que en el segundo, el “trabajo”se efectuaba en el cuerpo de base. Este uso de Newton–Hensel hace que se puedan reducir todas las cuestiones referentes a la resolución de variedades intersección completa a la resolución de variedades cero dimensionales. De hecho, el Teorema que sigue expresa este hecho: a través de la resolución de la fibra del levantamiento, podemos conocer completamente la resolución geométrica de la variedad de dimensión positiva. En el desarrollo de esta sección seguiremos lo expuesto en [Giusti et al., 1997].

Fijemos 1 ≤ i ≤ n y sea r := n − i. Con las convenciones y notaciones introducidas al comienzo del Capítulo, el resultado principal de esta sección puede establecerse como sigue:

Teorema 71 Existe un esquema de evaluación sin divisiones Γ_{i} de talla (idδ_{i}L)^{O(1)}, profundidad no escalar O((log_{2}i+ℓ)log_{2}δ_{i}) y que, a partir del esquema de evaluación que representa los enteros que conforman la resolución geométrica de V_{P_{i}}, representa

• el polinomio mínimo primitivo q_{i} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n−i}, u_{i}] de u_{i} módulo el ideal I_{i} = (f_{1}, …, f_{i})

• polinomios ρ_{n−i+1}^{(i)}, …, ρ_{n}^{(i)} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n−i}], ρ := ∏_{k=n−i+1}^{n} ρ_{k}^{(i)} y polinomios

v_{r+1}^{(i)}, …, v_{n}^{(i)} ∈ k[X_{1}, …, X_{n−i}, u_{i}] que verifican las condiciones

I_{ρ} = (q_{i}(u_{i}), ρ_{r+1}^{(i)}X_{r+1} − v_{r+1}^{(i)}(u_{i}), …, ρ_{n}^{(i)}X_{n} − v_{n}^{(i)}(u_{i}))_{ρ}
max{deg_{u} v_{j}^{(i)} ; r < j ≤ n} < δ_{i}.

De hecho, Γ_{i} representa los coeficientes de q_{i} y v_{r+1}^{(i)}, …, v_{n}^{(i)}con respecto a u_{i}.

La misma demostración del Teorema anterior se puede aplicar para calcular el polinomio de Chow de la variedad V_{i} a partir de los coeficientes del polinomio de Chow de la fibra del levantamiento. Recordemos que el polinomio de Chow de la variedad V_{i} es el polinomio mínimo de una forma lineal genérica U := U_{n−i}X_{n−i} + ⋯ + U_{n}X_{n} módulo el ideal I_{i}.

Teorema 72 Existe un esquema de evaluación sin divisiones Γ_{i} de talla (idδ_{i}L)^{O(1)}, profundidad no escalar O((log_{2}i + ℓ)log_{2}δ_{i}) y que, a partir de los coeficientes del polinomio de Chow de la fibra V_{P_{i}} representa los coeficientes del polinomio de Chow de la variedad V_{i}.

Demostración de la Proposición 72.- Supongamos que las variables (X_{1}, …, X_{n}) = (Y_{1}^{(i)}, …, Y_{n}^{(i)}) están ya en posición de Noether con respecto a la variedad V_{i}. Por lo tanto,

R_{i} := Q [X_{1}, …, X_{n−i}] ↪ B_{i} := Q [X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{i})

es una extensión entera de anillos.

Sea P_{i} = (p_{1}, …, p_{n−i}) ∈ ZZ^{n−i} un punto de levantamiento y V_{P_{i}} := π_{i}^{−1}({P_{i}}) la fibra de levantamiento correspondiente para la variedad V_{i}. Se tiene deg V_{P_{i}} = D_{i} = rank_{R_{i}}B_{i} ≤ deg V_{i} = δ_{i}. Sea u_{i} = λ_{n−i+1}X_{n−i+1} + ⋯ + λ_{n}X_{n} un elemento primitivo para V_{P_{i}} (es decir, u_{i} separa los puntos de V_{P_{i}}). Esta forma lineal es también un elemento primitivo para la extensión de anillos R_{i} ⊂ B_{i}. Esto es cierto dado que el polinomio mínimo de ū_{i} ∈ B_{i} tiene grado a lo más el cardinal de u_{i}(V_{P_{i}}).

Supongamos, además, que conocemos una resolución geométrica de V_{P_{i}}, es decir, conocemos explícitamente (por su representación en esquema de evaluación):

• los coeficientes del polinomio mínimo primitivo del elemento primitivo u_{i} de Q [V_{P_{i}}], q ∈ ZZ[T],

• los coeficientes de polinomios v_{n−i+1}, …, v_{n} ∈ ZZ[T] y enteros ρ_{n−i+1}, , …, , ρ_{n} tales que las ecuaciones

X_{1} − p_{1} = 0, …, X_{n−i} − p_{n−i} = 0, q(T) = 0,
ρ_{n−i+1}X_{n−i+1} − v_{n−i+1}(T) = 0, …, ρ_{n}X_{n} − v_{n}(T) = 0,

constituyen una parametrización de la variedad V_{P_{i}}.

Es importante señalar que los polinomios que aparecen en la parametrización anterior (v_{n−i+1}, , …, v_{n}) tienen todos grado estrictamente inferior a δ_{i}.

Sea a ∈ ZZ el coeficiente director de q.

Consideramos ahora f_{1}, …, f_{i} como polinomios en las variables X_{n−i+1}, …, X_{n}, es decir, como elementos del anillo de polinomios R_{i}[X_{n−i+1}, …, X_{n}]. Sea f := (f_{1}, …, f_{i}) y

D(f) := (\frac{∂f_{k}}{∂X_{j}} )_{{1≤k≤i \atop n−i+1≤j≤n}}

la correspondiente matriz jacobiana de f (con respecto a las variables dependientes X_{n−i+1}, …, X_{n}). Recordemos que el operador de Newton con respecto a a estas mismas variables viene dado por

N_{f} = ( X_{n−i+1} ; ⋮ ; X_{n} ) − D(f)^{−1} ( f_{1} ; ⋮ ; f_{i} ) .

Si k es un número natural, existen numeradores g_{n−i+1}, …, g_{n} y un denominador (obviamente distinto de cero) h en R_{i}[X_{n−i+1}, …, X_{n}] tales que la k–ésima iteración de Newton es de la forma:

N_{f}^{k} = ( ⋮_{\frac{g_{n}}{h}}^{\frac{g_{n−i+1}}{h}} ) .

Sean M_{X_{n−i+1}}, …, M_{X_{n}} las matrices que describen los tensores de multiplicación de la Q -álgebra Q [V_{P_{i}}]. Puesto que conocemos los enteros y los coeficientes de los polinomios que aparecen en la resolución geométrica de la fibra V_{P_{i}}, las entradas de estas matrices son también conocidas.

Sea M la matriz compañera del polinomio a^{−1}q(T) ∈ Q [T] y sea n − i + 1 ≤ j ≤ n. Por las propiedades de ρ_{j} y de v_{j}, es obvio que:

ρ_{j}M_{X_{j}} = v_{j}(M).

Aun más, los coeficientes de las matrices ρ_{j}a^{D_{i}−1}M_{X_{j}} son enteros. Sea k := 1+log_{2}δ_{i}. Entonces, k ≥ 1 + log_{2}D_{i}. El esquema de evaluación Γ_{i} ejecuta k iteraciones de Newton en una subrutina que explicamos a continuación: Consideremos el siguiente vector columna de matrices N_{n−i+1}, …, N_{n} con coeficientes en Q (X_{1}, …, X_{n−i}):

( N_{n−i+1} ; ⋮ ; N_{n} ) := N_{f}^{k}(\underline{M}) = ( ⋮_{\frac{g_{n}(X_{1},...,X_{n−i},\underline{M})}{h(X_{1},...,X_{n−i},\underline{M})}}^{\frac{g_{n−i+1}(X_{1},...,X_{n−i},\underline{M})}{h(X_{1},...,X_{n−i},\underline{M})}} ) ,

donde \underline{M} = (M_{X_{n−i+1}}, …, M_{X_{n}}) y g_{n−i+1}, …, g_{n} son los numeradores y h el denominador del Lema 53. Finalmente, consideremos la matriz

M := u_{i}(N_{n−i+1}, …, N_{n}) = λ_{n−i+1}N_{n−i+1} + ⋯ + λ_{n}N_{n}.

Los coeficientes de esta matriz son funciones racionales de Q(X_{1}, …, X_{n−i}). Puesto que P_{i} = (p_{1}, …, p_{n−i}) es un punto de levantamiento, se deduce fácilmente que, de hecho, las entradas de M pertenecen al anillo local

R_{P_{i}} := (R_{i})_{(X_{1}−p_{1},...,X_{n−i}−p_{n−i})} = Q [X_{1}, …, X_{n−i}]_{(X_{1}−p_{1},...,X_{n−i}−p_{n−i})}.

Sea T una nueva variable. Con estas notaciones e hipótesis se tiene:

Lema 73 Sea χ ∈ Q (X_{1}, …, X_{n−i})[T] el polinomio característico de M y m_{u_{i}} ∈ R_{i}[T] la ecuación minimal de dependencia entera del elemento primitivo u_{i} de B_{i}

sobre R_{i}. Sea χ(T) = T^{D_{i}} + ∑_{k=0}^{D_{i}−1} a_{k}T^{k} y m_{u_{i}} = T^{D_{i}} + ∑_{k=0}^{D_{i}−1} b_{k}T^{k} con a_{k}, b_{k} ∈

Q (X_{1}, …, X_{n−i}) para 0 ≤ k ≤ D_{i} − 1. Entonces, todos estos coeficientes satisfacen la condición

ord_{P_{i}}(a_{k} − b_{k}) ≥ δ_{i} + 1,

donde ord_{P_{i}} denota el orden usual del anillo local R_{P_{i}}.

Demostración.– Sea V_{P_{i}} = {ξ_{1}, …, ξ_{D_{i}}} y fijemos 1 ≤ l ≤ D_{i}. Denotamos ζ_{l} :=

u_{i}(ξ_{l}). Sabemos que m_{u_{i}}(p_{1}, …, p_{n}, T) = ∏_{l=1}^{D_{i}}(T − ζ_{l}). Por lo tanto, del Teorema de

Funciones Implícitas (34), se deduce que, para todo l ∈ {1, …, D_{i}}, existe una serie formal u^{(l)} que verifica:

• u^{(l)}(P_{i}) = ζ_{l}

• m_{u_{i}}(X_{1}, …, X_{n−i}, u^{(l)}) = 0 se verifica en C[[X_{1} − p_{1}, …, X_{n−i} − p_{n−i}]]

Como u^{(l)}(P) = ζ_{l} y #{ζ_{1}, …, ζ_{D_{i}}} = D_{i}, los u^{(l)} son todos distintos. Dado que m_{u_{i}} es un polinomio mónico de grado exactamente D_{i}, se tiene que

m_{u_{i}} = ∏_{1≤l≤D_{i}}(T − u^{(l)})  (4.1)

Por supuesto, esta última identidad se verifica en el anillo C[[X_{1} − p_{1}, …, X_{n−i} − p_{n−i}]][T].

Consideremos ahora la construcción anterior que produce la matriz M ∈ (R_{P_{i}})^{D_{i}×D_{i}} a partir de la matriz de la matriz M ∈ Q ^{D_{i}×D_{i}} (recordemos que M es la matriz compañera del polinomio a^{−1}q(T) ∈ Q [T]). La misma construcción transforma los D_{i} valores propios distintos de la matriz diagonalizable M, es decir los valores ζ_{l} = U_{i}(ξ_{l}), 1 ≤ l ≤ D_{i}, en valores propios de M. (Obsérvese que por construcción M es una función racional en la matriz M y que, por lo tanto, la misma función racional aplicada a cualquier valor propio de M produce un valor propio de M).

De esta manera se obtienen D_{i} funciones racionales distintas ũ^{(l)} ∈ C(X_{1}, …, X_{n−i}), que son valores propios de M. De hecho, estas funciones racionales están todas ellas bien definidas en el punto P_{i}, lo que implica que

ũ^{(l)} ∈ C[X_{1}, …, X_{n−i}]_{(X_{1}−p_{1},...,X_{n−i}−p_{n−i})}.

Para 1 ≤ l ≤ D_{i} las funciones racionales ũ^{(l)} pueden interpretarse, por lo tanto, como elementos del anillo de series de potencias formales C[[X_{1} − p_{1}, …, X_{n−i} − p_{n−i}]]. Como tales, verifican en ese mismo anillo las relaciones de congruencia

u^{(l)} − ũ^{(l)} ∈ (X_{1} − p_{1}, …, X_{n−i} − p_{n−i})^{δ_{i}+1}.  (4.2)

Consideremos el polinomio característico χ de la matriz M, que es un polinomio con coeficientes en Q (X_{1} − p_{1}, …, X_{n−i} − p_{n−i})[T] mónico en T de grado exactamente D_{i}. Dado que los coeficientes de la matriz M pertenecen al anillo local R_{P_{i}} = Q [X_{1}, …, X_{n−i}]_{(X_{1}−p_{1},...,X_{n−i}−p_{n−i})}, los coeficientes de χ también. Así pues, χ puede interpretarse como un polinomio en la variable T con coeficientes en el anillo de series de potencias formales Q [[X_{1} − p_{1}, …, X_{n−i} − p_{n−i}]]. Dado que las funciones racionales ũ^{(1)}, …, ũ^{(D_{i})} representan D_{i} valores propios distintos de M se deduce que

χ(T) = ∏_{1≤l≤D_{i}}(T − ũ^{(l)})  (4.3)

Denotemos por σ_{k} la k–ésima función simétrica elemental con D_{i} argumentos. La identidad (4.3) implica que para 0 ≤ k ≤ D_{i} − 1 , el coeficiente a_{k} de χ(T) puede ser escrito como a_{k} = (−1)^{D_{i}−k}σ_{k}(ũ^{(1)}, …, ũ^{(D_{i})}). De la identidad (4.1) se deduce que el k–ésimo coeficiente b_{k} del polinomio m_{u_{i}} satisface la ecuación b_{k} = (−1)^{D_{i}−k}σ_{k}(u^{(1)}, …, u^{(D_{i})}). De las relaciones de congruencia (4.2) y de las identidades (4.1) y (4.3) se concluye que para 0 ≤ k ≤ D_{i} − 1 las relaciones de congruencia

a_{k} − b_{k} ∈ (X_{1} − p_{1}, …, X_{n−i} − p_{n−i})^{δ_{i}+1}  (4.4)

se verifican en Q [[X_{1} − p_{1}, …, X_{n−i} − p_{n−i}]], lo que finiquita la demostración del lema.

Tras el Lema anterior, continuamos la prueba del Teorema 72. Para ver cómo evaluar los coeficientes de χ, consideramos θ := det(h(\underline{M})) ∈ R_{i} y la matriz

M_{1} := θM.

Esta matriz M_{1} tiene sus coeficientes en R_{i}. Además se verifican las identidades

χ = det(T · Id_{D_{i}} − M) = det(T · Id_{D_{i}} − θ^{−1}M_{1}) = θ^{−D_{i}}det((θT)Id_{D_{i}} − M_{1}).

Sea ϕ(T) = T^{D_{i}} + ϕ_{D_{i}−1}T^{D_{i}−1} + ⋯ + ϕ_{0} ∈ R_{i}[T] el polinomio característico de M_{1}. De acuerdo a las identidades anteriores, se deduce que para todo 0 ≤ k ≤ D_{i} − 1 el k–ésimo coeficiente de χ se puede escribir de la siguiente manera

a_{k} = \frac{θ^{k}ϕ_{k}}{θ^{D_{i}}} .

La ejecución de k = 1 + log_{2}δ_{i} pasos de la iteración de Newton descrita al inicio de la demostración para producir las entradas de las matrices M, θ, M y M_{1} (en este orden y la aplicación del Lema 37 produce un esquema de evaluación Γ′_{i} en Q[X_{1}, …, X_{n−i}] de talla O(log_{2}δ_{i}d^{3}i^{6}L) y profundidad no escalar O((log_{2}i+ℓ)log_{2}δ_{i}). Γ′_{i} evalúa la familia de polinomios 1, θ, …, θ^{D_{i}}, ϕ_{0}, …, ϕ_{D_{i}−1} ∈ R_{i}.

Ahora, aplicando la técnica de evitación de divisiones de Strassen (Proposición 50 de esta memoria) se obtiene un esquema de evaluación sin divisiones Γ′′_{i} en Q [X_{1}, …, X_{n−i}] de talla (idδ_{i}L)^{O(1)}, profundidad no escalar O((log_{2}i + ℓ)log_{2}δ_{i}) que a partir del esquema de evaluación que evalúa los enteros que conforman la resolución geométrica de v_{P_{i}}, evalúa para cada 0 ≤ k ≤ D_{i} − 1 el desarrollo de a_{k} en Q [[X_{1} − p_{1}, …, X_{n−i} − p_{n−i}]] hasta términos de grado δ_{i} + 1. Teniendo en cuenta las relaciones de congruencia (4.4) se puede ver que el esquema de evaluación sin divisiones Γ′′_{i} evalúa polinomios g_{0}, …, g_{D_{i}−1} ∈ Q [X_{1}, …, X_{n−i}] tales que

b_{k} − g_{k} ∈ (X_{1} − p_{1}, …, X_{n−i} − p_{n−i})^{δ_{i}+1}

en Q [[X_{1} − p_{1}, …, X_{n−i} − p_{n−i}]] para cualquier 0 ≤ k ≤ D_{i} − 1. Puesto que los grados de los coeficientes b_{k} del polinomio minímo m_{u_{i}} ∈ R_{i}[T] están acotados por δ_{i}, se concluye que

b_{k} = g_{k}

para cualquier 0 ≤ k ≤ D_{i} − 1. Esto significa que el esquema de evaluación sin divisiones Γ′′_{i} computa los coeficientes del polinomio q_{i} := m_{u_{i}} ∈ Q[X_{1}, …, X_{r}, U_{i}] = R_{i}[U_{i}].

Para computar las parametrizaciones v_{n−i+1}^{(i)}, …, v_{n}^{(i)} ∈ Q [X_{1}, …, X_{n−i}, T] debemos usar el mismo tipo de técnicas unidas a las desarrolladas en el Lema 54 y que han sido tomadas de [Krick – Pardo, 1996]. De manera precisa:

Sea n−i+1 ≤ k ≤ n y sea m_{X_{k}} ∈ R_{i}[X_{k}] el polinomio mínimo del R_{i}–endomorfismo lineal definido por la imagen de X_{k} en la R_{i}–álgebra

B_{i} = Q [V_{i}] = Q [X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{i}).

El polinomio m_{X_{k}} es mónico y libre de cuadrados. Los coeficientes del polinomio m_{X_{k}} ∈ R_{i}[X_{k}] se computan de manera análoga a los del polinomio q_{i} = m_{u_{i}}. Concretamente, basta sustituir la matriz M por la correspondiente matriz N_{k} y considerar su polinomio mínimo en vez del característico. Para ello, basta calcular una representación separable de dicho polinomio característico, lo que en virtud del Lema 40, se puede hacer mediante un esquema de evaluación de talla y profundidad no escalar adecuadas. Con este cambio, el resto de la argumentación es trivial. Por ejemplo, para demostrar el análogo al Lema 73 para X_{k}, basta señalar que el polinomio mínimo

de X_{k} en Q [V_{P_{i}}] es igual a ∏_{j=1}^{h} ξ_{l_{j}}^{k} si #X_{k}(V_{P_{i}}) = h y X_{k}(V_{P_{i}}) = {ξ_{l_{1}}^{k}, …, ξ_{l_{h}}^{k}}.

Así pues, disponemos dos polinomios mónicos y libres de cuadrados: m_{X_{k}} ∈ R_{i}[X_{k}] y q_{i} ∈ R_{i}[U_{i}]. Dado que u_{i} separa los primos asociados del ideal (m_{X_{k}}, q_{i}) de R_{i}[X_{k}, U_{i}], podemos aplicar el Lema 54 para obtener la parametrización asociada a la variable X_{k}. Por lo tanto, a partir de los coeficientes de m_{X_{k}}, q_{i}, podemos representar ρ_{k}^{(i)} y los coeficientes de la parametrización v_{k}^{(i)} mediante un esquema de evaluación de talla δ_{i}^{O(1)}, profundidad O(log_{2}δ_{i}) y que utiliza como parámetros {−1, 0, 1} (véase Lema 54). Además, el grado de ρ_{k}^{(i)} y los grados de los coeficientes de v_{k}^{(i)} (todos ellos polinomios en Q [X_{1}, …, X_{n−i}]) están acotados por 2δ_{i}^{3}. Haciendo lo mismo para cada una de las variables dependientes (X_{n−i+1}, …, X_{n}), se obtiene un esquema de evaluación Γ_{i} que, con la complejidad deseada, evalúa el output descrito en el enunciado del Teorema.

4.2.2 De dimensión positiva a dimensión cero

En la Sección anterior se describe un procedimiento que permite obtener toda la información necesaria sobre una variedad intermedia V_{i} a partir de la especialización de la misma en un punto bien elegido. En esta sección, describiremos cómo realizar el tránsito de la información proporcionada por la Sección anterior a la obtención de un punto del levantamiento para V_{i+1} y la correspondiente resolución geométrica de la fibra del levantamiento asociada.

En primer lugar, suponemos que las variables X_{1}, …, X_{n} están en posición de Noether con respecto a la variedad V_{i}. Por lo tanto, si R_{i} = Q [X_{1}, …, X_{n−i}] y B_{i} = Q [X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{i}), la extensión de anillos

R_{i} ↪ B_{i}

es entera. Recordamos que del paso anterior se dispone de:

• el polinomio mínimo primitivo q ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n−i}, u_{i}] de u_{i} módulo el ideal I_{i} = (f_{1}, …, f_{i})

• polinomios ρ_{n−i+1}, …, ρ_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n−i}], ρ := ∏_{k=n−i+1}^{n} ρ_{k} y polinomios

v_{n−i+1}, …, v_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n−i}, T] que verifican las condiciones

(f_{1}, …, f_{i})_{ρ} = (q(u_{i}), ρ_{r+1}X_{r+1} − v_{r+1}(u_{i}), …, ρ_{n}X_{n} − v_{n}(u_{i}))_{ρ}
max{deg_{u} v_{j}^{(i)} ; r < j ≤ n} < δ_{i}.

Además todos estos ítems están dados por un esquema de evaluación de talla (idδ_{i}L)^{O(1)} y profundidad no escalar O(log_{2}δ_{i}(log_{2}i + ℓ))

Por lo tanto, la Q (X_{1}, …, X_{n−i})−álgebra Q (X_{1}, …, X_{n−i})[T]/(q) es isomorfa a Q (X_{1}, …, X_{n−i})[X_{n−i+1}, …, X_{n}]/(I_{i}) y el isomorfismo puede ser computado de manera eficiente mediante las parametrizaciones.

Es importante señalar que el grado de los polinomios v_{n−i+1}, …, v_{n} con respecto a la variable T es estrictamente menor que el grado de q. Por otro lado, el grado total de v_{n−i+1}, …, v_{n} y de ρ está acotado por 2δ_{i}^{3}. La forma lineal u viene dada por sus coeficientes, mientras que q, v_{n−i}, …, v_{n} vendrán dados por sus coeficientes con respecto a la variable T, coeficientes estos que pertenecen a Q[X_{1}, …, X_{n−i}]. Todos estos coeficientes y los polinomios ρ_{n−i+1}, …, ρ_{n} se representan por un esquema de evaluación en Q [X_{1}, …, X_{n−i}].

Finalmente, observamos que todos estos resultados intermedios tienen un significado geométrico preciso, aspecto este último que cobra una importancia vital en el desarrollo del algoritmo. La proyección en las coordenadas libre es un morfismo finito sobreyectivo entre variedades afines π_{i} : V (f_{1}, …, f_{i}) ⟶ A^{n−i}. Asimismo, podemos considerar el siguiente isomorfismo birracional (π_{i}, u) que envía a la variedad V (f_{1}, …, f_{i}) en la hipersuperficie de A^{n−i+1} definida por q. De nuevo, las parametrizaciones nos permiten obtener el inverso de dicho isomorfismo.

En el paso que explicamos a continuación, se generará un cambio lineal de coordenadas {X_{1}, …, X_{n}} ⟶ {Y_{1}, …, Y_{n}} que ponga a las nuevas variables en posición de Noether con respecto a I_{i+1} := (f_{1}, …, f_{i+1}), una forma lineal u_{i+1} ∈ ZZ[Y_{n−i−1}, …, Y_{n}] y un polinomio en ZZ[Y_{1}, …, Y_{n−i−1}, T] separable con respecto a la variable T y que denotaremos por q_{i+1}. La forma lineal u_{i+1} será un elemento primitivo para el ideal I_{i+1} cuyo polinomio mínimo será q_{i+1}. Finalmente, en este paso inductivo se generarán polinomios ρ_{n−i}^{(i+1)}, …, ρ_{n}^{(i+1)} ∈ Q [Y_{1}, …, Y_{n−i−1}] yv_{n−i+1}^{(i+1)}, …, v_{n}^{(i+1)} ∈ Q [Y_{1}, …, Y_{n−i−1}, T] con ρ_{i+1} ≠ 0 tales que en el anillo localizado Q [Y_{1}, …, Y_{n−i−1}]_{ρ_{i+1}}[Y_{n−i} …, Y_{n}] el ideal generado por

q_{i+1}(u_{i+1}), ρ_{i+1}Y_{n−i+1} − v_{n−i+1}^{(i+1)}(u_{i+1}), …, ρ_{i+1}Y_{n} − v_{n}^{(i+1)}(u_{i})

es idéntico a (I_{i+1})_{ρ_{i+1}}, donde ρ_{i+1} := ∏_{k=n−i−1}^{n} ρ_{k}^{(i+1)}.

Con las nociones y notaciones fijadas, describiremos el contenido de este paso del i + 1−ésimo paso inductivo del algoritmo. Sea 1 ≤ i < n y supongamos las nociones y notaciones fijadas anteriormente. Sea δ_{i} := deg V (f_{1}, …, f_{i}) y recordemos que deg f_{j} ≤ d para 1 ≤ j ≤ n. Con estas notaciones se tiene deg_{T} q_{i} = deg q_{i} ≤ δ_{i}. Con el ánimo de simplificar las notaciones asumiremos, de ahora en adelante, que los polinomios q_{i} tienen grado exactamente igual a δ_{i}. Esta hipótesis no resta generalidad a los argumentos y permite una mejor explicación de los mismos. Sea Γ_{i} un esquema de evaluación sin divisiones en Q [X_{1}, …, X_{n−i}] que representa los coeficientes de u y que evalúa ρ_{i} y los coeficientes con respecto a T de los polinomios v_{n−i+1}, …, v_{n} y de q. Sean Λ_{i} y λ_{i} la talla y la profundidad no escalar de Γ_{i} respectivamente. Recordamos que, en la Subsección anterior, hemos demostrado que, a partir del punto del levantamiento, podemos representar todos estos elementos en talla Λ_{i} = (idδ_{i}L)^{O(1)} y profundidad no escalar λ_{i} = O((log_{2}i + ℓ)log_{2}δ_{i}).

A partir de este esquema de evaluación que representa la resolución geométrica de V_{i}, el algoritmo que describimos es capaz de conseguir la resolución geométrica de una fibra del levantamiento asociada. Este paso del algoritmo lo dividimos en tres partes:

• Normalización de Noether

• Elección del punto del levantamiento

• Construcción de la resolución geométrica de la fibra

Normalización de Noether

En esta subsección explicamos cómo generar, a partir de la resolución geométrica de la variedad V_{i}, una normalización de Noether con respecto a V_{i+1}. Observamos, en primer lugar, que dado que f_{i+1} no es divisor de cero módulo el ideal I_{i}, el término independiente a_{0} ∈ Q [X_{1}, …, X_{n−i}] del polinomio mínimo de f_{i+1} en B_{i} es distinto de cero. Para conseguir una normalización de Noether de V_{i+1}, basta encontar un cambio ZZ–lineal de coordenadas

{X_{1}, …, X_{n−i}} ⟶ {Y_{1}, …, Y_{n−i}}

que haga que el polinomio a_{0} sea mónico en Y_{n−i}. Este hecho es consecuencia inmediata de la posición de Noether de las variables {X_{1}, …, X_{n}} con respecto a V_{i}.

Sea A_{0} la componente homogénea de mayor grado de a_{0}. Un cambio de variables que haga mónico a A_{0} es un cambio que hace mónico a a_{0}. En primer lugar, evaluando el polinomio A_{0} en (0, …, 0, 1) podemos saber si éste es ya mónico en X_{n−i}. Si este es el caso, nada habría que hacer. Si no, puesto que a_{0} ≠ 0, su componente de mayor grado A_{0} tampoco lo es. Por lo tanto, existirá (γ_{1}, …, γ_{n−i−1}) ∈ ZZ^{n−i−1} tal que A_{0}(γ_{1}, …, γ_{n−i−1}, 1) ≠ 0. El cambio de variables

X_{1} = Y_{1} + γ_{1}Y_{n−i}

⋮

X_{n−i−1} = Y_{n−i−1} + γ_{n−i−1}Y_{n−i}

X_{n−i} = Y_{n−i}

X_{n−i+1} = Y_{n−i+1}
⋮
X_{n} = Y_{n}

convierte el polinomio A_{0} en un polinomio mónico en Y_{n−i}, dado que el coeficiente de Y_{n−i}^{deg(a_{0})} es igual a A_{0}(γ_{1}, …, γ_{n−i−1}, 1).

Explicamos a continuación cómo generar este cambio mediante una red aritmética sin divisiones.

La matriz de la homotecia dada por f_{i+1} en Q (X_{1}, …, X_{n−i})[X_{n−i+1}, …, X_{n}]/I_{i} viene descrita por la identidad

M_{f_{i+1}} = f_{i+1}(X_{1}, …, X_{n−i}, ρ_{n−i+1}^{−1}v_{n−i+1}(M), …, ρ_{n}^{−1}v_{n}(M)),

donde M es la matriz compañera de a^{−1}q (a ∈ ZZ el coeficiente director de q). Sin embargo, el cómputo de esta expresión exige divisiones. Para evitarlas, analizamos en primer lugar, el comportamiento de las matrices de los tensores M_{X_{k}}. Como M_{X_{k}} = ρ_{k}^{−1}v_{k}(M), es fácil ver que, para todo k ∈ {n − i + 1, …, n}, se tiene

a^{δ_{i}−1}ρM_{X_{k}} = a^{δ_{i}−1−deg(v_{k})}(∏_{j≠k} ρ_{j})V_{k}(a, aM),

donde V_{k} es la homogeneización de v_{k} con respecto a la variable T. Además, todas y cada una de las matrices a^{δ_{i}−1}ρM_{X_{k}} tienen entradas en ZZ[X_{1}, …, X_{n−i}]. Además, la expresión anterior sugiere un esquema de evaluación en ZZ[X_{1}, …, X_{n−i}] de talla O(iδ_{i}^{2}) y de profundidad O(log_{2}(iδ_{i})) para el cálculo de dichas matrices.

Sea D ≤ d el grado de f_{i+1} y f_{i+1}^{(j)} la componente homogénea de grado j de f_{i+1} con respecto a las variables X_{n−i+1}, …, X_{n}. Estas componentes homogéneas se pueden representar mediante un esquema de evaluación de talla (D + 1)^{2}L y profundidad no escalar 2ℓ. Con estas notaciones,

(a^{δ_{i}−1}ρ)^{D}M_{f_{i+1}} = ∑_{j=0}^{D}(a^{δ_{i}−1}ρ)^{D−j}f_{i+1}^{(j)}(X_{1}, …, X_{n−i}, a^{δ_{i}−1}ρM_{X_{n−i+1}}, …, a^{δ_{i}−1}ρM_{X_{n}}).

Esta matriz puede representarse (usando las técnicas desarrolladas en el Capítulo IV) mediante un esquema de evaluación adicional de talla O(Ld^{2}δ_{i}^{2}) y profundidad O(ℓ + log_{2}(iδ_{i})).

Ahora, puesto que (a^{δ_{i}−1}ρ_{i})^{D} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n−i}], es obvio que

(a^{δ_{i}−1}ρ_{i})^{D}M_{f_{i+1}} = M_{(a^{δ_{i}−1}ρ_{i})^{D}f_{i+1}}.

Sean

χ_{f_{i+1}} = T^{δ_{i}} + a_{δ_{i}−1}T^{δ_{i}−1} + ⋯ + a_{0} y

χ_{(a^{δ_{i}−1}ρ_{i})^{D}f_{i+1}} = T^{δ_{i}} + b_{δ_{i}−1}T^{δ_{i}−1} + ⋯ + b_{0}.

La identidad matricial anterior implica que b_{k} = (a^{δ_{i}−1}ρ_{i})^{D(δ_{i}−k)}a_{k}. Por lo tanto,

(a^{δ_{i}−1}ρ_{i})^{Dδ_{i}}χ_{f_{i+1}}(T) = χ_{(a^{δ_{i}−1}ρ_{i})^{D}f_{i+1}}((a^{δ_{i}−1}ρ_{i})^{D}T).

Ahora calculamos una representación separable de (a^{δ_{i}−1}ρ)^{Dδ_{i}}χ_{f_{i+1}}(T). Se obtiene así un polinomio θ ∈ R_{i} tal que dicha representación separable es igual θ(a^{δ_{i}−1}ρ_{i})^{Dδ_{i}}m_{f_{i+1}}. Así, obtenemos todos los coeficientes de m_{f_{i+1}} multiplicados por el polinomio θ(a^{δ_{i}−1}ρ)^{Dδ_{i}}. Aplicando la técnica de evitación de divisiones de Strassen, obtenemos todos los coeficientes de m_{f_{i+1}}.

Juntándolo todo se sigue que los coeficientes del polinomio mínimo de f_{i+1} se pueden calcular mediante un circuito aritmético de talla (iLdδ_{i})^{O(1)} + Λ_{i} y profundidad no escalar O(log_{2}(iδ_{i}) + ℓ + λ_{i}) y, en particular, el término constante del mismo a_{0}. Como deg(a_{0}) ≤ dδ_{i}, las componentes homogéneas de a_{0} pueden representarse por una red aritmética de misma complejidad asintótica que la red que representa los coeficientes de m_{f_{i+1}}. Por lo tanto, usando un conjunto cuestor, es posible elegir un punto γ ∈ ZZ^{n−i−1} de talla binaria acotada por O(log_{2}(iδ_{i}) + ℓ) que no anula A_{0}(X_{1}, …, X_{n−i−1}, 1) de a_{0}. Como explicamos al inicio de la Subsección, dicho punto define una normalización de Noether con respecto a I_{i+1}.

Sin embargo, para los siguientes pasos del algoritmo, es necesario conocer los coeficientes del polinomio eliminante a_{0} con respecto a la variable Y_{n−i}. Dado que deg(a_{0}) está acotado por dδ_{i}, podemos calcular los coeficientes de a_{0} con respecto a la variable Y_{n−i} mediante un esquema de evaluación de talla Λ_{i}(iLdδ_{i})^{O(1)} = (iLdδ_{i})^{O(1)} y profundidad no escalar O(log_{2}(iδ_{i}) + ℓ + λ_{i}) = O(log_{2}δ_{i}(log_{2}i + ℓ))

Aún sin disponer de la resolución geométrica completa de V_{i+1}, es posible, a partir de los coeficientes de a_{0}, computar para cualquier polinomio g ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] una ecuación de dependencia entera módulo I_{i+1}:

Lema 74 Sea g ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] un polinomio de grado acotado por ν, dado por un esquema de evaluación de talla L′, profundidad no escalar ℓ′ y con parámetros de altura acotada por h′. Entonces, existe un esquema de evaluación que, a partir de la resolución geométrica de V_{i} y de los coeficientes de a_{0}, representa los coeficientes de un polinomio h_{g} ∈ ZZ[Y_{1}, …, Y_{n−i−1}][T] de grado a lo más d · ν · δ_{i}^{2} que representa una ecuación de dependencia de g módulo I_{i+1}. Este esquema de evaluación tiene talla L′(dνδ_{i})^{O(1)}, profundidad no escalar O(log_{2}dνδ_{i}) + ℓ′.

Demostración.– Sea m_{g} el polinomio mínimo de g módulo I_{i}. Este es un polinomio de grado total acotado por deg(g) · δ_{i}. Los coeficientes de este polinomio pueden calcularse, a partir de la resolución geométrica de V_{i} como se hizo en el paso anterior para f_{i+1}, mediante un esquema de evaluación de talla L′(νδ_{i})^{O(1)}, profundidad no escalar O(log_{2}νδ_{i}) + ℓ′. Ahora, considero la R–álgebra de dimensión acotada por deg(a_{0}) · ν · δ_{i} ≤ d · ν · δ_{i}^{2}

R[Y_{n−i}, T]/(a_{0}, m_{g})

Ahora calculamos los coeficientes de m_{g} con respecto a las variable Y_{n−i}. Estos coeficientes pueden calcularse mediante un esquema de evaluación con estimaciones de complejidad similares a las anteriores. Una vez conocidos estos coeficientes, se dispone de las matrices de los tensores en R[Y_{n−i}, T]/(a_{0}, m_{g}), en particular de M_{T}. De hecho, es claro que una base de dicha R–álgebra viene dada por el conjunto de monomios

{Y_{n−i}^{α}T^{β} : 0 ≤ α ≤ dega_{0}, 0 ≤ β ≤ degg}.

La matriz M_{T} puede construirse de manera obvia:

Sea M ∈ Q^{deg(a_{0})×deg(a_{0})} la matriz compañera de a_{0} y M′ ∈ IR[Y_{n−i}]^{deg(m_{g})×deg(m_{g})} la matriz compañera de m_{g} con respecto a T. Ambas matrices están dadas a partir de los coeficientes de a_{0} y de m_{g}. Para construir la matriz M_{T} basta sustituir en M′, Y_{n−i} por M. Por lo tanto, M_{T} se puede escribir, sin coste extra alguno, a partir de los coeficientes de a_{0} y de m_{g}.

Sea χ_{T} el polinomio característico de M_{T}. Puesto que m_{g}(g) ∈ I_{i} y a_{0} ∈ I_{i+1}, se tiene que χ_{T} (g) ∈ I_{i+1}, es decir, χ_{T} ∈ R[T] representa una ecuación de dependencia entera de g módulo I_{i+1}. Las cotas de complejidad finales se siguen de la aplicación del algoritmo de Berkowitz para el cómputo del polinomio característico, teniendo en cuenta que la matriz M_{T} tiene tamaño acotado por d · ν · δ_{i}^{2}.

Elección del punto del levantamiento

Una vez obtenida una normalización de Noether con respecto a V_{i+1}, podemos elegir un punto del levantamiento para la misma variedad. Las nuevas variables Y_{1}, …, Y_{n} están en posición de Noether con respecto a V_{i+1} y los coeficientes de a_{0} con respecto a Y_{n−i} están dados mediante un esquema de evaluación. Sea ahora

J(f_{1} …, f_{i+1}) := det (\frac{∂f_{k}}{∂Y_{j}} )_{{1≤k≤i+1 \atop n−i≤j≤n}} .

el determinante de la matriz jacobiana de f_{1}, …, f_{i+1} con respecto a las variables dependientes Y_{n−i}, …, Y_{n}. Este polinomio puede representarse mediante un esquema de evaluación de talla O((i+1)^{5} +L) y profundidad no escalar O(log_{2}i+ℓ). Sea μ ∈ Q[Y_{1}, …, Y_{n−i−1}] el término constante del polinomio característico de J(f_{1} …, f_{i+1}). Por hipótesis, μ ≠ 0.

Como hemos visto, para que un punto P_{i+1} sea punto de levantamiento de la variedad V_{i+1} basta que μ(P_{i+1}) sea distinto de cero. Sin embargo, como trabajaremos con la resolución geométrica de la variedad V_{i}, que sólo tiene sentido en el abierto Zariski {ρ ≠ 0}, hace falta añadir la condición ρ(P) ≠ 0.

Aplicando el Lema 74, obtenemos los coeficientes de un polinomio h ∈ R[T], que representa una ecuación de dependencia entera de J(f_{1}, …, f_{i+1}) módulo el ideal I_{i+1}. Sea μ^{∗} ∈ el término independiente de h. Obviamente, μ^{∗} es múltiplo del término independiente del polinomio mínimo de J(f_{1} …, f_{i+1}) y, por lo tanto, es no nulo. Existirá, por tanto, P_{i+1} tal que μ^{∗}(P_{i+1}) ≠ 0.

Veamos que este punto así elegido verifica la condición μ(P_{i+1}) ≠ 0. Para ello, sea I el ideal cero dimensional de Q [Y_{1}, …, Y_{n}] generado por los polinomios Y_{1} − p_{1}, …, Y_{n−i−1}−p_{n−i−1}, f_{1}, …, f_{i+1} y sea J′ el determinante de la matriz jacobiana de dichos polinomios. Es obvio que J′ = J(f_{1} …, f_{i+1}). Sean χ_{J} ∈ Q[Y_{1}, …, Y_{n−i−1}, T] y χ_{J′} ∈ Q [T] los polinomios característicos de J(f_{1} …, f_{i+1}) módulo I_{i+1} y de J′ módulo (Y_{1} − p_{1}, …, Y_{n−i−1} − p_{n−i−1}, f_{1}, …, f_{i+1}) respectivamente. Como

rgQQ [Y_{1}, …, Y_{n}]/I = rg_{Q[Y_{1},...,Y_{n−i−1}]}Q [Y_{1}, …, Y_{n}]/I_{i+1}

los grados de ambos polinomios son iguales. Además, χ_{J′} = χ_{J}(p_{1}, …, p_{n−i−1}). La condición μ^{∗}(P_{i+1}) ≠ 0 asegura que J′ es no divisor de cero módulo I o lo que es lo mismo, que el término independiente de χ_{J′} es un racional no nulo. Ahora bien, el término independiente de χ_{J′} es igual a μ(P_{i+1}).

Como μ^{∗} viene representado por un esquema de evaluación de talla (iδ_{i}Ld)^{O(1)}, y profundidad no escalar O(log_{2}δ_{i}(log_{2}i + ℓ)), este punto del levantamiento puede escogerse con talla binaria acotada por O(log_{2}δ_{i}(log_{2}i + ℓ)).

Resolución geométrica de la fibra del levantamiento

Para obtener el elemento primitivo y la correspondiente resolución geométrica de V_{i+1}, aplicaremos el esquema seguido en el Lema 74.

Suponemos, sin pérdida de generalidad, que las variables Y_{1}, …, Y_{n} se encuentran ya en posición de Noether con respecto al ideal I_{i+1} = (f_{i+1}, I_{i}). Por lo tanto,

R := Q [Y_{1}, …, Y_{n−i−1}] ↪ Q [Y_{1}, …, Y_{n}]/(f_{i+1}, I_{i}) = Q [Y_{1}, …, Y_{n}]/(I_{i+1})

es una extensión entera de anillos. Sea K el cuerpo de fracciones de R. Es obvio que I_{i+1} genera un ideal cero dimensional en K[Y_{n−i}, …, Y_{n}]. Vamos a aplicar, pues, el método descrito en la Sección 3.2. Para ello, introducimos nuevas variables, T_{n−i}, …, T_{n}, y los anillos y cuerpos

R_{j}:= R[T_{n−i}, …, T_{j−1}, T_{j+1}, …, T_{n}]

y

K_{j}:= K(T_{n−i}, …, T_{j−1}, T_{j+1}, …, T_{n}).

Sea, ahora, n − i ≤ j ≤ n y consideremos la variable Y_{j} y la forma lineal Z_{j} := T_{n−i}Y_{n−i} + ⋯ + T_{j−1}Y_{j−1} + T_{j+1}Y_{j+1} + ⋯ + T_{n}Y_{n} ∈ R_{j}[Y_{n−i}, …, Y_{n}] en las variables Y_{n−i}, …, Y_{n}. Aplicando el Lema 74, obtenemos, mediante un esquema de evaluación de talla (idlδ_{i})^{O(1)}, profundidad no escalar O(log_{2}δ_{i}(log_{2}i + ℓ)) polinomios :

• h_{j} ∈ R[T] es mónico en T de grado a lo más dδ_{i}^{2} en T y el polinomio h_{j}(Y_{j}) pertenece al ideal I_{i+1}

• g_{j} ∈ R_{j}[T] es mónico en T y tiene grado total a lo más dδ_{i}^{2}. El polinomio g_{j}(Z_{j}) pertenece al ideal K_{j} ⨂_{R} I_{i+1}

Aplicando el Lema 55, se obtiene una forma lineal u_{i+1} que es un elemento primitivo para el ideal generado por I_{i+1} en K[Y_{n−i}, …, Y_{n}], un polinomio q ∈ R[T] y polinomios ρ_{n−i}, …, ρ_{n} ∈ R y v_{n−i}, …, v_{n} ∈ R[T] tales que se verifica : q es mónico y separable en T, q(u_{i+1}) pertenece al ideal I_{i+1}, ρ_{j} es distinto de cero y para n − i ≤ j ≤ n se tiene ρ_{j}Y_{j} − v_{j}(u_{i+1}) ∈ I_{i+1}. Se observa que, sin restricción de generalidad, podemos suponer que ρ_{j} es mónico en la variable Y_{n−i−1}.

Estos resultados están representados por un esquema de evaluación libre de divisiones en Q [Y_{1}, …, Y_{n−i−1}] cuya talla es (iLdδ_{i})^{O(1)} y su profundidad no escalar O(log_{2}δ_{i}(log_{2}i + ℓ)).

Puesto que u_{i+1} es también elemento primitivo para la fibra V_{P i+1}, la resolución geométrica de V_{P_{i+1}} se obtiene especializando el esquema de evaluación correspondiente. De esta forma, obtenemos esquemas de evaluación de talla (iδ_{i}Ld)^{O(1)} y profundidad no escalar O(log_{2}δ_{i}(log_{2}i + ℓ)) en ZZ que representan todos los enteros que aparecen en la resolución geométrica de V_{P_{i+1}}. Además, este esquema de evaluación viene construido por una red aritmética de talla del mismo orden. Teniendo en cuenta que los puntos que se eligen en el desarrollo del algoritmo tienen todos talla binaria acotada por O(log_{2}δ_{i}(log_{2}i + ℓ) y que por lo tanto, pueden ser representados por un esquema de evaluación de misma talla, se sigue que el paso inductivo del algoritmo puede llevarse a cabo por una máquina de Turing probabilística de error acotado en tiempo (iδ_{i}dL)^{O(1)}.

Finalmente, analizamos el caso en el que se requiera la codificación binaria de los enteros de la resolución geométrica de V_{P_{i+1}}. En este caso, habría que aplicar las técnicas expuestas en la Sección 3.3. Para obtener el resultado final, basta hacer notar que η_{i+1} es una cota para la longitud bit de los enteros que aparecen en la resolución geométrica de la fibra del levantamiento (por definición de altura de una variedad intersección completa).

4.3 Aplicaciones

4.3.1 Resolución fuera de una hipersuperficie dada

Supongamos dada una hipersuperficie en C^{n} definida por un polinomio g del anillo ZZ[X_{1}, …, X_{n}]. Supongamos, también que tenemos dada una sucesión f_{1}, …, f_{n} de polinomios en ZZ[X_{1}, …, X_{n}] y sea V = V (f_{1}, …, f_{n}). Diremos que la sucesión es una sucesión regular fuera de la hipersuperficie {g = 0} si para todo 1 ≤ i ≤ n, las componentes irreducibles de V (f_{1}, …, f_{i}) que no se encuentran en la hipersuperficie {g = 0} son todas de dimensión n − i. Para 1 ≤ i ≤ n, definimos δ_{i}^{∗} como la suma de los grados de las componentes de V (f_{1}, …, f_{i}) que no se encuentran contenidas en {g = 0} y sea δ^{∗}:= max{deg^{∗}V (f_{1}, …, f_{i}) ; 1 ≤ i ≤ n}.

Teorema 75 Existe una máquina de Turing probabilística de error acotado que produce un resolución geométrica en tiempo polinomial en ndhLδ^{∗} de la variedad definida como la clausura Zariski del abierto Zariski {f_{1} =, …, f_{n} = 0, g ≠ 0}.

Demostración.– El algoritmo funciona de manera similar al descrito anteriormente, sustituyendo la variedad V_{i} por la variedad que resulta de considerar sólamente aquellas componentes irreducibles de V_{i} fuera de V (g) y sustituyendo, donde corresponda δ_{i} por δ_{i}^{∗}. Es obvio, por otro lado que un elemento primitivo para V_{i} lo es también para esta variedad. Sin embargo, hay que hacer una pequeña modificación en el desarrollo del algoritmo. Una vez calculada la resolución geométrica correspondiente, es posible que aparezcan componentes que se encuentren contenidas en la hipersuperficie que pretendemos evitar.

Sea J_{i} el ideal correspondiente a las componentes irreducibles de V_{i} que no se encuentran en V (g), es decir, J_{i} es la intersección de todos los ideales primos asociados a I_{i} que no contienen el polinomio g. A partir de la resolución geométrica de J_{i}, realizamos el mismo proceso que en el caso general: Construimos una normalización de Noether del ideal (J_{i}, f_{i+1}) y generamos una resolución geométrica del mismo. Por comodidad en la exposición suponemos que las variables X_{1}, …, X_{n} se encuentran en posición de Noether con respecto a (J_{i}, f_{i+1}).

Sea u_{i+1} ∈ ZZ[X_{n−i}, …, X_{n}] el elemento primitivo calculado, q ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n−i−1}] el polinomio mínimo primitivo de u_{i+1} módulo (J_{i}, f_{i+1}) y ρ_{j} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n−i−1}] y v_{j} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n−i−1}][T] los polinomios que conforman la resolución geométrica de (J_{i}, f_{i+1}). A partir de ahora denotaremos R := Q [X_{1}, …, X_{n−i−1}] y K el cuerpo de fracciones de R.

Este proceso puede hacer que aparezcan componentes que se encuentran contenidas en las hipersuperficie que queremos evitar. Estas componentes han de ser objeto de un proceso especial.

Para 1 ≤ j ≤ i + 1 sea F_{j}:= f_{j}(Y_{1}, …, Y_{n−i−1}, \frac{v_{n−i}(u_{i+1})}{ρ_{i+1}}, …, \frac{v_{n}(u_{i+1})}{ρ_{n}}) ∈ K[u_{i+1}]. Sea h ∈ R[u_{i+1}] el máximo común divisor de los polinomios F_{1}(u_{i+1}), …, F_{i+1}(u_{i+1}) y q(u_{i+1}) en el dominio de ideales principales K[u_{i+1}]. Dado que q(u_{i+1}) es mónico y separable con respecto a u_{i+1}, podemos asumir, sin restricción de generalidad que el polinomio h es mónico y separable con respecto a u_{i+1}. Los coeficientes de este polinomio con respecto a la variable u_{i+1} pueden computarse a partir de los coeficientes de F_{1}, …, F_{i+1}, q ∈ K[u_{i+1}] por un esquema de evaluación bien paralelizable de talla (dδ_{i}^{∗})^{O(1)}. Esto significa que estos coeficientes pueden calcularse mediante un esquema de evaluación sin divisiones en Q[Y_{1}, …, Y_{n−i}] de talla (iLdδ_{i}^{∗})^{O(1)} y profundidad no escalar O(log_{2}δ_{i}^{∗}(log_{2}i+ℓ)). El hecho de que se pueda calcular estos coeficientes sin divisiones proviene del hecho de que ρ_{j} sean mónicos, lo que hace que las matrices que aparecen en los cálculos de máximos comunes divisores sean unimodulares y que se pueda aplicar la regla de Cramer sin ejecutar divisiones.

Observamos ahora que los ideales maximales en K[X_{n−i}, …, X_{n}] que contienen al polinomio h(u_{i+1}) y para n − i ≤ j ≤ n a los polinomios ρY_{j} − v_{j}(u_{i+1}), se corresponden exactamente con los ideales primos de codimensión i + 1 en R[X_{n−i}, …, X_{n}] que contienen (f_{1}, …, f_{i+1}).

Sustituyendo en el polinomio g las variables dependientes X_{n−i}, …, X_{n} por los polinomios

\frac{v_{n−i}(u_{i+1})}{ρ_{n−i}}, …, \frac{v_{n}(u_{i+1})}{ρ_{n}} ∈ K[u_{i+1}]

y eliminando denominadores se obtiene una representación en R[u_{i+1}] de la clase ρg módulo el ideal generado por (J_{i}, f_{i+1}) en K[X_{n−i}, …, X_{n}]. Sea G ∈ R[u_{i+1}] dicha representación. Ahora computamos el máximo común divisor de G(u_{i+1}) y h(u_{i+1}) en K[u_{i+1}]. Este máximo común divisor está representado por un polinomio libre de cuadrados h_{1} ∈ R[u_{i+1}] que divide a h ∈ R[u_{i+1}]. Los ideales maximales de K[X_{n−i}, …, X_{n}] que contienen h_{1}(u_{i+1}) y para n − i ≤ j ≤ n a los polinomios ρY_{j} − v_{j}(u_{i+1}), se corresponden exactamente con los ideales primos de codimensión i + 1 en R[X_{n−i}, …, X_{n}] que contienen (g, f_{i+1}, …, f_{n}).

Es fácil ver, por otro lado, que los ideales maximales en K[X_{n−i}, …, X_{n}] que contienen para n − i ≤ j ≤ n a los polinomios ρ_{j}X_{j} − v_{j}(u_{i+1}) y al polinomio

q_{i+1}(u_{i+1}):= \frac{h(u_{i+1})}{h_{1}(u_{i+1})}

se corresponden exactamente a los ideales primos de codimensión i+1 que contienen a J_{i+1}. Se observa, pues, que q_{i+1} es el polinomio mínimo de la forma lineal u_{i+1} módulo J_{i+1}.

Finalmente, para calcular los polinomios que definen las parametrizaciones del ideal J_{i+1}, se computan los polinomios v_{n−i}^{(i+1)}, …, v_{n}^{(i+1)} como los restos de la división por q_{i+1} de los polinomios v_{n−i}(T), …, v_{n}(T) por el polinomio mónico en T, q_{i+1}(T). De esta manera, obtenemos una descripción explícita de un isomorfismo

K[X_{n−i}, …, X_{n}]/(J_{i+1}) ≅ K[u_{i+1}]/(q_{i+1}(u_{i+1})) ≅ K[T]/(q_{i+1}(T))

como se pretendía. Estos polinomios, de nuevo aplicando que q_{i+1} es un polinomio mónico, pueden calcularse mediante un esquema de evaluación sin divisiones en Q[X_{1}, …, X_{n−i−1}] de talla (iLdδ_{i}^{∗})^{O(1)} y profundidad no escalar O(log_{2}δ_{i}^{∗}(log_{2}i+ℓ)).

Salvo por este proceso de limpieza de componentes, el resto del algoritmo se aplica de la misma manera que en el caso general.

Este Teorema tiene especial interés, por ejemplo, en demostración automática de teoremas en geometría. En estos casos, conviene desechar situaciones degeneradas que vienen representadas por una hipersuperficie que, obviamente, hay que evitar.

Por otro lado, si consideramos como la hipersuperficie a evitar la dada por la unión de

los ejes coordenados, es decir, g := ∏_{i=1}^{n} X_{i} nos encontramos en una situación amplia-

mente estudiada en la literatura : el caso tórico. En este sentido, el resultado aquí expuesto mejora las cotas conocidas para la resolución geométrica en este contexto. Es un resultado conocido que el número de raíces en C^{∗n} de un sistema de polinomios genéricos es igual al volumen normalizado del politopo de Newton asociado al sistema ([Bernstein, 1975], [Kushnirenko, 1975]). Nuestro resultado implica que podemos resolver una variedad fuera de los ejes coordenados de manera polinomial en δ^{∗}, mientras que los resultados conocidos hasta el momento, calculaban la resultante rala, por ejemplo, en tiempo polinomial en el volumen del politopo de Newton, pero exponencial en el número de variables (véanse [Sturmfels, 1993], [Emiris, 1994]). Por otro lado, parece plausible, dado el resultado de Bernstein y Kushnirenko, que exista una relación entre el invariante δ^{∗} y el volumen mixto del politopo de Newton.

4.3.2 Consistencia de sistemas de ecuaciones polinomiales

El algoritmo de resolución geométrica nos permite describir una forma de determinar la consistencia de sistemas de ecuaciones polinomiales. Supongamos dados polinomios f_{1}, …, f_{s+1} y supongamos que f_{1}, …, f_{s} forman una sucesión regular reducida de polinomios. A partir de cualquier sucesión de polinomios, usando las técnicas de reducción explicadas en la Sección 2.5 podemos conseguir una situación similar. Supongamos, además, que estos polinomios vienen dados por un esquema de evaluación de talla L y profundidad no escalar ℓ. Sea δ := max_{i=1}^{s}{degV (f_{1}, …, f_{i})}.

Teorema 76 En las condiciones anteriores, existe una máquina de Turing probabilística de error acotado que decide si la variedad dada V := V (f_{1}, …, f_{s+1}) es vacía o no en tiempo polinomial en sdLδ.

Demostración.– Aplicando el Teorema para la resolución geométrica en dimensión positiva, construimos la representación en esquema de evaluación de todos los enteros y polinomios que conforman la resolución geométrica de la variedad dada por los polinomios f_{1}, …, f_{s}. Esta resolución geométrica viene dada por una máquina de Turing probabilística de error acotado en tiempo polinomial en sdLδ. A partir de esta resolución geométrica, podemos construir la matriz de la homotecia definida por la multiplicación por f_{s+1}, M_{f_{s+1}}, en Q [X_{1}, …, X_{n−s}]/(f_{1}, …, f_{s}) (por comodidad en la exposición, suponemos que las variables están en posición de Noether con respecto al ideal (f_{1}, …, f_{s}). El Lema 24 implica que el ideal (f_{1}, …, f_{s+1}) es trivial si, y sólo si, det(M_{f_{s+1}}) ∈ Q \ {0}. Queda pues, ver como se puede verificar esta última condición. det(M_{f_{s+1}}) es un polinomio en Q [X_{1}, …, X_{n−s}] que viene representado por un esquema de evaluación de talla (sLdδ)^{O(s)} y profundidad no escalar O((log_{2}(sd) + ℓ)log_{2}δ).

Para chequear si det(M_{f_{s+1}}) es un racional no nulo, basta especializarlo en un punto (p_{1}, …, p_{n−s}) ∈ ZZ^{n−s} adecuado y verificar si el polinomio

det(M_{f_{s+1}})(X_{1}, …, X_{n−s}) − det(M_{f_{s+1}})(p_{1}, …, p_{n−s})

es nulo. Esto puede hacerse, usando el test de Zippel-Schwartz, con las cotas de complejidad anunciadas.

4.3.3 Cotas inferiores relativas

Ya en la introducción de este Capítulo, establecimos algunas relaciones entre la conjetura de Cook y los problemas de la eliminación. En concreto, siguiendo los trabajos [Pardo, 1995] y [Heintz – Morgenstern, 1993], se daban cotas inferiores relativas. En este mismo sentido, podemos formular un Teorema consecuencia inmediata de las cotas de complejidad para el problema de decidir la consistencia de sistemas de ecuaciones polinomiales.

Teorema 77 Si existe algún problema NP -completo que admite un grado δ polinomial, se tiene que BP P = NP.

Este resultado cabe incluirlo dentro del estudio de problemas tales como la conjetura de Berman-Hartmanis ([Berman – Hartmanis, 1977]) cuya validez implicaría que la conjetura de Cook es cierta y que ningún conjunto “sparse”puede ser NP –completo. Recordemos que un conjunto A es “sparse”si para cada número natural n el conjunto de palabras de longitud n que contiene puede acotarse por un polinomio en n. En este sentido, un resultado de Mahaney ([Mahaney, 1982]) apoya la conjetura de Berman–Hartmanis. Mahaney probó que la existencia de un conjunto “sparse”NP – duro implica P = NP.

Intuitivamente hablando, un conjunto “sparse”es la codificación de una pequeña cantidad de información. Del mismo modo, puede decirse que un sistema de ecuaciones cuyo δ es pequeño es una codificación de una pequeña cantidad de información.

4.3.4 Consistencia modular: cotas inferiores

Supongamos dado un sistema de ecuaciones polinomiales

f_{1} = 0, …, f_{s} = 0  (4.5)

donde los polinomios f_{1}, …, f_{s} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] vienen dados por un esquema de evaluación de talla L y profundidad no escalar ℓ. Supongamos, además que tales polinomios forman una sucesión regular reducida de polinomios. Sea δ el grado de V := V (f_{1}, …, f_{s}) y sea η := ht_{c}(V), donde c = O(log_{2}δ(log_{2}n + ℓ)).

En esta sección, estudiaremos una cota inferior para el número de primos tales que el sistema 4.5 admite solución en F_{p} = ZZ/pZZ. Denotaremos por π_{S}(x) el número de primos menores o iguales que x tales que 4.5 admite solución en F_{p}. En [Koiran, 1996] P. Koiran prueba, asumiendo la veracidad de la hipótesis de Riemann generalizada, existen constantes c_{1}, c_{2} y c_{3} tales que

π_{S}(x) ≥ \frac{π(x) − c_{1}nx^{1/2} log_{2} x}{L · 2^{(n log^{2} σ)^{c_{2}}}} − L · 2^{(n log_{2} σ)^{c_{3}}}x^{1/2},

donde L es una cota para la altura de los coeficientes de los polinomios y σ es, básicamente, la suma de los grados de los polinomios del sistema inicial.

Con estas notaciones y asumiendo que la hipótesis de Riemann generalizada es cierta, se tiene:

Teorema 78 Existe una constante universal c tal que

π_{S}(x) ≥ \frac{1}{δ}[π(x) − η − cx^{1/2}log_{2}(2^{η}x^{δ})]

La demostración del teorema se basa en los siguientes resultados:

Lema 79 Sea x = (x_{1}, …, x_{n}) un vector de números algebraicos solución de 4.5. Sea r un elemento primitivo para x_{1}, …, x_{n}. Entonces, existen Q_{1}, …, Q_{n} ∈ ZZ[X] y a ∈ ZZ tales que x_{i} = Q_{i}(r)/a. Sea R ∈ ZZ[X] un polinomio irreducible tal que R(r) = 0. Si R tiene una raíz en F_{p} y a mod p es distinto de cero, 4.5 se satisface en F_{p}.

Sea, ahora, f ∈ ZZ[X] un polinomio de grado d, y sea π_{f}(x) el número de primos menores o iguales que x tales que f = 0 posee solución módulo p. Basándose en una versión efectiva del Teorema de densidad de Chebotarev y que asume la hipótesis de Riemann generalizada como cierta, se puede probar que

Lema 80 [Koiran, 1996] Existe una constante universal c tal que

π_{f}(x) ≥ \frac{1}{d}[π(x) − log_{2}Δ − cx^{1/2}log_{2}(Δx^{d})]

Demostración del Teorema 78.- En el caso de que los polinomios definan una variedad cero dimensional, es decir s = n, existe un elemento primitivo de la misma u ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] y polinomios q ∈ ZZ[T], v_{j} ∈ ZZ[T] y un entero ρ (múltiplo del discriminante de q), tales que :

• q es libre de cuadrados

• ρx_{j} − v_{j}(u(x_{1}, …, x_{n})) = 0 para todo (x_{1}, …, x_{n}) en V

• el grado de q y de v_{j} está acotado por δ y la altura de los mismos está acotada por η.

En el caso de dimensión positiva, conocemos la existencia de un punto del levantamiento para V de talla binaria acotada por O(log_{2}δ(log_{2}n + ℓ)). Por lo tanto, podemos reducir el estudio de este caso al caso cerodimensional considerando la fibra del levantamiento. Observamos que si η es la altura de V, los polinomios que constituyen la resolución geométrica de la fibra tienen altura acotada por η y grado acotado por δ. En ambos casos, para estimar π_{S}(x) basta estimar π_{q}(x). Basándonos en los enunciados anteriores y teniendo en cuenta que de la estimación anterior, hemos de sustraer los factores primos de ρ, se tiene

π_{q}(x) ≥ \frac{1}{δ}[π(x) − η − cx^{1/2}log_{2}(2^{η}x^{δ})],

de donde se deduce el teorema.

Incluso en el caso genérico (δ, η = d^{n}), las cotas dadas aquí mejoran de manera sustancial la de P. Koiran. Sin embargo, en aquellos casos en los que el grado y la altura de la variedad son pequeños, la cota dada aquí es espectacula rmente mejor que la de P. Koiran. En este sentido, cualquier avance en el estudio de los invariantes δ y η producirá mejoras en la cota inferior expuesta.

4.4 Conclusiones y preguntas abiertas

El algoritmo expuesto en este Capítulo mejora de manera drástica la complejidad de los algoritmos existentes en el caso de que el grado y la altura del sistema de ecuaciones inicial sean moderadas. Sin embargo, actualmente no se dispone de ningún método que permita establecer a priori cuál es el grado geométrico de un sistema de ecuaciones dado. En las condiciones actuales, una implementación del algoritmo descrito trabajaría directamente con el sistema de ecuaciones de partida y debería ser el propio usuario el que decidiese al cabo de un tiempo si continua o no con el proceso en marcha. Si se dispusiese de un método para calcular el grado geométrico del sistema, el usuario podría decidir si lanza el proceso o no.

Por otro lado, no se conocen clases de problemas naturales provenientes de campos diversos (Economía, Biología, Ingeniería, ...) para los que el grado geométrico sea pequeño.

Por último, cabe resaltar que, durante el proceso, cada vez que se realiza una normalización de Noether se desconoce si la misma corresponde al menor grado geométrico del sistema. Consideremos el siguiente ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones polinomiales

X_{1} − 2 = 0, X_{2} − X_{1}^{2} = 0, …, X_{n} − X_{n−1}^{2} = 0

La variedad definida por este sistema es una variedad cerodimensional cuyo grado es 1. Sin embargo, el grado geométrico del sistema depende del orden en el que se consideren los polinomios. En el orden dado, el grado geométrico del sistema es igual a 1, pero si hubiésemos optado por eliminar otra variable, en vez de X_{1}, en primer lugar, este grado puede variar entre 1 y 2^{n}.

Teniendo en cuenta estas consideraciones, el trabajo futuro sobre este algoritmo debe centrarse en varios aspectos:

• Desarrollo de un algoritmo de tipo probabilístico que permita conocer una estimación previa del grado geométrico del sistema de partida.

• Estudio pormenorizado del comportamiento del invariante δ, haciendo especial hincapié en el comportamiento del mismo frente a distintas normalizaciones de Noether.

• Búsqueda de problemas o clases de problemas que provengan de diferentes campos y que posean un grado geométrico pequeño y frente a los cuales el algoritmo expuesto presente un comportamiento estimablemente mejor que los algoritmos hasta ahora estudiados.

118 Capítulo 4. Un algoritmo para la resolución geométrica

Cota inferior para la aproximación diofántica

Dos objetivos básicos tiene esta Sección. El primero de ellos es la división módulo un ideal intersección completa. De forma habitual, como se explica en la Sección 2.7, este paso de división se realiza utilizando la fórmula de la traza. Sin embargo, en las aplicaciones típicas de esta fórmula, se requiere el uso de todos los monomios de un grado acotado. En la primera Sección de este Capítulo, demostramos que la fórmula de la traza se “evalúa”bien y este hecho se aplica al problema de división. Por otro lado se enuncia un Nullstellensatz con cotas de grado de tipo intrínseco y con complejidad del mismo tipo.

En la segunda Sección, a partir de la cota superior obtenida para el paso de división, se demuestra una cota inferior para la altura de los denominadores de cualquier aproximación diofántica a los puntos de una variedad cero dimensional. La cota expresa el hecho de que la codificación en bit y la codificación en coma flotante son ineficientes para este problema.

5.1 División módulo ideales intersección completa

Como se explicaba en la Subsección 2.7, la fórmula de la traza aparece en varios contextos y de forma reciente en varios trabajos de Teoría de la Eliminación (véase dicha Subsección para una lista de referencias).

Sin embargo, todas estas aplicaciones de la fórmula de la traza requieren una familia de monomios de grado acotado. En este sentido, sólo se podrían obtener cotas de tipo extrínseco y no de tipo intrínseco. Aquí se introduce una versión diferente para obtener el máximo beneficio de las buenas propiedades de las álgebras de Gorenstein, estableciendo que la fórmula de la traza puede evaluarse bien. El proceso del levantamiento de la clase puede realizarse usando para ello las matrices de los tensores.

Sea f_{1}, …, f_{n} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] (R un anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo) una sucesión regular reducida de polinomios de grado a lo más d y supongamos que el ideal (f_{1}, …, f_{n}) es radical. Sea B la R−álgebra

B := R[X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{n}).

Supongamos, además, que el morfismo R → B es una extensión entera de anillos. Recordamos que en estas condiciones B es un R−módulo libre de rango finito y que como R−álgebra es de Gorenstein. Si K es el cuerpo de fracciones de R, consideremos la K-álgebra B′ = K ⊗_{R} B obtenida por localización y supongamos que β′ es una base de B′ como K-espacio vectorial de dimensión finita. Sea Δ el pseudojacobiano de la sucesión f_{1}, …, f_{n} y recordemos que puede escribirse como

Δ := ∑_{m} a_{m}(X)b_{m}(Y_{1}, …, Y_{n}) ∈ IR[X_{1}, …, X_{n}, Y_{1}, …, Y_{n}],

Sea c_{m} el polinomio resultante de sustituir en el polinomio b_{m} las variables Y_{1}, …, Y_{n} por las variables X_{1}, …, X_{n}.

Proposición 81 (Fórmula de la traza) Con las mismas notaciones, consideremos el R[X_{1}, …, X_{n}]-módulo libre B[X_{1}, …, X_{n}] := B ⊗_{R} R[X_{1}, …, X_{n}] y sea Δ_{1} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] el polinomio dado por:

Δ_{1} := ∑_{m} ā_{m} · c_{m} ∈ B[X_{1}, …, X_{n}].

Entonces, para cualquier y g ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] la siguiente identidad se verifica en R[X_{1}, …, X_{n}]:

∑_{m} σ(ḡ · ā_{m}) · c_{m} = T̃r(J̄^{−1}ḡ · Δ_{1}).

(Aquí T̃r := Tr ⊗ Id_{R[X_{1},...,X_{n}]} : B[X_{1}, …, X_{n}] ⟶ R[X_{1}, …, X_{n}] es la traza habitual obtenida al extender la traza usual en B, Tr : B ⟶ R por escalares).

Demostración.– Sea Tr : B ⟶ R la traza usual del R-módulo libre B. Recordemos que ( [Kunz, 1986, Appendix F]) para cualquier g ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] la identidad

Tr(J̄^{−1}ḡ) = σ(ḡ)

es cierta. De la R[Y_{1}, …, Y_{n}]-linealidad de T̃r : B[Y_{1}, …, Y_{n}] ⟶ R[Y_{1}, …, Y_{n}] se deduce que, para cualquier g ∈ R[X_{1}, …, X_{n}],

T̃r(J̄^{−1}ḡΔ_{1}(Y_{1}, …, Y_{n})) = ∑_{m} T̃r(J̄^{−1}ḡā_{m} · b_{m}) = ∑_{m} T̃r(J̄^{−1}ḡā_{m}) · b_{m}.

Dicho de otra manera, en R[Y_{1}, …, Y_{n}] se verifica

T̃r(J̄^{−1}ḡΔ_{1}(Y_{1}, …, Y_{n})) = ∑_{m} σ(ḡ · ā_{m}) · b_{m}.

Si en la igualdad anterior se sustituyen las variables Y_{1}, …, Y_{n} por las variables X_{1}, …, X_{n} se obtiene la fórmula

T̃r(J̄^{−1}ḡΔ_{1}) = ∑_{m} σ(ḡ · a_{m}) · c_{m} .

Es obvio que para cualquier h ∈ R[X_{1}, …, X_{n}, Y_{1}, …, Y_{n}], T̃r(h̄) no es más que la traza usual de la imagen h̄ de h en el R[Y_{1}, …, Y_{n}]-módulo B[Y_{1}, …, Y_{n}].

Consideremos la K-álgebra B′ = IK⊗_{R}B. Fijemos una base y sean M_{X_{1}}, …, M_{X_{n}} las matrices de las homotecias η_{X_{i}} : B ⟶ B′ en esa base. Sea Tr la traza usual de una matriz y sea g ∈ R[X_{1}, …, X_{n}]. Buscamos ahora un polinomio g_{1} ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] de grado acotado por n(d − 1) tal que las clases de g y g_{1} en B coincidan. Este polinomio puede darse utilizando la fórmula de la traza, pero aquí lo expresamos como sigue:

g_{1} := Tr(J(f_{1}, …, f_{n})(M_{X_{1}}, …, M_{X_{n}})^{−1} · g(M_{X_{1}}, …, M_{X_{n}})
·Δ(M_{X_{1}}, …, M_{X_{n}}, X_{1}, …, X_{n})).  (5.1)

El proceso de levantamiento descrito se aplica al cómputo del cociente de polinomios módulo un ideal intersección completa. Sea f ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] un polinomio no divisor de cero en B y otro polinomio g ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] tal que sus clases verifican f̄ | ḡ en B. La siguiente Proposición muestra cómo calcular un cociente q ∈ R[X_{1}, …, X_{n}].

Proposición 82 (Paso de división) Con las notaciones de la subsección anterior, supongamos que D es el rango de B como R–módulo libre. Supongamos, también, que disponemos de dos esquemas de evaluación Γ_{1} y Γ_{2} que evalúan, respectivamente, {f, g} y {f_{1}, …, f_{n}} tales que:

• Talla (Γ_{1}) = L_{1}, Talla (Γ_{2}) = L_{2}

• profundidad no escalar de (Γ_{1}) = ℓ_{1}, profundidad no escalar de (Γ_{2}) = ℓ_{2}

• parámetros de Γ_{i} tiene talla a lo más h_{i}, i = 1, 2

Entonces, existe un esquema de evaluación Γ en R de talla (L_{1} + L_{2})(ndD)^{O(1)}, profundidad no escalar O(max{ℓ_{1}, ℓ_{2}} + log_{2} D + log_{2} n) y que usa parámetros de talla a lo más max{h_{1}, h_{2}} que, a partir de las entradas de las matrices de los tensores M_{X_{1}}, …, M_{X_{n}} computa θ ∈ R, θ ≠ 0, y q ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] tales que:

• θ | q en R[X_{1}, …, X_{n}]

• q̄f̄− θ̄ḡ = 0 en B

Demostración.– Para probar este resultado, observamos que si β es una base de B como R–módulo libre, el conjunto β′ = {b⊗1 : b ∈ B} es una base de B[X_{1}, …, X_{n}] como R[X_{1}, …, X_{n}]-módulo libre. Aún más, si M_{X_{i}} es la matriz del tensor de multiplicación por X̄_{i} en B, la misma matriz es matriz del endomorfismo

ηX̄_{i} : B[X_{1}, …, X_{n}] ⟶ B[X_{1}, …, X_{n}]

Ahora, puesto que los polinomios f y J(f_{1}, …, f_{n}) son no divisores de cero módulo (f_{1}, …, f_{n}), las siguientes matrices son regulares:

F_{1} := f(M_{X_{1}}, …, M_{X_{n}})

J_{1} := det(\frac{∂f_{i}}{∂X_{j}} (M_{X_{1}}, …, M_{X_{n}}))_{1≤i,j≤n}

Finalmente, sean G_{1} y Δ_{1} las matrices

G_{1} := g(M_{X_{1}}, …, M_{X_{n}})
Δ_{1} := Δ(M_{X_{1}}, …, M_{X_{n}}, X_{1}, …, X_{n})

Observamos que las matrices F_{1}, J_{1} y G_{1} tienen coeficientes en R mientras que los coeficientes de Δ_{1} son elementos de R[X_{1}, …, X_{n}]. Por los resultados recientemente obtenidos, se tiene que el polinomio

q_{1} := Tr(J_{1}^{−1} · F_{1}^{−1} · G_{1} · Δ_{1}) ∈ R[X_{1}, …, X_{n}]

verifica que q̄_{1}f̄− ḡ = 0 in B. En último lugar consideramos las traspuestas de las matrices adjuntas de F_{1} y J_{1}:

F_{2} := ^{t}Adj(F_{1})
J_{2} := ^{t}Adj(J_{1})

El cociente buscado q ∈ R[X_{1}, …, X_{n}] y la constante θ ∈ R, θ ≠ 0 vienen dados por:

• q := Tr(F_{2} · J_{2} · G_{1} · Δ_{1})

• θ := det(F_{2}) · det(J_{2})

Claramente, el polinomio q_{1} es el cociente de \frac{q}{θ}, mientras que q̄f̄− θ̄ḡ = 0 in B.

Las cotas de complejidad enunciadas en la Proposición se siguen reconstruyendo los pasos dados en la demostración a partir de los esquemas de evaluación Γ_{1} y Γ_{2}.

De la Proposición anterior se deduce el siguiente Teorema que usaremos en la siguiente Sección:

Teorema 83 Sean f_{1}, …, f_{n}, f_{n+1} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] polinomios que no poseen cero común en C^{n} y que verifican :

• existe un esquema de evaluación de talla L y profundidad no escalar ℓ con parámetros de altura h que evalúa los polinomios f_{1}, …, f_{n}, f_{n+1}

• los grados de los polinomios f_{1}, …, f_{n+1} están acotados por d y h′ es una cota superior para sus alturas

Supongamos, además, que f_{1}, …, f_{n} forman una sucesión regular reducida que define una variedad algebraica cero dimensional V = V (f_{1}, …, f_{n}). Consideramos las siguientes cantidades:

• δ := deg(V)

• η := min ht(V)

Entonces, existe un esquema de evaluación de talla L(ndδ)^{O(1)} y profundidad no escalar del orden O(log_{2} n + log_{2} d + log_{2} δ + ℓ) con parámetros de talla a lo más O(max{h, h′, η, log_{2} n, ℓ}) que evalúa un entero no nulo a ∈ ZZ y un polinomio g_{n+1} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] tales que

a − g_{n+1} · f_{n+1}

pertenece al ideal (f_{1}, …, f_{n}) generado por f_{1}, …, f_{n}en ZZ[X_{1}, …, X_{n}].

Demostración.– Para probar el Teorema 83 seguimos la Proposición anterior. Basta añadir en este caso algunos comentarios sobre las matrices de los tensores.

Consideramos un elemento primitivo u = λ_{1}X_{1} + ⋯ + λ_{n}X_{n}, λ_{i} ∈ ZZ, de la Q - álgebra cero dimensional Q -algebra Q [X_{1}, …, X_{n}]/(f_{1}, …, f_{n}). Sea q_{u} ∈ ZZ[T] el polinomio mínimo de u y ρ_{1}X_{1} − v_{1}(T), …, ρ_{n}X_{n} − v_{n}(T) la parametrización de la variedad con respecto a dicho elemento primitivo. Sea α el coeficiente director de q_{u} y ρ = ∏_{i=1}^{n} ρ_{i} un discriminante. Entonces, la matriz conpañera de q_{u} tiene la forma

α^{−1}M

donde M es una matriz con coeficientes enteros. Ahora, las matrices de los tensores tienen la forma

M_{X_{i}} = ρ_{i}^{−1} · v_{i}(α^{−1}M)

Tomando g = 1 y f = f_{n+1} en la Proposición anterior se obtiene θ ∈ Q , θ ≠ 0 y q ∈ Q [X_{1}, …, X_{n}] tales que

θ · 1 − q · f_{n+1} ∈ (f_{1}, …, f_{n})

Finalmente, multiplicando por potencias adecuadas de α y ρ se obtiene

a := α^{N}ρ^{M} · θ ∈ ZZ g_{n+1} := α^{N}ρ^{M}q ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}]

tales que a − g_{n+1}f_{n+1} ∈ (f_{1}, …, f_{n}). Las cotas del Teorema se obtienen de las cotas de la proposición anterior. Las cotas para la altura se obtienen, simplemente escogiendo un elemento primitivo adecuado u tal que q_{u} y las parametrizaciones tienen altura igual a la menor altura de la variedad diofántica V := V (f_{1}, …, f_{n}).

Observación 84 Hacemos ver que una iteración del proceso anteriormente descrito, produce un nuevo enunciado para las cotas del Teorema de Ceros Efectivo y para el problema de división en el mismo caso. Cabe señalar también que, en estos momentos, el doctorando colabora en un trabajo en el que se estudia el Teorema de Ceros Aritmético y que constituye un paso natural en el estudio de los problemas objeto de esta memoria.

El Teorema que enunciamos a continuación puede verse en [Giusti et al., 1995a]. Observamos también que la cota de los grados puede obtenerse, usando otros métodos como queda expuesto en el trabajo [Krick et al., 1997].

Teorema 85 (Nullstellensatz efectivo) Sean f_{1}, …, f_{s} polinomios pertenecientes al anillo ZZ[X_{1}, …, X_{n}] que generan el ideal trivial en Q [X_{1}, …, X_{n}]. Sea δ el grado genérico geométrico del sistema de ecuaciones f_{1}, …, f_{s} y sea d := max{deg f_{j} ; 1 ≤ j ≤ s}. Supongamos que los polinomios f_{1}, …, f_{s} vienen dados por un esquema de evaluación sin divisiones de talla β en k[X_{1}, …, X_{n}] de talla L y profundidad ℓ. Entonces existe una red aritmética de talla (ndδL)^{O(1)} y profundidad O(n(log_{2} nd + ℓ) log_{2} δ) que produce, a partir de β, un esquema de evaluación sin divisiones a γ en k[X_{1}, …, X_{n}] tal que γ representa polinomios p_{1}, …, p_{s} ∈ k[X_{1}, …, X_{n}] tales que :

i) 1 = p_{1}f_{1} + ⋯ + p_{s}f_{s}

ii) max{deg p_{j} ; 1 ≤ j ≤ s} ≤ 3n^{2}dδ

El circuito γ tiene talla (ndδL)^{O(1)} y profundidad O(n(log_{2} nd + ℓ) log_{2} δ).

Este nuevo Teorema de división no mejora las cotas de grado y altura en el caso genérico (δ = d^{n}) de los teoremas ya conocidos (véanse [Berenstein – Yger, 1991a], [Brownawell, 1987], [Caniglia et al., 1989], [Caniglia et al., 1988], [Dubé, 1993], [Kollár, 1988], [Krick – Pardo, 1996], [Krick – Pardo, 1994], [Philippon, 1991a], [Sabia – Solernó, 1996]), pero presentan varias ventajas. En primer lugar, se adapta mejor al análisis de complejidad de estos problemas, es más general y las cotas que se obtienen son de tipo intrínseco.

5.2 Cota inferior para la aproximación diofántica

En esta Sección probamos una cota inferior para la talla de los denominadores de aproximaciones diofánticas a puntos de variedades cero dimensionales.

Nos situamos en el siguiente contexto: Supongamos dada una sucesión regular reducida de polinomios f_{1}, …, f_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] de altura y grado acotados por d y h respectivamente. Supongamos que el grado y la altura de la variedad cero dimensional V que definen los polinomios f_{1}, …, f_{n} son δ y η respectivamente y supongamos que ningún punto de la misma es racional (es decir, V ∩ Q [i]^{n} = ∅).

Teorema 86 Supongamos dada, mediante un esquema de evaluación de talla y profundidad acotadas respectivamente por L y ℓ una sucesión regular reducida de polinomios f_{1}, …, f_{n} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] de altura y grado acotados por d y h respectivamente. Sea δ el grado y η la altura de la variedad cero dimensional V que definen los polinomios f_{1}, …, f_{n}. Supongamos, además que ningún punto de la misma es racional (es decir, V ∩ Q [i]^{n} = ∅. Entonces, existe una constante universal C que verifica que todo denominador q de cualquier aproximación racional de orden ε verifica:

log_{2} q ≥ \frac{− log_{2} ε}{(ndδ)^{C}} − (h + η)

Demostración.– Sea α = (α_{1}, …, α_{n}) ∈ C^{n} un punto de la variedad V y sea a = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ Q [i]^{n} una aproximación de α de orden ε, es decir ∥a − α∥ < ε. Mediante un cambio lineal de coordenadas, podemos suponer, sin restricción de generalidad, que V ∩ Q [i] × C^{n−1} = ∅. Sea a_{1} = \frac{p_{1}}{q_{1}} , donde p_{1} ∈ ZZ[i] y q_{1} ∈ ZZ. Introducimos, en consecuencia, el siguiente polinomio con coeficientes enteros:

f_{n+1} := (q_{1}X_{1} − p_{1})(p̄_{1}X_{1} − q_{1}).

Por hipótesis, la variedad definida por los polinomios f_{1}, …, f_{n}, f_{n+1} es vacía. Por lo tanto, existen polinomios g_{1}, …, g_{n}, g_{n+1} ∈ ZZ[X_{1}, …, X_{n}] y un entero b tales que:

b = f_{1}g_{1} + ⋯ + g_{n}f_{n} + g_{n+1}f_{n+1}

Evaluando la expresión en el punto α, se tiene

1 ≤| b |=| g_{n+1}(α) | · | q_{1}α_{1} − p_{1} | · | p_{1}X_{1} − q̄_{1} |=

= q_{1}^{2}· | g_{n+1}(α) | · | α_{1} − \frac{p_{1}}{q_{1}} | · | α_{1} − \frac{p̄_{1}}{q_{1}} |≤

≤ q_{1}^{2}· | g_{n+1}(α) | ∥a − α∥ (| α_{1} | + | \frac{p_{1}}{q_{1}} |)

De donde, si ∥a − α∥ < ε ≤ 1, se deduce que

q_{1}^{2} ≥ \frac{ε^{−1}}{| g_{n+1}(α) | (2∥α∥ + 1)}

Para concluir la demostración del Teorema basta combinar algunos de los resultados anteriores para acotar | g_{n+1}(α) | y ∥α∥:

En primer lugar, se tiene que g_{n+1} puede evaluarse por un esquema de evaluación de talla L(ndδ)^{O(1)}, profundidad no escalar O(log_{2} n + log_{2} d + log_{2} δ + ℓ) y que utiliza parámetros de talla O(max{h, h′, η, log_{2} n, ℓ}. Por otro lado, la cota sobre la norma de variedades cero dimensional implica que ∥α∥ ≤ \sqrt{n}δ2^{(δη)}.

Así pues, teniendo en cuenta las cotas sobre grado y altura de polinomios dados por esquemas de evaluación, las cotas de complejidad del esuqema de evaluación que representa g_{n+1} y las cotas sobre ∥V ∥, se tiene log_{2} | g_{n+1}(α) |≤ (ndδ)^{O(1)}(h + η + log_{2} q).

Introduciendo estas cotas en la última desigualdad, se obtiene el resultado anunciado por el Teorema.

Observación 87 Se observa que para el caso n = 1, el Teorema aquí enunciado no es más que una reescritura de un resultado clásico de Liouville que implica que los números algebraicos son difíciles de aproximar:

Teorema[Pardo, 1995] : Sea α ∈ C\Q un número algebraico de grado d y sea h una cota para la altura de los coeficientes de su polinomio mínimo primitivo. Entonces, existe una constante que solo depende de α, c(α) tal que para todo a ∈ Q[i] (a = \frac{c+di}{q}, con c, d, q ∈ ZZ) tal que

∥a − α∥ > \frac{c(α)}{q^{d}}

La constante verifica

((d + 1)(2^{h} + 1))^{−(d+2)} ≤ c(α)

Observación 88 Por otro lado, consideraciones sobre la estructura de la variedad cero dimensional V aconsejan (en particular para caracterizar y distinguir los ceros de la variedad en cuestión) que el orden de aproximación sea del tipo ε = 2^{d^{O(n)}}.

Tomemos el siguiente ejemplo:

f_{1} := X_{1} − a, f_{2} := X_{2} − X_{1}^{d}, …, f_{n} := X_{n} − X_{n−1}^{d}, f_{n+1} := X_{n+1}^{d} − (2X_{n}X_{n+1} − 1)^{2}.

En [Mignotte, 1989] se demuestra que el polinomio P = X^{d} − 2(aX − 1)^{2} posee dos raíces muy próximas a 1/a y que la distancia entre ambas es estrictamente menor que 2a^{−(d+2)/2}. Por lo tanto el sistema de ecuaciones anterior, cuyo grado geométrico es a lo más d, posee dos raíces muy próximas a (a, a^{d}, …, a^{d^{n−1}}, a^{−d^{n−1}}). Además, la distancia entre ambas es estrictamente inferior a

2a^{−d^{n−1}(d+2)/2} = a^{d^{O(n)}}.

Obsérvese que, con ese nivel de aproximación, el resultado demuestra que aun en el caso de que la variedad posea “buenas”propiedades geométricas (grado y altura bajos), la longitud bit del denominador de cualquiera aproximación diofántica a los ceros de la variedad es exponencial en el número de variables lo que, en la práctica, quiere decir que tanto la codificación en coma flotante como la codificación bit, no son aconsejables.

Tomemos como ejemplo la siguiente sucesión regular de polinomios:

X_{1}^{2} + X_{1} + 1, X_{2} − X_{1}^{2}, …, X_{n} − X_{n−1}^{2}

Esta sucesión de polinomios define una variedad cero dimensional con sólo dos puntos (ninguno de ellos racional), cuyo grado geométrico es 2 y su altura 1. Por lo tanto, para un nivel de aproximación del tipo ε = 2^{2^{O(n)}}, el Teorema 86 implica que cualquier aproximación a los dos puntos de la variedad posee un denomidador de talla 2^{O(n)}.

Observación 89 Si en el transcurso de la demostración del Teorema hubiésemos utilizado los Teoremas de Ceros efectivos conocidos ([Berenstein – Yger, 1991a], [Berenstein – Yger, 1991b], [Krick – Pardo, 1996]), la cota que habríamos deducido tendría la forma

\frac{− log_{2} ε}{d^{Cn}h} < log_{2} |q|

para una cierta constante C > 0. Una estimación “à la Liouville”de este tipo no tiene en cuenta las posibles buenas propiedades de la variedad V que se expresan a través de su grado y altura. Además, si el nivel de aproximación requerido es del orden ε = 2^{2^{O(n)}}, la cota final resultante tendría la forma:

2^{O(n)} ≤ 2^{O(n)} log_{2} q

que no permite extraer ninguna consecuencia.

Apéndice: Cotas inferiores para redes aritméticas: Números de Betti

6.1 Introducción

A lo largo del resto de la memoria nos hemos ocupado del estudio de cotas superiores de complejidad. Sin embargo, en este Apéndice nos ocuparemos de cotas inferiores y de cotas inferiores para el paralelismo.

Comenzamos por considerar el problema de decisión (uno de los principales asuntos de preocupación en esta memoria) para los siguientes sistemas de ecuaciones polinomiales :

i) X_{1}^{2} − X_{1}, …, X_{n}^{2} − X_{n}, A_{1}X_{1} + ⋯ + A_{n}X_{n} + 1

ii) X_{1} − A, X_{2} − X_{1}^{d}, …, X_{n} − X_{n−1}^{d}, X_{n} − B

En ambos casos, el problema de consistencia es equivalente a un Problema de pertenencia a un conjunto constructible. Este problema, de manera general, se puede formular en los siguientes términos:

Sea K = IR o C y sea {W_{n}}_{n∈IN} una sucesión de conjuntos constructibles de K^{n}. El problema consiste en decidir, dado (x_{1}, …, x_{n}) ∈ K^{n}, si dicho punto pertenece o no a W_{n}.

Este problema será el centro de nuestra atención en este Apéndice.

Así, la decisión sobre la consistencia de i) es equivalente a averiguar si el punto (A_{1}, …, A_{n}) ∈ K^{n} pertenece o no a la hipersuperficie definida por el polinomio

130 Capítulo 6. Apéndice: Cotas inferiores para redes aritméticas: Números de Betti

∏_{(α_{1},...,α_{n})∈{0,1}^{n}} α_{1}Z_{1} + ⋯ + α_{n}Z_{n} + 1

Análogamente, la decisión sobre la consistencia del sistema ii) es equivalante a testar si (A, B) ∈ K^{2} pertenece o no a a la curva dada por la ecuación

Y − X^{d^{n−1}} = 0

Los resultados contenidos en este Apéndice se refieren al estudio de cotas inferiores para el tiempo paralelo necesario para la resolución del problema de pertenencia a un conjunto constructible.

Los modelos que sirven para describir los algoritmos que resuelven este tipo de problemas son de carácter básicamente algebraicos. A continuación describimos de manera somera los modelos que se han venido usando:

Los modelos secuenciales usados para el estudio de estos problemas son, habitualmente, el de las máquinas RAM (Random Acces Machine) reales (veánse, por ejemplo, [Preparata – Shamos, 1988] o [Yao, 1990]) y el de las máquinas de Turing reales ([Blum et al., 1989], [Cucker et al., 1992]). El correspondiente modelo no uniforme (necesario en el estudio de cotas inferiores) se describe mediante sucesiones de árboles de computación, {T_{n}}_{n∈IN}. A cada nodo del árbol se le asigna una operación elemental (una operación aritmética o un test de signo) y a cada hoja del mismo se le asigna un respuesta SI/NO. De esta manera, el árbol T_{n} describe las operaciones a realizar sobre cada entrada x ∈ IR^{n}. Obviamente, el conjunto formado por todos los puntos con respuesta afirmativa (conjunto aceptado por T_{n}) es un conjunto semialgebraico de IK^{n} ([Blum et al., 1989], [Bochnack et al., 1972], [Cucker et al., 1992]). El modelo paralelo, correspondiente al secuencial ya mencionado, es el de las máquinas de Turing reales paralelas introducidas en [Cucker et al., 1992]. El modelo no uniforme equivalente viene dado por sucesiones, N_{n}, de redes aritméticas (véase [von zur Gathen, 1988] y [Montaña – Pardo, 1993], [Montaña et al., 1996]). La diferencia de este modelo con su correspondiente secuencial radica en el hecho de que se permite la realización de operaciones aritméticas y test de signos de manera simultánea.

Como queda dicho, nuestro interés se refiere al paralelismo. Varias son las razones que impulsan el estudio del mismo. Por un lado, podemos señalar razones de tipo práctico pues modeliza el hecho del trabajo simultáneo de varias procesadores. Por otro lado, el paralelismo, tal como se demuestra en [Borodin, 1977], [Matera – Turull, 1995] o [Matera, 1997] posee una estrecha relación con el espacio memoria requerido.

Históricamente, el estudio de cotas inferiores para la complejidad del problema de pertenencia a un constructible se inicia con la relación de invariantes topogeométricos y las distintas nociones de complejidad.

Así, el uso del grado geométrico de un constructible (ver [Heintz, 1983]) permite obtener una cota del tipo Ω(log_{2} deg(W_{n})) para la complejidad secuencial, tanto uniforme como no–uniforme, del problema de pertenencia a un constructible W_{n} ⊆ C^{n} (véase [Montaña, 1992], por ejemplo).

Por otro lado, las cotas de Milnor–Thom–Olienik–Petrovski permitieron la obtención de cotas inferiores del tipo Ω(log_{2} β_{0}(W_{n})−n) ([Ben-Or, 1983], [Steele – Yao, 1982]) o del tipo Ω(log_{2} β_{0}(W_{n})) [Cucker et al., 1992]. Por otro lado, en [Montaña et al., 1991] se utiliza el grado de intersección para obtener cotas inferiores.

Puesto que las cotas mencionadas se refieren no sólo al número de componentes conexas sino a la suma de los números de Betti, era plausible que los grupos de homología de orden superior jugasen algún papel en el estudio de cotas inferiores para el problema de pertenencia a un constructible. De hecho, en [Ben-Or, 1983] M. Ben–Or escribía :

Since our lower bounds theorems are based on [Milnor, 68], [Thom, 65] it is worthwhile noting that the bounds provided by Milnor and Thom actually bound the sum of the Betti numbers of algebraic varieties and not only the number of connected co mponents. Thus it may be possible to use the dimension of the higher cohomology groups to establish lower bounds on straight line computations ”

Sin embargo más de una decena de años habrán de transcurrir hasta que se dé una respuesta completa a esta conjetura.

Por otro lado, un giro importante se puede encontrar en el trabajo de J.L. Montaña y L. M. Pardo ([Montaña – Pardo, 1993]) dentro del estudio de la complejidad y su relación con invariantes de tipo topológico o geométrico : los invariantes se relacionan con la complejidad no a través de la complejidad secuencial sino a través de la complejidad paralela.

En el mismo artículo, se conjeturaba que toda cota inferior proviniente de invariantes topo-geométricos del constructible es, de modo natural, una cota inferior para el tiempo paralelo mientras que es raramente significativa para el secuencial. Esta idea se manifiesta mediante la consideración de problemas como el de la mochila. Las cotas inferiores secuenciales son del tipo Ω(n^{2}) lo que confirma la existencia de un algoritmo secuencial no–uniforme que funciona en tiempo O(n^{4} log_{2} n). Sin embargo, las cotas inferiores para el tiempo paralelo (casi del mismo orden) adquieren gran relieve pues permiten concluir, por ejemplo, que el problema de la mochila no puede aceptar un resultado paralelo del mismo tipo. Los resultados aquí expuestos dan una respuesta a las dos conjeturas expuestas anteriormente.

En cuanto a la conjetura de Ben–Or, los primeros pasos se dieron con la utilización de la característica de Euler o una modificación de la misma. En [Björner et al., 1992] y [Yao, 1992] se muestra que una característica de Euler modificada (pero coincidente con la usual en el caso compacto) puede usarse para obtener cotas inferiores. La historia del uso de la suma de los números de Betti en la obtención de cotas inferiores para el problema de pertenencia a un constructible queda resumida en el siguiente extracto del survey de Anders Björner

It is reasonable to expect that the topological complexity of E, as measured by its Betti numbers, should have bearing on the computational complexity. This has since long been known in computer science for the case of β_{0}(E), i.e. the number of connected components. Recent work by Björner-Lovász, Yao and Montaña-Morais-Pardo has produced complexity lower bounds in terms of the sum of all Betti numbers.

Theorem Let Ê denote the one-point compactification of E ⊂ IR^{n} and let β(Ê) =

∑_{i≥0} β_{i}(Ê). Then

(i) (Bjorner-Lovasz) C_{1}(E) ≥ log_{3} β(Ê).

(ii) (Yao) There exist constants λ_{1}, λ_{2} > 0 (dependent on d) such that

C_{d}(E) ≥ λ_{1} log_{3} β(Ê) − λ_{2}n.

(iii) (Yao) There exist constants μ_{1}, μ_{2} > 0 such that

C_{AC}(E) ≥ μ_{1} log_{3} β(Ê) − μ_{2}n.

(iv) (Montaña–Morais–Pardo) There exists a constant γ > 0 such that

C_{AN}(E) ≥ γ\sqrt{\frac{log_{3} β(Ê)}{n}}.

Mientras que la estrategia de la demostraciones de estas cotas inferiores es similar, la diferencia estriba en la parte técnica de las mismas. Mientras que en el artículo [Montaña et al., 1996] (principal fuente de este apéndice), se utilizaba la homología de Borel–Moore, bien conocida en el ámbito de la Geometría Algebraica Real (véase [Bochnack et al., 1972]), en el caso de A. Yao, éste define una aparentemente nueva teoría homológica que, finalmente, resulta ser la misma que la de Borel–Moore.

Por último, finalizamos la introducción de este apéndice con las cotas inferiores que para el problema de pertenencia se deducen a partir de las cotas expuestas anteriormente para la complejidad paralela del problema de pertenencia a un constructible. Aplicando las cotas inferiores contenidas en este apéndice o bien las de [Montaña – Pardo, 1993], se deduce que el tiempo paralelo necesario para resolver el problema de consistencia de i) está en Ω(\sqrt{n}). Por otro lado, la aplicación de la cota que relaciona el tiempo paralelo con el grado de la variedad establece una cota inferior del orden Ω(n log_{2} d) para el problema de decidir la consistencia del sistema ii).

6.2 Homología de Borel–Moore de conjuntos semialgebraicos

Es propósito de esta Sección la introducción de aquellos conceptos de la Geometría Algebraica Real necesarios en lo que sigue.

Uno de los objetos básicos en dicha teoría es el conjunto semialgebraico. Para su definición y para la terminología subsiguiente seguiremos [Bochnack et al., 1972].

Definición 90 Un subconjunto W ⊆ IR^{n} se dice que es una celda si existen polinomios f_{1}, …, f_{s} ∈ IR[x_{1}, …, x_{n}] y condiciones de signo (ε_{1}, …, ε_{s}) ∈ {>, =}^{s} tales que :

W = \{\underline{x} ∈ IR^{n} | f_{1}(\underline{x})ε_{1}0, …, f_{s}(\underline{x})ε_{s}0\}.

Un conjunto semialgebraico es una unión finita de celdas. Claramente, las uniones finitas, las intersecciones finitas y los complementarios de conjuntos semialgebraicos son semialgebraicos. Un conjunto semialgebraico se dice localmente cerrado si se puede expresar como intersección de un conjunto semialgebraico abierto y otro cerrado. Por ejemplo, las celdas son localmente cerradas. Una aplicación continua se dice semialgebraica si su grafo es un conjunto semialgebraico.

Para un conjunto semialgebraico dado W, denotaremos H_{r}(W) su r–ésimo grupo de homología y β_{r}(W) su r–ésimo número de Betti. Si V y W son dos conjuntos semialgebraicos compactos, V ⊆ W, H_{r}(W, V) denotará el r –ésimo grupo de homología relativa. Además, denotaremos la suma de todos los números de Betti de W por β(W). Análogamente, denotaremos por χ(W) la suma alternada de todos los números de Betti de W, esto es, la característica de Euler de W.

Milnor mostró en [Milnor, 1964] una relación entre la homología y la descripción de los conjuntos semialgebraicos cerrados básicos.

Teorema 91 (Cota de Milnor) Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ IR[x_{1}, …, x_{n}] polinomios y sea D = ∑ deg(f_{i}). Entonces, la suma de los números de Betti del conjunto semialgebraico cerrado W = \{\underline{x} ∈ IR^{n} : f_{1}(\underline{x}) ≥ 0, …, f_{s}(\underline{x}) ≥ 0\} verifica

β(W) ≤ (1 + D)^{n}.

Dentro de los recursos de la Geometría Algebraica Real que utilizaremos, juega un destacadísimo papel la homología de Borel–Moore. Por ello, recordamos brevemente su definición y las propiedades básicas que verifica. Como primer paso, es preciso recordar la definición de compactificación de Alexandrov.

Definición 92 ( [Bochnack et al., 1972]) Sea W un conjunto semialgebraico localmente cerrado y no compacto. En tal caso, existe un par (Ẇ , η), denominado compactificación de Alexandrov de W que cumple las siguientes propiedades : i) Ẇ es un semialgebraico compacto,

ii) η : W → Ẇ es una aplicación continua semialgebraica que es un homeomorfismo sobre su imagen,

iii) Ẇ \ η(W) no contiene más que un solo punto.

Observación 93 • La compactificación de Alexandrov es invariante bajo homeomorfismos semialgebraicos.

• Si W es cerrado, su compactificación de Alexandrov viene dada por la proyección estereográfica.

Una vez fijada esta noción, estamos en condiciones de definir el concepto de homología de Borel–Moore ([Bochnack et al., 1972], Sección 11.7).

Definición 94 Sea W un conjunto semialgebraico localmente cerrado. La homología de Borel–Moore de W, H_{r}^{BM}(W), se define como :

H_{r}^{BM}(W) = H_{r}(W) si W es compacto,

H_{r}^{BM}(W) = H_{r}(Ẇ , Ẇ \ η(W)) en caso contrario.

Como es fácilmente imaginable, (Ẇ , η) denota la compactificación de Alexandrov de W.

Por coherencia en las notaciones, β_{r}^{BM}(W) designará el rango del r–ésimo grupo de homología de Borel–Moore de W y β^{BM}(W) la suma de tales rangos. También hablaremos de la característica de Euler Borel–Moore, que viene dada por la fórmula

χ^{BM}(W) = ∑_{i≥0}(−1)^{i}β_{i}^{BM}(W).

El punto clave en nuestro uso de la homología de Borel–Moore lo constituye el siguiente lema.

Lema 95 ([Bochnack et al., 1972], 11.7.15) Sea W un semialgebraico localmente cerrado y T un subconjunto semialgebraico cerrado del mismo. Entonces, se verifica la siguiente sucesión exacta larga

… ⟶ H_{r+1}^{BM}(W \ T) ⟶ H_{r}^{BM}(T) ⟶ H_{r}^{BM}(W) ⟶ H_{r}^{BM}(W \ T) ⟶ … En particular, si W y T son dos semialgebraicos localmente cerrados, T cerrado en W, se tiene que

β_{r}^{BM}(W) ≤ β_{r}^{BM}(W \ T) + β_{r}^{BM}(T).

Con las mismas hipótesis, la característica de Euler Borel–Moore verifica

χ^{BM}(W) = χ^{BM}(W \ T) + χ^{BM}(T).

La siguiente Proposición liga la homología de Borel Moore de un semialgebraico localmente cerrado con la homología de su compactificación de Alexandrov.

Proposición 96 Sea W un semialgebraico localmente cerrado no compacto y sea Ẇ su compactificación de Alexandrov. Entonces,

β^{BM}(Ẇ) = β(Ẇ) = β^{BM}(W) + 1.

Demostración.– Sea (Ẇ , η) la compactificación de Alexandrov de W. En primer lugar, para r = 0, se tiene que β_{0}(Ẇ) = β_{0}^{BM}(W) + 1. Esto se deduce directamente del Corolario 13.11 en [Greenberg – Harper, 1981], tras observar que Ẇ \ η(W) no contiene nada más que un punto.

Ahora, puesto que tanto Ẇ como Ẇ \ η(W) son compactos, aplicando el Lema 95 y la definición de homología de Borel–Moore, se obtiene la sucesión exacta larga

… ⟶ H_{r}(Ẇ \ η(W)) ⟶ H_{r}(Ẇ) ⟶ H_{r}^{BM}(W) ⟶ H_{r−1}(Ẇ \ η(W)) ⟶ ….

De la exactitud de la sucesión y del hecho de que Ẇ \ η(W) no contiene más que un solo punto, se deduce de manera inmediata que

i) Para r > 1: β_{r}(Ẇ) = β_{r}^{BM}(W)

ii) β_{0}(Ẇ) − β_{1}(Ẇ) − 1 = β_{0}^{BM}(W) − β_{1}^{BM}(W).

En [Yao, 1992], A. Yao modificaba la característica de Euler para obtener un invariante que fuese aditivo. Esta característica de Euler modificada puede definirse en los siguientes términos: por el Teorema de triangulación de Hironaka, sabemos que todo semialgebraico acotado de IR^{n} admite una triangulación semialgebraica. Esto significa que si W ⊆ IR^{n} es un semialgebraico acotado, existe una descomposición simplicial abierta D = {D_{α} : α ∈ A} de

E := ⋃_{α∈A} D_{α} ⊆ IR^{n}

y h : E → IR^{n} un homeomorfismo semialgebraico de E sobre h(E) tales que está garantizada la existencia de un subconjunto B ⊆ A que verifica

W = ⋃_{α∈B} h(D_{α}).

En virtud de estas consideraciones, A. Yao definió la característica de Euler modificada de W como

χ̂(W) = ∑_{α∈B}(−1)^{dim(D_{α})}.

Por otro lado, si el conjunto semialgebraico W no es acotado, χ̂(W) se define como χ̂(φ(W)), donde φ es la proyección estereográfica inversa de S^{n} \ {(0, …, 0, 1)} (S^{n} la esfera centrada en el origen y de radio unidad en IR^{n+1}). Esta función así definida es invariante frente a homeomorfismos semialgebraicos, es aditiva y coincide con la característica de Euler habitual en el caso de que W sea compacto ([Yao, 1992]).

Corolario 97 Con las mismas notaciones que antes, si W es un semialgebraico localmente cerrado, se tiene que χ̂(W) = χ^{BM}(W).

Demostración.– Si W es compacto, no hay nada que probar. Si no, sea (Ẇ , η) la compactificación de Alexandrov de W. Observemos primero que la característica de Euler de Ẇ es igual a χ^{BM}(W) + 1 (utilizando los mismos argumentos que en la prueba de la Proposición 96). Por otro lado, χ̂(W) = χ(Ẇ) − 1. Así pues,

χ̂(W) = −1 + ∑_{r≥0}(−1)^{r}β_{r}(Ẇ) = ∑_{r≥0}(−1)^{r}β_{r}^{BM}(W) = χ^{BM}(W).

Sea F ⊆ IR[x_{1}, …, x_{n}] una colección finita de polinomios. Un conjunto semialgebraico dado como intersección de condiciones de signo sobre polinomios de F se llama una F–celda. Un semialgebraico W de IR^{n} se dice F–celda completa si existen condiciones de signo ε_{f} ∈ {<, =, >} tales que :

W = ⋂_{f∈F}{x ∈ IR^{n} : f(x)ε_{f}0}

es decir, si W viene dado mediante una expresión que involucra todos los polinomios de F. Basándose en la sucesión exacta del Lema 95, se puede probar la siguiente Proposición.

Proposición 98 Sea F = {f_{1}, …, f_{s}} ⊂ IR[x_{1}, …, x_{n}] y sea W un semialgebraico localmente cerrado. Entonces, para todo r se verifica : i) β_{r}^{BM}(W) ≤ ∑ β_{r}^{BM}(F ∩ W), donde F recorre el conjunto de F− celdas com-

pletas.

ii) χ^{BM}(W) = ∑ χ^{BM}(F ∩ W), para el mismo conjunto que en i).

Demostración.– Tras aplicar el Lema 95 dos veces se tiene

β_{r}^{BM}(W) ≤ β_{r}^{BM}(\{\underline{x} ∈ W | f_{1}(\underline{x}) > 0\}) + β_{r}^{BM}(\{\underline{x} ∈ W | f_{1}(\underline{x}) = 0\})+
+β_{r}^{BM}(\{\underline{x} ∈ W | f_{1}(\underline{x}) < 0\})

χ^{BM}(W) = χ^{BM}(W ⋂\{\underline{x} ∈ IR^{n} | f_{1}(\underline{x}) > 0\}) + χ^{BM}(W ⋂\{\underline{x} ∈ IR^{n} | f_{1}(\underline{x}) = 0\})+

+χ^{BM}(W ⋂\{\underline{x} ∈ IR^{n} | f_{1}(\underline{x}) < 0\})

Este mismo argumento, reiterado para cada f_{i} permite concluir la tesis de la Proposición.

El siguiente paso es la obtención de una cota superior para la homología de Borel– Moore de un semialgebraico localmente cerrado obtenido como unión de F–celdas, es decir, una cota al estilo Milnor. De hecho, la cota que damos a continuación (Teorema 100) tiene el mismo orden de magnitud que la cota de Milnor (véase el Teorema 91): depende exponencialmente del número de variables y polinomialmente de la suma de los grados. Empezamos por dar una cota superior para la homología de la compactificación de Alexandrov de un cerrado básico.

Proposición 99 Sea W el subconjunto semialgebraico de IR^{n}

W = \{\underline{x} ∈ IR^{n} : f_{1}(\underline{x}) ≥ 0, …, f_{r}(\underline{x}) ≥ 0\},

y sea D = ∑_{i=1}^{r} deg(f_{i}). Entonces,

| χ(Ẇ) |≤ β(Ẇ) ≤ (5 + D)^{n+1}

Demostración.– Sea φ : IR^{n} ⟶ S^{n} \ {(0, …, 0, 1)} la proyección estereográfica inversa dada por

φ(x_{1}, …, x_{n}) = (\frac{2x_{1}}{∥\underline{x}∥^{2} + 1}, ⋯, \frac{2x_{n}}{∥\underline{x}∥^{2} + 1}, \frac{∥\underline{x}∥^{2} − 1}{∥\underline{x}∥^{2} + 1}) ,

donde ∥\underline{x}∥^{2} = x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2}. Es fácil ver que para todo punto (y_{1}, …, y_{n+1}) de S^{n} \ {(0, …, 0, 1)} se verifica la relación

(\frac{y_{1}}{1 − y_{n+1}} , ⋯, \frac{y_{n}}{1 − y_{n+1}} ) = φ^{−1}(y_{1}, …, y_{n+1})

Por lo tanto, en virtud de lo anterior y de la Observación 93 podemos describir la compactificación de Alexandrov de W en los siguientes términos:

Ẇ = φ(W) ∪ {(0, …, 0, 1} =
= \{\underline{y} ∈ IR^{n+1} : F_{1}(\underline{y}) ≥ 0, …, F_{r}(\underline{y}) ≥ 0, −(y_{1}^{2} + ⋯ + y_{n+1^{2}} − 1)^{2} ≥ 0\} ,

donde

F_{i}(y_{1}, …, y_{n+1}) = (1 − y_{n+1})^{d_{i}}f_{i} (\frac{y_{1}}{1 − y_{n+1}} , ⋯, \frac{y_{n}}{1 − y_{n+1}} )

y d_{i} = deg(f_{i}). Dado que D + 4 es una cota superior para la suma de los grados de los polinomios F_{1}, …, F_{r+s}, −(y_{1}^{2} + ⋯ + y_{n+1}^{2} − 1)^{2}, basta aplicar la cota de Milnor (Teorema 91) para concluir que

β(Ẇ) ≤ (5 + D)^{n+1}.

Teorema 100 Sea F ⊆ IR[x_{1}, …, x_{n}] una familia finita de polinomios y sea D la suma de los grados de todos los polinomios de F. Entonces,

i) Si W es una F− celda, | χ^{BM}(W) |≤ β^{BM}(W) ≤ 2(5 + 2D)^{n+1}.

ii) Si W es unión de F−celdas, β^{BM}(W) es del orden (1 + D)^{O(n)}.

Demostración.– Sea W una F−celda. En tal caso, W se puede describir mediante una expresión del tipo

W = \{\underline{x} ∈ IR^{n} : f_{1}(\underline{x}) = 0, …, f_{r}(\underline{x}) = 0, f_{r+1}(\underline{x}) > 0, …, f_{s}(\underline{x}) > 0\}.

Definimos los conjuntos semialgebraicos :

W′ = \{\underline{x} ∈ IR^{n} : −f_{1}^{2}(\underline{x}) ≥ 0, …, −f_{r}^{2}(\underline{x}) ≥ 0, f_{r+1}(\underline{x}) ≥ 0, …, f_{s}(\underline{x}) ≥ 0\} y

W′′ = \{\underline{x} ∈ IR^{n} : −f_{1}^{2}(\underline{x}) ≥ 0, …, −f_{r}^{2}(\underline{x}) ≥ 0, − ∏_{i=r+1}^{s} f_{i}^{2}(\underline{x}) ≥ 0,

f_{r+1}(\underline{x}) ≥ 0, …, f_{s}(\underline{x}) ≥ 0\}.

Con estas definiciones, es obvio que W′ = W ⋃ W′′. Además W′ es un cerrado semialgebraico de IR^{n} y W′′ es un cerrado semialgebraico de W′. Estamos, por lo tanto, en condiciones de aplicar el Lema 95 y concluir que

… ⟶ H_{r}^{BM}(W′) ⟶ H_{r}^{BM}(W) ⟶ H_{r−1}^{BM}(W′′) ⟶ …

forma parte de una sucesión exacta larga. De esa exactitud, se concluye que para r ≥ 0 :

β_{r}^{BM}(W) ≤ β_{r}^{BM}(W′) + β_{r−1}^{BM}(W′′)

donde β_{−1}(W′′) := 0. Por lo tanto,

β^{BM}(W) ≤ β^{BM}(W′) + β^{BM}(W′′).

Ahora, la aplicación de las Proposiciones 96 y 99 nos permite concluir que

β^{BM}(W) ≤ β^{BM}(W′) + β^{BM}(W′′) = β(Ẇ′) − 1 + β(Ẇ′′) − 1 ≤
≤ (5 + D)^{n+1} + (5 + 2D)^{n+1} ≤ 2(5 + 2D)^{n+1}.

Si W es unión de F–celdas, es también unión de F–celdas completas (puesto que toda F–celda se puede expresar como unión de F–celdas completas, siguiendo el proceso descrito en la demostración de la Proposición 98). Finalmente, como hay, a lo sumo, (1 + D)^{O(n)} ([Grigoriev, 1988a], [Heintz, 1983], [Heintz et al., 1990]) F– celdas no vacías, la tesis del Teorema sigue de la aplicación de la Proposición 98 y de la cota sobre la homología de Borel–Moore de las F–celdas recién obtenida.

6.3 Redes aritméticas

6.3.1 Cotas inferiores

En este apartado, se mostrará el resultado principal contenido en este apéndice. Esto es, una cota inferior para el tiempo paralelo necesario para resolver el problema de pertenencia a un subconjunto semialgebraico de IR^{n}, en función de su homología de Borel–Moore. Esta cota extiende la dada en [Montaña – Pardo, 1993] que dependía del número de componentes conexas.

Al igual que en el citado artículo, nuestro modelo no uniforme de computación será el de las redes aritméticas. Una red aritmética N no es más que un circuito aritmético (o straight–line program) en el que se permiten un tipo especial de puertas (gates), llamadas puertas de signo. Una puerta de este tipo tiene salida 1 si la entrada es mayor o igual que cero y 0 en caso contrario. Esta idea se precisa en la siguiente definición.

Definición 101 Una red aritmética N sobre IR es un grafo dirigido acíclico en el que cada puerta tiene “indegree” (número de aristas que entran en la puerta) 0, 1 o 2. Las puertas con indegree 0 están etiquetadas bien como entradas o bien como elementos de IR. Las puertas con indegree 2 están etiquetadas con operadores binarios de IR. Finalmente, las puertas con indegree 1 son de un único tipo: puertas de signo.

De manera inductiva, podemos asociar a cada puerta una función en las variables de entrada de la manera habitual (siguiendo el correspondiente camino orientado en el grafo). En particular, la función asociada a una puerta de salida es la función que calcula la red aritmética. Se dice que un conjunto semialgebraico W es aceptado por una red aritmética N si la función calculada por N es justamente la función característica de W. En este caso, se supone que la puerta de salida es un nodo de signo (obteniendo así como resultado del cálculo un valor booleano y, por ende, una respuesta al problema decisional planteado).

A cada red aritmética, N, se le asocian dos cantidades que dan cuenta de la “complejidad” de la misma. Por un lado, la talla (size), s(N), es el número de puertas de N. De otro lado, la profundidad (depth), d(N), es la longitud del camino más largo de una puerta de entrada a una de salida. La talla refleja el tiempo secuencial y la profundidad el tiempo paralelo. De ahí que, a partir de ahora, nos refiramos a d(N) como tiempo paralelo.

Observación 102 i) Existe una definición alternativa de red aritmética a la aquí expuesta. Esta definición combina puertas de tipo aritmético con puertas booleanas. La ligazón entre ambos tipos viene dada por dos tipos diferentes de puertas: puertas de signo y puertas de selección. Para una condición de signo ε ∈ {>, =, <} prefijada, la puerta de signo responde con los siguientes valores booleanos:

sign(f, ε) = \{ \begin{matrix}T, & si fε0 \\ F, & en caso contrario. \end{matrix}

Las puertas de selección escogen entre dos valores de la entrada de acuerdo a una instancia booleana. Es decir, poseen asociada una función sel : IR × IR × {T, F} → IR definida por

sel(g, h, B) = \{ \begin{matrix}g, & si B=T \\ h, & en caso contrario. \end{matrix}

Tras un momento de reflexión, es fácil ver que ambos modelos son equivalentes.

ii) Es necesario, por otra parte, observar que la combinación de puertas de signo con puertas de selección puede incrementar el número de polinomios que aparecen durante la “computación” hasta un número doblemente exponencial en la profundidad de la red

2^{2^{d(N)}}.

Un ejemplo de este comportamiento puede verse en [Montaña – Pardo, 1993]. Por lo tanto, una aplicación directa del Teorema 100 conduciría a una cota inferior del tipo Ω(log_{2} log_{2} β^{BM}(W)/n), que no es en absoluto significativa. A pesar de este hecho, se puede demostrar que la suma de los rangos de los grupos de homología de Borel–Moore no crece de manera tan rápida como podría sugerir el posible número de polinomios involucrados. De esta última e importante observación derivaremos una cota mucho mejor que la anteriormente expuesta.

Teorema 103 Sea W ⊂ IR^{n} un conjunto semialgebraico localmente cerrado y sea N una red aritmética cuyo conjunto aceptado coincida con W. Sea h la profundidad de la red N, h := d(N). Entonces,

h ∈ Ω (\sqrt{\frac{log_{2} β^{BM}(W)}{n}})

Demostración.– Sean sgn(i, 1), …, sgn(i, r_{i}) las puertas de signo de N de profundidad i ≤ h. Para cada par (i, j), 1 ≤ j ≤ r_{i}, sea h_{i,j} la función en las variables de entrada (x_{1}, …, x_{n}) que la puerta sgn(i, j) recibe como input. Nótese que h_{i,j} es una función racional a trozos en las variables (x_{1}, …, x_{n}). Dado que el “indegree” de las puertas de N está acotado por 2, en el nivel i el número r_{i} está acotado por 2^{h−i} y el grado formal de h_{i,j} está acotado por 2^{i}. Por lo tanto, al aplicar la cota superior sobre el número de celdas no vacías ( véase [Grigoriev, 1988a], [Heintz, 1983], [Heintz et al., 1990] o [Montaña – Pardo, 1993]) se obtiene que en el nivel 1 hay, a lo sumo,

(2^{h−1} × 2)^{O(n)}

r_{1}–tuplas de condiciones de signo para la familia F_{1} = {h_{1,1}, …, h_{1,r_{1}}} factibles, es decir, que generan una F_{1}–celda no vacía. Ahora, aplicando la Proposición 98 se observa que:

β^{BM}(W) ≤ ∑_{F_{i_{1}}^{1} es F_{1}−celda completa} β^{BM}(W ∩ F_{i_{1}}^{1}) ≤ 2^{O(h·n)}β^{BM}(W ∩ F_{i_{1}}^{1}),

donde F_{i_{1}}^{1} maximiza el {β^{BM}(W ∩ F_{i_{1}}^{1})}_{i_{1}}. Cada r_{1}–tupla de condiciones de signo factible determina la salida de las r_{1} puertas de signo en el nivel 1 y, por lo tanto, funciones racionales h_{2,2}, …, h_{2,r_{2}} en las variables (x_{1}, ⋯, x_{n}) como entradas de la puertas de signo que se encuentran en el nivel 2. Puesto que el número de dichas puertas, r_{2}, esta acotado por 2^{h−2} y el grado de las funciones de entrada está acotado por 2^{2}, volviendo a aplicar [Grigoriev, 1988a] se deduce que para cada r_{1}–tupla σ de condiciones de signo existen a lo más

(2^{h−2} × 2)^{O(n)}

r_{2}–tuplas de condiciones de signo factibles para la familia F_{2}^{σ} = {h_{1,1}^{σ}, …, h_{1,r_{1}}^{σ}} (el superíndice σ se escribe para recordar que estas funciones dependen de las condiciones de signo precedentes).

Aplicando de nuevo la Proposición 98 se tiene que

β^{BM}(W ∩ F_{i_{1}}^{1}) ≤ ∑_{F_{i_{2}}^{2} complete F_{2}(σ)−cell} β^{BM}(W ∩ F_{i_{2}}^{2}) ≤ 2^{O(h·n)} β^{BM}(W ∩ F_{i_{2}}^{2}),

para algún σ (el tal σ corresponde a F_{i_{1}}^{1}) y a algún F_{i_{2}}^{2} . Entonces,

β^{BM}(W) ≤ 2^{O(h·n)}2^{O(h·n)} β^{BM}(W ∩ F_{i_{1}}^{1} ∩ F_{i_{2}}^{2}).

Tras iterar este argumento h veces se obtiene una colección de familias de funciones racionales {F_{j}}_{1≤j≤h} y una colección (F_{i_{j}}^{j}) de F_{j}–celdas completas (una para cada j), tal que cada F_{j} contiene funciones racionales {h_{j,1}, …, h_{j,r_{j}}} cuyo grado está acotado 2^{j}. Estas funciones racionales {h_{j,1}, …, h_{j,r_{j}}} vienen determinadas por la r_{j−1}–tupla de condiciones de signo que definen el conjunto F_{i_{j−1}}^{j−1}. Finalmente, se obtiene la relación:

β^{BM}(W) ≤ \overbrace{2^{O(h·n)} ⋯ 2^{O(h·n)}}^{h} β^{BM}(W ∩ F_{i_{1}}^{1} ∩ … ∩ F_{i_{h}}^{h}).

Ahora si suponemos que W es no vacío, puesto que F_{i_{h}}^{h} maximiza {β^{BM}(W ∩ F_{i_{1}}^{1} ∩ … ∩ F_{i_{h}}^{h})}_{i_{h}} se concluye que F_{i_{1}}^{1} ∩ … ∩ F_{i_{h}}^{h} ⊂ W, y aplicando el Teorema 100 iii) tenemos que:

β^{BM}(W) ≤ 2^{O(h^{2}·n)}2^{O(h·n)}.

Para acabar la prueba, basta con tomar logaritmos en la expresión inmediatamente anterior.

Corolario 104 Sea W ⊂ IR^{n} un semialgebraico localmente cerrado y compacto que se puede reconocer en tiempo paralelo h, mediante una red aritmética N. Entonces,

h ∈ Ω (\sqrt{\frac{log_{2}(| χ(W) | +1)}{n}})

Corolario 105 Sea W ⊂ IR^{n} una superficie topológica compacta que puede reconocerse en tiempo paralelo h, mediante una red aritmética N. Sea g(W) el género de W. Entonces,

h ∈ Ω (\sqrt{\frac{log_{2}(g(W) + 1)}{n}})

Demostración.– Por el Teorema de clasificación de superficies, sabemos que W es homeomorfo a una esfera, a una suma conexa de g(W) toros o a una suma conexa de g(W) planos proyectivos. En el caso de la esfera, g(W) = 0. En el caso de la suma conexa de toros se tiene g(W) = 2 − 2χ(W). Finalmente, en el caso de la suma conexa de planos proyectivos, g(W) = 2 − χ(W).

6.3.2 Aplicaciones

La separación de la clase de los problemas resolubles en tiempo polinomial y de aquellos resolubles en tiempo secuencial polinomial y paralelo polilogarítmico, ha sido estudiada en diferentes contextos. En el contexto booleano, es bien conocida la conjetura que establece que ambas clases son distintas, P ≠ NC. En este caso, P representa la clase de problemas polinomiales, mientras que NC es la clase los problemas resolubles por una sucesión de circuitos booleanos de talla polinomial y profundidad polilogarítmica. Hasta el momento, ninguna prueba ha mostrado la veracidad o no de esta conjetura, que junto a la conjetura de Cook se mantienen como problemas centrales dentro de la “Computer Science”.

Análogamente al caso booleano, se han introducido en el contexto real las clases de complejidad P_{IR} and NC_{IR}. Así, la clase P_{IR} se define en [Blum et al., 1989] restringiendo a una cantidad de recursos polinomial disponibles en una máquina de Turing real. Este modelo se prueba que es una uniformización de los árboles algebraicos de computación o de las redes aritméticas (véase [Cucker, 1992]). Por otro lado, la clase NC_{IR} se define mediante sucesiones de redes aritméticas que poseen talla polinomial y profundidad polilogarítmica. En este contexto el problema P_{IR} ≠ NC_{IR} tiene una respuesta positiva.

La distinción entre ambas clases así definidas se probó de manera independiente en [Cucker, 1992], usando polinomios irreducibles de alto grado y semialgebraicos con “muchas” componentes conexas en [Montaña – Pardo, 1993]. En este sentido el Teorema 103 y los corolarios subsiguientes, pueden usarse para encontrar ejemplos de semialgebraicos conexos cuyo problema de pertenencia puede resolverse en tiempo polinomial, pero no con redes aritméticas de profundidad polilogarítmica.

Como primer ejemplo, sea B_{n} el semialgebraico de IR^{3n} definido por

B_{n} = \overbrace{C_{n} × ⋯ × C_{n}}^{n},

donde C_{n} es la suma conexa de 2^{n+1} toros con sus correspondientes interiores en IR^{3}:

C_{n} = ⋃_{j=0}^{2^{n}} {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ IR^{3} : ((x_{1} − 5j)^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 3)^{2} ≤ 16 ((x_{1} − 5j)^{2} + x_{2}^{2})} .

Se tiene:

• El conjunto B_{n} es un semialgebraico conexo compacto.

• Su complementario también es conexo.

Por lo tanto, la técnica basada en las componentes conexas no proporciona ninguna información sobre el problema. Sin embargo, usando la homología de Borel–Moore se obtiene que

β^{BM}(W) = β(W) ≥ 2^{n^{2}},

y por lo tanto, que el tiempo paralelo para resolver el problema de pertenencia a B_{n} está acotado inferiormente por Ω(\sqrt{n}). Un típico argumento de divide y vencerás demuestra que el tiempo secuencial necesario (en términos de máquinas de Turing reales) para resolver el mismo problema es polinomial en n.

Corolario 106 El problema de pertenencia para B_{n} se encuentra en la clase P_{IR} \ NC_{IR}.

Otro ejemplo es el problema de pertenencia al siguiente conjunto algebraico:

W_{n} = {(x_{1}, x_{2}, …, x_{2n}) ∈ IR^{2n} : (x_{2i−1} − 2j)^{2} + x_{2i}^{2} − 1 = 0, 0 ≤ j ≤ 2^{n}, 1 ≤ i ≤ n}

Este es un conjunto algebraico compacto y conexo. De hecho, W_{n} es igual a

\overbrace{Z_{n} × ⋯ × Z_{n}}^{n}, donde Z_{n} es el conjunto algebraico de IR^{2} obtenido como suma de 2^{n} + 1 copias de S^{1}, es decir, Z_{n} = {(x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2} : (x_{1} − 2j)^{2} + x_{2}^{2} − 1 = 0, j = 0, …, 2^{n}}. Así, se tiene que

β^{BM}(W) = β(W) ≥ 2^{n^{2}},

lo que , en virtud del Teorema 103, establece que el tiempo paralelo para resolver el problema de pertenencia a W_{n} está acotado inferiormente por Ω(\sqrt{n}). De nuevo un argumento de “divide y vencerás” demuestra que el problema de pertenencia a W_{n} es polinomial.

Corolario 107 El problema de pertenencia para W_{n} se encuentra en la clase P_{IR} \ NC_{IR}.

Bibliografía

[Aho et al., 1974] Aho, A. V., Hopcroft, J. E., y Ullman, J. D. (1974). The design and analysis of computer algorithms. Addison–Wesley.

[Alonso et al., 1996] Alonso, M. E., Becker, E., Roy, M.-F., y Wörmann, T. (1996). Zeroes, multiplicities and idempotents for zerodimensional systems. En Algorithms in Algebraic Geometry and Applications. Proceedings of MEGA’94, volumen 142 de Progress in Mathematics, páginas 1–15. Birkhäuser.

[Armendáriz – Solernó, 1995] Armendáriz, I. y Solernó, P. (1995). On the computation of the radical of polynomial complete intersection ideals. En G.Cohen, Giusti, H., y Mora, T., editores, Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error Corecting Codes, Proc. AAECC-11, volumen 948 de LNCS, páginas 106–119. Springer.

[Balcázar et al., 1988] Balcázar, J. L., Díaz, J., y Gabarró, J. (1988). Structural complexity I. EATCS 11. Springer.

[Baur – Strassen, 1983] Baur, W. y Strassen, V. (1983). The complexity of partial derivatives. Theo. Comp. Sci., 22: 317–330.

[Becker et al., 1996] Becker, E., Cardinal, J. P., Roy, M. F., y Szafraniec, Z. (1996). Multivariate Bezoutians, Kronecker symbol and Eisenbud-Levine formula. En Algorithms in Algebraic Geometry and Applications. Proceedings of MEGA’94, volumen 142 de Progress in Mathematics, páginas 79–104. Birkhäuser.

[Ben-Or, 1983] Ben-Or, M. (1983). Lower bounds for algebraic computation trees. ACM 15. ACM STOC, 4: 80–86.

[Berenstein – Yger, 1991a] Berenstein, C. y Yger, A. (1991a). Effective Bézout identities in Q[X_{1}, …, X_{n}]. Acta. Math., 166: 69–120.

[Berenstein – Yger, 1991b] Berenstein, C. y Yger, A. (1991b). Une formule de Jacobi et ses conséquences. Ann. Sci. E.N.S., 24(4): 363–377.

[Berkowitz, 1984] Berkowitz, S. J. (1984). On computing the determinant in small parallel time using a small number of processors. Information Processing Letters, 18: 147–150.

[Berman – Hartmanis, 1977] Berman, L. y Hartmanis, J. (1977). On isomorphisms and density of NP and other complete sets. SIAM Journal on Computing, 6(2): 305–322.

[Bernstein, 1975] Bernstein, D. (1975). The number of roots of a system of equations. Funkts. Anal. Pril., 9: 1–4.

[Björner et al., 1992] Björner, A., Lovász, L., y Yao, A. (1992). Linear decision trees: Volume estimates and topological bounds. Proccedings of A.C.M. 24th Symposium on Theory of Computing, páginas 170–177.

[Blum et al., 1989] Blum, L., Shub, M., y Smale, S. (1989). On a theory of computation and complexity over the real numbers: NP-completeness, recursive functions and universal machines. Bull. of the AMS, 21(1): 1–46.

[Bochnack et al., 1972] Bochnack, J., Coste, M., y Roy, M.-F. (1972). Géométrie algébrique réelle. Ergenisse der Math., 3. Folge, Springer–Verlag.

[Borel, 1948] Borel, E. (1948). La définition en mathématiques. En Les Grands Courants de la Pensée Mathématique, páginas 24–34. Cahier du Sud, Paris.

[Borodin, 1977] Borodin, A. (1977). On relating time and space to size and depth. SIAM J. on Comp., 6: 733–744.

[Borodin – Munro, 1972] Borodin, A. y Munro, J. (1972). The Computational Complexity of Algebraic and Numeric Problems. Elsevier.

[Borodin et al., 1982] Borodin, A., von zur Gathen, J., y Hopcroft, J. (1982). Fast parallel matrix and gcd computations. En Proc. 23rd. Ann. Symp. FOCS, páginas 65–71.

[Bost et al., 1991] Bost, J.-B., Gillet, H., y Soulé, C. (1991). Un analogue arithmétique du théorème de Bézout. C. R. Acad. Sci. Paris, 312: 845–848.

[Bost et al., 1993] Bost, J.-B., Gillet, H., y Soulé, C. (1993). Heights of projective varieties and positive Green forms. Manuscript I.H.E.S.

[Brownawell, 1987] Brownawell, D. W. (1987). Bounds for the degree in the Nullstellensatz. Annals of Math., 126: 577–591.

[Bürgisser et al., 1997] Bürgisser, P., Clausen, M., y Shokrollahi, M. A. (1997). Algebraic Complexity Theory. Springer.

[Caniglia et al., 1988] Caniglia, L., Galligo, A., y Heintz, J. (1988). Borne simplement exponentielle pour les degrés dans le théorème des zéros sur un corps de charactéristique quelconque. C. R. Acad. Sci. Paris, 307: 255–258.

[Caniglia et al., 1989] Caniglia, L., Galligo, A., y Heintz, J. (1989). Some new effectivity bounds in computational geometry. En Mora, T., editor, Proc. AAECC-6, LNCS 357, páginas 131–152. Springer.

[Canny, 1988] Canny, J. (1988). Some algebraic and geometric problems in PSPA-CE. En Proc. 20. ACM STOC, páginas 460–467.

[Cardinal, 1993] Cardinal, J. P. (1993). Dualité et algorithmes itératives pour la solution des systèmes polynomiaux. Tesis Doctoral, Université de Rennes I, Francia.

[Chistov, 1983] Chistov, A. L. (1983). Polynomial time computation of the dimension of components of algebraic varieties in zero-characteristic. Preprint Université Paris Val de Marne.

[Chistov, 1985] Chistov, A. L. (1985). Fast parallel calculation of the rank of matrices over a field of arbitrary characteristic. Lecture Notes in Computer Science, 199: 63–69.

[Chistov – Grigoriev, 1983] Chistov, A. L. y Grigoriev, D. Y. (1983). Subexponential time solving systems of algebraic equations. LOMI preprint E-9-83, E-10-83, Steklov Institute, Leningrad.

[Cohen, 1946] Cohen, I. S. (1946). On the structure and ideal theory of complete local rings. Trans. Amer. Math. Soc., 59: 54–106.

[Cook, 1971] Cook, S. A. (1971). The complexity of theorem-proving procedures. En Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing, páginas 151–158.

[Csanky, 1976] Csanky, L. (1976). Fast parallel matrix inversion algorithms. SIAM J. Comput, 5: 618–623.

[Cucker, 1992] Cucker, F. (1992). P_{R} ≠ NC_{R}. J. of Complexity, 8: 230–238.

[Cucker et al., 1992] Cucker, F., Montaña, J. L., y Pardo, L. M. (1992). Time bounded computations over the reals. International Journal of Algebra and Computation, 2(4): 395–408.

[Dickenstein et al., 1991] Dickenstein, A., Fitchas, N., Giusti, M., y Sessa, C. (1991). The membership problme for unmixed polynomial ideals is solvable in single exponential time. Discrete Applied Mathematics, 33: 73–94.

[Dixon, 1982] Dixon, J. (1982). Exact solution of linear equations using p-adic expansions. Numer. Math., 40: 137–141.

[Dubé, 1993] Dubé, T. W. (1993). A combinatorial proof of effective Nullstellensatz. J. Symb. Comp., 15: 277–296.

[Elkadi, 1993] Elkadi, M. (1993). Bornes pour le degré et les hauteurs dans le problème de division. Michigan Math. J., 40(40): 609–618.

[Emiris, 1994] Emiris, I. (1994). Sparse elimination and applications in Kinematics. Tesis Doctoral, Universidad de Berkeley.

[Fitchas et al., 1995] Fitchas, N., Giusti, M., y Smietanski, F. (1995). Sur la complexité du théoréme des zéros. En Guddat, J., editor, Approximation and Optimization in the Caribbean II, Proc. 2nd Int. Conf. on Non-Linear Optimization and Approximation, volumen 8 de Approximation and Optimization, páginas 247–329. Peter Lange Verlag, Frankfurt am Main.

[Fulton, 1984] Fulton, W. (1984). Intersection Theory. Ergebnisse der Mathematik, 3 Folge Band 2, Springer Verlag.

[García – Zangwill, 1981] García, C. B. y Zangwill, W. I. (1981). Pathways to solutions, fixed points and equilibria. Prentice-Hall.

[Garey – Johnson, 1979] Garey, M. y Johnson, D. (1979). Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. Freeman, San Francisco.

[Gianni – Mora, 1989] Gianni, P. y Mora, T. (1989). Algebraic solution of systems of polynomial equations using Gröbner bases. En Proc. AAECC-5, LNCS 356, páginas 247–257. Springer.

[Gill, 1972] Gill, J. (1972). Probabilistic Turing Machines and Complexity of Computations. Tesis Doctoral, U.C. Berkeley.

[Giusti et al., 1997] Giusti, M., Hägele, K., Heintz, J., Morais, J. E., Montaña, J. L., y Pardo, L. M. (1997). Lower bounds for diophantine approximation. Journal of Pure and App. Algebra (Proceedings of MEGA’96), 117–118: 277–317.

[Giusti – Heintz, 1991] Giusti, M. y Heintz, J. (1991). Algorithmes - disons rapides - pour la décomposition d’ une variété algébrique en composantes irréductibles et équidimensionelles. En Mora, T. y Traverso, C., editores, Proc. MEGA’90, volumen 94 de Progress in Mathematics, páginas 169–194. Birkhäuser.

[Giusti – Heintz, 1993] Giusti, M. y Heintz, J. (1993). La détermination des points isolés et de la dimension d’une variété algébrique peut se faire en temps polynomial. En Eisenbud, D. y Robbiano, L., editores, Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, volumen XXXIV de Symposia Matematica, páginas 216–256. Cambridge University Press.

[Giusti et al., 1995a] Giusti, M., Heintz, J., Morais, J. E., Morgenstern, J., y Pardo, L. M. (1995a). Straight–line programs in geometric elimination theory. Aparecerá en J. of Pure and App. Algebra.

[Giusti et al., 1995b] Giusti, M., Heintz, J., Morais, J. E., y Pardo, L. M. (1995b). When polynomial equation systems can be solved fast ? En G.Cohen, Giusti, M., y Mora, T., editores, Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error Corecting Codes, Proc. AAECC-11, volumen 948 de LNCS, páginas 205–231. Springer.

[Giusti et al., 1996] Giusti, M., Heintz, J., Morais, J. E., y Pardo, L. M. (1996). Le rôle des structures de données dans les problèmes d’élimination. Aparecerá en C.R.A.S. Paris.

[Giusti et al., 1993] Giusti, M., Heintz, J., y Sabia, J. (1993). On the efficiency of effective Nullstellensätze. Computational Complexity, 3: 56–95.

[González-Vega – Trujillo, 1995] González-Vega, L. y Trujillo, G. (1995). Using symmetric functions to describe the solution of a zero-dimensional ideal. En Cohen, G., Giusti, H., y Mora, T., editores, Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error Corecting Codes, Proc. AAECC-11, volumen 948 de LNCS. Springer.

[Greenberg – Harper, 1981] Greenberg, M. y Harper, J. R. (1981). Algebraic topology: A first course. The Benjamin/Cummings Publishing Company.

[Grigoriev, 1988a] Grigoriev, D. (1988a). Complexity of deciding Tarski algebra. J. of Symb. Comp., 4: 65–108.

[Grigoriev, 1988b] Grigoriev, D. (1988b). Lower bounds in Algebraic computational complexity. J. of Soviet Mathematics, 4: 65–108.

[Hägele – Montaña, 1996] Hägele, K. y Montaña, J. L. (1996). Polynomial random test for the equivalence problem of integers given by arithmetic circuits.

[Heintz, 1983] Heintz, J. (1983). Definability and fast quantifier elimination in algebraically closed fields. Theor. Comput. Sci., 24(3): 239–277.

[Heintz, 1989] Heintz, J. (1989). On the computational complexity of polynomials and bilinear mappings. A survey. En Proc. AAECC-5, LNCS 356, páginas 269– 300. Springer.

[Heintz – Morgenstern, 1993] Heintz, J. y Morgenstern, J. (1993). On the intrinsic complexity of elimination theory. J. of Complexity, 9: 471–498.

[Heintz et al., 1990] Heintz, J., Roy, M.-F., y Solernó, P. (1990). Sur la complexité du principe de tarski-seidenberg. Bull. Soc. Math. de France, 118: 101–126.

[Heintz – Schnorr, 1982] Heintz, J. y Schnorr, C. P. (1982). Testing polynomials which are easy to compute. En Logic and Algorithmic, volumen 30 de Monographie de l’Enseignement Mathématique, páginas 237–254.

[Heintz – Sieveking, 1980] Heintz, J. y Sieveking, M. (1980). Lower bounds for polynomials with algebraic coefficients. Theo. Comp. Sci., 11: 321–330.

[Heintz – Sieveking, 1981] Heintz, J. y Sieveking, M. (1981). Absolute primality of polynomials is decidable in random polynomial-time in the number of variables. En Proc. ICALP 81, volumen 115 de LNCS, páginas 16–28. Springer.

[Hermann, 1926] Hermann, G. (1926). Die frage der endlich vielen schritte in der theorie de polynomideale. Math. Ann., 95: 736–788.

[Hurtado – Noy, 1993] Hurtado, F. y Noy, M. (1993). Ears of triangulations and Catalan numbers. Ma2-ir-93-5, Universitat Politecnica de Catalunya, Dep. Math. Apl. II.

[Ibarra – Moran, 1983] Ibarra, O. H. y Moran, S. (1983). Equivalence of straightline programs. Journal of the ACM, 30: 217–228.

[Iversen, 1973] Iversen, B. (1973). Generic local structure of the morphisms in Commutative Algebra, volumen 310 de LNM. Springer.

[Jouanolou, 1983] Jouanolou, J. P. (1983). Théorèmes de Bertini et applications. Progress in Math. Birkhäuser Verlag.

[Kaltofen, 1988] Kaltofen, E. (1988). Greatest common divisors of polynomials given by straight-line programs. Journal of the ACM, 35(1): 231–264.

[Kaltofen, 1989] Kaltofen, E. (1989). Factorization of polynomials given by straightline programs. En Micali, S., editor, Randomness in Computation, volumen 5 de Advances in Computing Research, páginas 375–412. JAI Press Inc.

[Knuth, 1981] Knuth, D. E. (1981). The Art of Computer Programming: Seminumerical Algorithms, volumen 2. Addison-Wesley.

[Kobayashi et al., 1988] Kobayashi, H., Fujise, T., y Furukawa, A. (1988). Solving systems of algebraic equations by general elimination method. J. of Symb. Comp., 5: 303–320.

[Koiran, 1996] Koiran, P. (1996). Hilbert’s Nullstellensatz is in the polynomial hierarchy. Journal of Complexity, 12(4).

[Kollár, 1988] Kollár, J. (1988). Sharp effective Nullstellensatz. J. of the AMS, 1: 963–975.

[Krick – Pardo, 1994] Krick, T. y Pardo, L. M. (1994). Une approche informatique pour l’ approximation diophantienne. C. R. Acad. Sci. Paris, 318(1): 407–412.

[Krick – Pardo, 1996] Krick, T. y Pardo, L. M. (1996). A computational method for diophantine approximation. En González-Vega, L. y Recio, T., editores, Algorithms in Algebraic Geometry and Applications. Proc. MEGA’94, volumen 143 de Progress in Mathematics, páginas 193–254. Birkhäuser Verlag.

[Krick et al., 1997] Krick, T., Sabia, J., y Solernó, P. (1997). On intrinsic bounds in the Nullstellensatz. Applicable Algebra in Engineering Communications and Computing (AAECC Journal), 8: 125–134.

[Kunz, 1986] Kunz, E. (1986). Kähler Differentials. Advanced Lectures in Mathematics. Vieweg Verlag.

[Kushnirenko, 1975] Kushnirenko, A. G. (1975). The Newton polyhedron and the number of solutions of a sistem of k equations in k unknowns. Uspekhi Mat. Nauk., 30.

[Lakshman – Lazard, 1991] Lakshman, Y. y Lazard, D. (1991). On the complexity of zero-dimensional algebraic systems. En Effective methods in algebraic geometry, volumen 94 de Progress in Mathematics, páginas 217–225. Birkhäuser.

[Lejeune-Jalabert, 1984] Lejeune-Jalabert, M. (1984). Effectivité de calculs polynomiaux. manuscript, Cours de DEA, Université de Grenoble.

[Li – Vitanyi, 1988] Li, M. y Vitanyi, P. M. B. (1988). Two decades of applied Kolmogorov complexity. Cs-r8813, Centrum voor Wiskunde en Informatica.

[Li – Vitányi, 1990] Li, M. y Vitányi, P. M. B. (1990). Kolmogorov complexity and its applications. En Handbook of Theoretical Computer Science, capítulo 4, páginas 189–253. Elsevier Science Publishers.

[Macaulay, 1916] Macaulay, F. S. (1916). The Algebraic Theory of Modular Systems. Cambridge University Press.

[Mahaney, 1982] Mahaney, S. (1982). Sparse complete sets for NP: Solution of a conjecture of Berman and Hartmanis. Journal of Comp. and Syst. Sci., 23(2): 23–39.

[Masser – Wüstholz, 1971] Masser, D. W. y Wüstholz, G. (1971). Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions. Invent. Math., 72: 407–463.

[Matera, 1997] Matera, G. (1997). Sobre la complejidad en tiempo y espacio de la eliminación geométrica. Tesis Doctoral, Universidad de Buenos Aires, Argentina.

[Matera – Turull, 1995] Matera, G. y Turull, J. M. (1995). The complexity space of elimination: upper bounds. Proc. Found. of Comp. Math. Workshop Rio de Janeiro, 1997.

[Matsumura, 1986] Matsumura, H. (1986). Commutative Ring Theory. Cambridge University Press.

[Mignotte, 1989] Mignotte, M. (1989). Mathématiques pour le Calcul Formel. Presses Univ. de France.

[Millo – Lipton, 1978] Millo, R. A. D. y Lipton, R. J. (1978). A probabilistic remark on algebraic program testing. Inf. Proc. Letters, 7(4): 193–195.

[Milnor, 1964] Milnor, J. (1964). On the Betti numbers of real varieties. Proc. Amer. Math. Soc., 15: 275–280.

[Moeller, 1993] Moeller, M. (1993). Systems of algebraic equations solved by means of endomorphisms. En Proc. AAECC-10, LNCS. Springer.

[Montaña, 1992] Montaña, J. L. (1992). Cotas inferiores para problemas decisionales en teoría de complejidad algebraica. Tesis Doctoral, Universidad de Cantabria.

[Montaña et al., 1996] Montaña, J. L., Morais, J. E., y Pardo, L. M. (1996). Lower bounds for arithmetic networks II: Sum of Betti numbers. AAECC 7, 7: 41–51.

[Montaña – Pardo, 1993] Montaña, J. L. y Pardo, L. M. (1993). Lower bounds for arithmetic networks. En AAECC-4, AAECC, páginas 1–24. Springer.

[Montaña et al., 1991] Montaña, J. L., Pardo, L. M., y Recio, T. (1991). The nonscalar model of complexity in computational geometry. En Mora, T. y Traverso, C., editores, Effective Methods in Algebraic Geometry, Proc. MEGA’90, volumen 94 de Progress in Mathematics, páginas 347–361. Birkhäuser.

[Morgenstern, 1984] Morgenstern, J. (1984). How to compute fast a function and all its derivatives. Prepublication No. 49, Université de Nice.

[Mulmuley, 1987] Mulmuley, K. (1987). A fast parallel algorithm to compute the rank of a matrix over an arbitrary field. Combinatorica, 7(1): 101–104.

[Newton, 1667] Newton, I. (1667). De Analysi per Aequationes Infinitas.

[Ostrowski, 1954] Ostrowski, A. M. (1954). On two problems in abstract algebra connected with Hörner’s rule. En Studies in Math. and Mech. presented to Richard von Mises, páginas 40–48. Academic Press.

[Papadimitrou, 1994] Papadimitrou, C. H. (1994). Computational Complexity. Addison–Wesley.

[Pardo, 1995] Pardo, L. M. (1995). How lower and upper bounds meet in elimination theory. En G.Cohen, Giusti, M., y Mora, T., editores, Applied Algebra, Algebraic Algorithms and Error Corecting Codes, Proc. AAECC-11, volumen 948 de LNCS, páginas 33–69. Springer.

[Philippon, 1991a] Philippon, P. (1991a). Dénominateurs dans le théorème des zéros de Hilbert. Acta Aritm., 58: 1–25.

[Philippon, 1991b] Philippon, P. (1991b). Sur des hauteurs alternatives, I. Math. Ann., 289: 255–283.

[Philippon, 1994] Philippon, P. (1994). Sur des hauteurs alternatives, II. Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 44(2): 1043–1065.

[Philippon, 1995] Philippon, P. (1995). Sur des hauteurs alternatives, III. J. Math. Pures Appl., 74: 345–365.

[Preparata – Shamos, 1988] Preparata, F. P. y Shamos, M. I. (1988). Computational Geometry, An Introduction. Text and Monographs in Computer Science. Springer–Verlag.

[Rabin, 1980] Rabin, M. O. (1980). A probabilistic algorithm for testing primality. Journal of Number Theory, 12.

[Sabia – Solernó, 1996] Sabia, J. y Solernó, P. (1996). Bounds for traces in complete intersections and degrees in the Nullstellensatz. Applicable Algebra in Engineering Communications and Computing (AAECC Journal), 6: 353–376.

[Schnorr, 1981] Schnorr, C. P. (1981). An extension of Strassen’s degree bound. SIAM J. Computing, 10.

[Schwartz, 1979] Schwartz, J. T. (1979). Probabilistic algorithms for verification of polynomial identities. En ISSAC ’79: Proc. Int’l. Symp. on Symbolic and Algebraic Computation, Lecture Notes in Computer Science, Vol. 72. Springer-Verlag.

[Schwartz, 1980] Schwartz, J. T. (1980). Fast probabilistic algorithms for verification of polynomial identities. Journal of the ACM, 27(4): 701–717.

[Serre, 1955] Serre, J. P. (1955). Faisceaux algébriques cohérents. Amer. Math, 61.

[Shafarevich, 1994] Shafarevich, I. R. (1994). Basic Algebraic Geometry : Varieties in Projective Space. Springer.

[Shub – Smale, 1993] Shub, M. y Smale, S. (1993). Complexity of Bézout’s theorem I: Geometric aspects. J. of the AMS, 6(2): 459–501.

[Shub – Smale, 1994a] Shub, M. y Smale, S. (1994a). Complexity of Bézout’s theorem V: Polynomial time. Theor. Comp. Sci., 133: 141–164.

[Shub – Smale, 1994b] Shub, M. y Smale, S. (1994b). On the intractability of Hilbert’s Nullstellensatz and an algebraic version of P ≠ NP. preprint IBM RC 19624 6/23/94.

[Solovay – Strassen, 1977] Solovay, R. y Strassen, V. (1977). A fast Monte-Carlo test for primality. SIAM Journal on Computing, 6(1): 84–85.

[Steele – Yao, 1982] Steele, M. y Yao, A. (1982). Lower bounds for decision trees. J. Algoritms, 3: 1–8.

[Strassen, 1973] Strassen, V. (1973). Vermeidung von divisionen. Crelle J. Reine Angew. Math., 264: 182–202.

[Strassen, 1990] Strassen, V. (1990). Algebraic complexity theory. En Handbook of Theoretical Computer Science, capítulo 11, páginas 634–671. Elsevier.

[Sturmfels, 1993] Sturmfels, B. (1993). Sparse elimination theory. En Eisenbud, D. y Robbiano, L., editores, Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, volumen XXXIV de Symposia Matematica, páginas 264–298. Cambridge University Press.

[Vogel, 1984] Vogel, W. (1984). Lecture notes on Bézout’s theorem. volumen 74 de Tata Lecture Notes. Springer–Verlag.

[von zur Gathen, 1988] von zur Gathen, J. (1988). Algebraic complexity theory. Ann. Review of Comp. Sci., 3: 317–347.

[von zur Gathen, 1993] von zur Gathen, J. (1993). Parallel linear algebra. En Reif, J. H., editor, Synthesis of Parallel Algorithms. Morgan Kaufmann.

[Weil, 1984] Weil, A. (1984). Number theory : an approach through history from Hammurapi to Legendre. Birkhäuser.

[Yao, 1992] Yao, A. C. C. (1992). Algebraic decision trees and Euler characteristics. Proceedings of the 33^{th} Annual IEEE on Foundations of Computer Science, 29: 268–277.

[Yao, 1990] Yao, F. F. (1990). Computational geometry. En Leeuwen, J., editor, Handbook of Theoretical Computer Science. Elsevier.

[Zariski – Samuel, 1960] Zariski, O. y Samuel, P. (1960). Commutative Algebra II, volumen 39 de GTM. Springer.

[Zippel, 1979] Zippel, R. (1979). Probabilistic algorithms for sparse polynomials. En Proc. EUROSAM’ 79, volumen 72 de LNCS, páginas 216–226.

[Zippel, 1993] Zippel, R. (1993). Effective Polynomial Computation. ECS 241. Kluwer Academic Publishers.