Tesis

Estimaciones para el Teorema

de Ceros de Hilbert

Martín SOMBRA Director: Joos HEINTZ

Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Buenos Aires

Martín Sombra

Director: Joos Heintz

Estimaciones para el Teorema de Ceros de Hilbert

Departamento de Matemática Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires 1998

A Luciana

Agradecimientos

En primer lugar, deseo expresar mi profundo agradecimiento hacia Joos Heintz. El apoyo recibido, junto con la libertad que me ha dado y la confianza que ha depositado en mí han sido fundamentales para la realización de este trabajo. Más importante aún, sin embargo, han sido las enseñanzas que me ha sabido transmitir a través de su propio ejemplo de honestidad y de pasión por la ciencia.

Mi formación científica y mi trabajo han tenido el aporte y la influencia de muchas personas con las cuales he tenido la oportunidad de colaborar o de discutir: M. Almeida, B. Castaño, M. Chardin, A. Di Scala, A. Dickenstein, A. Dubson, M. Giusti, K. Hägele, T. Krick, G. Matera, J. E. Morais, G. Oleaga, L. M. Pardo, P. Philippon, G. Piñeiro, R. Sendra, P. Solernó y B. Sturmfels.

Agradezco al personal de los Departamentos de Matemática de la Universidad Nacional de La Plata y de la Universidad de Buenos Aires por haber contribuido a crear un ambiente favorable para mi trabajo. De la misma manera, agradezco al personal del Laboratoire GAGE, École Polytechnique, París, Francia, del Departamento de Matemáticas, Universidad de Alcalá, Alcalá de Henares, España, y del Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación, Universidad de Cantabria, Santander, España, por su hospitalidad durante diversas estadías cortas que he realizado.

Esta tesis fue parcialmente financiada por el CONICET, la Universidad Nacional de La Plata, la Universidad de Buenos Aires y la Fundación Antorchas, a través de distintos subsidios para la investigación.

Quiero agradecer además a aquellas personas que forman parte de mi vida cotidiana y afectiva. Todos ellos han contribuido positivamente, de una forma o de otra, a la realización de este trabajo.

A mis amigos, por la sana camaradería y el apoyo recibido a lo largo de estos años.

A mis padres y a mis hermanos, mi familia, por su amor y comprensión, y por su apoyo incondicional.

Y finalmente a Luciana, quien ha tipeado esta memoria y — por sobre todo — me ha acompañado a lo largo de este tiempo. A ella está dedicada esta tesis.

Índice General

Resumen 1

Introducción 2

1 Altura de Variedades Afines 16

1.1 Altura de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.1 Valores Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.2 Cuerpos de Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.3 Cuerpos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.4 Alturas Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1.5 Alturas Globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2 Altura de Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.1 Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.2.2 Forma de Chow y Polinomio Característico . . . . . . . . . . . . . . 30 1.2.3 Definición de Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.4 Propiedades Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.3 Estimaciones para Funciones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.3.1 El Teorema de la Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.3.2 Cotas para la Traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.3.3 Altura de Fibras vs. Altura de Variedades . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.3.4 Parametrizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.4.1 Una Desigualdad de Bézout Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.4.2 Inversa de un Morfismo Birracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2 Cotas para el Teorema de Ceros 68

2.1 Cotas de Grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.1.1 Un Teorema de Ceros Efectivo sobre Anillos Graduados Cohen–

Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.1.2 Cotas Mejoradas para los Grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.2 Cotas de Esparsitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3 Cotas de Altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.3.1 División módulo Variedades Intersección Completa . . . . . . . . . . 86 2.3.2 Un Teorema de Ceros Aritmético sobre Variedades Intersección Com-

pleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.3.3 Distancia entre Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3 Cotas para la Función de Hilbert 97 3.1 Cotas Inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.2 Cotas Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Bibliografía 110

Notación 117

Índice Temático 120

Estimaciones para el Teorema de Ceros de Hilbert

Resumen

Se introduce una nueva noción de altura de variedades afines. Esta noción extiende al caso de una variedad arbitraria la noción de altura de Weil de una variedad de dimensión 0 y la noción de altura de una hipersuperficie. Se obtiene una desigualdad de Bézout Aritmética para la intersección de variedades.

Se estudian luego los aspectos cuantitativos en el teorema de ceros de Hilbert. Se aplica la noción de altura de variedades para obtener nuevas cotas para el grado y para la altura de los polinomios en el teorema de ceros. Se obtiene además la primera versión rala del teorema de ceros afín. En todos los caso que se consideran, las cotas obtenidas son esencialmente óptimas.

Como consecuencia de estos resultados, se obtiene una cota inferior para la aproximación entre variedades de dimensión positiva.

Palabras clave: altura de variedades, desigualdad de Bézout aritmética, eliminación, teorema de ceros, función de Hilbert.

Estimates for Hilbert’s Nullstellensatz

Abstract

We introduce the notion of height of an affine variety. This notion extends to general affine varieties the well–known notion of Weil height of a zero–dimensional variety and the notion of height a hypersurface. We obtain an arithmetic Bézout’s inequality for the intersection of varieties.

We then study the quantitative aspect in the Nullstellensatz. We apply the notion of height of varieties in order to obtain new degree and height bounds for the polynomials in the Nullstellensatz. We also obtain the first affine sparse Nullstellensatz. The obtained bounds are essentially optimal in all the cases we consider.

As a consequence of these results, we obtain a lower bound for the approximation of positive–dimensional varieties.

Key words: height of varieties, arithmetic Bézout’s inequality, elimination, Nullstellensatz, Hilbert function.

Introducción

Muchos resultados centrales de álgebra conmutativa y de geometría algebraica son resultados de existencia no efectivos. Un ejemplo típico de esta situación es el Teorema de ceros o Nullstellensatz de Hilbert. Bajo una forma simplificada, su enunciado es el siguiente:

Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ ZZ[x_{1}, …, x_{n}] polinomios enteros tales que el sistema de ecuaciones

f_{1}(x) = 0, …, f_{s}(x) = 0  (0.1)

no tiene soluciones en C^{n}. El teorema de ceros dice entonces que existen polinomios g_{1}, …, g_{s} ∈ Q[x_{1}, …, x_{n}] que satisfacen la identidad de Bézout

1 = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{s}f_{s}.  (0.2)

Este resultado es una de las piedras angulares de la geometría algebraica. Establece un estrecho vínculo entre un objeto geométrico — el conjunto solución del sistema de ecuaciones 0.1 — y un aspecto algebraico — la pertenencia del 1 al ideal generado por f_{1}, …, f_{s}.

Este es un enunciado meramente existencial que no brinda ningún tipo de información sobre los polinomios g_{1}, …, g_{s}. Sin embargo, es crucial para las aplicaciones disponer de estimaciones para — por ejemplo — el grado y el tamaño bit de los coeficientes de los polinomios que aparecen en la identidad 0.2. Esto es particularmente importante en las aplicaciones a la teoría de números y a la informática teórica.

El propósito de esta memoria es el estudio cuantitativo del teorema de ceros en sus distintos aspectos. Asimismo tratamos otros problemas relacionados, como ser estimaciones globales para la función de Hilbert de ideales homogéneos.

Nuestro esfuerzo está principalmente dirigido hacia el estudio de los aspectos aritméticos de estos problemas. Con este fin introducimos una noción de altura para variedades aritméticas de dimensión positiva. Este concepto es el análogo aritmético de la noción clásica de grado de una variedad, y juega un rol central en nuestro tratamiento del teorema de ceros aritmético. Estudiamos las propiedades básicas de esta noción de altura, en particular su comportamiento con respecto a intersecciones.

Los aspectos aritméticos de los sistemas de ecuaciones polinomiales constituyen una de las motivaciones históricas de la geometría algebraica. Además existe actualmente un fuerte interés por estas cuestiones, debido a sus eventuales aplicaciones a la informática. Como un objetivo de mayor alcance, nos proponemos introducir nuevas técnicas y herramientas que contribuyan a entender y eventualmente a resolver los problemas aritméticos en álgebra conmutativa y en geometría algebraica.

En lo que sigue hacemos una introducción a los problemas que consideramos, junto con un resumen de los resultados presentados en esta memoria.

Grado y Altura de Variedades. Teorema de Bézout

Un problema clásico de geometría algebraica es el enunciado conocido como teorema de Bézout. Este enunciado tiene la forma siguiente: el grado de la intersección de dos variedades algebraicas es igual al producto de los grados de estas dos variedades, es decir

deg V ∩ W = deg V · deg W.

El caso más simple es el de dos curvas planas de grados d y e respectivamente. Newton [105] observó que si la intersección es finita, las abscisas — por ejemplo — de esta intersección están dadas por una ecuación de grado d · e. Este resultado fue gradualmente mejorado durante el siglo XVIII. Finalmente, Bézout fue capaz de mostrar que la cantidad de puntos — contados con propiedad — en la intersección de dos curvas planas de grados d y e respectivamente, es exactamente d · e, al menos que tengan infinitos puntos en común.

En términos modernos, sean C, D ⊆ IP^{2}(C) dos curvas proyectivas sin componentes en común, definidas por ecuaciones homogéneas F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0 de grados d y e respectivamente. El teorema de Bézout dice entonces

d · e = ∑_{ξ∈C∩D} i(C, D, ξ)

donde i(C, D, ξ) es un entero positivo, la multiplicidad de intersección, que mide el orden de contacto entre C y D en el punto ξ. Notamos además que Bézout probó en 1764 la versión n –dimensional de este resultado, es decir, el caso de n hipersuperficies en IP^{n} que se intersectan en una cantidad finita de puntos [18], [19], [20], [21].

Se plantea entonces el problema de extender el teorema de Bézout al caso general. El obstáculo principal consiste en definir en forma adecuada las nociones de grado y de multiplicidad de intersección.

En 1958, Sèrre [116] introdujo una definición de multiplicidad de intersección que le permitió a Iversen [74] demostrar el teorema de Bézout en el caso en que la intersección es propia, es decir, cuando dim V ∩ W = dim V + dim W − n para V, W ⊆ IP^{n}. El teorema clásico de Bézout es un caso particular de este enunciado.

Surge entonces como un problema natural el extender esta identidad al caso en que la intersección no sea propia. El primer resultado general en este sentido tiene la forma de una desigualdad. El enunciado es el siguiente: sean V, W ⊆ IA^{n} variedades afines. Entonces

deg V ∩ W ≤ deg V · deg W.

Aquí el grado deg V de una variedad irreducible V ⊆ IA^{n} se define en el sentido clásico como el número de puntos en la intersección de V con una variedad lineal genérica de dimensión complementaria. El grado de una variedad reducible V ⊆ IA^{n} se define como la suma de los grados de sus componentes irreducibles, es decir

deg V = ∑_{i} deg V_{i}

donde V = ∪_{i} V_{i} es la descomposición de V en componentes irreducibles.

En esta desigualdad de Bézout no se consideran multiplicidades de intersección. Como contrapartida tiene la ventaja de ser válida sin hipótesis adicionales sobre el tipo de intersección. Esto la convierte en una herramienta versátil en las aplicaciones de la geometría algebraica a otros campos, por ejemplo, a la teoría de números o al cálculo simbólico.

Este enunciado fue demostrado por primera vez en 1977 por Heintz [65] y por Sieveking [119], y publicado en [66], [67]. Más tarde fue demostrado también por Fulton, Lazarsfeld y MacPherson [49], [50] y publicado en [53]. La desigualdad de Bézout fue posteriormente generalizada y refinada en el contexto de ciclos algebraicos por Fulton y MacPherson [51] y por Vogel [131].

El propósito de la primera parte de esta memoria consiste en la formulación y el estudio de la noción de altura de variedades. Este concepto es el análogo aritmético de la noción de grado.

Sea k un cuerpo con fórmula del producto. El ejemplo básico es Q, o más generalmente un cuerpo de números. Otro ejemplo de cuerpo con fórmula del producto es el cuerpo de funciones racionales de una variedad no–singular en codimensión 1.

Sea V ⊆ IA^{n}(\overline{k}) una k –variedad afín irreducible de dimensión r. Sea f_{V} su polinomio de Chow. Este es un polinomio multi–homogéneo en r + 1 grupos U_{1}, …, U_{r+1} de n + 1 variables y está unívocamente definido salvo por múltiplos escalares. Luego consideramos la altura de V , definida por la fórmula

h(V) := ∑_{v∈S_{k}} λ_{v} log M(σ_{v}(f_{V})) + ∑_{v∈M_{k}−S_{k}} λ_{v} log |f_{V} |_{v}

donde M_{k} denota un conjunto propio de valores absolutos sobre k que verifica la fórmula del producto con multiplicidades λ_{v}, y S_{k} denota el conjunto de valores absolutos arquimedianos de M_{k}. Para v ∈ S_{k}, σ_{v} denota la inclusión correspondiente de k en C, y M denota la medida de Mahler.

Para una variedad arbitraria V ⊆ IA^{n} definimos su altura como

h(V) := ∑_{i} h(V_{i})

donde V = ∪_{i} V_{i} es la descomposición de V en componentes irreducibles. La altura de una variedad es un número no–negativo.

Esta noción extiende al caso general las nociones de altura de una hipersupeficie y de altura de Weil de una variedad de dimensión 0. Sea f = ∑_{i} a_{i} x^{i} ∈ ZZ[x_{1}, …, x_{n}] un polinomio separable y primitivo que define una hipersuperficie V (f) ⊆ IA^{n}(C) . Se tiene entonces

−4 (n + 1) log(n + 1) deg f ≤ h(V (f)) − h(f) ≤ 4 (n + 1) log(n + 1) deg f

donde h(f) := log(max_{i} |a_{i}|) denota la altura logarítmica de f . En el caso en que V ⊆ IA^{n}(C) es una \overline{Q}–variedad de dimensión 0 se tiene

− log(n + 1) deg V ≤ h(V) − w(V) ≤ log(n + 1) deg V

donde w(V) denota la altura de Weil de V .

La estrecha relación entre la altura de la forma de Chow de una variedad irreducible y sus propiedades aritméticas fue notada por Weil [132]. La definición de altura de una variedad a través de su forma Chow fue introducida y estudiada por Nesterenko [103] y Philippon [108], [110] en el contexto de la teoría de números trascendentes, en relación con los criterios para la independencia algebraica. La definición de altura de una variedad irreducible que consideramos en esta memoria fue introducida por Philippon [108], [110] para el caso en que k es un cuerpo de números.

Extendemos esta definición al caso de variedades reducibles siguiendo la definición de grado de Heintz, es decir, no consideramos multiplicidades de intersección. La teoría de intersección que resulta es menos general que la de Fulton–MacPherson [51] y la de Vogel [131]. Sin embargo, tiene la ventaja de ser más simple y manejable, y resulta suficiente para la mayoría de las aplicaciones.

Por otra parte, en el contexto de la teoría de intersección aritmética — o teoría de Arakelov — se ha considerado desde hace algún tiempo otra noción de altura de variedades aritméticas irreducibles. Esta noción fue introducida por Faltings en su trabajo sobre aproximación diofántica en variedades abelianas [45] y luego retomada por Bost, Gillet y Soulé [24], [25]. Soulé [124] y Philippon [110] probaron que esta noción de altura es equivalente en un sentido preciso a la noción de altura que consideramos en esta memoria.

Existe otra noción de altura de variedades aritméticas V ⊆ IA^{n}(C) que ha devenido usual en teoría de eliminación computacional. Esta noción fue introducida por Giusti et al. [54] y retomada, por ejemplo, en [62], [61]. A grandes resgos, consiste en lo siguiente: sea V ⊆ IA^{n}(C) una Q–variedad equidimensional de dimensión r, y sea π : V → IA^{r+1} una proyección lineal. Es bien conocido que si π satisface ciertas condiciones de genericidad entonces \overline{π(V)} ⊆ IA^{r+1} es una hipersuperficie birracional a V . Luego la inversa π^{−1} : \overline{π(V)} → V puede considerarse como una forma débil de parametrización de la variedad V . Esta parametrización π^{−1} se llama una solución geométrica de V .

Luego se define la altura η(V) de V como la altura logarítmica de π^{−1} , es decir, la máxima longitud bit de sus coeficientes. La indeterminación proveniente de la elección de la proyección π se resuelve mediante una elección adecuada. Referimos a la subsección 1.3.4 para la definición precisa y para una discusión más amplia de estas cuestiones.

La noción de solución geométrica es la forma de representar variedades algebraicas propuesta por Kronecker [85] en su memoria de 1882. Esta noción fue descripta también por König [80], Macaulay [94] y Zariski [133], entre otros. Esto fue notado recientemente por Pardo [61]. Entre las distintas representaciones de variedades, la idea de Kronecker ha resultado ser la más eficiente en teoría de eliminación computacional, desde el punto de vista de la complejidad en tiempo y espacio de memoria de los algoritmos [55], [56], [48], [83], [57], [54], [97], [102], [62], [61], [69].

La altura η(V) acota la longitud bit de los enteros que intervienen en los algoritmos de eliminación. Por lo tanto, juega un rol importante en el estudio de la complejidad de estos algoritmos.

Esta noción de altura es polinomialmente equivalente a la altura h. Obtenemos las siguientes estimaciones (Teorema 1.3.23):

η(V) ≤ c_{1} δ^{4}h(V) + c_{2} δ^{6}, h(V) ≤ c_{3} δ^{12} η(V) + c_{4} δ^{13},

donde c_{1} , c_{2} , c_{3} , c_{4} dependen polinomialmente de n.

Obtenemos distintos resultados para la altura de variedades afines inspirados por la analogía existente entre altura y grado. Por ejemplo, estimamos la altura del producto de variedades (Proposición 1.4.3) y el comportamiento de la altura de una variedad con respecto a morfismos (Lema 1.4.6). Obtenemos además una estimación para la altura de la inversa de un morfismo birracional φ : V → IA^{r} (Proposiciones 1.4.7 y 1.4.8).

Un aspecto crucial es el comportamiento de la altura con respecto a intersecciones. En este sentido obtenemos la siguiente desigualdad de Bézout aritmética (Teorema 1.4.4):

Teorema 1 Sean V_{1}, …, V_{l} ⊆ IA^{n} variedades. Sea δ_{i} el grado de V_{i} y sea δ := ∏_{i} δ_{i}. Entonces

h(V_{1} ∩ ⋯ ∩ V_{l}) ≤ c_{1} δ^{8} ∑_{i} h(V_{i}) + c_{2} δ^{9}.

Aquí c_{1} , c_{2} dependen polinomialmente de n.

Por otra parte, tanto Bost–Gillet–Soulé [24] como Philippon [110] han obtenido previamente versiones aritméticas del teorema de Bézout para el caso de variedades definidas sobre un cuerpo de números. En una forma simplicada el enunciado es el siguiente: sean V, W ⊆ IP^{n}(C) variedades aritméticas. Entonces

h(V ∩ W) ≤ deg(W) · h(V) + deg(V) · h(W) + c(n) deg(V) · deg(W).

Esta estimación es mucho más precisa que cualquier resultado contenido en esta memoria. El interés principal de nuestra desigualdad de Bézout radica en la extensión al caso de característica positiva. Resultados similares han sido recientemente obtenidos en forma independiente del autor por Chardin y Philippon [37].

Casos particulares del teorema de Bézout aritmético fueron obtenidos anteriormente por Philippon [108], Faltings [45] y Krick y Pardo [83]. Otros aspectos de la teoría de altura de variedades fueron considerados en los trabajos [91], [135], [111].

Nuestra demostración de la desigualdad de Bézout aritmética es completamente algebraica. La idea central consiste en la aplicación formal del método de Newton–Hensel para la aproximación de raíces de funciones. Esta idea fue aplicada por primera vez en el contexto de la teoría de eliminación algorítmica por Giusti et al. en [57] y continuada en [54], [69]. A grandes rasgos, consiste en lo siguiente: sea φ : V → IA^{r} un morfismo finito y sea p ∈ IA^{r} un punto no ramificado de φ. Luego aproximamos la inversa local de φ en un punto ξ ∈ φ^{−1}(p) hasta un nivel suficiente como para recuperar, en un sentido preciso, la variedad V .

Esta idea es conceptualmente simple y potente a la vez. Permite obtener propiedades de variedades de dimensión positiva a partir del estudio de una fibra 0-dimensional.

En particular obtenemos una cota para la altura de una variedad intersección completa en términos de la altura de la fibra 0–dimensional de un punto no ramificado con respecto a una proyección lineal (Teorema 1.3.14). Este resultado es la parte técnica central de nuestra demostración de la desigualdad de Bézout, y es probablemente — en cuanto a la teoría de altura de variedades — el aporte original más relevante de esta memoria.

Teorema de Ceros. Historia

Sea Q[x_{1}, …, x_{n}] el anillo de polinomios n –variados con coeficientes racionales y sea I un ideal de Q[x_{1}, …, x_{n}] . El célebre Teorema de la Base o Bassatz de Hilbert [71] dice entonces que existen polinomios f_{1}, …, f_{s} ∈ Q[x_{1}, …, x_{n}] tales que I = (f_{1}, …, f_{s}) , o en términos modernos, que el anillo Q[x_{1}, …, x_{n}] es Noetheriano.

En particular todo ideal de Q[x_{1}, …, x_{n}] se puede codificar en forma finita. Este es entonces el resultado que permite considerar cuestiones de efectividad en álgebra conmutativa.

En este sentido, un problema básico que se plantea — y tal vez el más inmediato — es el problema de la pertenencia: dados polinomios g, f_{1}, …, f_{s} ∈ Q[x_{1}, …, x_{n}] , decidir si g pertenece o no al ideal generado por f_{1}, …, f_{s}. Estrechamente ligado a este, está el problema de la representación, que consiste en encontrar efectivamente g_{1}, …, g_{s} ∈ Q[x_{1}, …, x_{n}] tales que

g = g_{1} f_{1} + ⋯ + g_{s} f_{s}  (0.3)

en el caso en que g ∈ (f_{1}, …, f_{s}) .

Notamos que una cota para los grados de g, …, g_{s} permite, dados g_{1}, f_{1}, …, f_{s}, decidir si la ecuación 0.3 es soluble o no. En el caso en que lo sea, podemos entonces encontrar efectivamente una solución, ya que reduce el sistema original a un sistema de ecuaciones Q–lineales. Luego el problema de la efectividad se tradujo en una primera etapa en el problema de acotar los grados de los polinomios g_{1}, …, g_{s}.

Este problema fue resuelto por Hermann [70], quien fuera una alumna de Emmy Noether. Sea k un cuerpo y sean g, f_{1}, …, f_{s} polinomios en k[x_{1}, …, x_{n}] . Sea d := max_{i} deg f_{i}. Hermann probó entonces que g ∈ (f_{1}, …, f_{s}) si y sólo si existen g_{1}, …, g_{s} tales que

g = g_{1} f_{1} + ⋯ + g_{s} f_{s}

con deg g_{i} f_{i} ≤ deg g + 2 (1 + d^{2} + ⋯ + d^{2^{n−1}}) .

Durante mucho tiempo se trató de mejorar esta cota, hasta que Mayr y Meyer [101], [100] probaron que es esencialmente óptima, es decir, que las cotas de grado para este problema tienen un carácter intrínseco doblemente exponencial.

En el caso particular g = 1 , se tiene g ∈ (f_{1}, …, f_{s}) si y sólo si los polinomios f_{1}, …, f_{s} no tienen ceros comunes en IA^{n}. Este enunciado se conoce como el teorema de ceros de Hilbert [72], aunque probablemente fuera conocido previamente por Kronecker. Este caso particular del problema de la pertenencia está entonces en estrecha relación con el problema de la consistencia, que consiste en decidir si la variedad afín definida por f_{1}, …, f_{s} es vacía o no. El teorema de ceros dice que esto pasa si y sólo si existen polinomios g_{1}, …, g_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] que satisfacen la identidad de Bézout

1 = g_{1} f_{1} + ⋯ + g_{s} f_{s}.  (0.4)

Keller y Gröbner conjeturaron que en este caso la cota para los grados es simplemente exponencial.

Esta conjetura fue resuelta por Brownawell [26], quien obtuvo la cota deg g_{i}f_{i} ≤ 3n^{2}d^{n} para el caso char (k) = 0 , y por Caniglia, Galligo y Heintz [29], quienes obtuvieron la cota deg g_{i}f_{i} ≤ d^{n^{2}} para el caso char (k) > 0 .

Estos resultados fueron mejorados por Kollár [78] y por Fitchas y Galligo [47], quienes obtuvieron en forma independiente la estimación

deg f_{i} g_{i} ≤ max{3, d}^{n}.

Esta cota es óptima en el caso d ≥ 3 , debido al conocido ejemplo de Mora, Lazard, Masser, Philippon y Kollár:

f_{1} := x_{1}^{d}, f_{2} := x_{1} x_{n}^{d−1} − x_{2}^{d}, …, f_{n−1} := x_{n−2} x_{n}^{d−1} − x_{n−1}^{d}, f_{n} := x_{n−1} x_{n}^{d−1} − 1.

En este caso es fácil ver para cualquier sistema de polinomios g_{1}, …, g_{n} que verifica la identidad 0.1 se tiene deg g_{1} ≥ d^{n}.

Como consecuencia de estos resultados se obtuvo que el teorema de ceros está en la clase de complejidad PSPACE [32], [97], [98]. Además, Koiran probó recientemente que el teorema de ceros está en la clase Π_{2} , si se asume la Hipótesis de Riemann Generalizada [77]. Esto contrasta fuertemente con el comportamiento del problema de la pertenencia en el caso general, que — por los resultados de Mayr y Meyer — es un problema completo en la clase EXPSPACE [101], [100].

Estas versiones efectivas del teorema de ceros tienen como consecuencia que una amplia serie de problemas de geometría algebraica computacional tienen complejidad simplemente exponencial: cálculo de la dimensión y del grado de una variedad [55], pertenencia al radical [40], descomposición de una variedad en componentes equidimensionales [56] y versiones algorítmicas del teorema de Quillen–Suslin [47], [46].

El teorema de ceros es un resultado básico en geometría algebraica. Sus diferentes versiones efectivas se aplican además en una variedad de situaciones: lemas de Gelfond multivariados, desigualdades de Lojasiewicz, [75], [121], consistencia sobre cuerpos primos de característica positiva, [62], [61], etc.. Se pueden encontrar otros resultados en los papers [4], [12], [109], [115], [118] por nombrar sólo unas pocas referencias. Referimos además a los surveys [11], [106], [128] para una introducción más completa a la historia de este problema, resultados principales y cuestiones abiertas.

Teorema de Ceros. Cotas de Grado

Consideramos en primer lugar las cotas para los grados de los polinomios en el teorema de ceros. Obtenemos distintos progresos sobre todas las cotas conocidas.

En primer lugar, consideramos el teorema de ceros efectivo en su forma clásica. Sea d_{i} := deg f_{i} y supongamos que se tiene d_{1} ≥ ⋯ ≥ d_{s}. Obtenemos la cota de grado (Teorema 2.1.10):

deg g_{i}f_{i} ≤ 2 d_{s} ∏_{j=1}^{min{n,s}−1} d_{j}.

Esta cota es particularmente interesante en el caso en que los polinomios f_{1}, …, f_{s} son cuadráticos. La mejor cota previa para este caso es deg g_{i}f_{i} ≤ n 2^{n+2} , debida a Sabia y Solernó [115]. Nuestra estimación mejora esta cota a deg g_{i}f_{i} ≤ 2^{n+1} , que está muy cerca de la cota óptima esperada 2^{n}.

El comportamiento exponencial de las cotas de grado es inevitable, debido al ejemplo de Mora–Lazard–Masser–Philippon–Kollár. Sin embargo se ha observado que hay muchas instancias particulares en las cuales esta cota puede ser mejorada. Este hecho ha motivado la introducción de nuevos parámetros que permiten diferenciar familias especiales de sistemas de ecuaciones cuyo comportamiento con respecto al problema en cuestión es polinomial en lugar de exponencial [58], [57].

En este espíritu, introducimos entonces un parámetro adicional asociado a un sistema de ecuaciones, su grado algebraico. A grandes rasgos, este invariante mide el grado de los ideales generados sucesivamente por f_{1}, …, f_{s}. Es el análogo algebraico de la noción de grado geométrico de un sistema de ecuaciones introducida por Giusti et al. [57], y retomada por Krick, Sabia y Solernó [84] y por el autor [122]. Referimos a la sección 2.1.2 para la definición precisa de estas nociones.

Se han obtenido previamente distintas cotas de grado para los polinomios en el teorema de ceros que dependen principalmente del grado geométrico (Nullstellensätze intrínsecos) [54], [57], [84], [122]. Mostramos aquí que vale una cota similar reemplazando el grado geométrico del sistema de ecuaciones dado por su grado algebraico (Teorema 2.1.15). Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios sin ceros comunes en IA^{n}. Sea d := max_{i} deg f_{i} y sea δ el grado algebraico de este sistema de ecuaciones. Obtenemos entonces la estimación

deg g_{i}f_{i} ≤ min{n, s}^{2} d δ.

Se tiene δ ≤ d^{n−1} por el teorema de Bézout, y por lo tanto deducimos de lo anterior

deg g_{i}f_{i} ≤ n^{2}d^{n},

es decir, recuperamos esencialmente las cotas conocidas en términos de d y n. Por otra parte, el grado algebraico está acotado por el grado geométrico, y por lo tanto también recuperamos así las cotas conocidas en términos del grado geométrico. Luego este resultado contiene a todas las cotas de grado conocidas anteriormente.

Sin embargo, el grado algebraico puede ser mucho menor que el grado geométrico en ciertos casos particulares, y por lo tanto también puede ser mucho menor que la cota de Bézout d^{n−1} (Ejemplo 2.1.1). Concluimos entonces que el resultado obtenido es mucho más preciso en estos casos que las cotas conocidas.

Teorema de Ceros. Cotas de Esparsitud

Luego consideramos las cotas de esparsitud en el teorema de ceros.

Para un polinomio de Laurent f = ∑_{i∈ZZ^{n}} a_{i} x^{i} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}, x_{1}^{−1}, …, x_{n}^{−1}] , su soporte está definido como el conjunto {i : a_{i} ≠ 0}, es decir, el conjunto de todos los exponentes de los monomios no nulos de f . Más generalmente, el soporte de una familia de polinomios de Laurent f_{1}, …, f_{s} está definido como el conjunto de todos los exponentes de los monomios no nulos de todos los f_{i}.

El polítopo de Newton N (f_{1}, …, f_{s}) está definido como la cápsula convexa del soporte de f_{1}, …, f_{s}. Su volumen no mezclado U(f_{1}, …, f_{s}) está definido como ρ! veces el volumen del polítopo N (f_{1}, …, f_{s}) , donde ρ denota la dimensión de este polítopo.

El grado de un polinomio está acotado por un entero no–negativo d si y sólo si su polítopo de Newton está contenido en d · Δ , donde Δ denota el simplex standard de IR^{n}. Así la noción de polítopo de Newton da una caracterización de la estructura monomial de un polinomio más precisa que el grado. En particular, se pueden obtener cotas para los grados a partir de cotas para el polítopo de Newton.

El concepto de polítopo de Newton fue introducido por Bernshtein [16] y Kushnirenko [86] con el objeto de obtener versiones más refinadas del teorema de Bézout, y está hoy en día en la base de la teoría de eliminación rala. Dentro de esta teoría se diseñan algoritmos que explotan la esparsitud de los polinomios involucrados, y la esparsitud se mide usualmente en términos del polítopo de Newton de estos polinomios. Este es el punto de vista introducido por Sturmfels [125] y seguido, por ejemplo, en [33], [73], [112], [113],

[130] por nombrar sólo unas pocas referencias.

El aspecto ralo en el teorema de ceros fue también considerado por Canny y Emiris, quienes obtuvieron un teorema de ceros ralo efectivo, pero sólo para el caso de n+1 polinomios de Laurent n –variados genéricos [33]. Aquí genérico se interpreta en el siguiente sentido: si se restringe el soporte de cada f_{i} a un conjunto fijo A_{i} — restringiendo así los monomios que pueden intervenir — el conjunto de coeficientes para los cuales el teorema de ceros de Canny–Emiris falla está en una subvariedad de codimensión ≥ 1 del espacio de coeficientes. Esto se deduce fácilmente del hecho de que su demostración depende de que no existan raíces a distancia tórica infinita. Notamos que en el caso en que esta hipótesis de genericidad se verifica, el resultado de Canny–Emiris es al menos tan preciso como cualquier resultado obtenido en esta memoria.

El problema de estimar las cotas para la esparsitud en el teorema de ceros ha permanecido abierto durante mucho tiempo. Obtuvimos el primer teorema de ceros ralo efectivo en [123]. Enunciamos este resultado en dos versiones (Teoremas 2.2.1 y 2.2.3).

Teorema 2 Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios sin ceros comunes en IA^{n}. Sea N el polítopo de Newton de los polinomios x_{1}, …, x_{n}, f_{1}, …, f_{s}, y sea U el volumen no mezclado de este polítopo. Entonces existen g_{1}, …, g_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] tales que

1 = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{s}f_{s},

con N (g_{i}f_{i}) ⊆ n^{n+3} U · N para i = 1, …, s.

Obtenemos un resultado análogo para el caso de un sistema de polinomios de Laurent.

Teorema 3 Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}, x_{1}^{−1}, …, x_{n}^{−1}] polinomios de Laurent sin ceros comunes en (\overline{k}^{∗})^{n}. Sea N el polítopo de Newton de f_{1}, …, f_{s}, y sea U el volumen no mezclado de este polítopo. Entonces existen a ∈ ZZ^{n} y g_{1}, …, g_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}, x_{1}^{−1}, …, x_{n}^{−1}] tales que

1 = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{s}f_{s},

con a ∈ n^{2n+3} U^{2} · N y N (g_{i}f_{i}) ⊆ n^{2n+3} U^{2} · N − a para i = 1, …, s.

Sea d := max_{i} deg f_{i}. Derivamos directamente del teorema 2 la cota de grado

deg g_{i}f_{i} ≤ n^{n+3} d U.

En el peor caso se obtiene la cota deg g_{i}f_{i} ≤ n^{n+2} d^{n+1} , ya que el volumen no mezclado de los polinomios x_{1}, …, x_{n}, f_{1}, …, f_{n} está acotado por d^{n}. Sin embargo, nuestra cota de grado mejora considerablemente la cota usual en el caso en que el sistema polinomial de entrada sea ralo y d ≥ n (Ejemplo 2.2.1).

La demostración de ambos resultados es similar. El primer paso consiste en la reducción del sistema de ecuaciones original sobre el espacio afín o el toro a un sistema de ecuaciones lineales sobre una variedad tórica adecuada. El sistema resultante se resuelve entonces por aplicación de un teorema de ceros efectivo para formas lineales en un anillo graduado Cohen–Macaulay (Lema Principal 2.1.1). Este lema se demuestra por medio de un argumento combinatorio. Consiste esencialmente en un método de deformación que permite reducir el caso general al caso en que las ecuaciones se cortan en forma propia en el hiperplano {x_{0} = 0}. Este caso se resuelve aplicando técnicas clásicas de eliminación. que es un caso mucho más simple que el caso general.

Como consecuencia se obtiene además un teorema de ceros efectivo sobre anillos graduados Cohen–Macaulay, que vale no sólo para formas lineales, sino también para elementos homogéneos de grado arbitrario (Teorema 2.1.8).

Teorema de Ceros. Cotas de Altura

Finalmente, consideramos el aspecto aritmético en el teorema de ceros, junto con algunas de sus consecuencias para la aproximación diofántica entre variedades de dimensión positiva.

Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ ZZ[x_{1}, …, x_{n}] polinomios sin ceros comunes en IA^{n}. Entonces existe un entero a ∈ ZZ − {0} y polinomios g_{1}, …, g_{s} ∈ ZZ[x_{1}, …, x_{n}] tales que

a = g_{1} f_{1} + ⋯ + g_{s} f_{s}.  (0.5)

Tratamos entonces el problema de estimar tanto los grados de los polinomios g_{i} como sus alturas, y la altura del entero a. Estas estimaciones son importantes en aproximación diofántica. Se aplican a los lemas de Gelfond multivariados y al problema de la consistencia sobre cuerpos primos de característica positiva [62], [61].

Sean d, h el máximo de los grados y de las alturas de los polinomios f_{i}, respectivamente. A partir de las cotas para los grados en el teorema de ceros, la ecuación 0.5 puede traducirse en un sistema de ecuaciones Q–lineales. De esta forma se obtiene una cota del tipo d^{n^{2}}h para la altura de los polinomios g_{i} y del entero a, por aplicación de la regla de Cramer.

Se conjeturó, sin embargo, que estas estimaciones podían ser esencialmente mejoradas. Este problema fue considerado primeramente por Berenstein e Yger [13], quienes obtuvieron

deg g_{i} ≤ d^{c n}, h(a), h(g_{i}) ≤ κ(n) d^{8n+5}h,

donde c es una constante universal y κ(n) sólo depende de n. Su demostración está fuertemente basada en técnicas de análisis complejo.

Un poco más tarde, Krick y Pardo [82], [83] obtuvieron las estimaciones

deg g_{i} ≤ d^{c_{1}n}, h(a), h(g_{i}) ≤ d^{c_{2}n}h,

donde c_{1} , c_{2} son constantes universales. De hecho, se pueden tomar c_{1}, c_{2} ≤ 35 [107]. Su demostración es completamente algebraica y se basa en técnicas de dualidad en álgebras de Gorenstein.

Posteriormente, Berenstein e Yger [15] mejoraron ligeramente estas cotas de altura y las extendieron al caso más general de un anillo diofántico [15]. Sin embargo, cabe señalar que la posibilidad de esta extensión ya era evidente a partir de los argumentos de Krick–Pardo.

Recientemente hemos obtenido, en colaboración con Hägele, Morais y Pardo, el análogo aritmético de los Nullstellensätze intrínsecos [62]. Este resultado está contenido en la tesis de Hägele [61].

El problema que nos proponemos consiste en estimar la altura de los polinomios en el teorema de ceros sobre una variedad. La situación es análoga a la del teorema 2.1.8, aunque ahora nos restringimos a una situación menos general aún que la de un anillo Cohen– Macaulay. Obtenemos el siguiente resultado para el caso de una variedad intersección completa (Teorema 2.3.2):

Teorema 4 Sea F := {F_{r+1}, …, F_{n}} ⊆ ZZ[x_{1}, …, x_{n}] una intersección completa reducida que define una variedad V := V (F) ⊆ IA^{n} de dimensión r y grado δ.

Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ ZZ[x_{1}, …, x_{n}] polinomios sin ceros comunes en V . Sean d := max_{i} deg f_{i} y h := max_{i} h(f_{i}) , y sean D ≥ d, deg F y H ≥ h, h(F) .

Entonces existen a ∈ ZZ − {0} y g_{1}, …, g_{s} ∈ ZZ[x_{1}, …, x_{n}] tales que

\overline{a} = \overline{g}_{1} \overline{f}_{1} + ⋯ + \overline{g}_{s} \overline{f}_{s} ∈ Q[V]

con deg g_{i} ≤ 5 n^{2} D d^{2 r} δ^{2} y h(a), h(g_{i}) ≤ c D^{2}(d^{r} δ)^{12}(H + h(V) + d^{r} δ) .

La constante c en este enunciado depende polinomialmente de n.

Obtenemos cotas similares para el caso en que ZZ se reemplaza por el anillo de polinomios k[t_{1}, …, t_{m}] (Teorema 2.3.2). Reobtenemos de esta manera el teorema de ceros paramétrico de Smietanski [120].

La demostración de este resultado se basa esencialmente en la teoría de dualidad para álgebras de Gorenstein y sigue las líneas de la demostración de Krick–Pardo [83]. Esta técnica ya fue empleada previamente en el contexto de los teoremas de ceros efectivos, por ejemplo, por [48], [115]. En nuestro caso, la desigualdad de Bézout aritmética cumple con respecto a las cotas de altura, el rol que cumple la desigualdad de Bézout clásica con respecto a las cotas para los grados.

La noción de altura de una variedad está en estrecha relación con sus aspectos métricos. Por ejemplo, si V ⊆ IA^{n}(C) es una Q–variedad de dimensión 0, entonces

log ||V || := log(max_{ξ∈V} ||ξ||) ≤ h(V) + log(n + 1) deg V

es decir, la altura acota la distancia de V al origen.

En este sentido, consideramos el siguiente problema: sean V, W ⊆ IA^{n} Q–variedades tales que V ∩W = ∅. Tratamos entonces el problema de acotar inferiormente la distancia entre V y W .

Para V , W ⊆ IA^{n} variedades y α ∈ IR_{≥0} , definimos la función distancia como

dist_{α}(V, W) := inf{||p − q|| : p ∈ V, q ∈ W, log ||p||, log ||q|| ≤ α}.

El siguiente resultado es una consecuencia directa de nuestro teorema de ceros sobre variedades intersección completa:

Sean V, W ⊆ IA^{n}(C) Q–variedades tales que V ∩ W = ∅. Sean r, s la dimensión de V y de W respectivamente. Sea δ el grado de V . Asumimos que V y W son variedades intersección completa reducida de polinomios f := {f_{1}, …, f_{n−r}}, g := {g_{1}, …, g_{n−s}} ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] respectivamente. Sean d := deg f , h := \overline{m}(f) , D := deg g y H := \overline{m}(g) . Entonces

log(dist_{α}(V, W)) ≥ −c(n) d^{2} D^{12 r+2} δ^{12}(h + H + h(V) + D^{r} δ + log α)

para α > 0 .

Casos particulares de este problema fueron considerados previamente por Giusti et al. [54].

Este resultado nos permite obtener la siguiente estimación para el caso general (Corolario 2.3.6). Sean V, W ⊆ IA^{n} variedades equidimensionales tales que v ∩ W = ∅. Sean r, s la dimensión de V y de W respectivamente, y a sumimos que r + s ≥ n + 1 . Se tiene entonces

log(dist_{α}(V, W)) ≥ −c(n)(deg V)^{12 s} (deg W)^{12 r}(h(V) + h(W) − log α).

Estos resultados parecen estar lejos aún de las cotas óptimas, y constituyen sólo un primer paso hacia la solución de este problema. En la sección 2.3.3 formulamos una conjetura para el caso general del teorema de ceros aritmético sobre variedades. Esta conjetura implica cotas inferiores optimales para la aproximación entre variedades de dimensión positiva. Resultados recientes de Kollár [79] muestran la validez de las cotas de grado propuestas y dan así sustento a nuestra conjetura.

Función de Hilbert. Cotas

Sea k un cuerpo. Para un ideal homogéneo I de k[x_{0}, …, x_{n}] denotamos por h_{I} su función de Hilbert, es decir

h_{I} : ZZ → ZZ, m ↦ dim(k[x_{0}, …, x_{n}]/I)_{m}.

Sea p_{I} ∈ Q[t] su polinomio de Hilbert, de forma tal que se tiene h_{I}(m) = p_{I}(m) para valores grades de m.

Sea r la dimensión de I. Luego p_{I} es un polinomio de grado r−1 y su coeficiente principal es igual a deg I/(r − 1)! . Luego la función de Hilbert h_{I} se comporta asintóticamente como

h_{I} ∼ (deg I/(r − 1)!) m^{r−1}.

Existen, sin embargo, situaciones en donde es importante disponer de estimaciones de h_{I}(m) para valores pequeños de m.

Consideramos entonces el problema de estimar globalmente a h_{I}. Este problema fue primeramente considerado por Nesterenko [104], quien probó que para un ideal primo homogéneo P de k[x_{0}, …, x_{n}] de dimensión r ≥ 1 se tiene

(_{r}^{m+r}) − (_{r}^{m−deg P +r}) ≤ h_{P} (m) ≤ deg P (4m)^{r−1}.

Más tarde, Chardin [35] simplificó la demostración de Nesterenko y mejoró su cota superior. Obtuvo la estimación

h_{I}(m) ≤ deg I (_{r−1}^{m+r−1})

para el caso de un cuerpo k perfecto y un ideal radical equidimensional homogéneo I de k[x_{0}, …, x_{n}] de dimensión r ≥ 1 .

En esta dirección, obtenemos una cota inferior para la función de Hilbert de un ideal polinomial homogéneo arbitrario de dimensión r ≥ 1 (Teorema 3.1.2):

h_{I}(m) ≥ (_{r}^{m+r}) − (_{r}^{m−deg I+r}).

Esta cota es óptima en términos de la dimensión y el grado del ideal I. Obtenemos además una cota superior para la función de Hilbert de la intersección — en el nivel de ideales — de un ideal I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] homogéneo radical y equidimensional de dimensión r ≥ 2 con un polinomio f ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] (Teorema 3.2.8). Se tiene

h_{(I,f)}(m) ≤ 3 deg f · deg I (_{r−2}^{m+r−2})

para m ≥ 5 r deg I + deg f .

El estudio del comportamiento global de la función del Hilbert de ideales homogéneos está relacionado con diversas cuestiones de álgebra conmutativa efectiva, en relación con la interpolación algebraica [36] y con modificaciones del algoritmo de Buchberger [129], [28]. Se aplica además en teoría de números trascendentes, en el contexto de los lemas de ceros [17].

Capítulo 1

Altura de Variedades Afines

La noción de altura está en la base de toda aplicación de métodos geométricos en teoría de números. En este capítulo introducimos la noción de altura de una variedad de dimensión positiva. Estudiamos sus propiedades básicas, sobre todo su comportamiento con respecto a morfismos lineales y a intersecciones.

En la sección 1.1 introducimos la noción de cuerpo k con fórmula del producto. Este concepto nos permite tratar de manera unificada los casos de un cuerpo de números y de un cuerpo de funciones. Luego definimos la altura de un polinomio en base a su altura local en cada primo de k.

En la sección 1.2 introducimos la noción de altura de una variedad como la altura global de su forma de Chow. Asimismo describimos su comportamiento con respecto a morfismos lineales y a intersecciones con hiperplanos.

La sección 1.3 constituye la parte central de este capítulo. Está fundamentalmente dedicada al estudio de la relación entre altura de una variedad y la altura de una fibra con respecto a una proyección finita (Teorema 1.3.14 y Proposición 1.3.9).

Finalmente, en la sección 1.4 obtenemos la desigualdad de Bézout aritmética (Teorema 1.4.4) y estimamos la altura de la inversa de un morfismo birracional.

1.1 Altura de Polinomios

Esta sección es esencialmente preliminar. Tiene como propósito introducir las nociones básicas de teoría de números que vamos a necesitar en las secciones siguientes y de fijar la notación. Todo el material incluído es perfectamente clásico. Nuestra presentación sigue los libros de Lang [90] y [88], el libro de Artin [6] y el trabajo de Philippon [108].

Introducimos la noción de cuerpo con fórmula del producto, junto con los principales ejemplos que vamos a considerar, los cuerpos de números y los cuerpos de funciones racionales de variedades.

Luego introducimos la altura local de un polinomio, definiéndola en el caso arquimediano en base a la medida de Mahler. A partir de esta noción introducimos distintas definiciones de altura para un polinomio.

1.1.1 Valores Absolutos

Sea k un cuerpo. Un valor absoluto v sobre k es una función real x ↦ |x| = |x|_{v} que satisface las siguientes propiedades:

1. Se tiene |x| ≥ 0 , y |x| = 0 si y sólo si x = 0 .

2. |x · y| = |x| · |y| para todo x, y ∈ k.

3. |x + y| ≤ |x| + |y|.

En el caso en que v satisface en lugar de 3 la condición más fuerte |x + y| ≤ max{|x|, |y|} se dice que es no–arquimediano. Si char (k) = p > 0 se tiene |x + y| = |(x + y)^{p^{N}} |^{1/p^{N}} → max{|x|, |y|}, es decir que | · | es no–arquimediano.

El valor absoluto definido como |x| = 1 para todo x ≠ 0 se llama trivial.

Un valor absoluto define una métrica, y por lo tanto una topología. Dos valores absolutos se dicen dependientes si definen la misma topología, y se dicen independientes en caso contrario.

Sea k un cuerpo con un valor absoluto no trivial v. Denotamos por k_{v} la completación de k con respecto a v. El cuerpo k es denso en k_{v}, e induce un valor absoluto en k_{v} que extiende al valor absoluto de k y que también denotamos por v. El cuerpo k_{v} es único con esta condición, salvo isomorfismo.

Sea k un cuerpo con un valor absoluto arquimediano v. Luego se tiene char (k) = 0 . La restricción de v a Q es entonces dependiente del valor absoluto ordinario [6, Sección 1.5]. Por lo tanto la completación k_{v} es el cuerpo de los números reales o el de los números complejos, y v es el valor absoluto ordinario. Esta es una consecuencia del teorema de Gelfand–Mazur [89, Sección XII.2].

Supongamos ahora que k es completo con respecto a un valor absoluto v. Sea E una extensión algebraica de k. Entonces v tiene una única extensión a E. Sea α ∈ E y sea n := [k(α) : k] . Entonces se tiene

|α| = |N_{k}^{k(α)}(α)|^{1/n},

donde N_{k}^{k(α)}(α) denota la norma de α ∈ k(α) sobre k. Si además la extensión E es finita entonces E es completo cos respecto a este valor absoluto.

Sea ahora k un cuerpo con un valor absoluto no trivial v. Vamos a describir cómo se prolonga este valor absoluto a extensiones finitas de k.

Sea k_{v} la completación de k. Luego v se extiende en forma única a k_{v}, y por lo tanto también se extiende en forma única a su clausura algebraica \overline{k}_{v}.

Sea E una extensión finita de k y sea σ : E → \overline{k}_{v} una k –inmersión de E en \overline{k}_{v}. Luego σ induce un valor absoluto w sobre E que extiende a v. Sea E_{w} la completación de E. Luego se tiene E_{w} = E · k_{v}.

Toda extensión de v a E está dada por una k –inmersión de E en \overline{k}_{v}. Dos k –inmersiones σ, τ : E → \overline{k}_{v} dan lugar al mismo valor absoluto sobre E si y sólo si son conjugadas sobre k_{v}. En el caso en que E es puramente inseparable existe una única extensión de v a E.

Sea w una extensión de v a E. Notamos esto por w|v. Luego se define el grado local de E sobre k en w como

n_{w} := [E_{w} : k_{v}].

En el caso en que E es finita y separable se tiene

∑_{w|v} n_{w} = [E : k]

y se tiene además N_{k}^{E}(α) = ∏_{w|v} N_{k_{v}}^{E_{w}}(α) . Luego

∑_{w|v} n_{w} log |α|_{w} = log N_{k}^{E}(α)

para α ∈ E^{∗}.

Ahora vamos a considerar familias de valores absolutos sobre un cuerpo. Un conjunto M_{k} de valores absolutos sobre k se dice propio si todos sus valores absolutos son no triviales, independientes entre sí y si, dado x ∈ k^{∗}, entonces |x|_{v} = 1 para casi todo v ∈ M_{k}. Esta definición extiende ligeramente la definición de Lang [90, Sección 2.1].

En particular, si M_{k} es propio, contiene entonces a lo sumo un número finito de valores absolutos arquimedianos. El conjunto de valores arquimedianos en M_{k} se denota por S_{k} y se llama el conjunto de valores absolutos en el infinito.

Sea M_{k} un conjunto propio de valores absolutos sobre k. Para cada v ∈ M_{k}, sea λ_{v} un número real positivo. Se dice que M_{k} satisface la fórmula del producto con multiplicidades λ_{v} si para todo α ∈ k^{∗} se tiene

∏_{v∈M_{k}} |α|_{v}^{λ_{v}} = 1.

Por hipótesis existe a lo sumo un número finito de factores en este producto que no son iguales a 1, y por lo tanto está bien definido. Equivalentemente se tiene

∑_{v∈M_{k}} λ_{v} log |α|_{v} = 0

en notación aditiva. En este caso se dice que k es un cuerpo con fórmula del producto o un F P –cuerpo. Se dice que M_{k} satisface la fórmula del producto si λ_{v} = 1 para todo v.

Sea k un cuerpo con un conjunto propio M_{k} de valores absolutos que satisface la fórmula del producto con multiplicidades λ_{v}. Sea E una extensión finita de k y sea M_{E} el conjunto de valores absolutos sobre E que extienden a los valores absolutos de M_{k}. Luego M_{E} es también un conjunto propio de valores absolutos.

Queremos ver que M_{E} satisface además la fórmula del producto con multiplicidades μ_{w}. Sea H ⊆ E una subextensión separable maximal de k. Se tiene entonces la torre de extensiones k ⊆ H ⊆ E, donde k ⊆ H es separable y H ⊆ E es puramente inseparable. Sean n := [E : k]_{s} = [H : k] y p^{r} := [E : k]_{i} := [E : H] el grado de separabilidad y el grado de inseparabilidad de E sobre k, respectivamente.

Sea v un valor absoluto en M_{k} y sea w una extensión de v a E. Luego k_{v} ⊆ H_{w} es separable y H_{w} ⊆ E_{w} es puramente inseparable. Sea n_{w} := [E_{w} : k_{v}]_{s} = [H_{w} : k_{v}] . Este entero coincide con el grado local de E sobre k en w en el caso en que E es separable. Se tiene

log |N_{k}^{E}(α)|_{v} = log |N_{k}^{H}(α^{p^{r}})|_{v} = p^{r} ∑_{w∈M_{E}:w|v} n_{w} log |α|_{w}

ya que hay una correspondencia unívoca entre M_{E} y M_{H}. Luego

∑_{v∈M_{k}} ∑_{w|v} λ_{v} p^{r} n_{w} log |α|_{w} = ∑_{v∈M_{k}} λ_{v} log |N_{k}^{E}(α)|_{v} = 0

para α ∈ E^{∗}, por la fórmula del producto en M_{k}. Luego M_{E} satisface la fórmula del producto con multiplicidades

μ_{w} := λ_{v}[E_{w} : k_{v}]_{s}/[E : k]_{s}.

Sea k ⊆ E ⊆ F una torre de extensiones. Sean v ∈ M_{k}, w ∈ M_{E} y z ∈ M_{F} valores absolutos tales que z|w y w|v. Sean λ_{v}, μ_{w} y ν_{z} las multiplicidades de v, w y z respectivamente. Luego se verifica ν_{z} = λ_{v} · μ_{w} por la multiplicatividad del grado de separabilidad.

Sea k un F P –cuerpo y sea E una extensión finita de k. En adelante vamos a asumir que las multiplicidades de M_{k} y de M_{E} están normalizadas de forma tal que se verifica ∑_{v∈S_{k}} λ_{v} = 1 y ∑_{w|v} μ_{w} = λ_{v}.

1.1.2 Cuerpos de Números

El ejemplo clásico de un cuerpo con fórmula del producto es el de los números racionales Q. Consideramos a M_{Q} como el conjunto propio de valores absolutos formado por el valor absoluto ordinario y los valores absolutos p –ádicos.

El valor absoluto p –ádico | · |_{p} se define para cada primo p ∈ ZZ por la fórmula

|p^{r}m/n|_{p} := 1/p^{r},

donde r es un entero y m, n son enteros no nulos no divisibles por p.

Todo valor absoluto sobre Q es dependiente de alguno de estos valores absolutos (Teorema de Ostrowski) [6, Sección 1.5].

Si q es un primo de ZZ entonces

\begin{aligned}|q|_{p} & = & \{ \begin{matrix}1, & si & p ≠ q, \\ 1/q, & si & p = q, \end{matrix} \\ |q|_{∞} & = & q. \end{aligned}

Luego M_{Q} satisface la fórmula del producto. Este argumento lo muestra para primos de ZZ y el caso general se sigue por multiplicatividad.

Para un cuerpo de números k, el conjunto M_{k} de valores absolutos que extienden a los valores absolutos de M_{Q} se llama el conjunto canónico. Luego M_{k} satisface la fórmula del producto con multiplicidades λ_{v} := [k_{v} : Q_{p}] , para un valor absoluto v ∈ M_{k} que extiende al valor absoluto p –ádico | · |_{p}.

1.1.3 Cuerpos de Funciones

Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. Sea V ⊆ IP^{n} una variedad proyectiva irreducible y sea k(V) su cuerpo de funciones racionales. Asumimos que V es no–singular en codimensión 1, es decir que toda subvariedad de codimensión 1 contiene al menos un punto simple de V . Este es el caso, por ejemplo, si V es no–singular, o más generalmente si es normal.

Sea W ⊆ V una subvariedad irreducible de codimensión 1. Es un hecho básico de geometría algebraica que el anillo local O_{W} de W en k(V) es entonces un anillo de valuación discreta [7, Proposición 9.2]. Para f ∈ k(V)^{∗} notamos por ord_{W} el orden de f en W , es decir, su orden en el anillo local O_{W} .

Asociamos a la hipersuperficie W un valor absoluto no–arquimediano |·|_{W} definido como

|f|_{W} := e^{−ord_{W} f·deg W}

para f ≠ 0 y |0|_{W} := 0 , donde deg W denota el grado de W , es decir, el número de puntos de la intersección de W con una variedad lineal genérica de dimensión complementaria. Referimos a la subsección 1.2.1 para una discusión más amplia de esta noción.

Sea entonces K := k(V) y sea M_{K} el conjunto de estos valores absolutos. Es un hecho elemental que este conjunto es un conjunto propio de valores absolutos, y satisface la fórmula del producto, gracias a la relación

∑_{W} ord_{W} f · deg W = 0

Para una demostración de este resultado referimos al libro de Hartshorne [64, II.6.4].

Esta fórmula del producto se puede escribir también como

∏_{W} |f|_{W} = 1

ya que hay una biyección entre hipersuperficies irreducibles de V y valores absolutos en M_{K}.

Entendemos por un cuerpo de funciones K sobre un cuerpo de constantes k — no necesariamente algebraicamente cerrado — al cuerpo de funciones racionales K := k(V) de una variedad irreducible V ⊆ IP^{n} definida sobre k y no–singular en codimensión 1.

Determinamos ahora el conjunto de valores propios de K junto con sus multiplicidades. Toda hipersuperficie irreducible W de V induce un valor absoluto | · |_{W} sobre \overline{k}(V) y por lo tanto induce un valor absoluto sobre k(V) por restricción. Dos hipersuperficies irreducibles W_{1} , W_{2} ⊆ V definen el mismo valor absoluto sobre k(V) si y sólo si son conjugadas sobre k.

Luego tomamos a M_{K} como el conjunto de valores absolutos | · |_{W} , donde W recorre un sistema de representantes de las clases de conjugación de hipersuperficies irreducibles de V . Por lo anterior, este es un conjunto propio de valores absolutos sobre K, y satisface la fórmula de producto con multiplicidades λ_{W} , donde λ_{W} es el orden de la clase de conjugación de W . Notamos que en este caso todos los valores absolutos en M_{K} son no–arquimedianos.

1.1.4 Alturas Locales

Sea k un F P –cuerpo, M_{k} un conjunto propio de valores absolutos que satisface la fórmula del producto con multiplicidades λ_{v}, y sea S_{k} el conjunto de valores absolutos arquimedianos en M_{k}. Para cada valor absoluto v ∈ M_{k} denotamos por k_{v} la completación de k con respecto a v y por σ_{v} la inmersión canónica de k en k_{v}.

Sea P un polinomio en k[x_{1}, …, x_{n}] . Definimos la altura local o medida de Mahler local M_{v}(P) de P en v de la siguiente forma:

1. Si v ∉ S_{k}, M_{v}(P) es el máximo de los valores absolutos de los coeficientes de σ_{v}(P) .

2. Si v ∈ S_{k} se tiene k_{v} = IR ó k_{v} = C . Luego M_{v}(P) es la medida de Mahler de σ_{v}(P) , que se define como

M_{v}(P) = M(σ_{v}(P)) := exp(∫_{0}^{1} ⋯ ∫_{0}^{1} log |σ_{v}(P)(e^{2iπt_{1}}, …, e^{2iπt_{n}})| dt_{1} ⋯ dt_{n})

para P ≠ 0 y M_{v}(0) := 0 . La función log |σ_{v}(P)| es integrable [114] y por lo tanto M_{v}(P) = 0 si y sólo si P = 0 .

Alternativamente vamos a usar la medida de Mahler logarítmica, es decir m_{v}(P) := log M_{v}(P) .

La medida de Mahler fue introducida por Lehmer [93] para el caso de un polinomio univariado P = a_{d} ∏_{i=1}^{d}(x − α_{i}) ∈ C[x] bajo la forma

M(P) := |a_{d}| ∏_{i=1}^{d} max{1, |α_{i}|}.

La igualdad entre las dos expresiones de M(P) se deduce de la fórmula de Jensen. El caso general fue introducido y estudiado por Mahler [95].

La propiedad fundamental de estas alturas locales es su multiplicatividad. Se tiene

M_{v}(P · Q) = M_{v}(P) · M_{v}(Q)

para P, Q ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] . En el caso arquimediano esto se sigue directamente de la definición de la medida de Mahler, mientras que en el caso no–arquimediano se sigue del lema de Gauss.

Consideramos también la altura local absoluta de P , que definimos como \overline{m}_{v}(P) := max{0, m_{v}(P)} para P ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] .

Sea A ⊆ k un conjunto finito. Luego definimos su valor absoluto o altura ordinaria como H_{v}(A) := |A|_{v} = max_{a∈A}{|a|_{v}} , es decir, el máximo de los valores absolutos de los elementos de A. Asimismo consideramos su altura (ordinaria) logarítmica h_{v}(A) := log H_{v}(A) y su altura (ordinaria) logarítmica absoluta \overline{h}_{v}(A) := max\{0, h_{v}(A)\}.

Introducimos además otra medida para polinomios complejos, su longitud, que se define como

L(P) := ∑_{i} |a_{i}|

para P = ∑_{i} a_{i} x^{i} ∈ C[x_{1}, …, x_{n}] , y la longitud logarítmica l(P) := log L(P) . Estas nociones están relacionadas [108], por las estimaciones

M(P) ≤ L(P) ≤ (n + 1)^{deg P} M(P).

Se tiene L(P + Q) ≤ L(P) + L(Q) y por lo tanto

M_{v}(P + Q) ≤ M_{v}(P)(n + 1)^{deg P} + M_{v}(Q)(n + 1)^{deg Q}, v ∈ S_{k},
M_{v}(P + Q) ≤ max{M_{v}(P), M_{v}(Q)},  v ∉ S_{k}.

Análogamente, se tiene la estimación

l(P_{1} ⋯ P_{k}) ≤ ∑_{i} l(P_{i}) + log(n + 1) ∑_{i} deg P_{i}.

Por otra parte, se tiene además, la relación siguiente entre la medida de Mahler y la altura ordinaria

m_{v}(P) − deg P − n ≤ h_{v}(P) ≤ m_{v}(P) + log(n + 1) deg P, v ∈ S_{k},
h_{v}(P) = m_{v}(P),  v ∉ S_{k}.

El siguiente lema técnico nos permite controlar el comportamiento de la altura local con respecto a la composición.

Lema 1.1.1 Sean f ∈ k[t_{1}, …, t_{m}] y g_{1}, …, g_{m} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] . Sean deg g := max_{i} deg g_{i} y \overline{m}_{v}(g) := max_{i} \overline{m}_{v}(g_{i}) . Sea F ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] el polinomio dado por la composición de f con g_{1}, …, g_{m}, es decir

F := f(g_{1}, …, g_{m}).

Entonces

m_{v}(F) ≤ m_{v}(f) + deg f · \overline{m}_{v}(g) + deg f(log(m + 1) + deg g log(n + 1)), v ∈ S_{k},
m_{v}(F) ≤ m_{v}(f) + deg f · \overline{m}_{v}(g),  v ∉ S_{k}.

Demostración. Sean d := deg f y D := deg g. Sean i := (i_{1}, …, i_{m}) ∈ IN^{m} y g := (g_{1}, …, g_{m}) . Consideramos en primer lugar el caso v ∈ S_{k}.

Se tiene \overline{m}_{v}(g^{i}) ≤ |i| · \overline{m}_{v}(g) . Luego l(g^{i}) ≤ d \overline{m}_{v}(g) + d D log(n + 1) para |i| ≤ d y por lo tanto

m_{v}(F) ≤ l(F) ≤ l(f) + d \overline{m}_{v}(g) + d D log(n + 1)
≤ m_{v}(f) + d log(m + 1) + d \overline{m}_{v}(g) + d D log(n + 1).

El caso v ∉ S_{k} se sigue en forma parecida.

□

En particular, sea f := det(t_{ij}) ∈ k[(t_{ij})_{ij}] el determinante de la m × m –matriz (t_{ij})_{ij} y sean g_{ij} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] . Luego

m_{v}(F) ≤ m \overline{m}_{v}(g) + m(deg g log(n + 1) + 3 log(m + 1)), v ∈ S_{k},
m_{v}(F) ≤ m \overline{m}_{v}(g),  v ∉ S_{k},

ya que m_{v}(f) ≤ l(f) ≤ m log m para v ∈ S_{k} y m_{v}(f) = 0 para v ∉ S_{k}.

1.1.5 Alturas Globales

Sea k un F P –cuerpo con un conjunto propio de valores absolutos M_{k} que satisface la fórmula del producto con multiplicidades λ_{v}.

Sea P un polinomio en k[x_{1}, …, x_{n}] . Se define la altura invariante o medida de Mahler invariante de P como

m(P) := ∑_{v} λ_{v} m_{v}(P)

para P ≠ 0 y m(0) := 0 . Esta noción fue introducida por Philippon para el caso de un cuerpo de números [108, Definición 1.1.1].

Esta noción puede extenderse a una extensión finita E de k. Sea M_{E} el conjunto de los valores absolutos sobre E que extienden a los valores absolutos en M_{k}. Sean μ_{w} las multiplicidades de M_{E}. Asumimos que estas multiplicidades están normalizadas de forma tal que vale

∑_{w|v} μ_{w} = λ_{v}.

Luego definimos en forma análoga m(P) := ∑_{w} μ_{w} m_{w}(P) para P ∈ E[x_{1}, …, x_{n}]−{0}. Esta última expresión no depende del cuerpo de E, gracias a la normalización impuesta sobre las multiplicidades μ_{w}. Esto permite prolongar la función m al anillo de polinomios \overline{k}[x_{1}, …, x_{n}] , y de esta forma nos podemos independizar del cuerpo de definición de los objetos — variedades y polinomios — con los que trabajamos.

Análogamente definimos la altura absoluta de P como \overline{m}(P) := ∑ λ_{v} \overline{m}_{v}(P) .

Se tiene m(λP) = m(P) para λ ∈ k^{∗} por la fórmula del producto. Esta propiedad es la que justifica el nombre de invariante para la altura m. Esta noción de altura satisface además

m(P · Q) = m(P) + m(Q)

para P, Q ≠ 0 , por la multiplicatividad de las alturas locales. Otra propiedad importante de m es su positividad, es decir m(P) ≥ 0 [108, Proposición 1.12].

Se tiene m(P) ≤ \overline{m}(P) para todo P , y además existe λ ∈ k^{∗} tal que m(P) = \overline{m}(λ P) [108].

Estas propiedades hacen conveniente el uso de la altura invariante como medida de un polinomio. Para el caso de un conjunto finito A ⊆ k introducimos su altura de Weil (invariante), que se define como h(A) := ∑ λ_{v} h_{v}(A) . Análogamente introducimos la altura de Weil (absoluta) de A como \overline{h}(A) := ∑ λ_{v} \overline{h}_{v}(A) . Vamos a utilizar estas nociones, por ejemplo, para el caso de una familia finita de polinomios o de funciones racionales.

Estas nociones están relacionadas por

m(P) − deg P − n ≤ h(P) ≤ m(P) + log(n + 1) deg P,
\overline{m}(P) − deg P − n ≤ \overline{h}(P) ≤ \overline{m}(P) + log(n + 1) deg P.

Una propiedad importante de las alturas absolutas es que acotan a las alturas locales, es decir

m_{v}(P) ≤ \overline{m}(P), h_{v}(A) ≤ \overline{h}(A),

para todo v ∈ M_{k}.

Sean f ∈ k[t_{1}, …, t_{m}] y g_{1}, …, g_{m} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] . Sea F := f(g_{1}, …, g_{m}) . Del lema 1.1.1 obtenemos

m(F) ≤ m(f) + deg f · \overline{m}(g) + deg f(log(m + 1) + deg g log(n + 1)).

En lo que sigue vamos a necesitar algunos lemas técnicos. La siguiente es una estimación para la altura de la raíz de un polinomio univariado.

Lema 1.1.2 Sea p ∈ k[t] un polinomio de grado d, y sea ξ ∈ \overline{k} una raíz de p. Entonces

\overline{h}(ξ) ≤ h(p) + log d.

Demostración. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que p es mónico. Sea p = t^{d} + a_{d−1} t^{d−1} + ⋯ + a_{0} ∈ k[t] y sea q := −a_{d−1} t^{d−1} − ⋯ − a_{0} . Luego

ξ^{d} = −(a_{d−1} ξ^{d−1} + ⋯ + a_{d}) = q(ξ)

Consideramos primeramente el caso v ∈ S_{k}. Luego |ξ|^{d} ≤ max{1, |ξ|}^{d−1} L(q) y por lo tanto

\overline{h}_{v}(ξ) ≤ \overline{h}_{v}(q) + log d

En el caso v ∉ S_{k} se tiene \overline{h}_{v}(ξ) ≤ \overline{h}_{v}(q) y por lo tanto

\overline{h}(ξ) ≤ \overline{h}(q) + log d = h(p) + log d

ya que \overline{h}_{v}(q) = h_{v}(p) para todo v. □

Para un polinomio P ∈ k[t_{1}, …, t_{m}][x_{1}, …, x_{n}] se define por deg^{(t)} P y por deg^{(x)} P el grado de P en las variables t_{1}, …, t_{m} y x_{1}, …, x_{n} respectivamente.

El siguiente resultado muestra que existen puntos de baja altura que no anulan un polinomio dado.

Lema 1.1.3 Sea P ∈ k[t_{1}, …, t_{m}][x_{1}, …, x_{n}] un polinomio no nulo de grado d en las variables t_{1}, …, t_{m}. Entonces existe ξ ∈ k^{m} tal que P (ξ, x) ≠ 0 y \overline{h}(ξ) ≤ d.

Demostración. Este resultado se sigue fácilmente tomando ξ ∈ ZZ^{m} en el caso char (k) = 0 y ξ ∈ \overline{IF}_{p}^{n} en el caso char (k) = p > 0 . Aquí \overline{IF}_{p}^{n} denota la clausura algebraica del cuerpo primo IF_{p}^{n}. □

Supongamos que k es el cuerpo de fracciones de un anillo factorial A. Este es el caso, por ejemplo, si k es el cuerpo Q de los números racionales o el cuerpo de funciones racionales n –variadas k_{0}(t_{1}, …, t_{m}) sobre un cuerpo de constantes k_{0} dado. Sea M_{A} el conjunto de valores absolutos no–arquimedianos en M_{k} asociados a los elementos irreducibles de A, y sea S_{A} := M_{k} − M_{A}. Sea P ∈ A[x_{1}, …, x_{n}] un polinomio primitivo, es decir, tal que sus coeficientes no tienen factores comunes. Luego |P |_{v} = 1 para todo v ∈ M_{A} y por lo tanto

m(P) = ∑_{v∈S_{A}} λ_{v} m_{v}(P).

En el caso A := ZZ el conjunto S_{A} consiste sólo en el valor absoluto ordinario. Luego

m(P) = log M(P)

para un polinomio primitivo P ∈ ZZ[x_{1}, …, x_{n}] . Análogamente h(A) = log |A| = max_{a∈A} |a| para un conjunto primitivo A ⊆ ZZ .

En el caso A := k[t_{1}, …, t_{m}] el conjunto S_{A} consiste en el valor absoluto que corresponde al hiperplano del infinito {t_{0} = 0} ⊆ IP^{m}. Luego

m(P) = h(P) = deg^{(t)} P

para un polinomio primitivo P ∈ k[t_{1}, …, t_{m}][x_{1}, …, x_{n}] .

1.2 Altura de Variedades

Esta Sección está dedicada a la definición de altura de variedades afines y a la derivación de sus propiedades más inmediatas.

En una primera parte nos dedicamos a los preliminares de carácter geométrico–algebraico. Introducimos la noción de grado de una variedad junto con sus propiedades básicas. Luego introducimos la forma de Chow de una variedad afín. Esta noción nos permite definir la altura de una variedad como la altura de su forma de Chow.

1.2.1 Grado

En primer lugar introducimos la definición de grado de una variedad afín irreducible y luego la extendemos al caso general. Adoptamos el punto de vista de Heintz [67].

Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado y sea V ⊆ IA^{n} una variedad irreducible de dimensión r. Consideramos el morfismo φ : IA^{rn} × V → IA^{rn} × IA^{r}. Identificamos a IA^{rn} con la variedad de las r × n –matrices con coeficientes en k y definimos φ(G, x) := (G, Gx) para G ∈ IA^{rn} y x ∈ V . La fibra φ^{−1}(G, b) de un elemento (G, b) ∈ IA^{rn} × IA^{r} corresponde a la intersección de V con los r hiperplanos afines definidos por (G, b) .

La aplicación φ es dominante y la extensión k(IA^{rn} × IA^{r}) ↪ k(IA^{rn} × V) es finita y separable [67]. Se tiene además

#φ^{−1}(G, b) ≤ [k(IA^{rn} × V) : k(IA^{rn} × IA^{r})]

para todo (G, b) ∈ IA^{rn} × IA^{r} con fibra finita, y vale la igualdad para (G, b) en un abierto de IA^{rn} × IA^{r} [67].

Sea V ⊆ IA^{n} una variedad irreducible de dimensión r. Luego el grado de V se define como

deg V : = [k(IA^{rn} × V) : k(IA^{rn} × IA^{r})]
= sup{# V ∩ H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{r} : H_{1}, …, H_{r} hiperplanos afines de IA^{n}
tales que V ∩ H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{r} es finita }.

Sea V ⊆ IA^{n} una variedad y sea V = ∪_{i} V_{i} su descomposición en componentes irreducibles. Entonces se define el grado de V como

deg V := ∑_{i} deg V_{i}.

El grado es siempre un entero positivo, y se tiene deg V = 1 si y sólo si V es una variedad lineal.

El grado de una hipersuperficie es igual al grado de cualquier generador de su ideal de definición. El grado de una variedad finita es igual a su cardinal.

Para un morfismo lineal φ : IA^{n} → IA^{m} y una variedad V ⊆ IA^{n} se tiene deg \overline{φ(V)} ≤ deg V .

El aspecto básico del grado es su comportamiento con respecto a intersecciones. La noción de grado introducida verifica la desigualdad de Bézout [67]. Se tiene

deg V ∩ W ≤ deg V · deg W

para V, W ⊆ IA^{n}, sin restricciones sobre el tipo de intersección de V y W . Con respecto al producto se tiene deg V × W = deg V · deg W .

Sea V ⊆ IA^{n} una variedad de dimensión r y sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] . Sea d_{i} := deg f_{i} y supongamos que vale d_{1} ≥ ⋯ ≥ d_{s}. Como consecuencia de la desigualdad de Bézout se tiene

deg(V ∩ V (f_{1}, …, f_{s})) ≤ deg V ∏_{i=1}^{r} d_{i}.

Otra consecuencia de la desigualdad de Bézout es la siguiente estimación para la imagen de una variedad por una aplicación racional. Es una variante de [68, Lema 1] y [115, Proposición 1].

Lema 1.2.1 Sea φ : IA^{n} → IA^{m} un morfismo racional y sea V ⊆ IA^{n} una variedad de dimensión r. Sean f_{i}, g_{i} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios tales que φ = (f_{1}/g_{1}, …, f_{m}/g_{m}) . Sea d_{i} := max{deg f_{i}, deg g_{i} + 1} y supongamos que vale d_{1} ≥ ⋯ ≥ d_{m}. Entonces

deg \overline{φ(V)} ≤ deg V ∏_{i=1}^{r} d_{i}.

Demostración. Sea Gr(φ) el gráfico de φ. Asumimos sin pérdida de generalidad que f_{i} y g_{i} no tienen factores comunes. Luego

\overline{Gr(φ)} = V ∩ V (g_{1} y_{1} − f_{1}, …, g_{m} y_{m} − f_{m}) ⊆ IA^{n} × IA^{m}

y por lo tanto

deg Gr(φ) ≤ deg V ∏_{i=1}^{s} d_{i}

donde s := dim \overline{φ(V)} . Sea π : IA^{n} × IA^{m} → IA^{m} la proyección (x, y) ↦ y. Luego φ(V) = π(Gr(φ)) y por lo tanto deg \overline{φ(V)} ≤ deg Gr(φ) , de donde se deduce la cota anunciada. □

Se obtiene además una cota para los grados de los polinomios que definen la inversa de un morfismo birracional de una variedad en un espacio afín.

Sea q ∈ k(x_{1}, …, x_{n}) una función racional, y sean f , g ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios sin factores comunes tales que q = f/g. Luego definimos el grado de q como

deg q := max{deg f, deg g}.

Lema 1.2.2 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad y sea φ : V → IA^{r} un morfismo birracional. Sea ψ := φ^{−1} = (ψ_{1}, …, ψ_{n}) la inversa de φ, con ψ_{i} ∈ k(y_{1}, …, y_{r}) . Sean f_{i}, g_{i} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios tales que φ = (f_{1}/g_{1}, …, f_{r}/g_{r}) . Sea d_{i} := max{deg f_{i}, deg g_{i} + 1} y supongamos que vale d_{1} ≥ ⋯ ≥ d_{m}. Entonces

deg ψ_{i} ≤ deg V ∏_{i=1}^{r} d_{i}.

Demostración. Sea p_{i}, q_{i} ∈ k[y_{1}, …, y_{r}] polinomios sin factores comunes tales que ψ_{i} = p_{i}/q_{i}. Se tiene entonces

\overline{Gr(ψ)} = \{q_{1} x_{1} − p_{1}, …, q_{n} x_{n} − p_{n}\} ⊆ IA^{r} × IA^{n}

y por lo tanto V (q_{i} x_{i}−p_{i}) = \overline{π_{i}(Gr(ψ))} donde π_{i} : IA^{r}×IA^{n} → IA^{r+1} denota la proyección (y, x) ↦ (y, x_{i}) . Luego

deg ψ ≤ deg(q_{i} x_{i} − p_{i}) ≤ deg Gr(ψ) ≤ deg V ∏_{i=1}^{r} d_{i}

ya que el polinomio q_{i} x_{i} − p_{i} es irreducible y el gráfico de ψ coincide con el de φ. □

Esta noción de grado se extiende también al caso de una variedad proyectiva. Sea V ⊆ IP^{n} una variedad irreducible. El grado deg V de la variedad V se define como la cantidad de puntos en la intersección de V con una variedad lineal de dimensión complementaria, y se extiende igual que antes al caso de una variedad reducible. El grado de una variedad afín V ⊆ IA^{n} coincide entonces con el grado de su clausura proyectiva \overline{V} ⊆ IP^{n}.

Existen distintas definiciones alternativas del grado de una variedad proyectiva. Una de las más usuales es a través de la función de Hilbert, y permite extender la noción de grado al contexto de ideales. Introducimos ahora la noción de función de Hilbert. En el capítulo 3 hacemos un estudio de esta noción desde el punto de vista cuantitativo.

Sea S al anillo de polinomios k[x_{0}, …, x_{n}] . Dado un S –módulo graduado M y un entero m ∈ ZZ , denotamos por M_{m} la parte homogénea de M de grado m.

Sea I un ideal homogéneo de k[x_{0}, …, x_{n}] . La función de Hilbert o función característica del ideal I se define como

h_{I} : ZZ → ZZ, m ↦ dim_{k}(k[x_{0}, …, x_{n}]/I)_{m}.

Sea r + 1 := dim I ≥ 0 . Luego existe un polinomio p_{I} = a_{r} t^{r} + · + a_{0} ∈ Q[t] de grado r y m_{0} ∈ ZZ tales que

h_{I}(m) = p_{I}(m) m ≥ m_{0}.

El polinomio p_{I} es el polinomio de Hilbert del ideal I. Entonces el grado del ideal I se define entonces como

deg I := r! a_{r}.

Sea V ⊆ IP^{n} una variedad irreducible de dimensión r. Sea k[V] su anillo de coordenadas homogéneas, es decir

k[V] := k[x_{0}, …, x_{n}]/I(V)

donde I(V) ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] denota el ideal de definición de V . Sea k[V]_{m} su parte graduada de grado m. Sea entonces

h_{V} (m) := dim_{k} k[V]_{m}

su función de Hilbert. Luego h_{V} coincide con un polinomio de grado r para m ≫ 0 . El término principal de este polinomio es igual a deg V/r! , es decir, que la definición de grado vía función de Hilbert coincide con la definición usual de grado para el caso de una variedad irreducible. Esta última es una consecuencia del teorema de Bertini [76].

Estudiamos ahora la relación entre el grado de un ideal y el grado de la variedad que define. Introducimos previamente la noción de longitud de un ideal primario.

Sea P un ideal primo homogéneo de k[x_{0}, …, x_{n}] y sea Q un ideal P –primario. Luego se define la longitud l(Q) de Q como la longitud de (S/Q)_{P} como un S/P –módulo. Equivalentemente, l(Q) es igual a la longitud de una cadena maximal de ideales P – primarios de la forma

P = Q_{1} ⊃ ⋯ ⊃ Q_{l} = Q.

Este número es finito, y se tiene l(Q) = 1 si y sólo si Q es primo.

Sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo y sea I = ∩_{P} Q_{P} una descomposición primaria minimal de I. Entonces se tiene

deg I = ∑_{P} l(Q_{P}) deg V (P)

donde la suma se hace sobre los primos asociados de I de dimensión igual a la dimensión de I [131, Proposición 1.49], [63, Proposición 13.6]. En particular, el grado de un ideal homogéneo sólo depende de su parte equidimensional de dimensión máxima.

La desigualdad de Bézout también vale en el contexto proyectivo, y es, de hecho, equivalente a la versión afín [31]. Esta definición del grado vía función de Hilbert nos permite dar una demostración sencilla de la desigualdad de Bézout en el caso general. Damos aquí las líneas principales de la demostración de Fulton [51].

Sean V ⊆ IP^{m}, W ⊆ IP^{n} variedades irreducibles de dimensiones r y s respectivamente. Sea

V #W ⊆ IP^{m+n+1}

el ruled join de V y W , es decir, la variedad proyectiva asociada a la k –álgebra graduada k[V] ⊗_{k} k[W] . Luego dim V #W = r + s + 1 y se tiene

h_{V #W} (m) = ∑_{i} h_{V} (i) h_{W} (m − i) = (deg V · deg W)/(r + s + 1)! m^{r+s+1} + O(m^{r+s})

y por lo tanto deg V #W = deg V · deg W .

Sean ahora V, W ⊆ IP^{n} variedades irreducibles. Luego se tiene V ∩ W = (V #W) ∩ Δ , donde Δ denota la variedad lineal {x_{0} = y_{0}, …, x_{n} = y_{n}} ⊆ IP^{2n+1} . Luego se tiene

deg V ∩ W ≤ deg V #W = deg V · deg W.

Este argumento demuestra la desigualdad de Bézout para el caso en que V, W son variedades irreducibles. El caso general se reduce a éste, pasando por la descomposición en componentes irreducibles.

Posteriormente se han obtenido versiones más generales y refinadas de la desigualdad de Bézout que incluyen multiplicidades de intersección. Referimos a lo libros de Fulton [51] y Vogel [131] para los enunciados precisos de estos resultados.

1.2.2 Forma de Chow y Polinomio Característico

La idea básica de la construcción de Chow es la de parametrizar el conjunto de las variedades proyectivas. El punto en esta construcción consiste en asociar a toda variedad V ⊆ IP^{n} una hipersuperficie Φ_{V} en un espacio proyectivo. En lo que sigue vamos a describir esta construcción. Seguimos en este punto el tratamiento de Shafarevich [117].

El conjunto de hiperplanos en un espacio proyectivo IP^{n} es un espacio proyectivo, el espacio proyectivo dual, que se denota por IP^{n∗}. En forma intrínseca, si IP^{n} = IPS es el espacio proyectivo asociado a un espacio vectorial S, el espacio proyectivo dual es la proyectivización IP^{n∗} = IPS^{∗} del espacio dual S^{∗}.

Sea V ⊆ IP^{n} una variedad equidimensional de dimensión r. Consideramos la variedad

Γ := {(p, H_{1}, …, H_{r+1}) : p ∈ V, p ∈ H_{i} ∀i} ⊆ V × IP^{n∗} × ⋯ × IP^{n∗}

La imagen de Γ por la proyección canónica π : Γ → IP^{n∗}×⋯×IP^{n∗} es una hipersuperficie cerrada Φ_{V} . El polinomio f_{V} que define a Φ_{V} es único salvo por múltiplos escalares, y se llama forma de Chow o forma eliminante de V .

Asumimos como dada una elección de coordenadas en IP^{n} e identificamos a IP^{n∗} con IP^{n}. Cada hiperplano genérico H ∈ IP^{n∗} lo identificamos con un punto U ∈ IP^{n} de forma tal que p ∈ H si y sólo si U · p = 0 para p ∈ IP^{n}. Luego f_{V} se identifica con un polinomio en r + 1 grupos de n + 1 variables. Este polinomio es multihomogéneo de grado deg V en cada uno de estos grupos de variables [117].

Se tiene además que f_{V} es simétrico — salvo por ± — con respecto a permutaciones entre estos grupos de variables. Esto se deduce del hecho de que la hipersuperficie Φ_{V} es simétrica con respecto a estas permutaciones y por lo tanto

f_{V} (H_{1}, …, H_{j}, …, H_{i}, …, H_{r+1}) = τ_{ij} f_{V} (H_{1}, …, H_{i}, …, H_{j}, …, H_{r+1})

para algún τ_{ij} ∈ k^{∗}. Se tiene entonces τ_{ij}^{2} = 1 , de donde τ_{ij} ± 1 .

Sea V = ∪_{i} V_{i} la descomposición de V en componentes irreducibles. Luego se tiene

f_{V} = ∏_{i} f_{V_{i}}.

El significado geométrico de la forma de Chow es claro. Dados hiperplanos H_{1}, …, H_{r+1} ⊆ IP^{n}, entonces f_{V} (H_{1}, …, H_{r+1}) = 0 si y sólo si

V ∩ H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{r+1} ≠ ∅.

En el caso V = IP^{n} el polinomio f_{V} coincide con el determinante.

Sea V ⊆ IA^{n} una variedad afín equidimensional de dimensión r. Definimos la forma de Chow f_{V} de V como la forma de Chow de su clausura proyectiva \overline{V} ⊆ IP^{n}.

Sean H_{1}, …, H_{r+1} ⊆ IA^{n} hiperplanos afines. La condición V ∩ H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{r+1} ≠ ∅ implica como antes f_{V} (H_{1}, …, H_{r+1}) = 0 pero no vale la recíproca. De hecho se tiene f_{V} (H_{1}, …, H_{r+1}) = 0 si y sólo si \overline{V} ∩ H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{r+1} ≠ ∅.

Introducimos ahora la noción de polinomio característico de una variedad afín V . Esta noción es fundamental en nuestro tratamiento de la altura de una variedad. Este concepto es muy cercano a la noción de forma de Chow. A grandes rasgos describe la ecuación minimal de una forma lineal con respecto a una normalización de Noether genérica de la variedad V .

Sea V ⊆ IA^{n} una variedad afín equidimensional. Consideramos a los espacios afines IA^{(r+1)} y IA^{(n+1)n} como las variedades de las (r + 1) × 1 –matrices y de las (r + 1) × n – matrices con coeficientes en k, respectivamente. Consideramos el morfismo

ϖ_{V} : IA^{(r+1)} × IA^{(r+1)n} × V → IA^{(r+1)} × IA^{(r+1)n} × IA^{r+1}, (b, G, x) ↦ (b, G, b + G · x)

para b ∈ IA^{r+1} , G ∈ IA^{(r+1)n} y x ∈ V . Para b ∈ IA^{r+1} y G ∈ IA^{(r+1)n} fijos, el morfismo ϖ_{V} se corresponde con la proyección de V al subespacio afín de IA^{n} determinado por b y G. Se tiene ϖ_{V}^{−1}(b, G, IA^{r+1}) = V y por lo tanto

dim ϖ_{V} (IA^{(r+1)}IA^{(r+1)n} × V) = (r + 1)(r + 1)n + r

por el teorema de dimensión de fibras. Luego la clausura de la imagen de ϖ_{V} es una hipersuperficie Ω_{V} := \overline{Im (ϖ_{V})} de IA^{(r+1)(n+1)} ×IA^{r+1} . El polinomio P_{V} que define esta hipersuperficie es único salvo por múltiplos escalares, y se llama el polinomio característico de la variedad V .

Sean U := (U_{ij})_{ij} y T := (T_{k}) una (r + 1) × (n + 1) –matriz y una (r + 1) × 1 –matriz formadas por variables U_{ij} y T_{k} respectivamente. Sean además

η_{i} := U_{i0} + U_{i1}x_{1} + ⋯ + U_{in}x_{n}

formas lineales genéricas. El morfismo

ϖ_{V}^{∗} : k[IA^{(r+1)} × IA^{(r+1)n} × IA^{(r+1)}] → k[IA^{(r+1)} × IA^{(r+1)n} × V]

está entonces definido por U_{ij} ↦ U_{ij} y T_{k} ↦ η_{k}. El núcleo de este morfismo es un ideal principal y P_{V} ∈ k[U, T] es un generador de este ideal.

La extensión k(IA^{r(n+1)} ×IA^{r}) ↪ k(IA^{r(n+1)} ×V) definida por U_{ij} ↦ U_{ij} y T_{k} ↦ η_{k} para i, k = 1, …, r y j = 0, …, n es entera. En otros términos, la proyección genérica

V → IA^{r}, x ↦ (η_{1}(x), …, η_{r}(x))

es una normalización de Noether de la variedad V .

Sean E := k(IA^{r(n+1)}×IA^{r}) y F := k(IA^{r(n+1)}×V) . Luego F es una E –álgebra reducida de dimensión 0, y la extensión E ↪ F es separable y finita de grado deg V [67].

Sean E′ := k(U_{r+1}) ⊗_{k} E y F′ := k(U_{r+1}) ⊗_{k} F . Luego η_{r+1} es un elemento primitivo de F′ sobre E′, es decir

F′ = E′[η_{r+1}].

Consideramos entonces la aplicación E′ –lineal inducida por la multiplicación por η_{r+1} , es decir

L_{η_{r+1}} : F′ → F′, g ↦ η_{r+1} · g.

Luego P_{V} coincide con el polinomio característico de L_{η r}, salvo por un factor en k(U_{1}, …, U_{r}, T_{r}, …, T_{r})^{∗}. Esto justifica el nombre de polinomio característico de V para el polinomio P_{V} .

Se tiene además deg^{(T)} P_{V} ≤ deg V , donde deg^{(T)} denota el grado en las variables T_{1}, …, T_{r+1} . Esta estimación se sigue directamente de la definición de P_{V} como la ecuación de una proyección lineal de V en un espacio afín IA^{r+1} . De la observación de que P_{V} es — esencialmente — el polinomio característico de η_{r+1} se deduce

deg^{(T)} P_{V} = deg V.

Sea V = ∪_{i} V_{i} la descomposición de V en componentes irreducibles. Luego se tiene

P_{V} = ∏_{i} P_{V_{i}}.

El siguiente resultado muestra la estrecha relación entre el polinomio característico y la forma de Chow de una variedad .

Lema 1.2.3 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad equidimensional de dimensión r. Entonces

P_{V} (U, T) = (f_{V} ∘ α)(U, T)

con α_{i}(U, T_{i}) := (U_{i0} − η_{i}, U_{i1}, …, U_{in}) .

Demostración. Alcanza con considerar el caso en que V es irreducible. Sea Q(U, T) := (f_{V} ∘ α)(U, T) . Vamos a probar la igualdad P_{V} = Q. Se tiene Q(U, 0) = f_{V} y por lo tanto Q es no nulo. Sea ξ ∈ V . Las formas lineales

L_{i}(x) := U_{i0} − η_{i}(ξ) + U_{i1}x_{1} + ⋯ + U_{in}x_{n}

se anulan para x := ξ, y por lo tanto Q(U, η(ξ)) = f_{V} (L_{1}, …, L_{r+1}) es idénticamente 0. Luego Q es múltiplo de P_{V} . Por otra parte se tiene que Q(U, 0) = f_{V} (U) y por lo tanto Q es irreducible. Concluimos entonces P_{V} = Q. □

En particular se tiene

f_{V} (U) = P_{V} (U, 0).

Además P_{V} es un polinomio homogéneo de grado deg V en el grupo de variables (U_{i}, T_{i}) para todo i.

Sea V ⊆ IA^{n} una variedad definida sobre un cuerpo perfecto k, no necesariamente algebraicamente cerrado. Entonces su ideal de definición I(V) está definido sobre k [99, Teorema 26.3]. En particular su polinomio característico P_{V} y su forma de Chow f_{V} están definidos sobre k.

En lo que sigue determinamos ahora la forma de Chow de una hipersuperficie y de una variedad de dimensión 0.

Sea V ⊆ IA^{n} una hipersuperficie definida por un polinomio separable f de grado δ. Sea M = (U_{ij})_{1≤i,j≤n} una n × n –matriz formada por variables. Luego se tiene

U_{i1} x_{1} + ⋯ + U_{in} x_{n} = η_{i} − U_{i0}

y por lo tanto

Δ x_{i} = (Δ_{1i}η_{1} + ⋯ + Δ_{ni}η_{n}) − (Δ_{1i}U_{10} + ⋯ + Δ_{ni}U_{n0})

donde Δ denota el determinante de la matriz M y Δ_{ij} denota el (i, j) –menor de M . Sea entonces M′ la n × (n + 1) –matriz de variables que resulta de adjuntar la columna (U_{10}, …, U_{n0}) a la matriz M . Luego se tiene

f_{V} = Δ_{0}^{δ} f(Δ_{1}/Δ_{0}, …, Δ_{n}/Δ_{0})

donde Δ_{i} denota (−1)^{i} veces el determinante de la matriz que resulta de suprimir la columna i en la matriz M′.

Sea V ⊆ IA^{n} una variedad de dimensión 0. Entonces se tiene

f_{V} = ∏_{ξ∈V} (U_{0} + U_{1}ξ_{1} + ⋯ + U_{n}ξ_{n}).

1.2.3 Definición de Altura

Sea k un F P –cuerpo y sea V ⊆ IA^{n} una variedad irreducible. Luego definimos la altura de V como la altura invariante de su polinomio de Chow, es decir

h(V) := m(f_{V}).

La indeterminación proveniente de la elección de la forma de Chow f_{V} desaparece gracias a la fórmula del producto.

Sea V ⊆ IA^{n} y sea V = ∪_{i} V_{i} su descomposición en componentes irreducibles. Entonces definimos la altura de una variedad de V como

h(V) := ∑_{i} h(V_{i}).

Se tiene h(V) ≥ 0 . Si V ⊆ IA^{n} es una variedad equidimensional entonces h(V) = h(f_{V}) , por la aditividad de la altura de h.

Ahora vamos a estudiar el comportamiento de la altura para el caso de una hipersuperficie y de una variedad de dimensión 0.

Lema 1.2.4 Sea V ⊆ IA^{n} una hipersuperficie definida por un polinomio separable g ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] . Entonces

−3(n + 1) log(n + 1) deg g ≤ h(V) − m(g) ≤ 3 (n + 1) log(n + 1) deg g.

Demostración. Sea g^{h} la homogeneización de g en k[x_{0}, …, x_{n}] y sea M′ = (U_{ij})_{ij} una n × (n + 1) –matriz de variables. Entonces

f_{V} = g^{h}(Δ_{0}, Δ_{1}, …, Δ_{n})

donde Δ_{i} es (−1)^{i} veces el determinante de la matriz que resulta de suprimir en M′ la columna i.

Se tiene deg Δ_{i} = n, m_{v}(Δ_{i}) ≤ l(Δ_{i}) ≤ n log n para v ∈ S_{k} y m_{v}(Δ_{i}) = 0 para v ∉ S_{k}. Luego

m(f_{V}) ≤ m(g)+deg g (log(n+1)+n log n+n log(n^{2}+n)) ≤ m(g)+3(n+1) log(n+1) deg g

por el lema 1.1.1. Por otra parte se tiene g = f_{V} ∘ α(x) con T_{i}(x) = (−x_{i}, 0, …, 1, …, 0) , y por lo tanto

m(g) ≤ m(f_{V}) + n deg g(log(n^{2} + n) + log 2 + log(n + 1)) ≤ 3(n + 1) log(n + 1) deg g.

□

Sea V ⊆ IA^{n} una variedad afín de dimensión 0. Entonces se define la altura de Weil w(V) de V como

w(V) := ∑_{ξ∈V} \overline{h}(ξ).

Lema 1.2.5 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad de dimensión 0. Entonces

− log(n + 1) deg V ≤ h(V) − w(V) ≤ log(n + 1) deg V.

Demostración. Alcanza con considerar el caso en que V se reduce a un punto ξ ∈ IA^{n}. Luego f_{V} = U_{0} + ξ_{1}U_{1} + ⋯ + ξ_{n}U_{n} y por lo tanto \overline{h}(f_{V}) = \overline{h}(ξ) . Luego se tiene

\overline{h}(ξ) − log(n + 1) ≤ m(f_{V}) ≤ \overline{h}(ξ) + log(n + 1)
□

Vemos así que la noción de altura que consideramos es equivalente a la altura del polinomio que la define o a la altura de Weil según el caso. Aquí equivalente significa que la diferencia entre ambas cantidades está acotada por c(n) deg V , donde c(n) es una cantidad que depende polinomialmente de n.

1.2.4 Propiedades Básicas

Ahora vamos a establecer algunas de las propiedades básicas de esta altura de variedades. Consideramos en primer lugar su comportamiento bajo intersección con variedades lineales.

Lema 1.2.6 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad de dimensión r. Sea H ⊆ IA^{n} un hiperplano y sea L ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] una ecuación de H. Entonces

h(V ∩ H) ≤ h(V) + (r + 1)(\overline{m}(L) + 4 log(n + 1)) deg V.

Demostración. Alcanza con considerar el caso en que V es irreducible. El caso V ⊆ H es trivial ya que entonces V ∩ H = V .

Asumimos entonces V ⊈ H. Luego V ∩ H es una variedad equidimensional de dimensión r − 1 . Sea g := f_{V} (U_{1}, …, U_{r}, L) .

Sean H_{1}, …, H_{r} hiperplanos de IP^{n}. Luego g(H_{1}, …, H_{r}) = 0 si y sólo si (\overline{V} ∩ H) ∩ H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{r} ≠ ∅ donde \overline{V} ⊆ IP^{n} denota la clausura proyectica de V . Luego g es un múltiplo no nulo de f_{V ∩H}. Luego m(f_{V ∩H}) ≤ m(g) por la positividad de la altura m y por lo tanto

m(f_{V ∩H}) ≤ m(g) ≤ m(f_{V}) + deg f_{V} (\overline{m}(L) + 4 log(n + 1)).
□

Podemos escribir el lema anterior en forma de desigualdad de Bézout como

h(V ∩ H) ≤ h(V) + (r + 1)(h(H) + 4 log(n + 1)) deg V

ya que existe λ ∈ k^{∗} tal que \overline{m}(λL) = m(L) = h(H) . Esta desigualdad se extiende sin dificultad al caso de la intersección de V con una variedad lineal.

Corolario 1.2.7 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad de dimensión r. Sean L_{1}, …, L_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios de grado 1, y sea E ⊆ IA^{n} la variedad lineal V (L_{1}, …, L_{s}) . Entonces

h(V ∩ E) ≤ h(V) + (r + 1)(∑_{i} \overline{m}(L_{i}) + 4s log(n + 1)) deg V.

□

Sean L_{1}, …, L_{n−r} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios de grado 1 que definen una variedad lineal E de dimensión r. Obtenemos del resultado anterior la cota

h(E) ≤ h(IA^{n}) + (n + 1)(∑_{i} \overline{m}(L_{i}) + 4(n − r) log(n + 1))
≤ (n + 1)(∑_{i} \overline{m}(L_{i}) + 4(n + 1) log(n + 1))

ya que se tiene h(IA^{n}) ≤ n log n.

Sea ψ : IA^{n} → IA^{m} un morfismo racional, y sean ψ_{i} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] funciones racionales tales que ψ = (ψ_{1}, …, ψ_{m}) . Entonces se define la altura de ψ como

\overline{h}(ψ) := max_{i} \overline{h}(ψ_{i}).

Consideramos ahora el comportamiento de la altura con respecto a morfismos lineales afines.

Lema 1.2.8 Sea φ : IA^{n} → IA^{n} un morfismo lineal afín inversible y sea V ⊆ IA^{n} una variedad de dimensión r. Entonces

h(φ(V)) ≤ h(V) + (r + 1) (\overline{h}(φ) + 5 log(n + 1) deg V.

Demostración. Sean G y b una (r+1)×n –matriz y una (r+1)×1 –matriz con coeficientes en k respectivamente, y sea U := (b, G) .

Sea W := φ(V) y sea \overline{V} ⊆ IP^{n} la clausura proyectiva de V . Luego f_{W} (b, G) = 0 si y sólo si existe un punto ξ ∈ \overline{V} tal que φ(ξ) está en el espacio lineal determinado por (b, G) , es decir b + G · φ(x) = 0 .

Sea (c, A) ∈ IA^{n} × IA^{n×n} la matriz asociada a φ, con A ∈ GL_{n}(k) de forma tal que se tiene φ(x) = c + A · x. Luego b + G · φ(x) = b + G · c + G · A · x y por lo tanto

f_{W} (U) = f_{W} (b, G) = f_{V} (b + G · c, G · A).

Si definimos U · φ como (b + G · c, G · A) se tiene entonces

f_{φ(V)}(U) = f_{V} (U · φ).

Luego \overline{m}(U · φ) ≤ \overline{h}(φ) + log(n + 1) y por lo tanto

m(f_{W}) ≤ m(f_{V}) + deg f_{V} (\overline{m}(U · φ) + 2 log(r + 1)(n + 1))
≤ m(f_{V}) + (r + 1)(\overline{h}(φ) + 5 log(n + 1)) deg V.
□

Lema 1.2.9 Sea i : IA^{n} ↪ IA^{n+p} la inclusión x ↦ (x, 0) y sea V ⊆ IA^{n} una variedad de dimensión r. Entonces h(i(V)) = h(V) .

Demostración. Se sigue de la igualdad f_{i(V)} = f_{V} . □

Lema 1.2.10 Sea π : IA^{n+p} → IA^{n} la proyección (x, y) ↦ x, y sea V ⊆ IA^{n+p} una variedad de dimensión r. Entonces

h(\overline{π(V)}) ≤ h(V) + 5 r (r + 1) log(n + p + 1) deg V.

Demostración. Alcanza con considerar el caso en que V es irreducible. Sea W := \overline{π(V)} y sea s := dim W . Luego existen coordenadas standard y_{1}, …, y_{r−s} tales que la proyección

ϖ : IA^{n} + p → IA^{n} × IA^{r−s}, x ↦ (ϖ(x), y_{1}, …, y_{r−s})

verifica dim ϖ(V) = r. Sea entonces Z := \overline{ϖ(V)} . Luego \overline{π(Z)} = W y se tiene dim π^{−1}(ξ) ≥ r − s para todo ξ ∈ W , por el teorema de dimensión de fibras. Luego W = Z × IA^{r−s}, y por lo tanto

W = Z ∩ V (y_{1}, …, y_{r−s}).

Se tiene h(W) ≤ h(Z)+4(r −s)(r +1) log(n+p+1) deg V por el corolario 1.2.7, y alcanza entonces con acotar la altura de Z.

El polinomio f_{Z}(U) es un factor de f_{V} (U · π) , y por lo tanto

m(f_{Z}) ≤ h(V) + 5(r + 1) log(n + p + 1) deg V.

Luego se tiene

m(f_{W}) ≤ h(V) + 5(r − s)(r + 1) log(n + p + 1) deg V.
□

Proposición 1.2.11 Sea φ : IA^{n} → IA^{m} un morfismo lineal afín y sea V ⊆ IA^{n} una variedad de dimensión r. Entonces

h(\overline{φ(V)}) ≤ h(V) + (r + 1) (\overline{h}(φ) + 5(r + 1)^{2} log(n + 1) deg V.

Demostración. La aplicación φ se descompone como φ = i ∘ ψ ∘ π, donde ψ : IA^{p} → IA^{p} es inversible, e i : IA^{p} → IA^{m}, π : IA^{n} → IA^{p} son la inclusión y la proyección canónicas respectivamente Se tiene p := rank(φ) y \overline{h}(ψ) ≤ \overline{h}(φ) . La proposición se sigue entonces de los lemas previos. □

1.3 Estimaciones para Funciones Algebraicas

El teorema de la función inversa es una de las herramientas más versátiles de geometría diferencial. Lamentablemente no existe un análogo preciso de este resultado en el contexto de la geometría algebraica. Sin embargo existen situaciones donde se puede reemplazar este teorema por una versión más débil. La idea es clásica, y consiste en considerar funciones inversas dadas por series de potencias formales.

En esta sección adoptamos este punto de vista como método para estudiar las propiedades de la altura de variedades de dimensión positiva. Como una consecuencia importante de este método obtenemos una relación precisa entre la altura de una variedad intersección completa de dimensión positiva y una de sus fibras 0–dimensionales con respecto a una proyección finita.

1.3.1 El Teorema de la Función Inversa

En este apartado vamos a estimar las derivadas de la inversa local de una aplicación regular.

En primer lugar introducimos algunas nociones básicas que vamos a utilizar en lo que sigue.

A lo largo de esta sección denotamos por k un F P –cuerpo con un conjunto propio M_{k} de valores absolutos que satisface la fórmula del producto con multiplicidades λ_{v}.

Sea φ : V → W un morfismo regular entre dos variedades V ⊆ IA^{n} y W ⊆ IA^{m} y sea p ∈ W un punto. Entonces p es un punto reducido con respecto a φ si su fibra φ^{−1}(p) es reducida, es decir, si I(V) + (φ − p) es un ideal radical de k[x_{1}, …, x_{n}] .

Sea φ : V → W una aplicación regular y dominante entre dos variedades irreducibles V , W de igual dimensión. Luego la extensión de cuerpos φ^{∗}k(W) ↪ k(V) es finita. El grado de esta extensión se llama el grado de φ, es decir

deg φ := [k(V) : φ^{∗}k(W)].

En el caso en que W es normal se tiene #φ^{−1}(p) ≤ deg φ. En el caso en que φ es separable, es decir cuando la extensión φ^{∗}k(W) ↪ k(V) es separable, la igualdad #φ^{−1}(p) = deg φ se satisface genéricamente [67, Proposición 1].

Un morfismo φ : V → W es no ramificado en un punto p ∈ W si #φ^{−1}(p) = deg φ. El enunciado anterior dice que si dim V = dim W , W es normal y φ es dominante, entonces el conjunto de puntos no ramificados de φ contiene un abierto no vacío de W . Notamos que un punto no ramificado es también reducido [117, Sección II.5.3, Teorema 8].

Estas nociones y resultados se extienden sin dificultad al caso en que V es equidimensional, en lugar de irreducible. En todas nuestras aplicaciones la variedad W es un espacio afín.

Sea φ : IA^{n} → IA^{n} un morfismo y sea ψ = ∑_{j} b_{j}y^{j} ∈ k[[y_{1}, …, y_{n}]]^{n} una familia finita de series de potencias formales.

Para m = (m_{1}, …, m_{n}) ∈ IN^{n} definimos el operador

∂_{m} := \frac{1}{m!}(\frac{∂}{∂ y})^{m} = \frac{1}{m_{1}!}(\frac{∂}{∂ y_{1}} )^{m_{1}} ⋯ \frac{1}{m_{n}} (\frac{∂}{∂ y_{n}})^{m_{n}}

de forma tal que se tiene ∂_{m}ψ(0) = b_{m}. Sea i = (i_{1}, …, i_{n}) ∈ IN^{n}. Luego

∂_{m}ψ^{i} = ∂_{m}(\overbrace{ψ_{1} ⋯ ψ_{1}}^{i_{1}} ⋯ \overbrace{ψ_{n} ⋯ ψ_{n}}^{i_{n}}) = ∑_{l} ∂_{l_{1}}ψ_{1} ⋯ ∂_{l_{|i|}}ψ_{n}

por la fórmula de Leibnitz. La suma se toma sobre todos los l = (l_{1}, …, l_{|i|}) ∈ (IN^{n})^{|i|} tales que l_{1} + ⋯ + l_{|i|} = m. Separamos en esta suma los términos en los que interviene ∂_{m} de los términos en los que sólo intervienen derivadas de orden menor. Luego queda

∂_{m}ψ^{i} = ∑_{j=1}^{n} i_{j}(ψ_{1}^{i_{1}} ⋯ ψ_{j}^{i_{j}−1} ⋯ ψ_{n}^{i_{n}}) ∂_{m}ψ_{j} + ∑_{l} ∂_{l_{1}}ψ_{1} ⋯ ∂_{l_{|i|}}ψ_{n}

donde esta última suma se extiende sobre todos los l como el párrafo anterior tales que l_{k} ≠ m para todo k.

Sea φ = ∑_{i} a_{i} x^{i}. Luego ∂_{m}(φ ∘ ψ) = ∑_{i} a_{i} ∂_{m}ψ^{i} y obtenemos así la identidad

∂_{m}(φ ∘ ψ) = (Diff(φ) ∘ ψ) · ∂_{m}ψ + ∑_{i} ∑_{l: l_{k}≠m} a_{i} ∂_{l_{1}}ψ_{1} ⋯ ∂_{l_{|i|}}ψ_{n}  (1.1)

donde Diff(φ) := (\frac{∂φ_{i}}{∂x_{j}})_{ij} denota el diferencial o matriz Jacobiana de la función φ. Asimismo denotamos por J_{φ} := det(Diff(φ)) el Jacobiano de φ.

El siguiente resultado garantiza la existencia de una inversa formal de un morfismo dominante en un punto reducido.

Lema 1.3.1 Sea φ : IA^{n} → IA^{n} un morfismo dominante tal que la fibra del punto 0 ∈ IA^{n} es finita y reducida. Sea ξ ∈ φ^{−1}(0) . Entonces existe una única ψ ∈ k[[y_{1}, …, y_{n}]]^{n} tal que φ ∘ ψ = Id y ψ(0) = ξ.

Demostración. La fibra V_{0} := φ^{−1}(0) es reducida y 0–dimensional. Sea J := J_{φ} el Jacobiano de φ. Por el criterio Jacobiano se tiene J(ξ) ≠ 0 para todo ξ ∈ V_{0} [42, Teorema 18.15].

Vamos entonces a construir familias de polinomios ψ^{(d)} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}]^{n} de grado acotado por d que verifican las siguientes condiciones

1. ψ^{(d)}(0) = ξ.

2. ψ^{(d)} ≡ ψ^{(d′)} (mod (y_{1}, …, y_{n})^{d+1}) , para d ≤ d′.

3. φ ∘ ψ^{(d)} ≡ Id (mod (y_{1}, …, y_{n})^{d+1}) .

Luego ψ se define como el límite en k[[y_{1}, …, y_{n}]]^{n} de la sucesión ψ^{(d)} . La unicidad de ψ se desprende a su vez de la unicidad de esta construcción.

Hacemos esta construcción inductivamente. Sea ψ^{(0)} := ξ. Sea d ≥ 1 y asumimos que ψ^{(d−1)} está construído. Sea ψ^{(d)} := ψ^{(d−1)} + ∑_{|m|=d} b_{m} y^{m} con coeficientes b_{m} a ser determinados.

Sea m ∈ IN^{n} tal que |m| = d. Se tiene ∂_{m}(φ ∘ ψ^{(d)})(0) = m para |m| = 1 y ∂_{m}(φ ∘ ψ^{(d)})(0) = 0 en otro caso. Todas las derivadas en y = 0 de ψ^{(d)} de orden menor o igual a d − 1 están determinadas. Luego b_{m} queda unívocamente determinado por la fórmula 1.1 ya que la matriz Jacobiana Diff(φ) es no–singular en ψ. La familia de polinomios ψ^{(d)} satisface las condiciones requeridas. □

El resultado principal de esta sección consiste en una estimación para el tamaño de las derivadas de ψ. La demostración de este resultado sigue una idea utilizada por Granville en el caso 1–dimensional [23].

Lema Principal 1.3.2 Sea φ : IA^{n} → IA^{n} un morfismo dominante tal que la fibra del punto 0 ∈ IA^{n} es finita y reducida. Sean ξ ∈ φ^{−1}(0) y ψ ∈ k[[y_{1}, …, y_{n}]]^{n} tales que φ ∘ ψ = Id y ψ(0) = ξ. Sean d := max_{i} deg φ_{i} y h_{v} := max_{i} h_{v}(φ_{i}) para v ∈ M_{k}. Entonces

log |∂_{m}ψ(0)|_{v} ≤ (3|m| + 1)(n d \overline{h}_{v}(ξ) + \overline{h}_{v}(J_{φ}(ξ)^{−1}) + n h_{v} + 3 n d + 2 n^{2} + |m|),
v ∈ S_{k},
log |∂_{m}ψ(0)|_{v} ≤ (3|m| + 1)(n d \overline{h}_{v}(ξ) + \overline{h}_{v}(J_{φ}(ξ)^{−1}) + n h_{v}),  v ∉ S_{k},

para m ∈ IN^{n}.

Demostración. Sea ψ = ∑_{j} b_{j} y^{j}. Fijamos un valor absoluto v ∈ M_{k}. Consideramos en primer lugar el caso en que v ∈ S_{k}. Luego vamos a acotar recursivamente las derivadas de ψ usando la identidad 1.1.

Hacemos inducción en |m|. Tenemos log |b_{0}| = h_{v}(ξ) y por lo tanto el enunciado vale para m = 0 . Sea J_{φ}(ξ) el Jacobiano de φ evaluado en ξ. Denotamos por κ la constante

κ := n h_{v} + n d \overline{h}_{v}(ξ) + 3 d n + 2 n^{2} + \overline{h}_{v}(J_{φ}(ξ)^{−1}) ≥ 0.

Vamos a probar la estimación log |b_{m}|_{v} ≤ (3|m| − 2)(κ + |m|) para |m| ≥ 1 . Sea entonces m ≥ 1 y supongamos que vale log |b_{l}| ≤ (3|l| − 2)(κ + |l|) para 1 ≤ |l| ≤ m − 1 .

Se tiene φ ∘ ψ = Id y por lo tanto ∂_{m}(φ ∘ ψ) = m para |m| = 1 y ∂_{m}(φ ∘ ψ) = 0 para |m| ≥ 2 . Sea φ = ∑_{i} a_{i} x^{i} y sea

B_{m} := − ∑_{i} ∑_{l: l_{k}≠m} a_{i} ∂_{l_{1}}ψ_{n}(0) ⋯ ∂_{l_{|i|}}ψ_{n}(0)

es decir, la segunda suma en la expresión 1.1 — con el signo opuesto. Luego obtenemos la identidad

J_{φ}(ξ) · ∂_{m}ψ(0) = Adj^{t}(Diff(φ)(ξ)) · (B_{m} + τ(m))

donde Adj^{t} denota la matriz adjunta traspuesta, y la constante τ se define como τ(m) = m para |m| = 1 y τ(m) = 0 para |m| ≥ 2 .

Estimamos entonces el valor absoluto de la matriz Adj^{t}(Diff(φ)(ξ)) . Se tiene

log |Diff(φ)(ξ)| ≤ h_{v} + log d + (d − 1) \overline{h}_{v}(ξ) + log(_{n}^{d+n})
≤ h_{v} + (d − 1) \overline{h}_{v}(ξ) + d + n + log d

y por lo tanto

log |Adj^{t}(Diff(φ)(ξ))| ≤ (n − 1) log |Diff(φ)(ξ)| + log(n − 1)!
≤ (n − 1) h_{v} + (n − 1) d \overline{h}_{v}(ξ) + (n − 1)(d + n + log d + log n).

Para |m| = 1 se tiene B_{m} = 0 y por lo tanto

log |b_{m}| ≤ log |Adj^{t}(Diff(φ)(ξ))| − h_{v}(J_{φ}(ξ)) ≤ κ ≤ (3|m| − 2)(κ + |m|).

Consideramos entonces el caso |m| ≥ 2 . Sea

α_{v}(m) := max_{i,l_{j}}(log |∂_{l_{1}}ψ_{1}(0)| + ⋯ + log |∂_{l_{i}}ψ_{n}(0)|)

donde i ≤ d y l_{j} ∈ IN^{n} verifican l_{j} ≠ m y l_{1} + ⋯ + l_{i} = m. En la definición de α_{v}(m) sólo intervienen derivadas de orden ≤ m − 1 . Aplicamos la hipótesis inductiva y obtenemos

α_{v}(m) ≤ (3|m| − 4)(κ + |m| − 1) + (d − 2) \overline{h}_{v}(ξ) ≤ (3|m| − 3)(κ + |m|)

ya que κ ≥ (d − 2) \overline{h}_{v}(ξ) . Luego

log |B_{m}| ≤ log(_{n}^{d+n}) + log ∏_{i=1}^{n}(_{m_{i}−1}^{d+m_{i}−1}) + h_{v} + α_{v}(m)
≤ (d + n) + ∑_{i=1}^{n}(d + m_{i} − 1) + h_{v} + α_{v}(m)
≤ (n + 1) d + |m| + h_{v} + α_{v}(m).

Concluimos entonces

log |b_{m}| ≤ log |Adj^{t}(Diff(φ)(ξ))| + log |B_{m}| + log n + \overline{h}_{v}(J_{φ}(ξ)^{−1})
≤ n h_{v} + n d \overline{h}_{v}(ξ) + 3 n d + 2 n^{2} + \overline{h}_{v}(J_{φ}(ξ)^{−1}) + |m| + α_{v}(m)
≤ (3|m| − 2)(κ + |m|).

El caso en que v es no–arquimediano se sigue en forma análoga. □

El término que corresponde al Jacobiano se puede acotar en función de los demás parámetros. Mantenemos la misma notación del lema principal 1.3.2. Sea v ∈ S_{k} un valor absoluto arquimediano y sean \overline{h}_{v} := max_{i} \overline{h}_{v} (φ_{i}) y \overline{h} := max_{i} h(φ_{i}) . Se tiene \overline{h}_{v}(φ(ξ)) ≤ \overline{h}_{v} + d \overline{h}_{v}(ξ) + d + n y por lo tanto

h_{v}(J_{φ}(ξ)) ≤ n \overline{h}_{v}(φ(ξ)) + log n! ≤ n \overline{h}_{v} + n d \overline{h}_{v}(ξ) + n d + 2n^{2}.

Análogamente, se obtiene h_{v}(J_{φ}(ξ)) ≤ n \overline{h}_{v} + n d \overline{h}_{v}(ξ) para v ∉ S_{k}. Se tiene entonces

\overline{h}(J_{φ}(ξ)^{−1}) ≤ \overline{h}(J_{φ}(ξ)^{−1}) = \overline{h}(J_{φ}(ξ)) ≤ n\overline{h} + n d \overline{h}(ξ) + n d + 2n^{2}.

Obtenemos de aquí las estimaciones

\begin{aligned}log |∂_{m}ψ(0)|_{v} & ≤ & (3 |m| + 1) (2 n\overline{h} + 2 n d \overline{h}(ξ) + 4 n d + 4 n^{2} + |m|), v ∈ S_{k}, \\ log |∂_{m}ψ(0)|_{v} & ≤ & (3|m| + 1)(2 n \overline{h} + 2 n d \overline{h}(ξ)), v ∉ S_{k}. \end{aligned}

Luego las derivadas de ψ se pueden acotar en términos de su orden, del grado y altura del morfismo φ, y de la altura de la fibra ξ.

Como consecuencia del resultado anterior obtenemos una estimación para las derivadas de la inversa local de un morfismo φ : V → IA^{r} para el caso en que V es una variedad intersección completa.

Corolario 1.3.3 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad intersección completa reducida de polinomios F_{r+1}, …, F_{n} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] . Sea φ : V → IA^{r} un morfismo dominante tal que la fibra del punto 0 ∈ IA^{r} es finita y reducida. Sean ξ ∈ φ^{−1}(0) y ψ ∈ k[[y_{1}, …, y_{r}]]^{n} tales que φ ∘ ψ = Id , ψ(0) = ξ y ψ(y) ∈ V para y ∈ IA^{r}. Sean d := max_{ij}{deg φ_{i}, deg F_{j}} y h_{v} := max_{ij}{h_{v}(φ_{i}), h_{v}(F_{j})} para v ∈ M_{k}. Entonces

log |∂_{m}ψ|_{v} ≤ (3 |m| + 1)(n d \overline{h}_{v}(ξ) + \overline{h}_{v}(J(ξ)^{−1}) + n h_{v} + 3 n d + 2 n^{2} + |m|),
v ∈ S_{k},
log |∂_{m}ψ|_{v} ≤ (3 |m| + 1)(n d \overline{h}_{v}(ξ) + \overline{h}_{v}(J(ξ)^{−1}) + n h_{v}),  v ∉ S_{k},

para m ∈ IN^{n}, donde J := J_{φ,F} denota el Jacobiano del morfismo IA^{n} → IA^{n} definido por x ↦ (φ(x), F (x)) .

Demostración. Sea Φ : IA^{n} → IA^{n} el morfismo definido por x ↦ Φ(x) := (φ(x), F (x)) . El hecho de que 0 sea un punto reducido de φ implica en forma directa que es también un punto reducido de Φ , por el criterio Jacobiano. Se tiene además ξ ∈ Φ^{−1}(0) . Sea Ψ ∈ k[[y_{1}, …, y_{r}]]^{n} una inversa local de Φ en ξ. Luego ψ := Ψ(y_{1}, …, y_{r}, 0, …, 0) satisface las condiciones requeridas.

Las cotas para las derivadas de ψ se siguen del lema principal 1.3.2. □

1.3.2 Cotas para la Traza

En esta subsección tratamos el problema de estimar la altura de la ecuación minimal de un elemento en el anillo de coordenadas de una variedad V con respecto a una normalización de Noether. Una característica destacable de estas estimaciones es que no dependen de la altura de la variedad V sino solamente de la altura de la fibra de un punto no ramificado con respecto a la posición de Noether.

Introducimos algunas definiciones básicas que vamos a necesitar en lo que sigue.

Sea F := {F_{r+1}, …, F_{n}} ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] una familia finita de polinomios. Luego F es una intersección completa si el ideal (F) := (F_{r+1}, …, F_{n}) de k[x_{1}, …, x_{n}] tiene dimensión r. Se dice que F es una intersección completa reducida si se tiene además que el ideal (F) es radical.

Una aplicación φ : V → W es finita si la extensión de k –álgebras φ^{∗}k[W] ↪ k[V] es entera. En particular φ es suryectiva y tiene fibras finitas.

Sea V ⊆ IA^{n} una variedad equidimensional de dimensión r y sea π : V → IA^{r} una proyección finita separable. El resultado técnico principal de esta subsección es una cota para la altura de la ecuación minimal de un elemento f ∈ k[V] sobre π^{∗}k[IA^{r}] en términos de la altura de la fibra de un punto no ramificado de π.

Teorema 1.3.4 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Sea F := {F_{r+1}, …, F_{n}} ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] una intersección completa reducida que define una variedad W := V (F) ⊆ IA^{n} que contiene a V .

Sea π : W → IA^{r} la proyección lineal x ↦ (x_{1}, …, x_{r}) . Asumimos que π es finita y separable, y que 0 ∈ IA^{r} es un punto no ramificado de π. Sean d := deg F y h := h(F) . Sea f ∈ k[V] , y sea m_{f} ∈ k[IA^{r}][t] el polinomio minimal de f sobre k[IA^{r}] . Entonces

deg m_{f} ≤ deg f · δ,
m(m_{f}) ≤ c_{1} deg f · δ · h(π^{−1}(0)) + c_{2}(deg f)^{2} δ^{2} + c_{3} δ · h(f),

donde c_{1} , c_{2} , c_{3} sólo dependen de n, d y h.

La cota de grado para m_{f} fue obtenida previamente por Sabia y Solernó [115]. En el enunciado anterior se pueden tomar c_{1} := 8 n d, c_{2} := 8 n (h + 2d + 3n + 7) y c_{3} := 4 .

Para la demostración de este resultado vamos a necesitar los siguientes lemas técnicos.

Lema 1.3.5 Sean ζ_{1}, …, ζ_{s} ∈ k[[y_{1}, …, y_{n}]] , y sea θ ∈ k[[y_{1}, …, y_{n}]] la serie de potencias

θ := ∏_{j} ζ_{j}.

Sea v ∈ M_{k} y sean c_{0}, c_{1} ≥ 0 constantes tales que log |∂_{m}ζ_{j}(0)|_{v} ≤ c_{0} |m| + c_{1} . Entonces

\begin{aligned}log |∂_{m}θ(0)|_{v} & ≤ & (c_{0} + 1) |m| + (c_{1} + n) s,  v ∈ S_{k}, \\ log |∂_{m}θ(0)|_{v} & ≤ & c_{0} |m| + c_{1} s,  v ∉ S_{k}, \end{aligned}

para m ∈ IN^{n}.

Demostración. Sean ζ_{j} = ∑_{i} a_{i}^{(j)} y^{i} y θ = ∑_{m} c_{m} y^{m}. Luego c_{m} = ∑_{i_{1}+···+i_{s}=m} a_{i_{1}}^{(1)} ⋯ a_{i_{s}}^{(s)} . Consideramos en primer lugar el caso v ∈ S_{k}. Se tiene entonces

|c_{m}| ≤ ∏_{l=1}^{n} (_{s−1}^{m_{l}+s−1}) max_{i_{1}+···+i_{s}=m} ∏_{j=1}^{s} |a_{i_{j}}^{(j)}|

de donde

\begin{aligned}log |c_{m}| & ≤ & ∑_{l=1}^{n} (m_{l} + s − 1) + max_{i_{1}+···+i_{s}=m} ∑_{j=1}^{s} (c_{0} |i_{j}| + c_{1}) \\ & ≤ & (c_{0} + 1) |m| + (c_{1} + n) s. \end{aligned}

El caso v ∉ S_{k} se sigue en forma análoga. □

Corolario 1.3.6 Sean ζ_{1}, …, ζ_{s} ∈ k[[y_{1}, …, y_{n}]] , f ∈ k[t_{1}, …, t_{s}] , y sea ϑ ∈ k[[y_{1}, …, y_{n}]] la serie dada por la composición de f con ζ_{1}, …, ζ_{s}, es decir

ϑ := f(ζ_{1}, …, ζ_{s}).

Sea v ∈ M_{k} y sean c_{0}, c_{1} ≥ 0 constantes tales que log |∂_{m}ζ_{j}(0)|_{v} ≤ c_{0}|m| + c_{1} . Entonces

log |∂_{m}ϑ(0)|_{v} ≤ (c_{0} + 1)|m| + (c_{1} + n + 1) deg f + log |f|_{v} + s,  v ∈ S_{k},
log |∂_{m}ϑ(0)|_{v} ≤ c_{0} |m| + c_{1} deg f + log |f|_{v},  v ∉ S_{k},

para m ∈ IN^{n}.

Demostración. Sea v ∈ S_{k}. Sea f = ∑_{i} a_{i} t^{i}. Luego ϑ = ∑_{i} a_{i} ζ^{i} = ∑_{m} c_{m} y^{m} y por lo tanto

log |c_{m}| ≤ (c_{0} + 1) |m| + (c_{1} + n) deg f + log |f| + deg f + s.

El caso v ∉ S_{k} se trata en forma análoga. □

Corolario 1.3.7 Sean ζ_{1}, …, ζ_{s} ∈ k[[y_{1}, …, y_{n}]] , y sea q = f/g ∈ k(t_{1}, …, t_{s}) una función racional tal que g(ζ_{1}, …, ζ_{s})(0) = 1 . Sea ϑ ∈ k[[y_{1}, …, y_{n}]] la serie de potencias dada por la composición

ϑ := q(ζ_{1}, …, ζ_{s}).

Sea v ∈ M_{k} y sean c_{0} , c_{1} ≥ 0 constantes tales que log |∂_{m} ζ(0)|_{v} ≤ c_{0}|m| + c_{1} . Entonces

log |∂_{m} ζ(0)|_{v} ≤ (\overline{h}_{v}(g) + (c_{1} + n + 7s) deg g + c_{0})|m| + h_{v}(f) + (c_{1} + n + 4s) deg f,
v ∈ S_{k},
log |∂_{m} ζ(0)|_{v} ≤ (\overline{h}_{v}(g) + c_{1} deg g + c_{0})|m| + h_{v}(f) + c_{1} deg f,  v ∉ S_{k},

para m ∈ IN^{n}.

Demostración. Se tiene

ϑ = f(ζ) ∑_{i≥0}(1 − g(ζ))^{i}.

Sea ϑ = ∑_{m} c_{m} y^{m}. Sea m ∈ IN^{n}. En el cálculo de c_{m} sólo aportan los términos de grado ≤ |m|, y por lo tanto se tiene

log |c_{m}|_{v} ≤ log |f(ζ) ∑_{i=0}^{|m|} (1 − g(ζ))^{i}|_{v}.

Consideramos en primer lugar el caso v ∈ S_{k}. Sea F := f ∑_{i=0}^{|m|} (1 − g)^{i}. Luego se tiene deg F ≤ deg f + |m| deg g y

log |F |_{v} ≤ m_{v} (f) + |m| m_{v} (1 − g) + (deg f + |m| deg g) log(s + 1) + log(|m| + 1)
≤ h_{v} (f) + |m| \overline{h}_{v} (g) + (s + 1) deg f + (s + 1) |m| deg g + 3 s |m|

Aplicamos entonces el corolario 1.3.3 y obtenemos

log |c_{m}|_{v} ≤ (c_{0} + 1) |m| + (c_{1} + n + 1) deg F + log |F |_{v} + s
≤ (c_{0} + (c_{1} + n + s + 2) deg g + \overline{h}_{v}(g) + 3s + 1) |m|
+(c_{1} + s + n + 2) deg f + h_{v}(f) + s

El caso v ∉ S_{k} se sigue en forma análoga. □

Lema 1.3.8 Sea φ : IA^{n} → IA^{n} un morfismo dominante tal que la fibra V_{0} := φ^{−1}(0) del punto 0 ∈ IA^{n} es finita y reducida. Sean d := max_{i} deg φ_{i} y h := max_{i} \overline{h}(φ_{i}) . Entonces

\overline{h}(J_{φ}(V_{0})^{−1}) ≤ n d h(V_{0}) + n (h + d + 3n) deg V_{0}

donde J_{φ}(V_{0})^{−1} ⊆ k denota el conjunto {J_{φ}(ξ)^{−1} : ξ ∈ V_{0}}.

Demostración. Se tiene \overline{h}(J_{φ}(ξ)^{−1}) = \overline{h}(J_{φ}(ξ)) ≤ n h + n d \overline{h}(ξ) + n d + 2 n^{2} para ξ ∈ V_{0} . Luego

\begin{aligned}\overline{h}(J_{φ}(V_{0})^{−1}) & ≤ & ∑_{ξ} \overline{h}(J_{φ}(ξ)^{−1}) ≤ n d w(V_{0}) + n (h + d + 2n) deg V_{0} \\ & ≤ & n d h(V_{0}) + n (h + d + 2n + 1) deg V_{0} \end{aligned}

donde w(V_{0}) := ∑_{ξ} \overline{h}(ξ) denota la altura de Weil de V_{0} . □

Demostración del Teorema 1.3.4. Consideramos primeramente el caso en que V es irreducible. El polinomio m_{f} es una ecuación minimal para la imagen del morfismo V → IA^{r} definido por x ↦ (π(x), f(x)) . La cota de grado se sigue del teorema de Bézout (Lema 1.2.1).

Estimamos ahora la altura local del polinomio m_{f} . Sea D := deg V_{0} ≤ δ y sea V_{0} = {ξ_{1}, …, ξ_{D}} la fibra en 0 de la proyección π : V → IA^{r}, y sea ψ_{i} ∈ k[[y_{1}, …, y_{r}]]^{n} la inversa local de π en ξ_{i} para ξ_{i} ∈ V_{0} .

Sea m_{f} = a_{0} + ⋯ + a_{μ}t^{μ} ∈ k[IA^{r}][t] el polinomio minimal de f sobre k[IA^{r}] . La variedad IA^{n} es normal y por lo tanto m_{f} es un polinomio mónico. Sea

χ_{f} := ∏_{i=1}^{D}(t − f(ψ_{i})) ∈ k[IA^{r}][t]

el polinomio característico de f . Luego χ_{f}(f) = 0 y por lo tanto m_{f} es un factor de χ_{f} . Se puede suponer sin pérdida de generalidad que ξ_{1}, …, ξ_{D} están ordenados de forma tal que se tiene

m_{f} = ∏_{i=1}^{μ}(t − f(ψ_{i})).

Sea Δ := deg m_{f} ≤ deg f · deg V el grado total de m_{f} . Luego alcanza con estimar los coeficientes de los monomios de grado ≤ Δ en este producto.

Consideramos en primer lugar el caso v ∈ S_{k}. Se tiene log |∂_{m} ψ_{i}(0)| ≤ c_{0}|m| + c_{1} con

c_{1} := c_{1}(v) := n d h_{v} (V_{0}) + \overline{h}_{v} (J(V_{0})^{−1}) + n h_{v} + 3 n d + 2 n^{2} + Δ

y c_{0} := c_{0}(v) := 3 c_{1} . Aquí se denota h_{v} := h_{v}(F) , y por J el Jacobiano del endomorfismo de IA^{n} definido por x ↦ (π(x), F (x)) . Esta estimación es válida para m ∈ IN^{n} tal que |m| ≤ Δ . Se sigue entonces

log |∂_{m} f(ψ_{i})| ≤ (c_{0} + 1) |m| + (c_{1} + r + 1) deg f + log |f| + n

por el corolario 1.3.3, y por lo tanto

log |m_{f}| ≤ (c_{0} + 2) Δ + ((c_{1} + r + 1) deg f + log |f| + n + r + 1) μ
≤ ((c_{0} + c_{1} + r + 3) deg f + log |f| + 2n + 1) δ.

El caso v ∉ S_{k} se trata en forma análoga. Se sigue entonces

h(m_{f}) ≤ 4 deg f(n d h(V_{0}) + \overline{h}(J(V_{0})^{−1}) + h + 3 n d + 2(n + 1)^{2} + deg f · δ + h(f)) δ
≤ 8 n d deg f · δ · h(V_{0}) + 8 n (h + 2 n + 3 n) (deg f)^{2} δ^{2} + 4 δ · +h(f)

por el lema 1.3.5, y por lo tanto

m(m_{f}) ≤ c_{1} deg f · δ · h(V_{0}) + c_{2}(deg f)^{2} δ^{2} + c_{3} δ · m(f)

con c_{1} := 8 n d, c_{2} := 8 n(h + 2 d + 3 n + 7) y c_{3} := 4 .

El caso de una variedad equidimensional V se reduce al caso anterior. Sea V = ∪_{i}V_{i} su descomposición en componentes irreducibles, y sea m_{f}^{(i)} el polinomio minimal de f en k[V_{i}] . Luego se tiene

m_{f} = ∏_{i} m_{f}^{(i)}.

□

En lo que sigue obtenemos a partir de este resultado una cota para la altura del polinomio minimal de f en términos de la altura de V , y en particular, una cota para la altura de la traza de f .

Sea π : V → IA^{r} una proyección lineal finita y separable, y sea V ⊆ IA^{n} una variedad equidimensional. Sea ζ ∈ k[V] un elemento primitivo de V y sea P ∈ k[IA^{r}][t] su ecuación minimal. Luego P es un polinomio separable de grado deg π. Luego p ∈ IA^{r} es un punto reducido con respecto a π si y sólo si P (p)(t) es separable. En particular #π^{−1}(p) = deg π. La condición de ser reducido es entonces equivalente — en esta situación — a la condición de ser no ramificado.

Sea π : V → IA^{r} una proyección lineal de una variedad equidimensional V ⊆ IA^{n} en un subespacio afín. Asumimos que π es una normalización de Noether separable de V . En esta situación vamos a tratar la relación entre la altura de V y la altura de la fibra de π en un punto no ramificado.

El siguiente resultado muestra que existen puntos no ramificados con respecto a π de baja altura y nos da estimación la altura de su fibra.

Proposición 1.3.9 Sea π : V → IA^{r} la proyección x ↦ (x_{1}, …, x_{r}) , y sea V una variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Asumimos que π es finita y separable. Entonces existe un punto p ∈ IA^{r} no ramificado con respecto a π tal que

h(p) ≤ c_{1}(n) log δ + c_{2}(n).

Se tiene además h(π^{−1}(p)) ≤ h(V) + c_{3}(n)δ log δ + c_{4}(n)δ.

Se pueden tomar c_{1} := n, c_{2} := 2 n, c_{3} := n^{3} , c_{4} := 6 n^{2} log(n + 1) . Este resultado es consecuencia de una serie de lemas previos que ahora vamos a demostrar.

Sea V ⊆ IA^{n} una variedad equidimensional de dimensión r. Sea π : V → IA^{r} un morfismo lineal dominante. Este es el caso, por ejemplo, si π es una proyección lineal que representa una normalización de Noether de V . Sean E := k(IA^{r}) y F := E ⊗_{k} k[V] . Luego F es un E –espacio vectorial de dimensión [F : E] ≤ deg V . Para f ∈ F , denotamos por L_{f} la aplicación lineal

L_{f} : F → F, g ↦ f · g.

Se definen entonces la traza Tr(f) y la norma N(f) de f como la traza y el determinante de la aplicación lineal L_{f} , es decir

Tr(f) := Tr_{E}^{F}(f) = Tr(L_{f}), N(f) := N_{E}^{F} (f) = det(L_{f}).

Lema 1.3.10 Con la misma notación del párrafo anterior, se tiene que un elemento f ∈ k[V] es divisor de cero si y sólo si det(L_{f}) = 0 .

Demostración. El elemento f es divisor de cero en k[V] si y sólo si es divisor de cero en F . El álgebra F es un E –espacio vectorial de dimensión finita y por lo tanto f es un divisor de cero si y sólo si la aplicación L_{f} no es inyectiva, lo cual equivale a la condición det(L_{f}) = 0 . □

Sean F_{r+1}, …, F_{n} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] . Entonces F_{r+1}, …, F_{n} forman una sucesión regular en k[x_{1}, …, x_{n}] si \overline{F}_{i+1} no es un divisor de cero ni una unidad en el anillo cociente k[x_{1}, …, x_{n}]/(F_{r+1}, …, F_{n}) .

Lema 1.3.11 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad equidimensional de dimensión r. Entonces existe una sucesión regular reducida de polinomios F_{r+1}, …, F_{n} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] tales que V ⊆ V (F_{r+1}, …, F_{n}) y

deg F_{i} ≤ deg V, m(F_{i}) ≤ h(V) + c(n) deg V,

para todo i.

Se puede tomar c := 5 (n + 1)^{2} log(n + 1) .

Demostración. Asumimos sin pérdida de generalidad que x_{1}, …, x_{r} son algebraicamente independientes en k[V] . Luego la proyección π : V → IA^{r} definida por x ↦ (x_{1}, …, x_{r}) es dominante.

Luego sea F_{i} la ecuación de la proyección de V por el morfismo x ↦ (π(x), x_{i}) para i = r + 1, …, n. Afirmamos que F_{r+1}, …, F_{n} cumple con las condiciones del enunciado.

Los polinomios F_{i} son polinomios separables en variables separadas, y por lo tanto forman una sucesión regular reducida que contiene a V . Esto se sigue del lema anterior y del criterio Jacobiano. Se tiene además deg F_{i} ≤ deg V y

m(F_{i}) ≤ h(V (F_{i})) + 3 (r + 2) deg F_{i} ≤ h(V) + 5(n + 1)^{2} log(n + 1) deg V

por aplicación de la proposición 1.2.11 y el lema 1.2.4. □

Demostración de la Proposición 1.3.9. Sean F_{r+1}, …, F_{n} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios de grado acotado por δ que forman una sucesión regular reducida que contiene a V . Sea W := V (F_{r+1}, …, F_{n}) ⊆ IA^{n}. El polinomio F_{i} es la ecuación de la proyección π_{i} : V → IA^{r+1} definida por x ↦ (π(x), x_{i}) , y por lo tanto la proyección π : W → IA^{r} es dominante y separable.

Sea J ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] el Jacobiano de los F_{i} con respecto a las variables x_{r+1}, …, x_{n}, es decir

J := det(\frac{∂F_{i}}{∂x_{j}})_{ij}.

Luego \overline{J} ∈ k[W] es no–divisor de cero. Sea Δ := det L_{J} ∈ k[IA^{r}] − \{0\} la norma de J. Luego Δ es un polinomio no nulo de grado

deg Δ ≤ (n − r) δ^{n−r}.

Por el criterio Jacobiano, p ∈ IA^{r} es un punto reducido de π : W → IA^{r} si y sólo si Δ(p) ≠ 0 . En nuestra situación, esto equivale al hecho de que p sea un punto no ramificado.

Luego existe p = (p_{1}, …, p_{r}) ∈ IA^{r} no ramificado tal que \overline{h}(p_{i}) ≤ deg Δ , por el lema 1.1.3, y por lo tanto

h(p) ≤ (n − r) log δ + log(n − r) + n.

Por otra parte se tiene π^{−1}(p) = V ∩ V (x_{1} − p_{1}, …, x_{r} − p_{r}) y por lo tanto

h(π^{−1}(p)) ≤ h(V) + (r + 1) (∑_{i} (\overline{h}(p_{i}) + log 2) + 4 r log(n + 1))δ
≤ h(V) + r (r + 1) ((n − r) log δ + log(n − r) + log 2 + 4 log(n + 1)) δ.
□

La siguiente es la cota para la altura del polinomio minimal de un elemento en k[V] . Este resultado es análogo aritmético de [115, Proposición 1].

Corolario 1.3.12 Sea V ⊆ IA^{n} variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Sea π : V → IA^{r} la proyección x ↦ (x_{1}, …, x_{r}) . Asumimos que π es finita y separable. Sea f ∈ k[V] , y sea m_{f} ∈ k[IA^{r}][t] el polinomio minimalde f sobre k[IA^{r}] . Entonces

m(m_{f}) ≤ c_{1}(deg f)^{2} δ^{2} h(V) + c_{2} (deg f)^{2} δ^{4} + c_{3} δ · h(f)

donde c_{1} , c_{2} , c_{3} sólo dependen de n.

Se pueden tomar c_{1} := 8 n, c_{2} := 96 (n + 1)^{4} y c_{3} := 4 .

Demostración. Este resultado se sigue directamente de la proposición 1.3.9 y del teorema 1.3.4. Hacemos aquí los cálculos correspondientes.

Por el teorema 1.3.4 existe un punto no ramificado p ∈ IA^{r} de π tal que

\overline{h}(p_{i}) ≤ (n − r) log δ + log(n − r).

Aplicamos a la variedad V la traslación τ definida por x ↦ (x_{1} − p_{1}, …, x_{r} − p_{r}, x_{r+1}, …, x_{n}) . Se tiene

h(τ(V)) ≤ h(V) + (n + 1)^{2} δ (log δ + 6)

y por el lema 1.3.11 existe una intersección completa reducida F := {F_{r+1}, …, F_{n}} ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] tal que la variedad W := V (F) ⊆ IA^{n} contiene a V . Se tiene deg F_{i} ≤ δ y

h(F ∘ τ) ≤ h(V) + (n + 1)^{2} (log δ + 5 log(n + 1) + 6) δ.

Se tiene además

h(τ(V)_{0}) ≤ h(V) + (n + 1)^{2} (log δ + 4 log(n + 1) + 6) δ

donde τ(V)_{0} denota la fibra del punto 0 ∈ IA^{r} con respecto a la proyección τ ∘ π. Concluimos entonces

m(m_{f}) ≤ c_{1}(deg f)^{2} δ^{2} h(V) + c_{2}(deg f)^{2} δ^{4} + c_{3} δ h(f)

con c_{1} := 8 n, c_{2} := 96 (n + 1)^{4} y c_{3} := 4 . □

Sea V ⊆ IA^{n} una variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Sea π : V → IA^{r} la proyección x ↦ (x_{1}, …, x_{r}) . Asumimos que π es finita. Luego la inclusión k[x_{1}, …, x_{r}] ↪ k[V] es entera. Denotamos por deg^{∘} f y deg^{∗} f el grado f en las variables libres x_{1}, …, x_{r} y en las variables dependientes x_{r+1}, …, x_{n} respectivamente.

El resultado siguiente es una estimación para el grado y las altura de la traza de f . Estas estimaciones son cruciales para nuestra demostración del teorema de ceros aritmético (Teorema 2.3.2).

Proposición 1.3.13 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Sea π : V → IA^{r} la proyección x ↦ (x_{1}, …, x_{r}) . Asumimos que π es finita y separable. Sea f ∈ k[V] . Entonces

deg Tr(f) ≤ deg^{∗} f · δ + deg^{∘} f,
m(Tr(f)) ≤ c_{1}(deg^{∗} f)^{2} δ^{2} h(V) + c_{2}(deg^{∗} f)^{2} δ^{4} + h(f)

donde c_{1} , c_{2} , c_{3} sólo dependen de n.

Se pueden tomar c_{1} := 8 n, c_{2} := 10^{2} (n + 1)^{4} .

Demostración. Alcanza con considerar el caso en que V es irreducible. Sea

m_{f} = t^{μ} + a_{μ−1} t^{μ−1} + ⋯ + a_{0} ∈ k[IA^{r}][t]

el polinomio minimal de f . Se tiene μ| deg π y por lo tanto Tr(f) = −(deg π/μ)a_{μ−1} .

Consideramos en primer lugar el caso de un monomio θ := x^{i} = x_{r+1}^{i_{r+1}} ⋯ x_{n}^{i_{n}}. Sea d := |i| el grado de θ. Se tiene entonces

deg Tr(θ) ≤ d · δ,
m(Tr(θ)) ≤ d^{2} δ^{2}(c_{1} h(V) + c_{2} δ^{2}) + log δ + d · δ log(r + 1)

por el teorema 1.3.4 y el corolario 1.3.12, donde c_{1} , c_{2} denotan las constantes del corolario 1.3.12. Luego se tiene

deg Tr(f) ≤ deg^{∗} f · δ + deg^{∘} f,
m(Tr(f)) ≤ (deg^{∗} f)^{2} · δ^{2}(c_{1} h(V) + (c_{2} + n + 1)δ^{2}) + h(f) + d + n.

por la linealidad de la traza. □

1.3.3 Altura de Fibras vs. Altura de Variedades

La aplicación más importante de los resultados de las subsecciones 1.3.1 y 1.3.2 consiste en la estimación de la altura de una variedad de dimensión positiva en términos de la altura de una fibra 0–dimensional. Este apartado está enteramente dedicado a la demostración de este resultado. El enunciado es el siguiente:

Teorema 1.3.14 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Sea F := {F_{r+1}, …, F_{n}} ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] una intersección completa reducida que define una variedad W := V (F) ⊆ IA^{n} que contiene a V .

Sea π : W → IA^{r} la proyección x ↦ (x_{1}, …, x_{r}) . Asumimos que π es dominante y separable de grado δ, y que 0 ∈ IA^{r} es un punto no ramificado de π. Entonces

h(V) ≤ c_{1} δ^{5} h(π^{−1}(0)) + c_{2} δ^{7}

donde c_{1} , c_{2} dependen sólo de n, deg F , h(F) .

Sean d := deg F y h := h(F) . Luego se pueden tomar c_{1} := 216 (n + 1)^{4} d^{2} y c_{2} := 456 (n + 1)^{4} n (h + 2d + 3n + 3) . Primeramente vamos a establecer algunos resultados auxiliares.

Lema 1.3.15 Sea F := {F_{r+1}, …, F_{n}} ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] una intersección completa reducida que define una variedad W := V (F) ⊆ IA^{n}. Sea π : W → IA^{r} la proyección x ↦ (x_{1}, …, x_{r}) . Asumimos que π es finita y separable de grado δ, y que 0 ∈ IA^{r} es un punto no ramificado de π. Entonces existe una forma lineal y ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] tal que la proyección

π_{i} : W → IA^{r}, x ↦ (x_{1}, …, x_{i−1}, y, x_{i+1}, …, x_{r})

es finita y separable de grado δ, y 0 ∈ IA^{r} es un punto no ramificado de π_{i} para todo i. Se tiene además

m(y) ≤ (r + 2) log δ + n + 1.

Demostración. Sea

χ := t^{δ} + a_{δ−1} t^{δ−1} + ⋯ + a_{0} ∈ k[U][IA^{r}][t]

el polinomio característico de la forma lineal genérica η := U_{0} + U_{1} x_{1} + ⋯ + U_{n} x_{n}. Sea α_{i} ∈ k[U] el coeficiente de x_{i}^{δ} en χ para i = 1, …, r. Luego α_{i} es un polinomio no nulo de grado δ. Esto es una consecuencia del hecho de que la proyección π tiene grado δ.

Por otra parte, sea ρ ∈ k[IA^{r}][U] el discriminante de χ con respecto a t. Luego ρ(0, U) ≠ 0 , por la hipótesis de que 0 ∈ IA^{r} es un punto no ramificado. Se tiene deg ρ(0, U) ≤ δ^{2} . El polinomio ψ := ρ ∏_{i} α_{i} tiene grado acotado por δ^{r+2} . Sea c ∈ k^{(r+1)(n+1)} tal que

ψ(c) ≠ 0.

La forma lineal y := η(c) satisface las condiciones del enunciado.

□

Mantenemos la notación del enunciado del teorema 1.3.14 y del lema precedente. Sea V ⊆ IA^{n} una variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Sea π : V → IA^{r} la proyección x ↦ (x_{1}, …, x_{r}) , y sea V_{0} := π^{−1}(0) la fibra del punto 0 ∈ IA^{r} con respecto a π. Consideramos las proyecciones

π_{i} : V → IA^{r}, x ↦ (x_{1}, …, x_{i−1}, y, x_{i+1}, …, x_{r})

para i = 1, …, r y denotamos por V_{i} := π_{i}^{−1}(0) la fibra del punto 0 ∈ IA^{r} con respecto a π_{i}. El siguiente resultado muestra que la altura de las fibras V_{i} está acotado por la altura de la fibra V_{0} .

Lema 1.3.16 Mantenemos la notación del párrafo anterior. Asumimos además y = x_{r+1} . Entonces

h(V_{i}) ≤ c_{1} δ^{3} h(V_{0}) + c_{2} δ^{4}

para i = 1, …, r, donde c_{1} , c_{2} dependen sólo de n, deg F , h(F) .

Se pueden tomar c_{1} := 16 n d y c_{2} := 24 n (h + 2d + 3n) .

Demostración. Asumimos sin pérdidad de generalidad i = 1 . Sea

m_{i} = t^{δ} + a_{δ−1} t^{δ−1} + ⋯ + a_{0} ∈ k[x_{1}, …, x_{r}][t]

el polinomio minimal de la forma lineal x_{i} con respecto a la proyección π. En particular m_{r+1} es el polinomio minimal de y. Por la hipótesis de que π_{1} es finita y separable de grado δ, se tiene que m_{r+1} coincide con el polinomio minimal de x_{1} , salvo por un factor en k^{∗}.

Sea ζ = (ζ_{1}, …, ζ_{n}) ∈ V_{1} un punto en la fibra de π_{1} . Luego sea q_{1} := m_{r+1}(t, 0, …, 0) ∈ k[t] . Luego q_{1}(ζ_{1}) = 0 y por lo tanto

\overline{h}(ζ_{1}) ≤ h(q_{1}) + log δ ≤ h(m_{r+1}) + log δ

por el lema 1.1.2. Sea además q_{i} := m_{i}(ζ_{1}, 0, …, 0, t) ∈ k[t] . Se tiene q_{i}(ζ_{i}) = 0 para i = r + 2, …, n, y por lo tanto

\overline{h}(ζ_{i}) ≤ h(q_{i}) + log δ ≤ δ · h(m_{1}) + h(m_{i}) + 2 log(δ + 1)
≤ (δ + 1)(c_{1} δ · h(V_{0}) + c_{2} δ^{2}) + 2 log(δ + 1)

donde c_{1} , c_{2} son las constantes del teorema 1.3.4. Concluimos entonces

h(V_{1}) ≤ δ((δ + 1)(c_{1}δ · h(V_{0}) + c_{2} δ^{2}) + 2 log(δ + 1)) + δ log(n + 1)
□

Sean IA^{r} y IA^{r n}, consideradas como las variedades de las r × 1 –matrices y de las r × n – matrices con coeficientes en k. Consideramos entonces la proyección genérica definida por

ϖ : IA^{r} × IA^{r n} × V → IA^{r} × IA^{r n} × IA^{r}, (b, G, x) ↦ (b, G, b + G · x)

Este morfismo es dominante y separable de grado δ [67]. Sea χ = t^{δ} +b_{δ−1} t^{δ−1}+⋯+b_{0} ∈ k(U)[T] el polinomio característico de la forma lineal genérica

η_{r+1} := U_{r+1,0} + U_{r+1,2}x_{1} + ⋯ + U_{r+1,n}x_{n}.

Sea además P_{V} = a_{δ} t^{δ} + ⋯ + a_{0} ∈ k[U, T] el polinomio característico de V , expandido con respecto a las potencias de t := T_{r+1} . Se tiene entonces

P_{V} = a_{δ} · χ.

Sea f_{V} ∈ k[U] el polinomio de Chow de V . Sean α := a_{δ} y β := b_{0}(U, 0) . Se tiene f_{V} = P (U, 0) y por lo tanto

f_{V} = α · β.

El polinomio de Chow f_{V} es homogéneo de grado δ en cada grupo de variedades U_{i}, y es además simétrico — salvo por ± — con respecto a permutaciones entre estos grupos de variables. El polinomio α es homogéneo de grado δ con respecto a los grupos de variables U_{1}, …, U_{r}, y no depende de U_{r+1} . Referimos a la subsección 1.2.2 para una discusión más detallada de estas cuestiones.

Consideramos las proyecciones

π_{i} : V → IA^{r}, x ↦ (x_{1}, …, x̂_{i}^{i}, …, x_{r+1})

para i = 1, …, r + 1 . Asumimos que π_{i} es finita y separable de grado δ.

Sea B := (c, A) ∈ IA^{r+1} × IA^{(r+1)n} la matriz que corresponde a la proyección V → IA^{r+1} definida por x ↦ (x_{1}, …, x_{r+1}) . Se tiene c = 0 y A_{i} = (0, …, 1, …, 0) . Asumimos además

f_{V} (B) ≠ 0.

El siguiente lema muestra que el polinomio de Chow f_{V} se puede expresar en términos del polinomio característico χ de la forma lineal η_{r+1} .

Lema 1.3.17 Mantenemos la notación de la discusión precedente. Entonces

f_{V} = λ · β · ∏_{i=1}^{r} β(B_{1}, …, B_{i}, U_{i+1}, …, U_{r}, U_{i})/β(B_{1}, …, B_{i−1}, U_{i}, …, U_{r}, B_{i})

para algún λ ∈ k^{∗}.

Demostración. Se tiene

f_{V} = α(U_{1}, …, U_{r}) · β(U_{1}, …, U_{r+1}) = ±α(U_{2}, …, U_{r+1}) · β(U_{2}, …, U_{r+1}, U_{1})

gracias a la simetría de f_{V} . Luego se tiene

α = ±α(U_{2}, …, U_{r+1}) · β(U_{2}, …, U_{r+1}, U_{1})/β(U_{1}, …, U_{r+1}).

Esta expresión no depende del grupo de variables U_{r+1} , y por lo tanto

α = ±β(U_{2}, …, U_{r}, B_{1}, U_{1})/β(U_{1}, …, U_{r}, B_{1}) · α(U_{2}, …, U_{r}, B_{1})

donde B_{1} denota la 1 –fila de la matriz B = (c, A) . Aplicando sucesivamente este principio obtenemos la identidad

α = ±α(B_{1}, …, B_{r}) ∏_{i=1}^{r} β(U_{i+1}, …, U_{r}, B_{1}, …, B_{i}, U_{i})/β(U_{i}, …, U_{r}, B_{1}, …, B_{i}).

El enunciado se sigue entonces por la simetría de β con respecto a permutaciones entre U_{1}, …, U_{r}. □

Demostración del Teorema 1.3.14. Alcanza con considerar el caso en que V es irreducible.

A lo largo de esta demostración vamos a mantener la notación introducida en la discusión previa al lema 1.3.17. Asumimos por el momento y = x_{r+1} , es decir, que las todas las proyecciones

π_{i} : V → IA^{r}, x ↦ (x_{1}, …, x̂_{i}^{i}, …, x_{r+1})

son finitas y separables de grado δ.

Vamos a utilizar la identidad introducida en el lema 1.3.17 para calcular el desarrollo del polinomio de Chow f_{V} alrededor del punto B ∈ IA^{(r+1)(n+1)} .

Sea E_{i} la matriz asociada a la proyección π_{i}, es decir, la matriz que se obtiene a partir de la matriz B suprimiendo la i –fila B_{i}. El punto P_{i} := (E_{i}, 0) ∈ IA^{r} × IA^{r n} × IA^{r} es entonces un punto no ramificado de la proyección genérica ϖ. Sea

Z_{i} := ϖ^{−1}(P_{i}) = E_{i} × V_{i} ⊆ IA^{r} × IA^{r n} × IA^{n}

la fibra de ϖ en el punto P_{i}. Sea ρ_{j} ∈ Z_{i} y sea ψ_{j}^{(i)} ∈ k[[U − E_{i}, T]] la inversa local de la proyección ϖ en el punto ρ_{j}. Se tiene entonces la identidad

χ = ∏_{j=1}^{δ}(t − η_{r+1}(ψ_{j}^{(i)}))

y en particular

β = ± ∏_{j=1}^{δ} η_{r+1}(ψ_{j}^{(i)}(U, 0)).

Esta identidad nos permite estimar el valor absoluto de las derivadas de β en el punto E_{i} ∈ IA^{r} × IA^{rn}. Hacemos

\begin{aligned}ϑ_{j}^{(i)} & := & η_{r+1}(ψ_{j}^{(i)}(B_{1}, …, B_{i}, U_{i+1}, …, U_{r}, 0))(U_{i}), \\ ϱ_{j}^{(i)} & := & η_{r+1}(ψ_{j}^{(i)}(B_{1}, …, B_{i−1}, U_{i}, …, U_{r}, 0))(B_{i}). \end{aligned}

y se tiene entonces la indentidad

f_{V} = λ ∏_{j} ζ_{j} · ∏_{ij} ϑ_{j}^{(i)}/ ∏_{ij} ·ϱ_{j}^{(i)}

por el lema 1.3.17. Sea v ∈ M_{k} un valor absoluto, y sean C_{0} := C_{0}(v) , C_{1} := C_{1}(v) ≥ 0 constantes no–negativas tales que

log |∂_{m} ψ_{j}^{(i)}(B, 0)| ≤ C_{0}(v) |m| + C_{1}(v)

para |m| ≤ deg f_{V} = (r + 1) δ.

Consideramos en primer lugar el caso v ∈ S_{k}. Entonces se pueden tomar

\begin{aligned}C_{1}(v) & := & (r + 1)(n + 1) \overline{h}(V_{i}) + \overline{h}_{v}(J(V_{i})^{−1}) + (r + 1)(n + 1)h_{v} \\ & & +3 (r + 1)(n + 1) d + 2 (r + 1)^{2}(n + 1)^{2} + (r + 1)δ \end{aligned}

y C_{0}(v) := 3C_{1}(v) , por el corolario 1.3.3. Aquí J denota el Jacobiano del endomorfismo de IA^{r} × IA^{rn} × IA^{n} definido por x ↦ (ϖ(x), F (x)) .

Sea α := ∏_{ij} ϱ_{j}^{(i)}(B) ∈ k^{∗}. Se tiene entonces

log |f_{V} |_{V} ≤ ((C_{1} + (r + 1)(n + 1) + 7 (2r + 1)δ) r δ + C_{0} + \overline{h}_{v}(α^{−1})) δ
+(C_{1} + (r + 1)(n + 1) + 4 (2r + 1) δ)(r + 1) δ + log |λ|
≤ (C_{1} + 2(n + 1) δ C_{1} + 24 (n + 1)^{3} δ^{2} + \overline{h}_{v}(α^{−1})) δ + log |λ|

por el corolario 1.3.7 El caso v ∉ S_{k} se trata en forma análoga. Se tiene α = ∏_{j=1}^{δ} β(E_{i}, B_{i}) , y por lo tanto

− log |α| ≤ \overline{h}(α) ≤ δ ∑_{v} C_{1}(v).

Luego se tiene

h(f_{V} (U − B)) ≤ κ_{1} δ^{2} \overline{h}(V_{i}) + κ_{2} δ^{3} + δ · \overline{h}(α)

por aplicación del lema 1.3.8. Aquí se tiene

κ_{1} := 8(n + 1)^{3} d, κ_{2} := 8(n + 1)^{3}(h + d + 3(n + 1)).

Se tiene además \overline{h}_{v}(α) ≤ C_{1}(v) y por lo tanto

\overline{h}_{v}(α) ≤ κ_{3} \overline{h}(V_{i}) + κ_{4}δ

con κ_{3} := 2(n + 1)^{2}d y κ_{4} := 2(n + 1)^{2}(h + 2d + 3(n + 1)) . Deducimos entonces

h(f_{V} (U − B)) ≤ κ_{5} δ^{5} \overline{h}(V_{0}) + κ_{6} δ^{6}

por aplicación del lema 1.3.16. Aquí se tiene κ_{5} := 216 (n + 1)^{4} d^{2} y κ_{6} := 450 (n + 1)^{4} d (h + 2d + 3n + 3) . Se tiene entonces

m(f_{V}) ≤ κ_{5} δ^{5} \overline{h}(V_{0}) + κ_{6} δ^{6} + 4(n + 1)^{3}δ.

Consideramos ahora el caso general. Sea y ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] la forma lineal que se obtiene a partir del lema 1.3.15. Se tiene, en particular,

m(y) ≤ (r + 2) log δ + (n + 1).

Sea entonces φ : IA^{n} → IA^{n} una aplicación lineal inversible tal que φ(y) = x_{r+1} y tal que φ(x_{i}) = x_{i} para i = 1, …, r. Se puede suponer h(φ) , h(φ^{−1}) ≤ 2(n + 1)δ. Se tiene entonces

h(φ(V)) ≤ κ_{5} δ^{5} · \overline{h}(φ(V_{0})) + κ_{6} δ^{6} ≤ κ_{5} δ^{5} · \overline{h}(V_{0}) + (κ_{6} + 7(n + 1)) δ^{7}

y por lo tanto

h(V) ≤ κ_{5} δ^{5} \overline{h}(V_{0}) + (κ_{6} + 11(n + 1)^{2}) δ^{7}.
□

1.3.4 Parametrizaciones

En esta subsección introducimos la noción de solución geométrica para una variedad de dimensión positiva. Esta noción es una forma débil de parametrización de variedades. Luego estudiamos la relación entre la altura de una variedad y la altura de su solución.

Sea V ⊆ IA^{n} variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Sea π : V → IA^{r} una proyección lineal finita y separable. Sean E := k(IA^{r}) y F := E ⊗_{k} k[V] . Luego F es una E –álgebra finita y separable de grado deg π ≤ δ. Una forma lineal ζ ∈ k[x_{1}, …, x_{r}] es un elemento primitivo de V con respecto a π si se tiene

F = E[ζ].

Podemos interpretar esta noción en términos geométricos. La E –álgebra F es el anillo de coordenadas de una variedad 0–dimensional V_{F} ⊆ IA^{n−r}(\overline{E}) . Luego una forma lineal ζ ∈ k[x_{1}, …, x_{r}] es un elemento primitivo de V si y sólo si la proyección

V_{F} → IA^{1}, x ↦ ζ(x)

separa los puntos de V_{F} , es decir, ζ(ξ) ≠ ζ(ϱ) para ξ, ϱ ∈ V_{F} , ξ ≠ ϱ.

Introducimos ahora los aspectos básicos de teoría de dualidad algebraica que vamos a utilizar en lo que sigue. Nos restringimos por el momento al caso 1–dimensional. La referencia standard es el libro de Kunz [87]. Para el caso 1–dimensional referimos también al libro de Lang [88]. Tratamos el caso n –dimensinal en la subsección 2.3.1.

Sea A el anillo de polinomios k[x_{1}, …, x_{r}] . Sea A[t] el anillo de polinomios 1–variados con coeficientes en A y sea P ∈ A[t] un polinomio separable de grado d. Consideramos entonces el A –álgebra

B := A[t]/(P).

Asumimos que la inclusión A ↪ B es finita o, equivalentemente, que P es un polinomio mónico con respecto a t. Hacemos entonces

P (u) − P (t) = (u − t) ∑_{i=0}^{d−1} b_{i}(t) u^{i}

con b_{i} ∈ A[t] . Se tiene entonces

P′ · \overline{g} = ∑_{i} Tr(\overline{g} · \overline{b}_{i}) t^{i}

para g ∈ A[t] , donde P′ denota la derivada de P con respecto a la variable t. Esta identidad es un caso particular de la fórmula de traza de Tate. Esta fórmula nos permita controlar la representación del elemento \overline{P′} · \overline{g} en la base \{1, …, t^{d−1}\}.

Sea E el cuerpo de fracciones de A y F := E ⊗_{k} B. La fórmula de Tate se extiende por linealidad al caso g ∈ E[t] .

Sea C la clausura entera de A en F . Se tiene entonces

P′ · c = ∑_{i} Tr(c · \overline{b}_{i}) t^{i}

para c ∈ C. Luego se tiene Tr(c·\overline{b}_{i}) ∈ A, ya que A es integralmente cerrado. Obtenemos entonces la inclusión

P′ · c ⊆ B.

Introducimos ahora la noción de solución geométrica de una variedad. Sea V ⊆ IA^{n} variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Sea π : V → IA^{r} un morfismo lineal finito y separable. Sea ζ ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] un elemento primitivo de V y sea P ∈ k[IA^{r}][t] su polinomio minimal. La k –álgebra k[V] es entera sobre k[IA^{r}] y por lo tanto se tiene

P′ · k[V] ⊆ k[A^{r}][ζ].

Sea ρ := discr(P) ∈ k[IA^{r}] − {0} el discriminante de P . Luego P′ divide a ρ en k[IA^{r}][t] y por lo tanto

ρ · k[V] ⊆ k[A^{r}][y].

En particular se tiene k[V]_{ρ} = k[A^{r}][y]_{ρ}. En términos geométricos, la proyección

ψ : V → IA^{r+1}, x ↦ (φ(x), ζ(x)),

es un isomorfismo de V en la hipersuperficie V (P) ⊆ IA^{r+1} en el abierto {ρ ≠ 0}. Sean v_{i} ∈ k[A^{r}][t] tales que

ρ · x_{i} = v_{i}(ζ), deg^{(t)} v_{i} ≤ d − 1,

para i = 1, …, n. Los polinomios v_{i} son las parametrizaciones de V con respecto a π y a ζ. Sea I(V) ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] el ideal de definición de V . Luego se tiene

I(V)_{ρ} = (P, ρ x_{1} − v_{1}, …, ρ x_{n} − v_{n})_{ρ}.

Equivalentemente, el morfismo

φ : V (P)_{ρ} → V_{ρ}, y ↦ (v_{1}, (y)/ρ(y), …, v_{n}(y)/ρ(y))

es la inversa de la proyección ψ en el abierto {ρ ≠ 0}. El morfismo φ representa una forma débil de parametrización de la variedad V .

Notamos que el sistema de polinomios P, v_{1}, …, v_{n} está unívocamente determinado por la variedad V , la proyección π, y el elemento primitivo ζ. Este sistema de polinomios es la solución geométrica de la variedad V asociada a π y ζ.

El siguiente resultado muestra la existencia de una proyección lineal π y un elemento primitivo ζ de baja altura.

Lema 1.3.18 Sea V ⊆ IA^{n} variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Entonces existe una proyección π : V → IA^{r} finita y separable, y un elemento primitivo ζ de V con respecto a π tales que h(π) , h(ζ) ≤ 2 log δ.

Demostración. Sea P_{V} ∈ k[U, T] el polinomio característico de V y sea

P_{V} = a_{δ} t^{δ} + ⋯ + a_{0}

su desarrollo con respecto a la variable t := T_{r+1} . Sea ρ := discr(P) el discriminante de P_{V} con respecto a t. Sea B ∈ k^{(r+1)(n+1)} tal que

a_{δ} · ρ (B) ≠ 0.

Luego las formas lineales y_{i} := η_{i} (B_{i}) = B_{i0}+B_{i1}x_{1}+⋯+B_{in} determinan una proyección π := (y_{1}, …, y_{r}) finita y separable y un elemento primitivo ζ := y_{r+1} .

Los polinomios a_{δ}, ρ son no nulos de grado acotado por δ y δ^{2} − δ respectivamente, en cada grupo de variables U_{i}. Luego B se puede tomar de altura acotada por 2 log δ. □

En lo que sigue estudiamos la relación entre la altura de una variedad y la altura de su solución geométrica. El siguiente resultado muestra que la altura de la solución geométrica está acotada — polinomialmente — por la altura de la variedad.

Proposición 1.3.19 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Sea π : V → IA^{r} la proyección x ↦ (x_{1}, …, x_{r}) . Asumimos que π es finita y separable y que ζ := x_{r+1} es un elemento primitivo de V . Sean P, v_{1}, …, v_{n} ∈ k[IA^{r}][t] el polinomio minimal de ζ y las parametrizaciones de V , respectivamente. Entonces

\begin{aligned}deg P & ≤ & δ, \\ deg v_{i} & ≤ & 2 δ^{2}, \\ m(P) & ≤ & h(V) + c_{1}δ, \\ \overline{m}(v_{i}) & ≤ & c_{2} δ^{4} h(V) + c_{3} δ^{6}, \end{aligned}

donde c_{1} , c_{2} , c_{3} sólo dependen de n.

Se pueden tomar c_{1} := 5(n+1)^{2} log(n+1) , c_{2} := 14(n+1)^{2} log(n+1) y c_{3} := 10^{2}(n+1)^{4} .

Demostración. El polinomio P es la ecuación de la proyección V → IA^{r+1} y por lo tanto deg P ≤ δ. Se tiene además

h(P) ≤ h(V) + 5(r + 1)^{2} log(n + 1)δ

por la proposición 1.2.11.

Ahora estimamos el grado y la altura de las parametrizaciones por medio de la fórmula de traza Tate. Sea P (t) = ∑_{i=0}^{d} a_{i} t^{i}. Se tiene

P (u) − P (t) = (u − t) ∑_{i=0}^{δ−1} b_{i}(u) t^{i}

con b_{i} = ∑_{j=i}^{δ} a_{j} u^{j−i}. Luego se tiene deg b_{i} = δ − i y m(b_{i}) ≤ m(P) + δ log(n + 1) . Por otra parte, sea ρ := discr(P) el discriminante de P , y sea ϱ ∈ k[IA^{r}][t] tal que ρ = P′ · ϱ. Luego se tiene

v_{j} = ϱ ∑_{i} Tr(x_{j} · \overline{b}_{i}) t^{i}.

Se tiene deg ϱ = δ^{2} − 2δ y deg Tr(x_{j} · \overline{b}_{i}) ≤ δ(δ − i + 1) y por lo tanto deg v_{j} ≤ 2 δ^{2} . En cuanto a las estimaciones de altura, se tiene

\begin{aligned}m(Tr(x_{j} · \overline{b}_{i})) & ≤ & c_{1} δ^{4} h(V) + c_{2} δ^{6} + c_{3} δ · h(P) \\ & ≤ & (c_{1} + 6(n + 1)^{2} log(n + 1))δ^{4} h(V) + c_{2} δ^{6} \end{aligned}

donde c_{1} , c_{2} son las constantes de la proposición 1.3.13. Se tiene además

m(ϱ) ≤ m(ϱ) ≤ 2 δ(m(P) + 3δ log(n + 1) + 2 log δ)
≤ 2 δ · h(V) + 12 δ^{2} log(n + 1).

Concluimos entonces

m(v_{j}) ≤ m(ϱ) + max_{i} m(Tr(x_{j} · \overline{b}_{i})) + δ^{2} log(n + 1) + log δ
≤ c_{2} δ^{4} h(V) + c_{3} δ^{6}

con c_{2} := 14(n + 1)^{2} log(n + 1) y c_{3} := 97(n + 1)^{4} . □

La noción de solución geométrica permite introducir una definición alternativa de altura de una variedad de dimensión positiva.

Sea V ⊆ IA^{n} variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Sea (P, v_{1}, …, v_{n}) la solución geométrica de V con respecto a una proyección finita y separable π : V → IA^{r} y un elemento primitivo ζ. Luego se define la altura de V con respecto a π y a ζ como

η(V, π, ζ) := h(P, v_{1}, …, v_{n}).

Para una variedad V fija, esta noción de altura es una función, y no un único parámetro. Se puede obtener un único parámetro asociado a V , definiendo su altura η como

η(V) := max_{π,ζ} η(V, π, ζ)

donde π : V → IA^{r} es una proyección finita y separable y ζ es un elemento primitivo tales que

h(π), h(ζ) ≤ κ log δ

para una constante universal κ suficientemente grande que asegure que efectivamente existan π y ζ que satisfagan estas condiciones. El lema 1.3.18 muestra que se puede tomar κ := 2 . Esta noción de altura fue introducida por Giusti et al. [54] para el caso en que V es intersección completa reducida Notamos que se extiende sin modificaciones esenciales al caso general.

En lo que sigue vamos a probar que esta noción de altura es polinomialmente equivalente a la noción de altura definida a partir del polinomio de Chow. El resto de esta sección está dedicado a la demostración de este resultado. Mostramos en primer lugar que esta noción de altura de una fibra de π.

Lema 1.3.20 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Sea π : V → IA^{r} la proyección x ↦ (x_{1}, …, x_{r}) . Asumimos que π es finita y separable, que 0 ∈ IA^{r} es un punto no ramificado de π, y que ζ := x_{r+1} es un elemento primitivo de V . Entonces

h(π^{−1}(0)) ≤ 4 δ^{2} η(V, π, ζ) + 4 δ^{3}.

Demostración. Sea V_{0} := π^{−1}(0) la fibra del punto 0 ∈ IA^{r} y sea ξ = (ξ_{1}, …, ξ_{n}) ∈ V_{0} . Sea P ∈ k[x_{1}, …, x_{r}][t] el polinomio minimal de ζ. Luego se tiene P (0, …, 0, ξ_{r+1}) = 0 y por lo tanto

\overline{h}(ξ_{r+1}) ≤ η + log δ.

Para r + 2 ≤ i ≤ n denotamos por v_{i} la parametrización de x_{i}, y sea ρ := discr(P) el discriminante de P . Luego se tiene

ξ_{i} = v_{i}(0)(ξ_{r+1})/ρ(0)

y por lo tanto

\begin{aligned}\overline{h}(ξ_{i}) & ≤ & \overline{h}(v_{i}(0)(ξ_{r+1})) + \overline{h}(ρ(0)) ≤ η + 2 δ^{2}(η + log δ) + log 2 δ^{2} + η \\ & ≤ & 4 δ^{2} · η + 4 δ^{3}. \end{aligned}

□

Lema 1.3.21 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Sea π : V → IA^{r} la proyección x ↦ (x_{1}, …, x_{r}) . Asumimos que π es finita y separable y que ζ := x_{r+1} es un elemento primitivo de V . Entonces existe una intersección completa reducida F = {F_{r+1}, …, F_{n}} ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] que define una variedad V (F) ⊆ IA^{n} que contiene a V tal que

deg F_{i} ≤ δ, m(F_{i}) ≤ c_{1} δ^{3} · η(V) + c_{2} δ^{4},

donde c_{1} , c_{2} dependen solamente de n.

Se pueden tomar c_{1} := 3 y c_{2} := 12 log(n + 1) .

Demostración. La demostración de este resultado es análoga a la del lema 1.3.11. Tomamos a F_{i} como la ecuación de la proyección V → IA^{r+1} definida por x ↦ (π(x), x_{i}) .

Sea E := k(IA^{r}) y sea F := E ⊗ k[V] . Luego F es una E –álgebra de dimensión D := deg π ≤ δ. Sea M = (M_{ij})_{ij} ∈ k^{D×D} la matriz de la aplicación L_{ζ} : F → F en la base {1, …, ζ_{0}^{D−1}}. Sea v_{i} la parametrización de x_{i} y sea ρ el discriminante del polinomio minimal P de ζ. Luego

N_{i} := v_{i}(M)/ρ

es la matriz de la aplicación L_{x_{i}} : F → F . Sea χ_{i} ∈ k[IA^{r}][t] el polinomio característico de N_{i}. Luego la ecuación F_{i} es un factor de χ.

Se tiene deg M_{ij} ≤ δ y \overline{m}(M_{ij}) ≤ η + δ log(n + 1) . Luego deg v_{i}(M) ≤ 2δ^{3} y

\overline{m}(v_{i}(M)) ≤ m(v_{i}) + 2 δ^{2}(max_{ij} \overline{m}(M_{ij}) + log(r + 1) + δ log(r + 1))
≤ 3 δ^{2} · η + 8 log(n + 1)δ^{3}.

Luego se tiene

m(F_{i}) ≤ \overline{m}(χ) ≤ δ (3 δ^{2} η + 8 log(n + 1) δ^{3} + (2 δ^{3} + 1) log(n + 1) + log δ)
≤ 3 δ^{3} η + 12 log(n + 1) δ^{4}.
□

Corolario 1.3.22 Sea V ⊆ IA^{n} variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Sea π : V → IA^{r} la proyección x ↦ (x_{1}, …, x_{r}) . Asumimos que π es finita y separable de grado δ, y que 0 ∈ IA^{r} es un punto no ramificado de V . Asumimos además que ζ := x_{r+1} es un elemento primitivo de V . Entonces

\begin{aligned}η(V, π, ζ) & ≤ & c_{1} δ^{4} h(V) + c_{2} δ^{6}, \\ h(V) & ≤ & c_{3} δ^{12} η(V, π, ζ) + c_{4} δ^{13} \end{aligned}

donde c_{1} , c_{2} , c_{3} , c_{4} dependen solamente de n.

Se pueden tomar c_{3} := 2 · 10^{3} (n + 1)^{4} y c_{4} := 5 · 10^{3} (n + 1)^{5} .

Demostración. La primera parte se sigue directamente de la proposición 1.3.19. Consideramos entonces la segunda estimación.

Sea F = {F_{r+1}, …, F_{n}} ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] una intersección completa reducida que define una variedad W := V (F) ⊆ IA^{n} que contiene a V . Sean d := deg F y h := h(F) . Luego se tiene

h(V) ≤ 4 c_{1} δ^{7} η(V, π, ζ) + (4 c_{1} + c_{2}) δ^{8}

por aplicación del lema anterior y del teorema 1.3.14. Aquí c_{1} , c_{2} son las constantes que intervienen en el enunciado del teorema 1.3.14. Se tiene entonces

h(V) ≤ c_{3} δ^{12} · η(V, π_{0}, ζ_{0}) + c_{4} δ^{13}

con c_{3} := 2 · 10^{3} (n + 1)^{4} y c_{4} := 5 · 10^{3} (n + 1)^{5} . □

Este resultado nos permite concluir que h y η son polinomialmente equivalentes, es decir

η(V) ≤ (n δ · h(V))^{c_{1}}, h(V) ≤ (n δ · η(V))^{c_{2}}

donde c_{1} , c_{2} ≥ 0 son constantes universales.

Teorema 1.3.23 Sea V ⊆ IA^{n} variedad equidimensional de dimensión r y grado δ. Entonces

η(V) ≤ c_{1} δ^{4} h(V) + c_{2} δ^{6}, h(V) ≤ c_{3} δ^{12} η(V) + c_{4} δ^{13},

donde c_{1} , c_{2} , c_{3} , c_{4} sólo dependen de n.

Se pueden tomar c_{1} := 14 (n + 1)^{2} log(n + 1) , c_{2} := 2 · 10^{2} (n + 1)^{7} , c_{3} := 2 · 10^{3} (n + 1)^{4} y c_{4} := 10^{4} (n + 1)^{5} .

Demostración. Sea π : V → IA^{r} una proyección lineal finita y separable y sea ζ un elemento primitivo de V . Asumimos además h(π), h(ζ) ≤ 2 log δ.

Sea φ : IA^{n} → IA^{n} una aplicación lineal inversible tal que π = (φ_{1}, …, φ_{r}) y ζ = φ_{r+1} . Podemos asumir entonces h(φ) ≤ 2 log δ, y por lo tanto, h(φ^{−1}) ≤ 2 n log δ + n log n.

Sea p ∈ IA^{r} un punto no ramificado de la proyección

φ^{−1}(V) → IA^{r}, x ↦ (x_{1}, …, x_{r}).

Por la proposición 1.3.9 podemos asumir h(p) ≤ n log δ + 2n. Sea entonces τ : IA^{n} → IA^{n} la traslación x ↦ x + p, y sea ϕ := τ ∘ φ. Sea W := ϕ^{−1}(V) ⊆ IA^{n}. Luego la proyección

π_{0} : W → IA^{r}, x ↦ (x_{1}, …, x_{r})

es finita y separable, 0 ∈ IA^{r} es no ramificado y ζ_{0} := x_{r+1} es un elemento primitivo de W .

Se tiene ϕ^{−1} = φ^{−1} − φ^{−1} ∘ τ y por lo tanto h(ϕ) ≤ 2 n log δ + 2n y h(ϕ^{−1}) ≤ 4 n log δ + 2 n log n. Luego se tiene

η(W, π_{0}, ζ_{0}) ≤ η(V, π, ζ) + h(ϕ^{−1}) ≤ η(V, π, ζ) + 4 n log δ + 2n

y

h(W) ≤ h(V) + 5 (n + 1)^{2} (4 log δ + 7 log n + 1) δ.

Por lo tanto

η(V, π, ζ) ≤ η(W, π, ζ) + 2 n log δ + 2 n
≤ c_{1} δ^{4} h(W) + c_{2} δ^{6} + 2 n log δ + 2 n
≤ c_{5} δ^{4} h(V) + c_{6} δ^{6}

donde c_{1} , c_{2} , son las constantes que intervienen en el enunciado del corolario 1.3.22. Se pueden tomar c_{5} := 14(n + 1)^{2} log(n + 1) y c_{6} := 130(n + 1)^{7} .

Por otra parte, la hipótesis h(π) ≤ 2 log δ nos permite suponer sin pérdida de generalidad deg π = δ. Luego podemos aplicar el teorema 1.3.14 y nos queda entonces

h(V) ≤ h(W) + (r + 1)(2 log δ + 7(r + 1) log(n + 1)) δ
≤ c_{3} δ^{12} η(W, π_{0}, ζ_{0}) + c_{4} δ^{13} + (r + 1)(2 log δ + 7(r + 1) log(n + 1)) δ
≤ c_{7} δ^{12} η(V) + c_{8} δ^{13}

donde c_{3} , c_{4} son las constantes que intervienen en el enunciado del corolario 1.3.22. Se pueden tomar c_{7} := 2 · 10^{3}(n + 1)^{4} y c_{8} := 10^{4}(n + 1)^{5} . □

1.4 Aplicaciones

Los resultados de la sección anterior muestran la estrecha relación existente entre la altura de una variedad y la altura de una fibra de una proyección finita. Estos resultados permiten reducir el estudio de la altura de una variedad al estudio de la altura de una fibra 0– dimensional.

En esta sección aplicamos estos resultados en diversas situaciones. La aplicación más notoria es la desigualdad de Bézout aritmética (Teorema 1.4.4). Obtenemos además una estimación para la altura de la inversa de un morfismo birracional de una variedad en un espacio afín (Proposición 1.4.7, 1.4.8).

1.4.1 Una Desigualdad de Bézout Aritmética

Esta subsección está dedicada a la demostración de la desigualdad de Bézout aritmética y a la derivación de algunas de sus consecuencias. En primer lugar estimamos la altura del producto de variedades.

Lema 1.4.1 Sean V ⊆ IA^{m}, W ⊆ IA^{n} variedades de dimensión 0. Entonces

h(V × W) ≤ deg(W) · h(V) + deg(V) · h(W) + c(m, n) deg(V) · deg(W).

Se puede tomar c(m, n) := log(m + 1) + log(n + 1) .

Demostración. Sean

\begin{aligned}ζ & := & U_{0} + U_{1} y_{1} + ⋯ U_{m} y_{m} ∈ k[U][IA^{m}], \\ η & := & U′_{1} x_{1} + ⋯ + U′_{n} x_{n} ∈ k[U′][IA^{n}] \end{aligned}

formas lineales genéricas. Luego

F := ∏_{ξ∈V} ∏_{ρ∈W}(ζ(ξ) + η(ρ)) ∈ k[U, U′][IA^{m} × IA^{n}]

es el polinomio de Chow de V × W . Luego se tiene

F = ∏_{ξ∈V} f_{W} (ζ(ξ), U′_{1}, …, U′_{n}).

Sean δ := deg V y δ′ := deg W . Luego

m(F) = ∑_{ξ} m(f_{W} (ζ(ξ), U′_{1}, …, U′_{n}))
≤ ∑_{ξ} m(f_{W}) + δ′ (m(ζ(ξ)) + log(m + 1) + log(n + 1))
≤ δ · m(f_{W}) + δ′ · m(F_{V}) + (log(m + 1) + log(n + 1))δ · δ′.
□

Corolario 1.4.2 Sean V_{1} ⊆ IA^{n_{1}}, …, V_{l} ⊆ IA^{n_{l}} variedades de dimensión 0. Sea δ_{i} el grado de V_{i}. Sean n := ∑ n_{i} y δ := ∏_{i} δ_{i}. Entonces

h(V_{1} × ⋯ × V_{l})/δ ≤ ∑_{i} h(V_{i})/δ_{i} + 2 l log(n + 1).

□

.

Proposición 1.4.3 Sean V_{1} ⊆ IA^{n_{1}}, …, V_{l} ⊆ IA^{n_{l}} variedades. Sea δ_{i} el grado de V_{i}. Sean n := ∑_{i} n_{i} y δ := ∏_{i} δ_{i}. Entonces

h(V_{1} × ⋯ × V_{l}) ≤ c_{1} δ^{8} ∑_{i} h(V_{i}) + c_{2} δ^{9}

donde c_{1} , c_{2} dependen solamente de n.

Se pueden tomar c_{1} := 10^{3} (n + 1)^{4} y c_{2} := 2 · 10^{3} (n + 1)^{7} .

Demostración. Es suficiente considerar el caso en que V_{i} es irreducible para todo i. Sea r_{i} la dimensión de V_{i}. Sean F_{ij} ∈ k[x_{1}^{(i)}, …, x_{n_{i}}^{(i)}] polinomios tales que F_{i} := {F_{i,r_{i}+1}, …, F_{i,n_{i}}} es una intersección completa reducida que define una variedad W_{i} := V (F_{i}) ⊆ IA^{n_{i}} que contiene a V_{i}. Asumimos además

deg F_{ij} ≤ δ_{i}, m(F_{ij}) ≤ h(V_{i}) + c_{1} δ_{i},

con c_{1} := 5 (n + 1)^{2} log(n + 1) . Luego F := {F_{ij}}_{ij} ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] es una intersección completa reducida tal que la variedad W := V (F) = W_{1} × ⋯ × W_{l} ⊆ IA^{n} contiene a V := V_{1} × ⋯ × V_{l}. Se tiene

deg F_{ij} ≤ max_{i} δ_{i}, m(F_{i}) ≤ max_{i} h(V_{i}) + c_{1} max_{i} δ_{i}.

Sea π_{i} : V_{i} → IA^{r_{i}} una proyección finita y separable de grado δ_{i} tal que 0 ∈ IA^{r_{i}} un punto no ramificado de π_{i}. Asumimos

h(π_{i}) ≤ c_{2}(n_{i}) log δ_{i} + c_{3}(n_{i})

con c_{2}(n) := n y c_{3}(n) := 2 n. Sea r := ∑_{i} r_{i} = dim V . Luego la proyección π := π_{1} × ⋯ π_{l} : V → IA^{r} es finita y separable de grado δ y 0 ∈ IA^{r} es un punto no ramificado de π. Se tiene además

h(π) ≤ c_{2}(n) log(max_{i} δ_{i}) + c_{3}(n).

Sea ϖ_{i} : IA^{n_{i}} → IA^{r_{i}} la proyección x ↦ (x_{1}, …, x_{r_{i}}) , y sea φ_{i} : IA^{n_{i}} → IA^{n_{i}} una transformación afín inversible tal que ϖ_{i} = π_{i} ∘ φ_{i}. Podemos suponer entonces

h(φ_{i}) ≤ h(π_{i}), h(φ_{i}^{−1}) ≤ n_{i} h(π_{i}) + n_{i} log n_{i}.

Sea Z_{i} := φ_{i}^{−1}(V) ⊆ IA^{n_{i}}, y sean

\begin{aligned}φ & := & φ_{1} × ⋯ × φ_{l} : IA^{n} → IA^{n}, \\ Z & := & Z_{1} × ⋯ × Z_{l} = φ^{−1}(V) ⊆ IA^{n}. \end{aligned}

Se tiene entonces

h(Z_{i}) ≤ h(V_{i}) + 7(n_{i} + 1)^{3} δ_{i}^{2}.

Sea Z_{i0} := ϖ_{i}^{−1}(0) ⊆ IA^{n_{i}} la fibra de ϖ_{i} en 0 y sea Z_{0} := Z_{1,0} × ⋯ × Z_{l,0} = ϖ^{−1}(0) ⊆ IA^{n} la fibra de ϖ := ϖ_{1} × ⋯ × ϖ_{l} en 0 ∈ IA^{n}. Luego

h(Z_{i0}) ≤ h(Z_{i}) + (n_{i} + 1)^{3} δ_{i} ≤ h(V_{i}) + 8(n_{i} + 1)^{3} δ_{i}^{2}.

Por el lema 1.4.1 obtenemos entonces

h(Z_{0}) ≤ δ ∑_{i} h(Z_{i0}) + 2 l log(n + 1) δ ≤ δ ∑_{i} h(V_{i}) + 10 l(n + 1)^{3} δ^{2}.

Se sigue entonces

\begin{aligned}h(V) & ≤ & h(Z) + 8(n + 1)^{3} δ ≤ κ_{1} δ^{5} · h(Z_{0}) + κ_{2} δ^{7} + 8(n + 1)^{3} δ^{2} \\ & ≤ & κ_{1} δ^{6} ∑_{i} h(V_{i}) + (10 l(n + 1)^{3} κ_{1} + κ_{2} + 8(n + 1)^{3}) δ^{7} \end{aligned}

por el teorema 1.3.14 donde κ_{1} , κ_{2} son las constantes que intervienen en el enunciado de este teorema. Concluimos entonces

h(V) ≤ c_{4} δ^{8} ∑_{i} h(V_{i}) + c_{5} δ^{9}

con c_{4} := 10^{3} (n + 1)^{4} y c_{5} := 2 · 10^{3} (n + 1)^{7} . □

Teorema 1.4.4 (Desigualdad de Bézout Aritmética) Sean V_{1}, …, V_{l} ⊆ IA^{n} variedades. Sea δ_{i} el grado de V_{i} y sea δ := ∏_{i} δ_{i}. Entonces

h(V_{1} ∩ ⋯ ∩ V_{l}) ≤ c_{1} δ^{8} ∑ h(V_{i}) + c_{2} δ^{9}

donde c_{1} , c_{2} dependen solamente de n.

De hecho se pueden tomar c_{1} := 10^{3} (n + 1)^{4} y c_{2} := 2 · 10^{3} (n + 1)^{7} .

Demostración. Esta estimación se sigue directamente de la proposición 1.4.3 y de la identidad

V_{1} ∩ ⋯ ∩ V_{l} = (V_{1} × ⋯ × V_{l}) ∩ E ⊆ E

donde E ≅ IA^{n} es el espacio lineal {x_{1,1} − x_{2,1} = 0, …, x_{1,n} − x_{l,n} = 0} ⊆ IA^{l n}. □

Como un caso particular de este resultado, obtenemos la siguiente estimación para la altura de la intersección de una variedad con una hipersuperficie.

Corolario 1.4.5 Sea V ⊆ IA^{n} variedad de grado δ y sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios de grado acotado por d y medida de Mahler acotada por h. Entonces

h(V ∩ V (f_{1}, …, f_{s})) ≤ c_{1} (d^{s} δ)^{8} (h + h(V)) + c_{2} (d^{s} δ)^{9}.

Se pueden tomar c_{1} := 10^{3} (n + 1)^{5} y c_{2} := 2 · 10^{3} (n + 1)^{7} .

Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios que definen una variedad V := V (f_{1}, …, f_{s}) ⊆ IA^{n} de dimensión 0. Se tiene en particular

w(V) ≤ c_{1}(n) d^{8 n} h + c_{2}(n) d^{9 n}

donde w(V) := ∑_{ξ∈V} \overline{h}(ξ) denota la altura de Weil de V y c_{1} , c_{2} sólo dependen de n.

Obtenemos la siguiente estimación para la altura de la imagen de una variedad por un morfismo.

Lema 1.4.6 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad y sea φ : IA^{n} → IA^{m} un morfismo racional. Sean f_{i}, g_{i} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios tales que φ = (f_{1}/g_{1}, …, f_{m}/g_{m}) . Sean d := max_{i}\{deg f_{i}, deg g_{i} + 1\} y h := max_{i} \overline{h}(f_{i}/g_{i}) . Entonces

h(\overline{φ(V)}) ≤ c_{1} (d^{m} δ)^{8}(h + h(V)) + c_{2} (d^{m} δ)^{9}

donde c_{1} , c_{2} dependen solamente de n.

Se pueden tomar c_{1} := 10^{3} (n + 1)^{5} y c_{2} := 3 · 10^{3}(n + 1)^{7} .

Demostración. Sea Gr(φ) ⊆ IA^{n} × IA^{m} el gráfico de φ : V → IA^{m}. Luego

Gr(φ) = V (g_{1} y_{1} − f_{1}, …, g_{m} y_{m} − f_{m}) ⊆ IA^{n} × IA^{m}

y por lo tanto φ(V) = π(Gr(φ)) , donde π : IA^{n} × IA^{m} denota la proyección (x, y) ↦ y. Luego se tiene m(g_{i} x_{i} − f_{i}) ≤ h + d + n + 2 y por lo tanto

h(\overline{φ(V)}) ≤ c_{1} (d^{m} δ)^{8}(h + h(V)) + c_{2} (d^{m} δ)^{9}.

con c_{1} := 10^{3} (n + 1)^{5} y c_{2} := 3 · 10^{3}(n + 1)^{7} . □

1.4.2 Inversa de un Morfismo Birracional

Sea φ : V → IA^{r} un morfismo birracional entre una variedad equidimensional V ⊆ IA^{n} y un espacio afín IA^{r}. La siguiente es una estimación para la altura de la inversa de φ.

Proposición 1.4.7 Sea V ⊆ IA^{n} una variedad y sea φ : V → IA^{r} un morfismo birracional. Sean f_{i}, g_{i} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] tales que φ = (f_{1}/g_{1}, …, f_{r}/g_{r}) . Sean δ := deg V , d := max_{i}{deg f_{i}, deg g_{i} + 1} y h := max_{i} h(f_{i}/g_{i}) . Entonces

h(φ^{−1}) ≤ c_{1} (d^{r} · δ)^{8}(h + h(V)) + c_{2} (d^{r} δ)^{9}

donde c_{1} , c_{2} dependen solamente de n.

Se pueden tomar c_{1} := 10^{3} (n + 1)^{5} y c_{2} := 3 · 10^{3}(n + 1)^{7} .

Demostración. Sea φ^{−1} := ψ = (h_{1}/k_{1}, …, h_{n}/k_{n}) con h_{i}, k_{i} ∈ k[x_{1}, …, x_{r}] polinomios sin factores comunes. Se tiene

\overline{Gr(ψ)} = V (k_{1} x_{1} − h_{1}, …, k_{n} x_{n} − h_{n}) ⊆ IA^{r} × IA^{n}

y por lo tanto V (k_{i} x_{i} − h_{i}) = \overline{π_{i} (Gr(ψ))} , donde π_{i} : IA^{r} × IA^{n} → IA^{r+1} denota la proyección (y, x) ↦ (y, x_{i}) . Luego

\begin{aligned}h(h_{i}/k_{i}) & ≤ & m(k_{i} x_{i} − h_{i}) + d log(r + 1) \\ & ≤ & c_{1} (d^{r} · δ)^{8}(h + h(V)) + c_{2} (d^{r} · δ)^{9} \end{aligned}

donde k_{i} x_{i} − h_{i} es un polinomio irreducible y el gráfico de ψ coincide con el gráfico de φ. Aquí c_{1} , c_{2} denotan las constantes que intervienen en la desigualdad de Bézout.

□

En el caso particular en que φ : IA^{n} → IA^{n} es un automorfismo podemos obtener una estimación para la altura de la inversa directamente a partir de los resultados de la subsección 1.3.1. φ.

Proposición 1.4.8 Sea φ : IA^{n} → IA^{n} un automorfismo de IA^{n}, y sea ψ := φ^{−1} su inversa. Sea d := max_{i} deg φ_{i} y h := max_{i} h(φ_{i}) . Entonces

h(ψ) ≤ 8 n d^{n}(h + d \overline{h}(ξ)) + 4 d^{2 n} + 36 d n^{2} d^{n+1},

donde ξ := φ^{−1}(0) denota la fibra del punto 0 ∈ IA^{n}.

Demostración. Sea ψ = (g_{1}, …, g_{n}) con g_{i} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] . Se tiene deg g_{i} ≤ d^{n} por el lema 1.2.2. Luego

h_{v}(ψ) ≤ (3 d^{n} + 1)(n d · h_{v}(ξ) + \overline{h}_{v}(J_{φ} (ξ)^{−1}) + n h_{v} + 3n d + 2 n^{2} + d^{n})

para v ∈ S_{k}, donde h_{v} := h_{v}(φ) , ξ := φ^{−1}(0) y J_{φ} denota el Jacobiano de φ. Análogamente

h_{v}(ψ) ≤ (3 d^{n} + 1)(n d · \overline{h}_{v}(ξ) + \overline{h}_{v}(J_{φ}(ξ)^{−1}) + n d h_{v})

en el caso v ∉ S_{k}. Se tiene entonces

h(ψ) ≤ 4 d^{n}(n d \overline{h}(ξ) + \overline{h}(J_{φ}(ξ)^{−1}) + n h + 3 n d + 2 n^{2} + d^{n}).

Por otra parte, se tiene además \overline{h}(J_{φ}(ξ)^{−1}) ≤ n d \overline{h}(ξ) + n(h + d + 3 n) . Concluimos

h(ψ) ≤ 4 d^{n}(2 n d · \overline{h}(ξ) + 2 n h + 36 n^{2} d + d^{n}).
□

La altura de la fibra ξ se puede estimar como

\overline{h}(ξ) ≤ c_{1} d^{8 n} h + c_{2} d^{9 n},

donde c_{1} , c_{2} son las constantes que intervienen en el enunciado del corolario 1.4.5. A partir del resultado anterior obtenemos la estimación

h(ψ) ≤ c_{3} d^{9 n+1} h + c_{4} d^{10 n+1}

con c_{3} := 5 · 10^{3} (n + 1)^{6} y c_{4} := 10^{4} (n + 1)^{7} .

Cotas para el Teorema de Ceros

Nuestro tratamiento del teorema de ceros se basa principalmente en dos técnicas. Cada una de estas técnicas se aplica en distintas situaciones, y son, en gran medida, complementarias entre sí.

La primera técnica fue desarrollada por Dubé [41] y el autor [122], [123]. Se trata de un método combinatorio. La idea principal consiste en trasladar el problema en cuestión al espacio proyectivo IP^{n} — visto como una completación del espacio afín — para luego deformar las ecuaciones adecuadamente. De esta forma se reduce el problema al caso en que las ecuaciones se cortan en forma propia, que se resuelve fácilmente aplicando técnicas clásicas de eliminación.

Este método es eficiente con respecto a las cotas de grado. Por otra parte, es aplicable sobre anillos más generales que el anillo de polinomios. Este último aspecto es crucial para la obtención de las versiones ralas del teorema de ceros.

La segunda técnica se basa en ideas de Jacobi sobre dualidad en anillos intersección completa reducida. La ventaja más sobresaliente de este método es que permite obtener identidades explícitas para los polinomios en el teorema de ceros. Esto permite controlar otros parámetros — además del grado — y ya fue aplicado con éxito para controlar la altura y la complejidad de evaluación de los polinomios en el teorema de ceros [59], [48], [83], [62], etc..

Aplicamos este método para obtener cotas de altura esencialmente óptimas para el teorema de ceros sobre variedades intersección completa (Teorema 2.3.2). Este resultado nos permite obtener cotas inferiores para la aproximación entre variedades de dimensión positiva.

2.1 Cotas de Grados

En esta sección tratamos las cotas de grado para los polinomios en el teorema de ceros.

En primer lugar consideramos las versiones efectivas del teorema de ceros sobre anillos Cohen–Macaulay (Teorema 2.1.8 y Corolario 2.1.9). Este resultado constituye la parte central de nuestra derivación del teorema de ceros esparso.

Luego consideramos el teorema de ceros efectivo en su forma clásica. Obtenemos nuevas cotas para los grados para el caso de un sistema de ecuaciones cuadráticas (Teorema 2.1.10).

Obtenemos además una cota para los grados en términos de un nuevo parámetro, el grado algebraico de un sistema de ecuaciones (Teorema 2.1.15). Esta cota contiene esencialmente a todas las cotas conocidas, y las mejora en ciertos casos particulares.

2.1.1 Un Teorema de Ceros Efectivo sobre Anillos Graduados Cohen– Macaulay

A lo largo de esta sección, denotamos por k un cuerpo infinito y por \overline{k} su clausura algebraica. Alternativamente, denotamos por S al anillo de polinomios k[x_{0}, …, x_{n}] .

Para un ideal homogéneo J del anillo de polinomios k[x_{0}, …, x_{n}] , denotamos por dim J denota la dimensión de Krull del anillo cociente k[x_{0}, …, x_{n}]/J . El grado deg J de J se define como (dim J − 1)! veces el coeficiente principal del polinomio de Hilbert de la k –álgebra graduada k[x_{0}, …, x_{n}]/J.

Un anillo graduado A es Cohen–Macaulay si contiene una sucesión regular de elementos homogéneos de longitud igual a la dimensión de A. En particular A es equidimensional, y el cociente de A por cualquier sucesión regular de elementos homogéneos es Cohen– Macaulay.

Sea I un ideal homogéneo Cohen–Macaulay del anillo de polinomios k[x_{0}, …, x_{n}] , es decir, tal que el anillo cociente k[x_{0}, …, x_{n}]/I es Cohen–Macaulay. Sea r la dimensión de I y sea V (I) ⊆ IP^{n} la variedad definida por I en el espacio proyectivo.

Sea p ∈ S/I elemento homogéneo que es un no–divisor de cero. Sean η_{1}, …, η_{s} ∈ S/I elementos homogéneos de grado 1 — o, más brevemente, formas lineales — que definen la variedad vacía en el abierto {p ≠ 0} de V (I) . En esta situación, el teorema de ceros de Hilbert implica que p pertenece al radical del ideal (η_{1}, …, η_{s}) , es decir,

p ∈ \sqrt{(η_{1}, …, η_{s})}.

Equivalentemente se tiene que 1 está en el ideal (\overline{η}_{1}, …, \overline{η}_{s}) generado por \overline{η}_{1}, …, \overline{η}_{s} en el anillo (S/I)_{p}. Aquí (S/I)_{p} denota la localización del anillo S/I con respecto al conjunto multiplicativo {p^{i}}_{i≥0} .

En esta situación vamos a dar una cota para el mínimo D ∈ IN tal que p^{D} pertenece al ideal (η_{1}, …, η_{s}) . Enunciamos el resultado principal de esta sección, y lo derivamos más adelante como consecuencia de una serie de resultados auxiliares.

Lema Principal 2.1.1 Sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo Cohen–Macaulay de dimensión r. Sean p ∈ k[x_{0}, …, x_{n}]/I un elemento homogéneo no–divisor de cero y η_{1}, …, η_{s} ∈ k[x_{0}, …, x_{n}]/I formas lineales tales que p está en el radical del ideal (η_{1}, …, η_{s}) . Entonces

p^{D} ∈ (η_{1}, …, η_{s})

con D := min{r, s}^{2} deg I.

Casos particulares de este resultado fueron obtenidos previamente por Caniglia, Galligo y Heintz [29, Proposición 10] y Smietanski [120, Lema 1.44].

Como consecuencia de este resultado derivamos un teorema de ceros efectivo para anillos graduados Cohen–Macaulay (Teorema 2.1.8 y Corolario 2.1.9).

Sea A un anillo y sean α_{1}, …, α_{t} elementos de A. Entonces α_{1}, …, α_{t} es una sucesión regular débil si \overline{α}_{i} es un no–divisor de cero en el anillo A/(α_{1}, …, α_{i−1}) para todo i. Notamos que esta definición defiere de la noción usual de sucesión regular sólo en el hecho de que permite que \overline{α}_{t} sea una unidad en A/(α_{1}, …, α_{t−1}) .

Considerando combinaciones k –lineales genéricas, nos podemos reducir sin pérdida de generalidad al caso en que \overline{η}_{1}, …, \overline{η}_{s} ∈ (S/I)_{p} es una sucesión regular débil y s ≤ r. Asumimos esto de ahora en adelante. Luego vamos a mostrar que las formas lineales η_{1}, …, η_{s} pueden ser reemplazadas por polinomios de grado controlado que forman una sucesión regular en S/I. Este resultado está enunciado en el corolario 2.1.3, y constituye la parte técnica central en la demostración del lema principal 2.1.1.

El siguiente lema es una generalización de [67, Nota 4].

Lema 2.1.2 Sea K ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo equidimensional, y sean ξ_{1}, …, ξ_{m} ∈ IP^{n} puntos afuera de V (K) . Entonces existe un polinomio homogéneo g ∈ K tal que deg g ≤ deg K y g(ξ_{i}) ≠ 0 para todo i.

Demostración. Para cada ideal primo asociado P de K tomamos un polinomio homogéneo g_{P} tal que deg g_{P} ≤ deg P y g_{P} (ξ_{i}) ≠ 0 para i = 1, …, m. Esto es claro a partir de una proyección genérica. Sea Q_{P} el el ideal P –primario correspondiente en la descomposición de K. Sea l(Q_{P}) la longitud de Q_{P} , esto es, la longitud de (S/Q_{P})_{P} como un S/P –módulo. Sea

g := ∏_{P} g_{P}^{l(Q_{P})},

donde el producto se toma sobre todos los ideales primos asociados de K. Luego g(ξ_{i}) ≠ 0 para i = 1, …, m, g está en el ideal K por [27, Lema 1] y se verifica la cota de grado

deg g ≤ ∑_{P} l(Q_{P}) deg P = deg K.

□

En lo que sigue vamos a denotar por J_{i} la contracción al anillo S/I del ideal (\overline{η}_{1}, …, \overline{η}_{i}) ⊆ (S/I)_{p} y por δ_{i} el grado del ideal homogéneo J_{i}.

Corolario 2.1.3 Con la misma notación del párrafo anterior, existen elementos homogéneos h_{1}, …, h_{s} ∈ S/I que satisfacen las siguientes condiciones: i) h_{i} ≡ p^{c_{i}} · η_{i} (mod J_{i−1}) para algún c_{i} ≥ 0 ,

ii) h_{1}, …, h_{s} es una sucesión regular,

iii) deg h_{i} ≤ deg J_{i−1} + deg p − 1 ,

para i = 1, …, s.

Demostración. Hacemos inducción en i. Por hipótesis p es un no–divisor de cero en S/I y por lo tanto el morfismo canónico S/I → (S/I)_{p} es inyectivo. El hecho de que \overline{η}_{1} sea un no–divisor de cero en (S/I)_{p} implica que η_{1} es un no–divisor de cero en S/I.

Ahora sea i ≥ 2 y supongamos que h_{1}, …, h_{i−1} ya están construídos. Sea H_{i−1} el ideal generado por h_{1}, …, h_{i−1} en S/I. Sea H_{i−1} = (∩_{j} Q_{j}) ∩ (∩_{l} R_{l}) la descomposición primaria de H_{i−1} , con p ∉ \sqrt{Q_{j}} y p ∈ \sqrt{R_{l}}. Nuestro objetivo es encontrar un elemento homogéneo h_{i} ∈ S/I que no esté en ninguno de los ideales primarios asociados de H_{i−1} .

Recordamos que H_{i−1} no tiene componentes inmersas ya que es un ideal generado por una sucesión regular en un anillo Cohen–Macaulay. Por otro lado el ideal J_{i−1} tiene la descomposición primaria ∩_{j} Q_{j} y por lo tanto V (R_{l}) ⊈ V (J_{i−1}) para todo l. Para cada l tomamos entonces un punto ξ_{l} ∈ V (R_{l}) − V (J_{i−1}) y un elemento homogéneo g ∈ J_{i−1} tal que deg g ≤ deg J_{i−1} y g(ξ_{l}) ≠ 0 . La existencia de g está garantizada por el lema anterior. Multiplicando eventualmente a g con formas lineales podemos suponer sin pérdida de generalidad que vale deg g = c_{i} deg p+1 para algún c_{i} ≥ 0 . En particular podemos suponer que vale deg g ≤ deg J_{i−1} + deg p − 1 . Sea entonces

h_{i} := a g + p^{c_{i}} · η_{i}

para algún escalar a ∈ k, a ser determinado en lo que sigue. Entonces h_{i} es homogéneo y se tiene h_{i} ≡ p^{c_{i}} · η_{i} (mod J_{i−1}) . Luego h_{i} no pertenece a \sqrt{Q_{j}}, ya que tanto p como η_{i} son no–divisores de cero modulo J_{i−1} . Luego h_{i}(ξ_{l}) = a g(ξ_{l}) + (p^{c_{i}} · η_{i})(ξ_{l}) ≠ 0 para una elección genérica de a, y por lo tanto se tiene h_{i} ∉ \sqrt{R_{l}}. □

Fijamos la siguiente notación. Sean h_{1}, …, h_{s} ∈ S/I los polinomios homogéneos introducidos en el corolario 2.1.3, y sean H_{i} := (h_{1}, …, h_{i}) y L_{i} := (η_{1}, …, η_{i}) los ideales homogéneos sucesivamente generados por h_{1}, …, h_{s} y η_{1}, …, η_{s} respectivamente.

Sea h_{i} = l_{i} + p^{c_{i}} · η_{i} para algún l_{i} ∈ J_{i−1} y c_{i} ≥ 0 . Luego sea γ_{i} := δ_{i−1} − δ_{i} , y sean

λ_{i} := ∑_{j=1}^{i}(γ_{j} + c_{j}), μ_{i} := ∑_{j=1}^{i}((i − j + 1)γ_{j} + (i − j)c_{j})

para i = 1, …, s.

Dado un ideal K de S/I denotamos por K^{u} la parte equidimensional de K, esto es, el ideal equidimensional definido como la intersección de las componentes primarias de K de dimensión máxima.

Lema 2.1.4 Sea q ∈ J_{i} para algún 1 ≤ i ≤ s. Entonces p^{γ_{i}} · q ∈ (J_{i−1}, η_{i})^{u}.

Demostración. Sea (∩_{j} Q_{j})∩(∩_{l} R_{l}) la descomposición primaria del ideal (J_{i−1}, η_{i})^{u}, con p ∉ \sqrt{Q_{j}} y p ∈ \sqrt{R_{l}}. Entonces el ideal J_{i} tiene la descomposición primaria ∩_{j} Q_{j}. Sea K_{i} := ∩_{l} R_{l} la intersección de las otras componentes primarias, de forma tal que K_{i} es un ideal equidimensional contenido en la hipersuperficie {p = 0}.

Los ideales (J_{i−1}, η_{i})^{u} y (J_{i−1}, η_{i}) tienen el mismo grado, ya que sólo difieren en un ideal de codimensión al menos i + 1 . Luego deg(J_{i−1}, η_{i}) = δ_{i−1} , ya que η_{i} es un no–divisor de cero módulo J_{i−1} , y por lo tanto deg K_{i} = γ_{i} = δ_{i−1} − δ_{i}. Luego p^{γ_{i}} está en el ideal K_{i} [27, Lema 1] y concluimos que p^{γ_{i}} · q ∈ (∩_{j} Q_{j}) ∩ (∩_{l} R_{l}) = (J_{i−1}, η_{i})^{u} como enunciamos. □

Los dos enunciados siguientes (Lemas 2.1.5 y 2.1.6) son simples extensiones de [41, Lemas 6.1 y 6.2].

Lema 2.1.5 Sea q ∈ J_{i} para algún 1 ≤ i ≤ s. Entonces p^{λ_{i}} · q ∈ H_{i}.

Demostración. Hacemos inducción en i. Tenemos p^{γ_{1}}q ∈ (η_{1})^{u} por el lema 2.1.4. Además (η_{1})^{u} = (η_{1}) y por lo tanto la afirmación es válida para i = 1 .

Sea i ≥ 2 y asumamos que el enunciado vale para i − 1 . Por el lema 2.1.4 se tiene p^{γ_{i}} ·q ∈ (J_{i−1}, η_{i})^{u}, es decir, que p^{γ_{i}} ·q pertenece a la intersección de todas las componentes primarias de dimensión r−i del ideal (J_{i−1}, η_{i}) . La intersección de las otras componentes primarias forma un ideal de codimensión al menos i + 1 y por lo tanto existe una sucesión regular w_{1}, …, w_{i+1} dentro de este ideal. Esto se desprende del hecho de que S/I es un anillo Cohen–Macaulay. Se tiene que w_{j} · p^{γ_{i}} · q ∈ (J_{i−1}, η_{i}) y por lo tanto existen u_{j} ∈ J_{i−1} y v_{j} ∈ S/I tales que w_{j} · p^{γ_{i}} · q = u_{j} + v_{j} · η_{i} para todo g. Entonces

w_{j} · p^{γ_{i}+c_{i}} · q = p^{c_{i}} · u_{j} + p^{c_{i}} · v_{j} · η_{i} = p^{c_{i}} · u_{j} + v_{j}(h_{i} − l_{i}) = (p^{c_{i}} · u_{j} − v_{j} · l_{i}) + v_{j} · h_{i}.

Luego p^{γ_{i}+c_{i}} · u_{j} − v_{j} · l_{i} ∈ J_{i−1} y por la hipótesis inductiva p^{λ_{i−1}}(p^{γ_{i}+c_{i}} · u_{j} − v_{j} · l_{i}) está en el ideal H_{i−1} . Luego tenemos w_{j} · p^{λ_{i}} · q ∈ H_{i} ya que λ_{i} = λ_{i−1} + γ_{i} − c_{i}.

El ideal H_{i} está generado por una sucesión regular h_{1}, …, h_{i} y por lo tanto es un ideal equidimensional de dimensión r − i. Luego para cada ideal primo asociado P de H_{i} existe algún j tal que w_{j} ∉ P . Concluimos entonces que p^{λ_{i}} · q ∈ H_{i}. □

Lema 2.1.6 Sea q ∈ J_{i} para algún 1 ≤ i ≤ s. Entonces p^{μ_{i}} · q ∈ L_{i}.

Demostración. Hacemos inducción en i. El caso i = 1 se sigue de la misma forma que en el lema anterior ya que L_{1} = H_{1} y μ_{1} = λ_{1} .

Sea i ≥ 2 . Entonces p^{λ_{i}} ·q está en H_{i} por el lema 2.1.5. Sea p^{λ_{i}} ·q = u+v ·h_{i} para algún u ∈ H_{i−1} y v ∈ S/I. Luego p^{λ_{i}}·q−v·h_{i} ∈ H_{i−1} y por lo tanto p^{λ_{i}}·q−p^{c_{i}}·v·η_{i} ∈ J_{i−1} debido a que H_{i−1} ⊆ J_{i−1} y h_{i} ≡ p^{c_{i}}·η_{i} (mod J_{i−1}) . Esto implica a su vez p^{λ_{i}−c_{i}}·q−v·η_{i} ∈ J_{i−1} .

De la hipótesis inductiva obtenemos p^{μ_{i−1}}(p^{λ_{i}−c_{i}} · q − v · η_{i}) ∈ L_{i−1} y por lo tanto p^{μ_{i−1}+λ_{i}−c_{i}} · q ∈ L_{i}. El enunciado se sigue entonces de la observación μ_{i} = μ_{i−1} + λ_{i} − c_{i}. □ Demostración del Lema Principal 2.1.1. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que \overline{η}_{1}, …, \overline{η}_{s} es una sucesión regular débil en (S/I)_{p} y que s ≤ r. Por el lema 2.1.6 sólo queda acotar μ_{s}. Hacemos uso de las estimaciones γ_{i}, c_{i} ≤ δ_{i−1} y obtenemos la cota

\begin{aligned}μ_{s} & = & ∑_{j=1}^{s}((s − j + 1) γ_{j} + (s − j) c_{j}) \\ & ≤ & ∑_{j=1}^{s}((s − j + 1) δ_{j−1} + (s − j) δ_{j−1}) ≤ s^{2} deg I. \end{aligned}

□

El resto de esta subsección está dedicado a la extensión de este resultado al caso en que reemplazamos las formas lineales por elementos homogéneos de grado arbitrario. Primeramente establecemos algunas generalidades sobre la aplicación de Veronese.

Denotemos por N al entero (_{d}^{n+d}) − 1 , y sean a_{0}, …, a_{N} los exponentes de los distintos monomios de grado d en k[x_{0}, …, x_{n}] . Sea

v_{d} : IP^{n} → IP^{N}, x := (x_{0} : ⋯: x_{n}) ↦ v_{d}(x) := (x^{a_{0}} : ⋯: x^{a_{N}})

la aplicación de Veronese. Este es un morfismo regular de variedades proyectivas, y por lo tanto su imagen es una subvariedad cerrada de IP^{N} . Esta variedad se llama la variedad de Veronese y se denota por v_{n,d}. Sea I(v_{n,d}) su ideal de definición y denotamos por S^{(d)} := k[y_{0}, …, y_{N}]/I(v_{n,d}) su anillo de coordenadas homogéneas. La aplicación de Veronese induce entonces una inclusión de k –álgebras i_{d} : S^{(d)} ↪ S definida por y_{j} ↦ x^{a_{j}} para j = 0, …, N .

Sea J un ideal de S y sea J^{(d)} su contracción al anillo S^{(d)} . Identificamos al anillo cociente S^{(d)}/J^{(d)} con su imagen en S/J a través de la inclusión i_{d} : S^{(d)}/J^{(d)} ↪ S/J y obtenemos la descomposición en partes graduadas

S^{(d)}/J^{(d)} = ⊕_{j} (S/J)_{d j}.

Sean h_{J^{(d)}} y h_{J} las funciones de Hilbert de J^{(d)} y de J respectivamente. Entonces h_{J^{(d)}}(m) = h_{J}(d m) para m ∈ IN . Se sigue entonces que los ideales J^{(d)} y J tienen la misma dimensión y sus grados están relacionados por la fórmula deg J^{(d)} = d ^{dim J−1} deg J.

Lema 2.1.7 Sea J un ideal homogéneo Cohen–Macaulay de S y sea J^{(d)} su contracción al anillo S^{(d)} . Entonces J^{(d)} es un ideal Cohen–Macaulay.

Demostración. Denotemos por A y B los anillos cocientes S^{(d)}/J^{(d)} y S/J respectivamente. Identificamos A con su imagen en B a través de la inclusión i_{d}.

Vamos a probar que A es un anillo Cohen–Macaulay. Alcanza con exhibir una sucesión regular de elementos homogéneos de longitud igual a la dimensión de A.

Sea e := dim B = dim A. Sea β_{1}, …, β_{e} una sucesión regular en B de elementos homogéneos y sea α_{i} := β_{i}^{d}. Luego α_{1}, …, α_{e} son elementos de A que forman una sucesión regular en B [99, Teorema 16.1]. Afirmamos que también forman una sucesión regular maximal en A. Sólo tenemos que probar que \overline{α_{i}} no es un divisor de cero en A/(α_{1}, …, α_{i−1}) para i = 1, …, e. Sea ζ ∈ A un elemento tal que ζ ·α_{i} ∈ (α_{1}, …, α_{i−1}) . Entonces existen elementos homogéneos ζ_{1}, …, ζ_{i−1} ∈ B tales que ζ = ζ_{1}α_{1} + ⋯ + ζ_{i−1}α_{i−1} ya que α_{1}, …, α_{i−1} es una sucesión regular en B. Una verificación fácil muestra que ζ_{1}, …, ζ_{i−1} pueden ser elegidos de forma tal que estén en A, de donde se sigue ζ ∈ (α_{1}, …, α_{i−1}) . □

Teorema 2.1.8 Sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo Cohen–Macaulay. Sea p ∈ k[x_{1}, …, x_{n}]/I un elemento homogéneo no–divisor de cero y sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{0}, …, x_{n}]/I elementos homogéneos tales que p está en el radical del ideal (f_{1}, …, f_{s}) . Sean r := dim I y d := max_{i} deg f_{i}. Entonces

p^{D} ∈ (f_{1}, …, f_{s})

con D := r^{2} d^{r} deg I.

Demostración. Notamos en primer lugar que los ceros en V (I) de los polinomios {f_{i}}_{i} coinciden con los ceros en V (I) de los polinomios {x_{j}^{d−deg f_{i}}f_{i}}_{ij}. Se tiene además x_{j}^{d−deg f_{i}}f_{i} ∈ (f_{1}, …, f_{s}) . Entonces podemos suponer sin pérdida de generalidad que f_{i} es un polinomio homogéneo de grado d para i = 1, …, s. Notamos sin embargo que el número de polinomios de entrada pudo haber aumentado en esta etapa preparatoria.

Sea i_{d} : S^{(d)} ↪ S la inclusión de k –álgebras inducida por la aplicación de Veronese y sea I^{(d)} la contracción del ideal I al anillo S^{(d)} . Esta inclusión es una biyección en grado 1. Sea entonces η_{i} ∈ S^{(d)}/I^{(d)} una forma lineal tal que i_{d}(η_{i}) = f_{i} para i = 1, …, s. Tomamos también un elemento homogéneo q ∈ S^{(d)}/I^{(d)} tal que i_{d}(q) = p^{d}.

La aplicación v_{d} : V (I) → V (I^{(d)}) es una aplicación dominante y regular de variedades proyectivas, y por lo tanto es suryectiva. Luego los ceros de las formas lineales η_{i} están contenidos en la imagen de los ceros de los polinomios f_{i}. Los ceros comunes de f_{1}, …, f_{s} están en la hipersuperficie {p^{d} = 0} de V (I) y se tiene además que v_{d}({p^{d} = 0}) = {q = 0}. Entonces la subvariedad de V (I^{(d)}) definida por η_{1}, …, η_{s} está contenida en la hipersuperficie {q = 0}.

Por el lema 2.1.7 el ideal I^{(d)} es Cohen–Macaulay, y además q no es un divisor de cero módulo I^{(d)} . Estamos entonces en las hipótesis del lema principal 2.1.1. Luego se tiene

q^{r^{2} deg I^{(d)}} ∈ (η_{1}, …, η_{s}).

Aplicamos el morfismo i_{d} a la expresión anterior y obtenemos

p^{d r^{2} (d^{r−1} deg I)} ∈ (f_{1}, …, f_{s}),

por la igualdad deg I^{(d)} = d^{r−1} deg I. □

Corolario 2.1.9 Sea I ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] un ideal tal que su homogeneización I^{h} en el anillo k[x_{0}, …, x_{n}] es Cohen–Macaulay. Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios sin ceros comunes en la variedad afín V (I) ⊆ IA^{n}. Entonces existen g_{1}, …, g_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] tales que

\overline{1} = \overline{g}_{1} \overline{f}_{1} + ⋯ + \overline{g}_{s} \overline{f}_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}]/I

con deg g_{i}f_{i} ≤ (r + 1)^{2} d^{r+1} deg I^{h} para i = 1, …, s.

Demostración. El ideal I^{h} es un ideal homogéneo y x_{0} es un no–divisor de cero módulo I^{h}. Por hipótesis I^{h} es un ideal Cohen–Macaulay de dimensión r + 1 .

Sea f_{i}^{h} la homogeneización de f_{i}. Los polinomios homogéneos f_{1}^{h}, …, f_{s}^{h} no tienen ningún cero en común en V (I^{h}) fuera del hiperplano {x_{0} = 0}. Por el teorema 2.1.8 existen polinomios homogéneos v_{1}, …, v_{s} ∈ S tales que

x_{0}^{(r+1)^{2} d^{r+1}} = v_{1}f_{1}^{h} + … + v_{s}f_{s}^{h} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}]/I^{h}

con deg v_{i}f_{i}^{h} = (r + 1)^{2} d^{r+1} . El corolario se sigue entonces evaluando x_{0} := 1 . □

Con la notación del corolario 2.1.9, en el caso en que I = 0 — esto es, en la situación del teorema de ceros efectivo clásico — obtenemos la cota de grado

deg g_{i}f_{i} ≤ (r + 1)^{2} d^{r+1}.

2.1.2 Cotas Mejoradas para los Grados

En esta subsección consideramos las cotas de grado en el contexto del teorema de ceros efectivo cásico. Vamos a aplicar el método utilizado en la subsección 2.1.1 en un modo directo — sin referencia a la aplicación de Veronese. La demostración sigue las mismas líneas, y por lo tanto vamos a omitir algunas verificaciones con el fin de evitar repeticiones innecesarias.

Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] polinomios homogéneos sin ceros comunes en el hiperplano {x_{0} = 0} ⊆ IP^{n}. En esta situación vamos a dar una cota para el mínimo D ∈ IN tal que x_{0}^{D} ∈ (f_{1}, …, f_{s}) .

Consideramos en primer lugar las cotas para el teorema de ceros en su forma clásica y obtenemos el siguiente resultado.

Teorema 2.1.10 Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] polinomios homogéneos tales que x_{0} está en el radical del ideal (f_{1}, …, f_{s}) . Sea d_{i} := deg f_{i} y supongamos que vale d_{1} ≥ ⋯ ≥ d_{s}. Entonces

x_{0}^{D} ∈ (f_{1}, …, f_{s})

con D := 2 d_{s} ∏_{i=1}^{min{n,s}−1} d_{i}.

Este resultado se sigue de una serie de resultados auxiliares.

Vamos a suponer sin pérdida de generalidad que s ≤ n+1 y que \overline{f}_{1}, …, \overline{f}_{s} es una sucesión regular débil en k[x_{0}, …, x_{n}]_{x_{0}} . Sea d_{i} := deg f_{i} y supongamos que se tiene d_{2} ≥ ⋯ ≥ d_{s} y d_{s} ≥ d_{1} . Como antes, estos polinomios pueden obtenerse como combinaciones lineales de los polinomios originales, eventualmente multiplicados por potencias de x_{0} .

Denotemos como antes por J_{i} la contracción al anillo de polinomios S del ideal (\overline{f}_{1}, …, \overline{f}_{i}) ⊆ S_{x_{0}} , con la convención J_{0} := (0) .

Lema 2.1.11 Con la notación del párrafo anterior existen h_{1}, …, h_{s} ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] polinomios homogéneos que satisfacen las siguientes condiciones:

i) h_{i} ≡ x_{0}^{c_{i}} · f_{i} (mod J_{i−1}) para algún c_{i} ∈ IN ,

ii) h_{1}, …, h_{s} es una sucesión regular,

iii) deg h_{i} ≤ max {deg J_{i−1}, deg f_{i}},

para i = 1, …, s.

□

Introducimos la siguiente notación. Sea δ_{i} := deg J_{i} de forma tal que se tiene

δ_{i} ≤ ∏_{j=1}^{i} d_{j}

por la desigualdad de Bézout. Sean entonces por γ_{i} := d_{i} δ_{i−1}−δ_{i} para i = 1, …, min{n, s} y γ_{n+1} := δ_{n} + d_{n+1} − 1 . Sean también δ := max{δ_{i} : i = 1, …, s − 1} y d := max{d_{i} : i = 1, …, s − 1}. Para un ideal I de S denotamos por I^{u} su parte equidimensional.

Lema 2.1.12 Sea q ∈ J_{i} para algún 1 ≤ i ≤ s. Entonces x_{0}^{γ_{i}} · q ∈ (J_{i−1}, η_{i})^{u}.

Demostración. El caso i ≤ n se trata exactamente como en el lema 2.1.4. Consideramos el caso i = n + 1 .

El ideal J_{n} tiene dimensión 1 y grado δ_{n}. Luego (J_{n}, f_{n+1})_{m} = S_{m} para m ≥ δ_{n}+d_{n+1}−1 ya que f_{n+1} no es un divisor de cero módulo J_{n}, por el lema 3.1.1. Se sigue x_{0}^{γ_{n+1}} ∈ (J_{n}, f_{n+1}) y en particular x_{0}^{γ_{n+1}} · q ∈ (J_{n}, f_{n+1})^{u}. □

Ahora sean h_{1}, …, h_{s} los polinomios homogéneos introducidos en el lema 2.1.11. Sean

\begin{aligned}μ_{i} & := & ∑_{j=2}^{i}((i − j + 1) γ_{j} + (i − j) c_{j}), para i = 1, …, min\{n, s\} \\ μ_{n+1} & := & μ_{n} + γ_{n+1}, \end{aligned}

donde c_{i} denota el entero deg h_{i} − deg f_{i}. Denotamos por L_{i} al ideal homogéneo de S generado por f_{1}, …, f_{i}.

Lema 2.1.13 Sea q ∈ J_{i} para algún 1 ≤ i ≤ s. Entonces x_{0}^{μ_{i}} · q ∈ L_{i}.

Demostración. El caso i ≤ n se trata exactamente como en el lema 2.1.6. Consideramos el caso i = n + 1 .

Por el lema anterior x_{0}^{γ_{n+1}} ·q ∈ (J_{n}, f_{n+1})^{u} = (J_{n}, f_{n+1}) y por lo tanto x_{0}^{γ_{n+1}} ·q −u·f_{n+1} ∈ J_{n} para algún polinomio u ∈ S. Aplicamos entonces la hipótesis inductiva y obtenemos x_{0}^{μ_{n}} · (x_{0}^{γ_{n+1}} · q − u · f_{n+1}) ∈ L_{n} de donde se sigue que x_{0}^{μ_{n+1}} · q ∈ L_{n+1} . □

Luego queda solamente acotar a μ_{s}. Vamos a tratar dos tipos diferentes de cotas. Una depende como siempre del número de variables y de los grados de los polinomios de entrada, y la otra depende además de los grados de ciertos ideales asociados a estos polinomios.

Lema 2.1.14 Se tiene μ_{s} ≤ min{n, s}^{2} d δ. En el caso en que deg f_{i} ≥ 2 para todo i, se tiene μ_{s} ≤ 2 ∏_{j=1}^{min{n,s}} d_{j}.

Demostración. Descomponemos al entero μ_{s} en dos términos y los estimamos separadamente. En primer lugar consideramos el término ∑_{j=2}^{s} (s − j) c_{j}. Se tiene c_{i} ≤ max{δ_{i−1} − d_{i}, 0}. En particular c_{2} = 0 ya que δ_{1} = d_{1} y d_{1} ≤ d_{2} . Luego

∑_{j=2}^{s} (s − j) c_{j} ≤ ∑_{j=3}^{s−1} (s − j) (d_{1} ⋯ d_{j−1} − d_{j})
≤ (∑_{j=3}^{s−1}(s − j)/d_{j} ⋯ d_{s−2}) d_{1} ⋯ d_{s−2} − ∑_{j=2}^{s−1} (s − j) d_{j}
≤ 4 d_{1} ⋯ d_{s−2} − d_{s−1},

bajo la hipótesis d_{i} ≥ 2 para todo i. Se tiene también ∑_{j=2}^{s−1} (s − j) c_{j} ≤ ∑_{j=2}^{s−1} (s − j) δ = \frac{1}{2} (s − 2)(s − 1) δ.

Ahora estimamos el otro término. Consideramos primeramente el caso s ≤ n. Se tiene

∑_{j=2}^{s} (s − j + 1) γ_{j} = ∑_{j=2}^{s} (s − j + 1) (d_{j} δ_{j−1} − δ_{j})
= (s − 1) d_{2} δ_{1} + ∑_{j=3}^{s} ((s − j + 1) d_{j} − (s − j)) δ_{j−1} − δ_{n}
≤ d_{1} ⋯ d_{s} − δ_{s},

de donde obtenemos la cota μ_{s} = ∑_{j=2}^{s} (s − j + 1) γ_{j} + ∑_{j=2}^{s−1} (s − j) c_{j} ≤ (d_{1} ⋯ d_{s} − δ_{s}) + (4 d_{1} ⋯ d_{s−2} − d_{s−1}) ≤ 2 d_{1} ⋯ d_{s}.

En el caso s = n + 1 se tiene μ_{n+1} = μ_{n} + γ_{n+1} de donde se sigue μ_{n+1} ≤ (2 d_{1} ⋯ d_{n} − δ_{n} − d_{n−1}) + (δ_{n} + d_{n+1} − 1) ≤ 2 d_{1} ⋯ d_{n}.

Por otra parte se tiene también la estimación ∑_{j=2}^{s} (s−j +1) γ_{j} ≤ \frac{1}{2} (s−1) s d δ de donde concluimos μ_{s} ≤ \frac{1}{2} (s − 1) s d δ + \frac{1}{2} (s − 2) (s − 1) δ ≤ (s − 1)^{2} d δ . □

Demostración del Teorema 2.1.10. Por los lemas 2.1.13 y 2.1.14 sólo queda por considerar el caso en que alguno de los f_{i} tiene grado 1.

Por hipótesis f_{1}, …, f_{s} están ordenados de forma tal que vale d_{1} ≥ ⋯ ≥ d_{s}. Sea r máximo tal que d_{r} ≥ 2 , de forma tal que f_{r+1}, …, f_{s} son polinomios de grado 1. Podemos asumir sin pérdida de generalidad que estos polinomios son k –linealmente independientes.

Suponemos además que ni 1 ni x_{0} están en el k –espacio lineal generado por f_{r+1}, …, f_{s}, ya que en ambos casos el enunciado es trivial.

Sean y_{0}, …, y_{n+r−s−1} ∈ S polinomios de grado 1 que completan a f_{r+1}, …, f_{s} a un cambio lineal de variables. Suponemos además y_{0} = x_{0} . La inclusion natural k[y_{0}, …, y_{n+r−s−1}] ↪ k[x_{0}, …, x_{n}]/(f_{r+1}, …, f_{s}) es un isomorfismo. Sea v_{i} un polinomio homogéneo en k[y_{0}, …, y_{n+r−s−1}] tal que v_{i} ≡ f_{i} (mod (f_{r+1}, …, f_{s})) para i = 1, …, r. Entonces x_{0} está en el radical del ideal (v_{1}, …, v_{r}) de k[y_{0}, …, y_{n+r−s−1}] y se satisface deg v_{i} ≤ d_{i}.

Sea E := 2 ∏_{i=1}^{r} deg v_{i} de tal forma que se tiene E ≤ D := 2 d_{s} ∏_{i=1}^{min{n,s}−1} d_{i}. Entonces x_{0}^{D} ∈ (v_{1}, …, v_{r}) de donde se sigue x_{0}^{D} ∈ (f_{1}, …, f_{s}) como enunciamos. □

La cota para el teorema de ceros enunciada en la página 9 de la introducción se sigue de este resultado homogeneizando el sistema de entrada y considerando el grado de los polinomios en una representación de x_{0}^{D}.

Ahora vamos a obtener la cota para los polinomios en el teorema de ceros en términos del grado algebraico del sistema de polinomios. En lo que sigue introducimos esta noción.

Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios sin ceros comunes en IA^{n}. Sea λ = (λ_{ij})_{ij} ∈ \overline{k}^{s×s} una s × s –matriz arbitraria con entradas en \overline{k}. Denotamos por h_{i}(λ) las combinaciones lineales ∑_{j} λ_{ij} f_{j} inducidas por la matriz λ para i = 1, …, s.

Consideramos el conjunto Γ de s × s –matrices tales que para toda λ ∈ Γ los polinomios h_{1}(λ), …, h_{t−1}(λ) forman una sucesión regular en \overline{k}[x_{1}, …, x_{n}] y 1 ∈ (h_{1}(λ), …, h_{t}(λ)) para algún t = t(λ) ≤ min{n, s}. Este conjunto es no vacío, y de hecho contiene un abierto no vacío de \overline{k}^{s×s}.

Para cada λ ∈ Γ e i = 1, …, t−1 denotamos por J_{i}(λ) la homogeneización en k[x_{0}, …, x_{n}] del ideal (h_{1}(λ), …, h_{i}(λ)) . Entonces sea δ(λ) el máximo grado de los ideales homogéneos J_{i}(λ) para i = 1, …, t − 1 .

El grado algebraico del sistema polinomial f_{1}, …, f_{s} se define como

δ(f_{1}, …, f_{s}) := min{δ(λ) : λ ∈ Γ}

La noción de grado geométrico de Krick, Sabia y Solernó [84] y del autor [122] se define en forma análoga como el mínimo valor que toma δ(λ) para λ ∈ Γ , con la hipótesis adicional de que los ideales J_{i}(λ) sean radicales para i = 1, …, t − 1 . Otra diferencia es que en el caso en que char (k) > 0 los polinomios h_{j}(λ) se toman como combinaciones lineales de los polinomios {x_{j} · f_{i}}_{ij}.

La noción de grado geométrico de Giusti et al. [57] es similar a la noción descripta en el párrafo anterior. La única diferencia consiste en que este parámetro no se define como un mínimo, sino como el valor de δ(λ) para una elección genérica de λ.

Luego el grado algebraico está acotado por el grado geométrico, en cualquiera de las dos versiones de este último que se considere. El siguiente ejemplo muestra que en ciertos casos particulares puede ser mucho menor. Es una variante de [84, Ejemplo 2].

Ejemplo 2.1.1 Consideremos el sistema polinomial

f_{1} := 1 − x_{1}x_{2}^{d}, f_{2} := x_{2} − x_{3}^{d}, …, f_{n−1} := x_{n−1} − x_{n}^{d}, f_{n} := x_{n}^{2}

para algún d ≥ 2 . Es fácil verificar que estos polinomios no tienen ceros comunes en IA^{n}. Vamos a calcular el grado geométrico δ_{g} — en el sentido de [84], [122] — y el grado algebraico δ_{a} para este ejemplo particular. Obtenemos δ_{g} = d^{n−1} y δ_{a} = 2 , y de esta forma mostramos que el grado algebraico puede ser mucho menor que el grado geométrico en algunos casos particulares.

En primer lugar consideramos el grado geométrico. Los polinomios f_{1}, …, f_{n} forman una sucesión regular, 1 ∈ (f_{1}, …, f_{n}) y el ideal (f_{1}, …, f_{i}) es radical para i = 1, …, n − 1 . Se tiene deg V (f_{1}, …, f_{i}) = d^{i} para i = 1, …, n − 1 y por lo tanto δ_{g} ≤ d^{n−1} .

Sean h_{i} := ∑_{j} λ_{ij} f_{j} combinaciones \overline{k} –lineales de f_{1}, …, f_{n} para i = 1, …, l. Supongamos que 1 ∈ (h_{1}, …, h_{n}) y que (h_{1}, …, h_{i}) es un ideal radical de dimensión n − i para i = 1, …, l − 1 . Vamos a probar l = n y deg V (h_{1}, …, h_{n−1}) ≥ d^{n−1} .

Podemos asumir sin pérdida de generalidad que las combinaciones lineales h_{i} están es forma escalonada — en el sentido de álgebra lineal — es decir

h_{i} = f_{n(i)} + ∑_{j>n(i)} a_{ij}f_{j}

con n(1) < ⋯ < n(l) . En nuestro caso particular, esta representación nos permite eliminar las variables x_{n(1)}, …, x_{n(l)} del sistema de ecuaciones h_{1}, …, h_{l}, ya que cada variable x_{i} no interviene en f_{j} para j > i. Luego la variedad V (h_{1}, …, h_{l}) se puede parametrizar expresando a estas variables como funciones racionales de las otras para l ≤ n − 1 . Se sigue que V (h_{1}, …, h_{l}) tiene dimensión n − l, y por lo tanto l = n y (h_{1}, …, h_{n−1}) es un ideal radical de dimensión 1.

Luego supongamos n(j) ≠ j para algún j ≤ n − 1 . Luego h_{n} = x_{n}^{2} , y es fácil verificar que existen polinomios g_{1}, …, g_{n−2} ∈ k[x_{1}, …, x_{n−1}] tales que (h_{1}, … h_{n−1}) = (g_{1}, …, g_{n−2}, x_{n}^{2}) . Luego (h_{1}, … h_{n−1}) no es radical, lo cual contradice nuestra hipótesis.

Se tiene entonces h_{i} = f_{i} +∑_{j>i} a_{ij} f_{j} y por lo tanto la curva V (h_{1}, …, h_{n−1}) , se puede parametrizar como t ↦ φ(t) = (φ_{1}(t), …, φ_{n}(t)) , de donde φ_{i} ∈ \overline{k}(t) es una función racional de grado d^{n−i−1} . Luego deg V (h_{1}, …, h_{n−1}) = d^{n−1} , de donde se sigue la cota inferior δ_{g} ≥ d^{n−1} . Combinando esto con la estimación anterior concluimos δ_{g} = d^{n−1} .

Luego consideramos el grado algebraico. Los polinomios f_{n}, …, f_{1} forman una sucesión regular débil y 1 ∈ (f_{n}, …, f_{1}) . Se tiene (f_{n}, …, f_{n−i+1}) = (x_{n}^{2}, x_{n−1}, …, x_{n−i+1}) de donde se sigue δ_{a} ≤ 2 . Además toda combinación lineal h de f_{1}, …, f_{n} tiene grado a lo sumo 2, y por lo tanto δ_{a} ≥ deg h ≥ 2 . Concluimos entonces δ_{a} = 2 .

Obtenemos la siguiente cota de grado por aplicación directa de los lemas 2.1.13 y 2.1.14.

Teorema 2.1.15 Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] polinomios homogéneos de grado acotado por d tales que x_{0} está en el radical del ideal (f_{1}, …, f_{s}) . Sea f_{i}^{a} la afinización de f_{i}. Sea δ el grado algebraico del sistema de ecuaciones f_{1}^{a}, …, f_{s}^{a}. Entonces

x_{0}^{D} ∈ (f_{1}, …, f_{s})

con D := min{n, s}^{2} d δ.

□

La cota enunciada en la página 9 de la introducción se sigue directamente de este resultado.

Aplicando esta cota de grado al ejemplo anterior deducimos que existen g_{1}, …, g_{n} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] que satisfacen

1 = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{n}f_{n},

con deg g_{i}f_{i} ≤ 2 n^{2} d para i = 1, …, s. De hecho se tiene la identidad

1 = f_{1} + x_{1} x_{2}^{d−1} f_{2} + x_{1} x_{2}^{d−1} x_{3}^{d−1} f_{3} + ⋯ + x_{1} x_{2}^{d−1} ⋯ x_{n−1}^{d−1} x_{n}^{d−2} f_{n}.

2.2 Cotas de Esparsitud

En esta sección consideramos el aspecto ralo — o esparso — en el teorema de ceros. Como anticipamos en la introducción, vamos a considerar como medida de la esparsitud de un polinomio o de una familia de polinomios, a su polítopo de Newton. Como consecuencia de estos resultados obtenemos además distintas cotas de grado para los polinomios en el teorema de ceros.

En primer lugar vamos a introducir notación y a enunciar algunos hechos básicos de geometría poliedral y de variedades tóricas que vamos a utilizar a lo largo de esta sección. Referimos a los libros Fulton [52] y Sturmfels [126] para la demostración de estos enunciados y para un tratamiento más amplio de estos temas.

Sea A ⊆ ZZ^{n} un conjunto finito de vectores enteros. La cápsula convexa de A como un subconjunto de IR^{n} se denota por conv(A) . El cono sobre conv(A) se denota por pos(A) , esto es, pos(A) := IR_{≥0} · conv(A) .

El conjunto A es graduado si existe un vector entero ω ∈ ZZ^{n} tal que < a, ω >= 1 para todo a ∈ A, esto es, cuando A está en un hiperplano afín que no contiene al origen.

Sea ZZ · A el ZZ –módulo generado por A. Sea IR · A el espacio lineal generado por A, de forma tal que ZZ · A es un retículo de IR · A. Sea ρ la dimensión de este espacio lineal. Consideramos entonces la forma euclidiana de volumen en IR · A, normalizada de forma tal que cada simplex primitivo del retículo ZZ · A tiene volumen unitario. El volumen normalizado Vol(A) del conjunto A se define como el volumen de su cápsula convexa con respecto a esta forma de volumen.

Obtenemos directamente de la definición la cota

Vol(A) ≤ ρ! vol(conv(A)),

donde vol(conv(A)) denota el volumen de conv(A) con respecto a la forma de volumen usual (no–normalizada) de IR^{n}.

Sea IN · A el semigrupo generado por A. Este semigrupo está siempre contenido en el semigrupo pos(A) ∩ ZZ · A. El conjunto A se dice normal o saturado si se verifica la igualdad IN · A = pos(A) ∩ ZZ · A .

Un polítopo P se dice entero si es la cápsula convexa de un conjunto finito de vectores enteros.

Sea S un simplex entero. Entonces S se dice unimodular si su interior no contiene ningún vector entero. Sea {s_{1}, …, s_{k}} el conjunto de vértices de S. Entonces S es unimodular si y sólo si el conjunto de vectores enteros {s_{2} − s_{1}, …, s_{k} − s_{1}} es normal.

Sea P un polítopo entero. Una subdivisión de P se dice unimodular si está formada por símplices enteros y unimodulares.

Dado un polítopo entero P in IR^{n}, denotamos por A(P) al conjunto {1}×(P ∩ZZ^{n}) , que es un conjunto graduado de vectores enteros en ZZ^{n+1} . Notamos que el conjunto A(P) es normal en el caso en que P admite una subdivisión unimodular.

Con respecto a la geometría tórica seguimos el punto de vista de Sturmfels [126]. Este punto de vista difiere del usual en geometría algebraica. Es más combinatorio y se adecúa mejor a nuestros propósitos.

Sea A = {a_{1}, …, a_{N}} ∈ ZZ^{n} un conjunto finito de vectores enteros. Asociamos al conjunto A el morfismo

φ_{A} : k[y_{1}, …, y_{N}] → k[x_{1}, …, x_{n}, x_{1}^{−1}, …, x_{n}^{−1}], y_{i} → x^{a_{i}}.

El núcleo de esta aplicación es un ideal primo I_{A} de k[y_{1}, …, y_{N}] , llamado el ideal tórico asociado al conjunto A. Este ideal define una variedad tórica afín X_{A} como el lugar de sus ceros en IA^{N} . Esta variedad es irreducible y su dimensión es igual al rango del ZZ –módulo ZZ · A.

La k –álgebra k[x_{1}, …, x_{n}, x_{1}^{−1}, …, x_{n}^{−1}] es el anillo de coordenadas del toro (\overline{k}^{∗})^{n}. La aplicación φ_{A} induce una aplicación dominante (\overline{k}^{∗})^{n} → X_{A}. La imagen de esta aplicación es el toro T_{A} de la variedad tórica afín X_{A}. Este toro es igual al abierto {y_{1} ⋯ y_{N} ≠ 0} ⊆ X_{A}.

El ideal I_{A} es homogéneo si y sólo si el conjunto A es graduado. En este caso el conjunto A define una variedad tórica proyectiva Y_{A} como el lugar de los ceros del ideal I_{A} en el espacio proyectivo IP^{N−1} . Se tiene

dim Y_{A} = rankZZ · A − 1, deg Y_{A} = Vol(A).

Sea A = {a_{1}, …, a_{N}} ⊆ ZZ^{n} un conjunto graduado. La intersección de la variedad proyectiva Y_{A} con la carta afín {y_{i} ≠ 0} ≅ IA^{N−1} es igual a la variedad tórica asociada al conjunto

A − a_{i} := {a_{1} − a_{i}, …, a_{i−1} − a_{i}, a_{i+1} − a_{i}, …, a_{N} − a_{i}}.

De hecho Y_{A} está cubierta de forma irredundante por las variedades afines X_{A−a_{i}}, donde a_{i} recorre los vértices del polítopo conv(A) .

La k –álgebra k[y_{1}, …, y_{N}]/I_{A} es canónicamente isomorfa al álgebra de semigrupo k[INA] . Esta álgebra es normal si y sólo si el conjunto A es normal. La k –álgebra k[IN · A] es un dominio Cohen–Macaulay en el caso en que el conjunto A es normal (Teorema de Hochster).

Sea P ⊆ IR^{n} un polítopo entero. Este polítopo determina un abanico Δ_{P} y una variedad tórica completa X_{P} = X(Δ_{P}) . Esta variedad viene provista de un divisor de Cartier amplio D_{P} . Este divisor de Cartier define una aplicación φ_{P} : X_{P} → IP^{N−1} , donde N denota la cardinalidad del conjunto P ∩ ZZ^{n}. La imagen de esta aplicación es la variedad proyectiva Y_{A(P)} , donde el conjunto A(P) se define como antes como {1} × (P ∩ ZZ^{n}) [52, Sección 3.4]. El divisor (n − 1)D_{P} es muy amplio [44], y por lo tanto el conjunto graduado A((n − 1) P) es normal.

Teorema 2.2.1 Sean p, f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios tales que p está en el radical del ideal (f_{1}, …, f_{s}) . Sea P ⊆ IR^{n} un polítopo entero que contiene al polítopo de Newton de los polinomios 1, x_{1}, …, x_{n}, f_{1}, …, f_{s}. Supongamos además que el conjunto A(P) ⊆ ZZ^{n+1} es normal. Entonces existen D ∈ IN y g_{1}, …, g_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] tales que

p^{D} = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{s}f_{s}

con D ≤ n! min{n + 1, s}^{2} vol(P) y N (g_{i}f_{i}) ⊆ (1 + deg p) n! min{n + 1, s}^{2} vol(P) · P para i = 1, …, s.

Demostración. Sea B = {b_{0}, …, b_{N}} := P∩ZZ^{n}, de forma tal que se tiene A(P) = {1}×B. Asumimos b_{0} = (0, …, 0) . Consideramos el morfismo de k –álgebras

ψ : k[y_{1}, …, y_{N}] → k[x_{1}, …, x_{n}], y_{i} ↦ x^{b_{i}}.

El núcleo de este morfismo es el ideal de definición I_{B−b_{0}} de la variedad tórica afín X_{B−b_{0}} . Esta variedad es la intersección de la variedad tórica proyectiva Y_{A(P)} con la carta afín {y_{0} ≠ 0} of IP^{N} . Además la aplicación ψ induce un isomorfismo IA^{n} → X_{B−b_{0}} .

Sea ζ_{i} ∈ k[y_{1}, …, y_{N}] un polinomio de grado 1 tal que ψ(ζ_{i}) = f_{i} para i = 1, …, s. Tomamos también un polinomio q ∈ k[y_{1}, …, y_{N}] de grado menor o igual que el grado de p tal que ψ(q) = p. Luego ζ_{1}, …, ζ_{s} no tienen ceros comunes en X_{B−b_{0}} afuera de la hipersuperficie {q = 0}.

Sean η_{1}, …, η_{s}, u las homogeneizaciones de ζ_{1}, …, ζ_{s}, q en k[y_{0}, …, y_{N}] , respectivamente. Entonces las formas lineales η_{1}, …, η_{s} no tienen ceros comunes en Y_{A(P)} afuera de la hipersuperficie {y_{0} · u = 0}.

Por hipótesis A(P) es normal, y por lo tanto I_{A(P)} es un ideal primo homogéneo Cohen– Macaulay de k[y_{0}, …, y_{N}] de dimensión menor o igual a n + 1 . Además y_{0} · u es un no–divisor de cero módulo I_{A(P)} , y por lo tanto estamos en las hipótesis del lema principal 2.1.1. Sea D := min{n+1, s}^{2} deg Y_{A(P)} . Luego existen α_{1}, …, α_{s} ∈ k[y_{0}, …, y_{N}]/I_{A(P)} elementos homogéneos de grado (1 + deg u) D − 1 que satisfacen

(y_{0} · u)^{D} = α_{1}η_{1} + ⋯ + α_{s}η_{s}.

Evaluamos y_{0} := 1 y aplicamos el morfismo ψ a la identidad anterior. Obtenemos

p^{D} = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{s}f_{s},

con g_{i}(x) := α_{i}(1, x^{b_{1}}, …, x^{b_{N}}) . Se tiene deg u ≤ deg p y deg Y_{A(P)} ≤ n! vol(P) . Concluimos entonces

D ≤ n! min{n + 1, s} vol(P),
N (f_{i} g_{i}) ⊆ ((1 + deg p) n! min{n + 1, s}^{2} vol(P)) · P

para i = 1, …, s. □

Derivamos del resultado anterior la siguiente cota de grado.

Corolario 2.2.2 Mantenemos la notación del teorema 2.2.1. Sea d := max_{i} deg f_{i}. Entonces existen D ∈ IN y g_{1}, …, g_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] tales que

p^{D} = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{s}f_{s}

con D ≤ n! min{n + 1, s}^{2} vol(P) y deg g_{i}f_{i} ≤ d (1 + deg p) n! min{n + 1, s, }^{2} vol(P) para i = 1, …, s.

□

Vamos a exhibir un ejemplo que muestra que esta cota de grado puede ser mucho más precisa que la usual en el caso de un sistema de ecuaciones ralo.

Ejemplo 2.2.1 Sean

f_{i} := a_{i0} + a_{i1}x_{1} + ⋯ + a_{in}x_{n} + b_{i1}x_{1} ⋯ x_{n} + ⋯ + b_{id}(x_{1} ⋯ x_{n})^{d},

para i = 1, …, s, polinomios sin ceros comunes en IA^{n}. Sea

P_{d} := conv(0, e_{1}, …, e_{n}, d (e_{1} + ⋯ + e_{n})) ⊆ IR^{n}

de forma tal que P_{d} contiene al polítopo de Newton de los polinomios 1, x_{1}, …, x_{n}, f_{1}, …, f_{s}. Se tiene la descomposición

P_{d} = ∪_{ij} Q_{ij}

con Q_{ij} := ((j−1) (e_{1}+⋯+e_{n}), e_{1}, …, ê_{i}, …, e_{n}, j (e_{1}+⋯+e_{n})) para i = 1, …, n y j = 1, …, d. Luego P_{d} es unimodular y por lo tanto el conjunto A(P) es normal. Estamos así en la hipótesis del corolario 2.2.2. Concluimos que existen g_{1}, …, g_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] tales que

1 = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{s}f_{s}

con N (g_{i}f_{i}) ⊆ n d min{n + 1, s}^{2} P_{d} , ya que el volumen de P_{d} es d/(n − 1)! . En particular obtenemos la cota de grado

deg g_{i}f_{i} ≤ (n + 1)^{4} d^{2}

que es mucho más precisa que la estimación deg g_{i}f_{i} ≤ n^{n} d^{n} que se obtiene por aplicación directa de las cotas usuales.

Mantenemos la notación del teorema 2.2.1. Sea N := N (1, x_{1}, …, x_{n}, f_{1}, …, f_{s}) y sea U el volumen no mezclado de este polítopo. Asumimos n ≥ 2 . En esta situación podemos tomar a P como (n − 1) N . Obtenemos entonces las cotas

D ≤ n^{n+2} U, N (g_{i}f_{i}) ⊆ ((1 + deg p) n^{n+3} U) N .

Es fácil verificar que estas cotas siguen siendo válidas en el caso n = 1 . El teorema 2 se sigue de esta observación en el caso particular p = 1 . En este caso la condición 0 ∈ P es redundante.

Notamos que la noción ingenua de esparsitud, basada en la cantidad de monomios no nulos en cada polinomio, no da mejores cotas que las conocidas para los grados en el teorema de ceros. Esto se sigue del ejemplo de Mora–Lazard–Masser–Philippon–Kollár.

Obtenemos un resultado similar en el caso de un sistema de polinomios de Laurent.

Teorema 2.2.3 Sean p, f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{1}^{−1}, …, x_{n}^{−1}, x_{1}, …, x_{n}] polinomios de Laurent tales que p está en el radical del ideal (f_{1}, …, f_{s}) . Sea P ⊆ IR^{n} un polítopo entero que contiene al polítopo de Newton de p, f_{1}, …, f_{s} y sea ρ := dim P. Asumimos además que el conjunto A(P) ⊆ ZZ^{n+1} es normal. Entonces existen D ∈ IN , a ∈ ZZ^{n} y g_{1}, …, g_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}, x_{1}^{−1}, …, x_{n}^{−1}] tales que

p^{D} = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{s}f_{s}

con D ≤ ρ! min{n + 1, s}^{2} vol(P) , a ∈ (ρ! min{n + 1, s} vol(P))^{2} · P y N (g_{i}f_{i}) ⊆ (ρ! min{n + 1, s} vol(P))^{2} · P − a para i = 1, …, s.

Demostración. Como antes denotamos por B = {b_{0}, …, b_{N}} al conjunto de vectores enteros P ∩ ZZ^{n}. Asumimos por el momento b_{0} = (0, …, 0) . Consideramos entonces el morfismo

ψ : k[y_{1}, …, y_{N}] → k[x_{1}, …, x_{n}, x_{1}^{−1}, …, x_{n}^{−1}], y_{i} ↦ x^{b_{i}}.

El núcleo de este morfismo es el ideal de definición I_{B−b_{0}} de la variedad tórica afín X_{B−b_{0}} . Sea T el toro de esta variedad tórica. Entonces X_{B−b_{0}} es igual a la intersección de la variedad proyectiva Y_{A(P)} con la carta afín {y_{0} ≠ 0} of IP^{N} , y T es también el toro de Y_{A(P)} . Recordamos que este toro coincide con el abierto {y_{0} ⋯ y_{N} = 0} de Y_{A(P)} .

La aplicación ψ induce una suryección (\overline{k}^{∗})^{n} → T . Sea ζ_{1}, …, ζ_{s}, q ∈ k[y_{1}, …, y_{N}] polinomios de grado 1 tales que ψ(ζ_{i}) = f_{i} y ψ(q) = p. Entonces ζ_{1}, …, ζ_{s} no tienen ceros comunes en T afuera del hiperplano {q = 0}.

Sean η_{1}, …, η_{s}, u las homogeneizaciones de ζ_{1}, …, ζ_{s}, q en k[y_{0}, …, y_{N}] , respectivamente. Entonces las formas lineales η_{1}, …, η_{s} no tienen ceros comunes en Y_{A(P)} afuera de la hipersuperficie {y_{0} ⋯ y_{N} u = 0}.

Sea V (η_{1}, …, η_{s}) la subvariedad de Y_{A(P)} definida por η_{1}, …, η_{s}. Por la desigualdad de Bézout, el número de componentes irreducibles de V (η_{1}, …, η_{s}) está acotado por Y_{A(P)} . Sea δ := deg Y_{A(P)} , de forma tal que vale δ ≤ ρ! vol(P) . En nuestra situación esto implica que V (η_{1}, …, η_{s}) está contenida en la unión de a lo sumo δ hiperplanos. Estos hiperplanos está definidos por variables y_{i_{1}}, …, y_{i_{l}}, y eventualmente también por la forma lineal u, dependiendo del hecho de que si η_{1}, …, η_{s} tengan un cero común en T en el hiperplano {u = 0} o no. Sea Π el producto de estas ecuaciones, que es por lo tanto un polinomio de grado menor o igual a δ.

Por hipótesis el conjunto A(P) es normal y por lo tanto I_{A(P)} es un ideal primo homogéneo y Cohen–Macaulay de k[y_{0}, …, y_{N}] . Además Π es un no–divisor de cero módulo I_{A(P)} , y por lo tanto estamos en las hipótesis del lema principal 2.1.1. Sea E := min{n + 1, s}^{2} deg Y_{A(P)} . Entonces existen α_{1}, …, α_{s} ∈ k[y_{0}, …, y_{N}]/I_{A(P)} polinomios homogéneos de grado E · deg Π − 1 tales que

Π^{E} = α_{1}η_{1} + ⋯ + α_{s}η_{s}

Evaluamos y_{0} := 1 y aplicamos el morfismo ψ a la identidad anterior. Obtenemos

p^{D} = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{s}f_{s},

con g_{i}(x) := (x^{b_{i_{1}}} ⋯ x^{b_{i_{l}}})^{−1} α_{i}(1, x^{b_{1}}, …, x^{b_{N}}) y D := E en el caso en que u aparece como un factor de Π y D := 1 en caso contrario. Luego se tiene

D ≤ ρ! min{n + 1, s}^{2} vol(P),
N (g_{i}f_{i}) ⊆ (ρ! vol(P) E − 1) P − (b_{i_{1}} + ⋯ + b_{i_{l}})

Se tiene deg Π ≤ deg Y_{A(P)} ≤ ρ! vol(P) y i_{1} + … + i_{k} ∈ deg Y_{A(P)} P.

Ahora consideramos el caso general. Sea b_{0} un vector entero en P, y sea Q := P − b_{0} . Por lo anterior existen D ∈ IN , a_{0} ∈ ZZ^{n} y g_{1}, …, g_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}, x_{1}^{−1}, …, x_{n}^{−1}] tales que

p^{D} = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{s}f_{s}

con D ≤ ρ! min{n + 1, s}^{2} vol(Q) , a_{0} ∈ ρ! vol(Q) Q y N (g_{i}f_{i}) ⊆ (ρ! min{n + 1, s} vol(Q))^{2} Q − a_{0} para i = 1, …, s.

Sea a := a_{0} + (ρ! min{n + 1, s} vol(P))^{2} · b_{0} . Concluimos

a ∈ (ρ! min{n + 1, s} vol(P))^{2} P,
N (g_{i}f_{i}) ⊆ (ρ! min{n + 1, s} vol(P))^{2} P − a,

para i = 1, …, s. □

Mantenemos la notación del teorema 2.2.3. Sea N el polítopo de Newton de p, f_{1}, …, f_{s} y sea U el volumen no mezclado de este polítopo. Asumimos además que n ≥ 2 . En esta situación podemos tomar a P como al polítopo (n − 1) N . Obtenemos las cotas

D ≤ n^{n+2} U, N (g_{i}f_{i}) ⊆ (n^{2n+3} U) · N − a.

para algún a ∈ (n^{2n+3} U) · N . Como antes, es fácil verificar que estas mismas cotas valen también en el caso n = 1 . El teorema 3 se sigue de esta observación en el caso particular p = 1 .

Para una función racional q = f/g ∈ k(x_{1}, …, x_{n}) definida como el cociente de dos polinomios sin factores comunes, se define el grado de q como

deg q := max{deg f, deg g}.

Derivamos del teorema 2.2.3 la siguiente cota de grado:

Corolario 2.2.4 Mantenemos la notación del teorema 2.2.3. Sea d := max_{i} deg f_{i}. Entonces existen D ∈ IN y g_{1}, …, g_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}, x_{1}^{−1}, …, x_{n}^{−1}] tales que

p^{D} = g_{1}f_{1} + ⋯ + g_{s}f_{s}

con D ≤ ρ! min{n + 1, s}^{2} vol(P) , a ∈ (ρ! min{n + 1, s} vol(P))^{2} · P y deg(g_{i}f_{i}) ≤ d ((1 + deg p)ρ! min{n + 1, s} vol(P))^{2} para i = 1, …, s.

□

2.3 Cotas de Altura

2.3.1 División módulo Variedades Intersección Completa

La fórmula de la traza de Tate ha sido utilizada recientemente en distintos trabajos sobre teoría de eliminación. Hay dos aplicaciones principales de la fórmula de la traza: cálculo de bases monomiales de grado bajo [3], [10], [34], [2] y división módulo variedades intersección completa [48], [83], [115], [62], por nombrar sólo algunas referencias. En esta subsección vamos a seguir este último punto de vista.

Sea k un F P –cuerpo y sea A := k[t_{1}, …, t_{m}] un anillo de polinomios sobre k. Sea A[x] := A[x_{1}, …, x_{n}] el anillo de polinomios n –variados con coeficientes en A y sea K su cuerpo de fracciones. Para f ∈ A[x] denotamos por deg^{(t)} f y deg^{(x)} f el grado de f en las variables t_{1}, …, t_{m} y x_{1}, …, x_{n} respectivamente.

Sea F := {F_{1}, …, F_{n}} ⊆ A[x_{1}, …, x_{n}] una intersección completa reducida de polinomios de grado acotado por d en las variables x_{1}, …, x_{n}, que genera un ideal radical (F) := (F_{1}, …, F_{n}) . Consideramos el A –álgebra

B := A[x]/(F) = A[x_{1}, …, x_{n}]/(F_{1}, …, F_{n}).

Asumimos que A ↪ B es una inclusión finita y separable, que corresponde a una normalización de Noether de la variedad V (F) ⊆ IA^{n}. Luego B es un A –módulo libre de rango acotado por el grado de la variedad V (F) .

Sean entonces f, g ∈ A[x_{1}, …, x_{n}] polinomio tales que \overline{f} es un no–divisor de cero en B y \overline{f} | \overline{g} en B. Esto es, existe algún polinomio q_{1} ∈ A[x_{1}, …, x_{n}] tal que \overline{g} = \overline{q}_{1} · \overline{f} . Este apartado está dedicado al problema de la división, que consiste en encontrar un polinomio q ∈ A[x_{1}, …, x_{n}] de bajo grado y altura tal que \overline{g} = \overline{q} · \overline{f} . Resolvemos este problema mediante el uso de la fórmula de la traza.

El siguiente es el resultado principal de esta subsección. Este resultado es un refinamiento del teorema de división de Krick–Pardo [83, Teorema 29].

Proposición 2.3.1 (Teorema de División) Sea A := k[t_{1}, …, t_{m}] y sea A[x] := A[x_{1}, …, x_{n}] el anillo de polinomios n –variados con coeficientes en A. Sea F := {F_{1}, …, F_{n}} ⊆ A[x] una intersección completa reducida que define una variedad V := V (F) ⊆ IA^{n} de grado δ. Sean d := deg F , h := m(F) . Sea B := A[x]/(F) , y a sumimos que A ↪ B es una inclusión finita y separable,

Sean f, g ∈ A[x] polinomios tales que \overline{f} ∈ B es un no–divisor de cero y \overline{f} | \overline{g} en B.

Entonces existe q ∈ A[x] tal que

\overline{g} = \overline{q} · \overline{f} ∈ B

que satisface

deg^{(x)} q ≤ n (d − 1),
deg^{(t)} q ≤ (2 n d + deg f) δ^{2} + deg^{(x)} g · δ + deg^{(t)} g,
m(q) ≤ c (d^{2} δ^{4} + (deg f)^{2} δ^{4} + (deg^{(x)} g)^{2} δ^{2})(h + h(V) + δ^{2}) + 5 δ(h + m(f)) + m(g),

donde c sólo depende de m, n.

Se puede tomar c := 10^{3} (m + n + 1)^{6} .

Este resultado es una consecuencia de la fórmula de traza de Tate. En lo que sigue vamos a describir los aspectos básicos de la teoría de dualidad en álgebras de Gorenstein necesarios para su demostración. La referencia standard es el libro de Kunz [87].

Consideramos a B^{∗} := Hom_{A}(B, A) como un B –módulo con la multiplicación definida por b · τ(x) := τ(b · x) para b ∈ B y τ ∈ B^{∗}. El módulo dual B^{∗} es un B –módulo libre de rango 1, debido a que B es una A –álgebra de Gorenstein. Un generador σ de B^{∗} como B –módulo se llama una traza de B.

Hay dos elementos relevantes en B^{∗}, que denotamos por Tr y σ. El primero, Tr , es la traza canónica de B, y se define de la siguiente manera. Dado b ∈ B, sea L_{b}(x) : B → B el morfismo A –lineal definido por L_{b}(x) := b · x para x ∈ B. Luego Tr(b) se define como la traza del endomorfismo L_{b} de B. Esta definición tiene sentido, ya que B es un A –módulo libre.

La traza canónica no es en general una traza de B, es decir, Tr no es un generador de B^{∗}. Ahora vamos a introducir a σ, que es una traza en este sentido.

Sean y_{1}, …, y_{n} nuevas variables y sea y := (y_{1}, …, y_{n}) . Sean F_{i}^{⟨x⟩} := F_{i}(x) y F_{i}^{⟨y⟩} := F_{i}(y) . El polinomio F_{i}^{⟨x⟩}−F_{i}^{⟨y⟩} pertenece al ideal (y_{1}−x_{1}, …, y_{n}−x_{n}) . Sean l_{ij} ∈ A[x, y] tales que

F_{i}^{⟨y⟩} − F_{i}^{⟨x⟩} = ∑_{j=1}^{n} l_{ij} (y_{j} − x_{j}).

Notamos que los polinomios l_{ij} no son únicos. Consideramos el determinante Δ de la matriz (l_{ij})_{ij}, que se puede escribir como

Δ = ∑_{m} a_{m}(x) · b_{m}(y)

con a_{m} ∈ A[x] y b_{m} ∈ A[y] . Nuevamente, los polinomios a_{m}, b_{m} no están unívocamente determinados. El polinomio Δ se llama un determinante pseudo–Jacobiano de la intersección completa F .

Sea c_{m} := b_{m}(x) . Luego existe una única traza σ ∈ B^{∗} tal que

\overline{1} = ∑_{m} σ(\overline{a}_{m}) · \overline{c}_{m}.

La propiedad principal de la traza σ es la identidad

\overline{g} = ∑_{m} σ(\overline{g} · \overline{a}_{m}) · \overline{c}_{m} ∈ B

para todo g ∈ A[x] . Esta identidad se conoce como la fórmula de la traza de Tate [87, Apéndice F].

Sea \overline{J} la clase en B del Jacobiano J(F) . Se tiene la identidad

\overline{J} = ∑_{m} \overline{a}_{m} · \overline{b}_{m}

que justifica el nombre de pseudo–Jacobiano para Δ .

Los elementos Tr y σ están relacionados por la identidad

\overline{J} · σ = Tr

es decir, Tr(b) = σ(\overline{J} · b) para todo b ∈ B.

Notamos que los polinomios l_{ij} se pueden elegir de grado acotado por d − 1 , y por lo tanto los polinomios a_{m}, c_{m} se pueden elegir de grado acotado por n (d − 1) . La fórmula de la traza se puede aplicar entonces al cálculo de sistemas de generadores de bajo grado de B como A –módulo. Obviamente, el conjunto de polinomios {c_{m}}_{m} — de grado a lo sumo n(d − 1) — genera a B como un A –módulo.

Demostración de la Proposición 2.3.1. Mantenemos la notación de la discusión anterior. Sea K el cuerpo de fracciones de A y sea L := K ⊗_{A} B. El hecho de que B es un A – módulo libre implica que el morfismo σ ∈ B^{∗} se extiende en forma única a un morfismo σ ∈ Hom_{K}(L, K) .

El polinomio f es un no–divisor de cero en B y por lo tanto es una unidad en L. Sea q_{1} ∈ A[x_{1}, …, x_{n}] tal que \overline{q}_{1} · \overline{f} = \overline{g} en B. Luego \overline{q}_{1} = \overline{f}^{−1} · \overline{g} en L y por lo tanto

σ(\overline{f}^{−1} · \overline{g} · \overline{p}) = σ(\overline{q}_{1} · \overline{p}) ∈ A

para p ∈ A[x_{1}, …, x_{n}] . Consideramos entonces el polinomio

q := ∑_{m} σ(\overline{f}^{−1} · \overline{g} · \overline{a}_{m}) c_{m} = ∑_{m} Tr(\overline{J}^{−1} · \overline{f}^{−1} · \overline{g} · a_{m}) c_{m} ∈ A[x_{1}, …, x_{n}].

Como consecuencia de la fórmula de la traza de Tate se tiene \overline{q} · \overline{f} = \overline{g} en B. Se tiene

deg^{(x)} q ≤ n(d − 1).

En lo que sigue vamos a estimar el grado con respecto a las variables t_{1}, …, t_{m} y la altura del polinomio q. Sea

l_{ij} := (F_{i}(y_{1}, …, y_{j}, x_{j+1}, …, x_{n}) − F_{i}(y_{1}, …, y_{j−1}, x_{j}, …, x_{n}))/(y_{j} − x_{j}) ∈ A[x, y]

de forma tal que se verifica F_{i}^{⟨y⟩} − F_{i}^{⟨x⟩} = ∑_{j} l_{ij} (y_{j} − x_{j}) . Se tiene deg l_{ij} ≤ d − 1 y \overline{m}(l_{ij}) ≤ h + 2 (m + n) d, y por lo tanto

\begin{aligned}deg a_{m}, deg c_{m} & ≤ & n (d − 1), \\ \overline{m}(a_{m}), \overline{m}(c_{m}) & ≤ & n h + 5 (m + n)^{2} d. \end{aligned}

Sea m_{f} = T^{μ} + α_{μ−1}T^{μ−1} + ⋯ + α_{0} ∈ A[T] el polinomio minimal de f sobre K, y sea

f^{∗} := f^{μ−1} + α_{μ−1}f^{μ−2} + ⋯ + α_{1} ∈ A[x].

Se tiene entonces \overline{f} · \overline{f}^{∗} = −α_{0} ∈ A − \{0\}. Se tiene deg m_{f} ≤ deg f · δ por el teorema 1.3.4 y por lo tanto

deg α_{0}, deg f^{∗} ≤ 2 deg f · δ.

Por otra parte se tiene m(m_{f}) ≤ c_{1}(deg f)^{2} · δ^{2}(h(V) + δ^{2}) + c_{2} δ · m(f) , por el corolario 1.3.12. Las constantes c_{1} , c_{2} sólo dependen de m, n, y se puede tomar c_{1} := 96 (m + n + 1)^{4} y c_{2} := 4 . Queda entonces

m(α_{0}), m(f^{∗}) ≤ (c_{1} + 1)(deg f)^{2} δ^{2}(h(V) + δ^{2}) + (c_{2} + 1) δ · m(f).

Se tiene además deg J ≤ n(d − 1) y m(J) ≤ n h + 7 n (2n + m) d. En forma análoga obtenemos polinomios J^{∗} ∈ A[x] y β_{0} ∈ A − \{0\} tales que \overline{J} · \overline{J}^{∗} = −β_{0} en B. Se tienen las estimaciones

\begin{aligned}deg β_{0}, deg J^{∗} & ≤ & 2 n d δ, \\ m(β_{0}), m(J^{∗}) & ≤ & (c_{1} + 1)(n d δ)^{2}(h(V) + δ^{2}) + (c_{2} + 1)(n h + 7 n (2n + m) d) δ. \end{aligned}

Sea Λ_{m} := Tr(\overline{J}^{∗} · \overline{f}^{∗} · \overline{g} · \overline{a}_{m}) . Luego

deg^{(t)} Λ_{m} ≤ (2n d δ + 2 deg f · δ + deg^{(x)} g) δ + deg^{(t)} g,
m(Λ_{m}) ≤ c (d^{2} δ^{4} + (deg f)^{2} δ^{4} + (deg^{(x)} g)^{2} δ^{2})(h + h(V) + δ^{2})
+5 δ (h + m(f)) + m(g).

por la proposición 1.3.13, con c := 5 · 10^{2} (m + n + 1)^{6} . Se tiene

α_{0} · β_{0} · q = ∑_{m} Λ_{m}

y por lo tanto

deg^{(t)} q ≤ (2 n d δ + 2 deg f · δ + deg^{(x)} g) δ + deg^{(t)} g,
m(q) ≤ c (d^{2} δ^{4} + (deg f)^{2} δ^{4} + (deg^{(x)} g)^{2} δ^{2})(h + h(V) + δ^{2})
+5 δ (h + m(f)) + m(g) + n d + n.
□

Consideramos también el problema de la interpolación: dado un polinomio g ∈ A[x] , encontrar g_{1} ∈ A[x] de grado acotado por n d con respecto a las variables x_{1}, …, x_{n} tal que \overline{g} = \overline{g}_{1} en B. Este es un caso particular del problema de la división. Mantenemos la notación de la proposición 2.3.1. La fórmula de la traza muestra que el polinomio

g_{1} := ∑_{m} σ(\overline{g} · \overline{a}_{m}) · c_{m} ∈ A[x_{1}, …, x_{n}]

verifica \overline{g} = \overline{g}_{1} en B. Se tiene

deg^{(x)} g_{1} ≤ n d,
deg^{(t)} g_{1} ≤ 2 n d δ^{2} + deg^{(x)} g · δ + deg^{(t)} g,
m(g_{1}) ≤ c (d^{2} δ^{4} + deg^{(x)} g)^{2} δ^{2})(h + h(V) + δ^{2}) + 5 δ h + m(g).

2.3.2 Un Teorema de Ceros Aritmético sobre Variedades Intersección Completa

Sea k un F P –cuerpo. Sea F := {F_{r+1}, …, F_{n}} ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] una intersección completa reducida de polinomios que definen una variedad V := V (F) ⊆ IA^{n}.

Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios sin ceros comunes en V . El teorema de ceros de Hilbert dice entonces que existen g_{1}, …, g_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] tales que

\overline{1} = \overline{g}_{1} \overline{f}_{1} + ⋯ + \overline{g}_{s} \overline{f}_{s} ∈ k[V].

Vamos a tratar el problema de acotar los grados y las alturas de g_{1}, …, g_{s}. Resolvemos este problema usando el teorema de división 2.3.1. En este punto seguimos las líneas de la demostración de Krick–Pardo [83].

Teorema 2.3.2 (Teorema de Ceros Aritmético) Sea k un F P –cuerpo y sea F := {F_{r+1}, …, F_{n}} ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] una intersección completa reducida que define una variedad V := V (F) ⊆ IA^{n} de grado δ.

Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] polinomios sin ceros comunes en V . Sean d := max_{i} deg f_{i} y h := max_{i} \overline{m}(f_{i}) , y sean D ≥ d, deg F y H ≥ h, \overline{m}(F) .

Entonces existen g_{1}, …, g_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] tales que

\overline{1} = \overline{g}_{1} \overline{f}_{1} + ⋯ + \overline{g}_{s} \overline{f}_{s} ∈ k[V]

con deg g_{i} ≤ 5 n^{2} D d^{2 r} δ^{2} y \overline{m}(g_{i}) ≤ c D^{2}(d^{r} δ)^{12}(H+h(V)+d^{r} δ) , donde c sólo depende de n.

Se puede tomar c := 10^{8} (n + 1)^{16} . Se tienen las estimaciones

deg V ≤ D^{n−r}, h(V) ≤ κ_{1}(n) D^{8 (n−r)} H + κ_{2}(n)D^{9 (n−r)},

aunque estos parámetros pueden ser mucho menores en algunos casos particulares.

Aplicamos el resultado anterior al caso k := Qy V := IA^{n}. Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ ZZ[x_{1}, …, x_{n}] polinomios enteros sin ceros comunes en IA^{n}. Sean d := max_{i} deg f_{i} y h := max_{i} h(f_{i}) . Obtenemos entonces que existen a ∈ ZZ − {0} y g_{1}, …, g_{s} ∈ ZZ[x_{1}, …, x_{n}] tales que

a = g_{1} f_{1} + ⋯ + g_{s} f_{s}

con deg g_{i} ≤ 5 n^{2} d^{2 r} y h(a), h(g_{i}) ≤ c(n) d^{12 r} (h + d^{r}) . De esta forma reobtenemos esencialmente los resultados de Berenstein-Yger [13] y Krick–Pardo [83].

Consideramos luego el caso k := k_{0}(t_{1}, …, t_{m}) y V := IA^{n}. Sea A := k_{0}[t_{1}, …, t_{m}] el anillo de polinomios m –variados sobre un cuerpo k_{0} . Sean f_{1}, …, f_{s} ∈ A[x_{1}, …, x_{n}] polinomios sin ceros comunes en IA^{n}. Sean d := max_{i} deg^{(t)} f_{i} y h := max_{i} deg^{(x)}(f_{i}) . Entonces existen a ∈ A − {0} y g_{1}, …, g_{s} ∈ A[x_{1}, …, x_{n}] tales que

a = g_{1} f_{1} + ⋯ + g_{s} f_{s}

con deg^{(x)} g_{i} ≤ 5 n^{2} d^{2 r} y deg^{(t)} a, deg^{(t)} g_{i} ≤ c(n) d^{12 r} (h + d^{r}) . De esta forma reobtenemos el teorema de ceros paramétrico de Smietanski [120].

El resto de esta subsección está dedicado a la demostración del teorema 2.3.2. Para poder aplicar el teorema de división necesitamos preparar previamente los polinomios f_{1}, …, f_{s} y poner a las variables x_{1}, …, x_{n} en posición general.

En primer lugar mostramos que los polinomios f_{1}, …, f_{s} pueden reemplazarse por una sucesión regular reducida.

Lema 2.3.3 Mantenemos la notación del teorema 2.3.2. Entonces existen polinomios h_{1}, …, h_{t} ∈ (f_{1}, …, f_{s}) para algún t ≤ min{r, s} que forman una sucesión regular reducida débil en k[V] tales que

deg h_{i} ≤ d + 1, \overline{m}(h_{i}) ≤ h + log δ + 4 n d.

Demostración. Construimos inductivamente a los polinomios h_{i} como combinaciones lineales de los polinomios f_{i}, eventualmente multiplicados por variables. Asumimos que h_{1}, …, h_{i} ya están construídos. Sean u_{i}, u_{kl} variables y sea

H_{i+1} := ∑_{i} u_{i} f_{i} + ∑_{k l} u_{kl} x_{k} · f_{l}.

Sea V_{i} := V ∩ V (h_{1}, …, h_{i}) ⊆ IA^{n} la variedad definida por h_{1}, …, h_{i} en V . Sean y_{1}, …, y_{n} variables tales que y_{1}, …, y_{r−i} están en posición de Noether con respecto a V_{i} para todo i.

Sean entonces A_{i} := k[u][y_{1}, …, y_{r−i}] , E_{i} el cuerpo de fracciones de A_{i} y F_{i} := E_{i} ⊗_{k} k[V_{i}] . Luego F_{i} es una E_{i} –álgebra finita de dimensión [F_{i} : E_{i}] ≤ d^{i} · δ. Sea L_{i+1} : F_{i} → F_{i} la aplicación g ↦ H_{i+1} · g, y sea

ϕ := det L_{i+1} ∈ k[u]

la norma de H_{i+1} sobre E_{i}. Luego ϕ ≠ 0 , ya que f_{1}, …, f_{s} definen la variedad vacía en V_{i}. Se tiene además deg ϕ ≤ (d + 1)^{i} deg V .

Por otra parte, sea J ∈ k[u][x_{1}, …, x_{n}] el Jacobiano de F_{1}, …, F_{n−r}, h_{1}, …, h_{i}, H_{i+1} con respecto a las variables y_{r−i}, …, y_{n}. Luego J es no–divisor de cero en k[V] . Esto es una consecuencia del teorema de Bertini y del Criterio Jacobiano [59]. Consideramos la norma de J, es decir

ψ := det L_{J} ∈ k[u].

Se tiene deg^{(u)} J ≤ n − r + i y por lo tanto ψ es un polinomio no nulo de grado acotado por (n − r + i) (d + 1)^{i} δ. Luego ϕ · ψ es un polinomio no nulo tal que

deg ϕ · ψ ≤ n (d + 1)^{i} δ.

Luego tanto existe a ∈ k^{(n+1) s} tal que ϕ · ψ(a) ≠ 0 y \overline{h}(a) ≤ i log(d + 1) + log δ + log n. El polinomio h_{j+1} := H_{j+1}(a) satisface las condiciones del enunciado.

□

El paso siguiente consiste en poner a las variables y_{1}, …, y_{n} en posición de Noether simultáneamente con respecto a todas las variedades que se consideran.

Lema 2.3.4 Mantenemos la notación del párrafo anterior. Sea V_{i} := V ∩V (h_{1}, …, h_{i}) ⊆ IA^{n} la variedad definida por h_{1}, …, h_{i} en V . Entonces existen variables y_{1}, …, y_{r} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] tales que y_{1}, …, y_{r−i} están en posición de Noether separable con respecto a V_{i} para todo i. Se tiene además

\overline{h}(y_{i}) ≤ 2 r (d + 1) + log δ.

Demostración. Sean

Y_{i} = U_{i0} + U_{i1}x_{1} + ⋯ + u_{in}x_{n}

formas lineales genéricas para i = 1, …, r. Sea a_{i} ∈ k[U] el coeficiente principal del polinomio característico P_{V_{i}} de la variedad V_{i}, y sea ρ_{i} ∈ k[U, T] el discriminante de P_{V_{i}}. Sea entonces b := ∏_{i} a_{i} · ρ_{i}. Luego b es un polinomio no nulo de grado acotado por r (d + 1)^{2r} δ^{2} en cada grupo de variables U_{i}. Sea a ∈ k^{r(n+1)} tal que

b(a) ≠ 0.

Se puede tomar a_{i} de altura acotada por log r +2 r log(d+1)+2 log δ. Luego y_{i} := Y_{i}(a) verifica las condiciones del enunciado. □

Demostración del Teorema 2.3.2. Mantenemos la notación de los lemas anteriores. Sea V_{i} := V ∩ V (f_{1}, …, f_{i}) ⊆ IA^{n} como la variedad definida por f_{1}, …, f_{i} en V . Se tiene

deg V_{i} ≤ d^{i} δ, h(V_{i}) ≤ κ_{1} (d^{i} δ)^{8}(h + h(V)) + κ_{2} (d^{i} δ)^{9}

donde κ_{1} , κ_{2} son las constantes que intervienen en el enunciado del corolario 1.4.5. Primeramente consideramos el caso en que s ≤ r, \overline{f}_{1}, …, \overline{f}_{s} ∈ k[V] es una sucesión regular, y las variables x_{1}, …, x_{r−i} están en posición de Noether con respecto a V_{i} para todo i.

Sea entonces A_{i} := k[x_{1}, …, x_{r−i}] y B_{i} := k[V]/(f_{1}, …, f_{i}) = k[V_{i}] . Luego F_{1}, …, F_{n−r}, f_{1}, …, f_{i} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] forman una intersección completa reducida, y A_{i} ↪ B_{i} es una inclusión entera y separable. Estamos entonces en condiciones de aplicar el teorema de división 2.3.1.

Vamos a construir inductivamente g_{1}, …, g_{s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] tales que

\overline{1} = \overline{g}_{i+1} \overline{f}_{i+1} + ⋯ + \overline{g}_{s} \overline{f}_{s} ∈ k[V_{i}].

Para un polinomio g ∈ A_{i}[x_{r−i+1}, …, x_{n}] denotamos por deg^{∘} g y por deg^{∗} g su grado en las variables libres x_{1}, …, x_{r−i} y en las variables dependientes x_{r−i+1}, …, x_{n} respectivamente.

Hacemos inducción en i. En primer lugar tomamos g_{s} ∈ A_{s−1}[x_{r−s}, …, x_{n}] tal que

\overline{1} = \overline{g_{s}} \overline{f_{s}} ∈ B_{s−1}

con deg^{∗} g_{s} ≤ n D , deg^{∘} g_{s} ≤ 3 n D d^{2 s−2} δ^{2} y \overline{m}(g_{s}) ≤ c D^{2} (d^{s−1} delta)^{12} (h + h(V) + d^{s−1} δ) . Se puede tomar c := 10^{7} (n + 1)^{13} .

Ahora sea i ≤ s − 1 . Hacemos

b_{i+1} = 1 − g_{i+1}f_{i+1} + ⋯ + g_{s}f_{s} ∈ A_{i}[x_{r−1+1}, …, x_{n}].

Luego \overline{f}_{i+1} ∈ B_{1} es un no–divisor de cero, y se tiene \overline{f}_{i+1} | \overline{b}_{i+1} en B_{i}. Aplicamos el teorema de división y obtenemos un polinomio g_{i+1} de grado y altura controlada tal que \overline{b}_{i+1} = \overline{g}_{i+1} · \overline{f}_{i+1} en B_{i}. Se tiene

deg^{∗} g_{i+1} ≤ n D,
deg^{∘} g_{i+1} ≤ 3 n D δ_{i}^{2} + deg^{∗} b_{i+1} · δ_{i} + deg^{∘} b_{i+1},
\overline{m}(b_{i+1}) ≤ c_{1}(2 D^{2} δ_{i}^{4} + (deg^{∗} b_{i+1})^{2} δ_{i}^{2})(H + h(V_{i}) + δ_{i}^{2}) + m(b_{i+1}),

con c_{1} := (10^{3} + 1)(n + 1)^{6} . Tratamos en primer lugar la cota de grado del polinomio g_{i+1} con respecto a las variables libres. Asumimos deg^{∘} g_{j} ≤ 4 (s − j + 1) n D d^{2 s} δ^{2} − d para j = s, …, i + 2 . Se tiene entonces

deg^{∘} g_{i+1} ≤ 4 (s − i) n D d^{2 s} δ^{2} − d

Tratamos ahora la cota para la altura de g_{i+1} . Se tiene

h(V_{i}) ≤ κ_{1}(d^{s} δ)^{8}(h + h(V)) + κ_{2}(d^{s} δ)^{9}

por la desigualdad de Bézout aritmética. Asumimos entonces

\overline{m}(g_{j}) ≤ c_{2}(s − j + 1) D^{2} (d^{s} δ)^{12}(H + h(V) + d^{s} δ)

para j = s, …, i + 2 , con c_{2} := 2 · 10^{7} (n + 1)^{15} . Se obtiene

\overline{m}(g_{i+1}) ≤ c_{2}(s − i) D^{2} (d^{s} δ)^{12}(H + h(V) + d^{s} δ).

El caso general se reduce a este por medio de los lemas 2.3.3 y 2.3.4. □

2.3.3 Distancia entre Variedades

En esta subsección estudiamos los aspectos métricos de las variedades. La altura de una variedad nos permite estimar la localización de sus puntos. Por ejemplo, en el caso en que V ⊆ IA^{n}(C) es una Q–variedad de dimensión 0 se tiene

V ⊆ {ξ ∈ IA^{n} : log ||ξ|| ≤ h(V) + log(n + 1) δ}

donde ||ξ|| := max_{i} |ξ_{i}| denota la norma del supremo.

Sean V, W ⊆ IA^{n}(C) Q –variedades y sea α > 0 . Definimos la función distancia dist_{α}(V, W) como la distancia entre V y W en la bola B(0, α) := {ξ ∈ IA^{n} : ||ξ|| ≤ α}. Para V, W ⊆ IA^{n} Q–variedades tales que V ∩W = ∅ consideramos el problema de estimar la distancia entre V y W .

Este problema está en estrecha relación con el teorema de ceros aritmético sobre variedades. En la situación que consideramos se tiene 1 ∈ I(V) + I(W) . Sea F ∈ I(W) tal que

1 ≡ \overline{F} ∈ k[V]

con deg F = D y \overline{h}(F) = H. Vamos a mostrar que una cota para D, H implica en forma directa una estimación para la distancia entre V y W .

Sea α > 0 , y sean ξ ∈ V y ϱ ∈ W tales que ξ, ϱ ∈ B(0, α) . Desarrollamos a F alrededor de ϱ. Se tiene

F = ∑_{i} a_{i} (x − ϱ)^{i}

con a_{i} := ∂_{i}F (ϱ) . Se tiene log |a_{i}| ≤ H +(log α+log n) D. Sea ϵ := ||ξ−ϱ|| y supongamos que se tiene ϵ ≤ 1 . Evaluamos x := ξ y queda

0 ≤ log |F (ξ)| ≤ log(max_{i} |a_{i}|) + D + n + log ϵ
≤ H + (log α + 2 n) D + log ϵ

es decir

− log(dist_{α}(V, W)) ≤ H + (2 n + log α) D.

A partir de los resultados de la subsección anterior obtenemos la siguiente estimación para el caso en que V y W son variedades intersección completa reducida.

Teorema 2.3.5 Sean V, W ⊆ IA^{n}(C) Q–variedades tales que V ∩ W = ∅. Sean r, s la dimensión de V y de W respectivamente. Sea δ el grado de V . Asumimos que V y W son variedades intersección completa reducida de polinomios f := {f_{1}, …, f_{n−r}}, g := \{g_{1}, …, g_{n−s}\} ⊆ k[x_{1}, …, x_{n}] , respectivamente. Sean d := deg f , h := \overline{m}(f) , D := deg g y H := \overline{m}(g) . Entonces

log(dist_{α}(V, W)) ≥ −c d^{2} D^{12 r+2} δ^{12}(h + H + h(V) + D^{r} δ + log α)

para α > 0 , donde c sólo depende de n.

□

Se puede tomar c := 2 · 10^{8} (n + 1)^{16} . A partir de este resultado derivamos la siguiente cota para el caso general.

Corolario 2.3.6 Sean V, W ⊆ IA^{n}(C) Q–variedades tales que V ∩ W = ∅. Sean r, s la dimensión de V y de W respectivamente, y asumimos r + s ≥ n + 1 . Entonces

log(dist_{α}(V, W)) ≥ −c(n) (deg V)^{12 s} (deg W)^{12 r}(h(V) + h(W) − log α)

para α > 0 , donde c sólo depende de n.

Se puede tomar c := 10^{9} (n + 1)^{16} .

Demostración. Las variedades V , W están contenidas en variedades intersección completa reducida X, Y ⊆ IA^{n} tales que X ∩ Y = ∅. La variedad X ⊆ IA^{n} está definida por polinomios f_{1}, …, f_{n−r} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] tales que

deg f_{i} ≤ deg V, \overline{m}(f_{i}) ≤ h(V) + 10 n^{2} deg V.

Análogamente la variedad Y ⊆ IA^{n} está definida por polinomios g_{1}, …, g_{n−s} ∈ k[x_{1}, …, x_{n}] , y valen cotas análogas para los grados y las alturas de estos polinomios. Luego la estimación para la distancia entre V y W se sigue del resultado anterior.

□

Esta estimación parece estar lejos de ser óptima en términos de el grado y la altura de las variedades V y W . Formulamos la siguiente conjetura para el caso general del teorema de ceros aritmético sobre variedades.

Conjetura 2.3.1 Sea k un F P –cuerpo. Sean V , W ∈ IA^{n} k –variedades tales que V ∩ W = ∅. Entonces existe F ∈ I(W) tal que

\overline{1} = \overline{F} ∈ k[V]

con deg F ≤ deg V ·deg W y m(F) ≤ deg V ·h(W)+deg W ·h(V)+c(n) deg V ·deg W .

Resultados recientes de Kollár [79] muestran la validez de la cota de grado propuesta, y dan así sustento a nuestra conjetura.

Por la discusión anterior al teorema 2.3.5, esta conjetura implica — en el caso de ser cierta — la estimación

− log(dist_{α}(V, W)) ≤ deg V · h(W) + deg W · h(V) + (c(n) + 2 n + log α) deg V · deg W

para la distancia entre V y W .

Cotas para la Función de Hilbert

En este capítulo tratamos el problema de estimar globalmente la función de Hilbert de un ideal homogéneo de k[x_{0}, …, x_{n}] . Obtenemos una cota inferior para la función de Hilbert de un ideal homogéneo arbitrario (Teorema 3.1.2). Obtenemos además cotas superiores para el caso de un ideal primo (Teoremas 3.2.2 y 3.2.6) y para el caso de la suma de un ideal primo y un ideal principal (Teorema 3.2.8). Las cotas obtenidas dependen del grado de la dimensión del ideal en cuestión, y son esencialmente óptimas en términos de estos parámetros.

3.1 Cotas Inferiores

A lo largo de esta sección denotamos por k un cuerpo perfecto y por \overline{k} su clausura algebraica. Para un ideal homogéneo I de k[x_{0}, …, x_{n}] , denotamos por dim I la dimensión de Krull del anillo cociente k[x_{0}, …, x_{n}]/I.

Sea I un ideal homogéneo de k[x_{0}, …, x_{n}] . La función de Hilbert o función característica de I se define como

h_{I} : ZZ → ZZ, m ↦ dim_{k}(k[x_{0}, …, x_{n}]/I)_{m}.

Para una variedad proyectiva V ⊆ IP^{n} denotamos por h_{V} la función de Hilbert de su ideal de definición I(V) .

Sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo de dimensión r. Sea p_{I} = a_{r−1} t^{r−1} +⋯+a_{0} ∈ Q[t] su polinomio de Hilbert, de forma tal que se tiene

h_{I}(m) = p_{I}(m), m ≫ 0.

El grado deg I del ideal I se define como

deg I := (r − 1)! a_{r−1}.

Sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal radical homogéneo y sea I = ∩_{P} P su descomposición primaria minimal. Luego se tiene

deg I = ∑_{P} deg V (P)

donde la suma se hace sobre los primos asociados P de I tales que dim P = dim I, y deg V (P) denota el grado de la variedad proyectiva V (P) ⊆ IP^{n}. Referimos a la subsección 1.2.1 para una discusión más detallada sobre la noción de grado de ideales y de variedades proyectivas.

Sean I, J ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] ideales homogéneos. Se tiene entonces la sucesión exacta de k –álgebras graduadas

\begin{aligned}0 → S/I ∩ J → & S/I ⊕ S/J & → & S/I + J & → 0 \\ & (f, g) & ⟼ & f − g \end{aligned}

de donde se obtiene la identidad h_{I∩J}(m) = h_{I}(m) + h_{J}(m) − h_{I+J}(m) . Se tiene en particular deg I ∩ J = deg I en el caso en que dim I > dim J.

Sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo, y sea f ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] un polinomio homogéneo de grado d que es un no–divisor de cero módulo I. Se tiene la sucesión exacta

0 → S/I →^{f} S/I → S/(I, f) → 0

y por lo tanto h_{(I,f)}(m) = h_{I}(m) − h_{I}(m − d) y deg(I, f) = deg f · deg I.

Sea I un ideal homogéneo de k[x_{0}, …, x_{n}] y sea I^{e} el ideal extendido a \overline{k}[x_{0}, …, x_{n}] . Entonces h_{I} = h_{I^{e}}, y en particular deg I^{e} = deg I. La propiedad de I de ser radical y equidimensional también se preserva por extensión del cuerpo de base [99, Teorema 26.3]. Esto nos permite asumir sin pérdida de generalidad que el cuerpo k es algebraicamente cerrado.

Consideramos en primer lugar el problema de acotar inferiormente la función de Hilbert de un ideal polinomial homogéneo arbitrario I de k[x_{0}, …, x_{n}] . Nuestra demostración se basa en la reducción del caso general al caso en que dim I = 1 , es decir, cuando la variedad proyectiva V (I) es finita. Consideramos este caso separadamente.

Lema 3.1.1 Sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo equidimensional de dimensión 1 . Entonces

h_{I}(m) ≥ m + 1,  m = 0, ⋯, deg I − 2,
h_{I}(m) = deg I,  m ≥ deg I − 1.

Demostración. Sea m_{0} el menor entero tal que h_{I} coincide con p_{I}, es decir, h_{I}(m) = deg I para m ≥ m_{0} .

Asumimos que k es algebraicamente cerrado, y en particular infinito. Sea η ∈ S una forma lineal no–divisor de cero módulo I. Se tiene entonces h_{(I,η)}(m) = h_{I}(m) − h_{I}(m − 1) .

Luego h_{(I,η)}(m) ≥ 1 para m = 0, …, m_{0} − 1 y h_{(I,η)}(m) = 0 para m ≥ m_{0} . Obtenemos así

h_{I}(m) ≥ m + 1, m = 0, …, deg I − 2

y h_{I}(m) = deg I para m ≥ deg I − 1 .

□

Para n, i ∈ ZZ, i ≥ 0 definimos el número combinatorio (_{i}^{n}) como

(_{i}^{n}) = \{ \begin{matrix}n!/i!(n − i)!, & si & n ≥ 0, \\ 0, & si & n < 0. \end{matrix}

Se tiene la identidad

(_{r}^{m+r+D}) − (_{r}^{m+r}) = ∑_{i=1}^{D}(_{r−1}^{m+r−1+i}).

El lema anterior se puede entonces escribir como h_{I}(m) ≥ (_{1}^{m+1}) − (_{1}^{m−deg I+1}) .

Teorema 3.1.2 Sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo de dimensión r, con r ≥ 1 . Entonces

h_{I}(m) ≥ (_{r}^{m+r}) − (_{r}^{m−deg I+r}).

Demostración. Hacemos inducción en r. El caso r = 1 se sigue del lema 3.1.1. Luego consideramos el caso r ≥ 2 . Sea I^{u} la parte equidimensional de I. Se tiene entonces h_{I}(m) ≥ h_{I^{u}}(m) y deg I = deg I^{u}.

Sea η ∈ \overline{k}[x_{0}, …, x_{n}] una forma lineal no–divisor de cero módulo I^{u}. Luego dim(I^{u}, η) = r − 1 y deg (I^{u}, η) = deg I^{u} = deg I. Por la hipótesis inductiva se tiene

h_{(I^{u},η)}(m) ≥ (_{r−1}^{m+r−1}) − (_{r−1}^{m−deg I+r−1}).

Se tiene h_{I^{u}}(m) = ∑_{j=0}^{m}(h_{I^{u}}(j) − h_{I^{u}}(j − 1)) = ∑_{j=0}^{m} h_{(I^{u},η)}(j) y por lo tanto

h_{I} (m) ≥ h_{I^{u}}(m) ≥ ∑_{j=0}^{m}{(_{r−1}^{j+r−1}) − (_{r−1}^{j−deg I+r−1})} = (_{r}^{m+r}) − (_{r}^{m−deg I+r}).

□

Esta desigualdad extiende la estimación de Nesterenko para el caso de un ideal primo [104] al caso de un ideal arbitrario.

Para un ideal homogéneo I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] denotamos por H_{I}(t) := ∑_{m=0}^{∞} h_{I}(m) t^{m} su serie de Hilbert–Poincaré. Sea r := dim I. El resultado anterior puede ser enunciado como

H_{I}(t) ≥ \frac{1 − t^{deg I}}{(1 − t)^{r+1}}

en el sentido de que esta desigualdad se verifica para cada término de estas series de potencias.

El teorema de persistencia de Gotzmann [60] implica que para un ideal homogéneo I de k[x_{0}, …, x_{n}] de dimensión r existe un entero m_{0} ∈ ZZ tal que

h_{I}(m) ≥ (_{r}^{m+r}) − (_{r}^{m−deg I+r}), m ≥ m_{0},

como fue notado en [22]. Nuestro teorema muestra que esta desigualdad vale globalmente, no sólo para valores grandes de m.

Nuestra estimación es óptima en términos de la dimensión y del grado del ideal I. En la siguiente proposición establecemos los casos extremales, que corresponden a hipersuperficies de subespacios lineales de IP^{n}. Esto es otra consecuencia del teorema de Gotzmann [22]. En lo que sigue damos una demostración autocontenida de este hecho.

Proposición 3.1.3 Sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo. Entonces

h_{I}(m) = (_{r}^{m+r}) − (_{r}^{m−D+r})

para todo m si y sólo si existe un cambio de variables y_{0}, …, y_{n} y un polinomio homogéneo f ∈ k[y_{0}, …, y_{r}] de grado D tal que

I = (f, y_{r+1}, …, y_{n}).

Demostración. El polinomio f es un no–divisor de cero módulo el ideal J := (y_{r+1}, …, y_{n}) y por lo tanto se tiene

h_{I}(m) = h_{J} (m) − h_{J} (m − deg f) = (_{r}^{m+r}) − (_{r}^{m−D+r}).

Recíprocamente, sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo tal que

h_{I}(m) = (_{r}^{m+r}) − (_{r}^{m−D+r})

para todo m. Luego h_{I}(1) ≤ r + 1 , es decir dim_{k} I_{1} ≥ n − r. Luego existe un cambio lineal de variables y_{0}, …, y_{n} tal que y_{r+1}, …, y_{n} ∈ I_{1} . Sea J := (y_{r+1}, …, y_{n}) . Se tiene

\begin{aligned}h_{I}(m) & = & (_{r}^{m+r}) = h_{J}(m), m = 0, …, D − 1, \\ h_{I}(D) & = & (_{r}^{D+r}) − 1 < h_{J}(D). \end{aligned}

Sea f ∈ I − J tal que deg f = D. Sea K := J + (f) . Luego K ⊆ I y h_{K}(m) = h_{I}(m) para todo m, de donde concluimos K = I. □

3.2 Cotas Superiores

En esta sección consideramos el problema de acotar superiormente la función de Hilbert de un ideal homogéneo. Tratamos en primer lugar el caso de un ideal radical.

Sea V ⊆ IP^{n} una variedad. Entonces la clausura lineal de V se define como la menor variedad lineal L(V) de IP^{n} que contiene a V .

Sea E ⊆ IP^{n} una variedad lineal. Entonces su ideal de definición I(E) está generado por formas lineales, y se tiene

dim E = n − dim_{k} I(E)_{1}.

Sea V ⊆ IP^{n} una variedad y sea L ∈ S una forma lineal. Entonces L|_{V} ≡ 0 si y sólo L|_{L(V)} ≡ 0 . Luego el ideal de definición de L(V) está generado por la parte de grado 1 de I(V) , es decir

I(L(V)) = (I(V)_{1}).

En particular tenemos

h_{V} (1) = n + 1 − dim_{k} I_{k} (V)_{1} = dim L(V) + 1.

La dimensión de la clausura lineal de una variedad V ⊆ IP^{n} se puede acotar en términos de su dimensión y de su grado. Se tiene

dim L(V) + 1 ≤ deg V + dim V.

Esta estimación es una consecuencia del teorema de Bertini [76, Teorema 6.3]. Puede encontrarse una demostración en el libro de Harris [63, Corolario 18.12].

La siguiente es una estimación para la función de Hilbert de una variedad irreducible.

Proposición 3.2.1 Sea V ⊆ IP^{n} una variedad irreducible de dimensión d, con d ≥ 0 . Entonces

h_{V} (m) ≤ deg V m^{d} + d, m ≥ 0.

Demostración. Para n, m ∈ IN , sea N := (_{n}^{m+n}) − 1 y sea

v_{m} : IP^{n} ⟶ IP^{N}, (x_{0} : ⋯: x_{n}) ↦ (x^{(i)})_{|i|=m}

la aplicación de Veronese de grado m. Entonces v_{m}|_{V} : V ↦ v_{m}(V) es un morfismo birregular de grado m, y por lo tanto h_{v_{m}(V)} (l) = h_{V} (m l) . En particular se tiene

h_{V} (m) = h_{v_{m}(V)} (1) = dim L(v_{m}(V)) + 1

y por lo tanto

h_{V} (m) ≤ deg v_{m}(V) + dim v_{m}(V) ≤ deg V m^{d} + d.
□

Se puede extender esta estimación al caso más general de un ideal radical equidimensional de k[x_{0}, …, x_{n}] .

Teorema 3.2.2 Sea k un cuerpo perfecto y sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo radical y equidimensional de dimensión r, con r ≥ 1 . Entonces

h_{I}(m) ≤ deg I m^{r−1} + irr I (r − 1), m ≥ 1.

donde irrI denota la cantidad de componentes irreducibles de la variedad V (I) .

Demostración. Asumimos sin pérdida de generalidad que k es algebraicamente cerrado. Sea I = ∩_{P} P la descomposición primaria minimal de I. De la inclusión canónica de módulos graduados

S/I ↪ ⨁_{P} S/P

se obtiene h_{I}(m) ≤ ∑_{P} h_{P} (m) . Luego

h_{I}(m) ≤ ∑_{P} (deg V (P) m^{r−1} + r − 1) = deg I m^{r−1} + irr I (r − 1)

por la proposición 3.2.1. □

Esta desigualdad tiene el mismo orden de crecimiento de h_{I}. No mejora, sin embargo, la estimación

h_{I}(m) ≤ deg I (_{r−1}^{m+r−2}) + irr I (_{r−2}^{m+r−2})

que se obtiene a partir de los argumentos de Chardin [35].

A partir del comportamiento asintótico de la función de Hilbert

h_{I}(m) ∼ (deg I/(r − 1)!) m^{r−1}

se ve que esta desigualdad es precisa para valores grandes de m sólo cuando r = 2 . En este caso, la estimación es óptima en términos de deg I y de irrI. En lo que sigue vamos a determinar los casos extremales.

Sean V, W ⊆ IP^{n} variedades. Entonces V, W son proyectivamente equivalentes si existe un automorfismo A ∈ P GL_{n+1}(\overline{k}) tal que W = A(V) [63, p. 22]. Esta propiedad es equivalente al hecho de que los anillos de coordenadas \overline{k}[V] , \overline{k}[W] sean isomorfos como \overline{k} –álgebras graduadas. En este caso las funciones de Hilbert de V y de W coinciden.

Una curva C ⊆ IP^{n} proyectivamente equivalente a v_{n}(IP^{1}) se llama una curva racional normal. Una curva racional normal C es no degenerada, es decir L(C) = IP^{n}, y tiene grado n. Luego el grado de C es el mínimo grado que puede tener una curva de IP^{n} no degenerada [63, Corolario 18.12]. De hecho, las curvas racionales normales están caracterizadas por esta propiedad [63, Proposición 18.9].

Sean ahora l, n ∈ IN y δ = (δ_{1}, …, δ_{l}) ∈ IN^{l} tales que |δ| = δ_{1} + … + δ_{l} ≤ n + 1 − l. Hacemos n_{j} := δ_{1} + … + δ_{j} + j, para j := 1, …, l, y consideramos la inclusión de variedades lineales definida por

i_{j} : IP^{δ_{j}} ↪ IP^{n}, (x_{0} : …: x_{δ_{j}}) ↦ (\overbrace{0 : …: 0}^{n_{j−1}} : x_{0} : …: x_{δ_{j}} : 0 : …: 0).

Las variedades lineales i_{1}(IP^{δ_{1}}), …, i_{l}(IP^{δ_{l}}) son disjuntas entre sí. Definimos una curva C(n, δ) ⊆ IP^{n} como

C(n, δ) := ⋃_{j=1}^{l} i_{j}(v_{δ_{j}}(IP^{1})) ⊆ IP^{n}

Una curva C ⊆ IP^{n} es proyectivamente equivalente a C(n, δ) si y sólo si existen E_{1}, …, E_{l} ⊆ IP^{n} variedades lineales disjuntas tales que dim E_{j} = δ_{j}, C ⊆ ∪_{j}E_{j}, y

C_{j} := C ∩ E_{j} ⊆ E_{j}

es una curva racional normal para todo j.

Sea V ⊆ IP^{n} una variedad. Entonces V está definida sobre k si su ideal de definición está generado sobre k. El siguiente lema es bien conocido, lo probamos aquí por falta de una referencia adecuada.

Lema 3.2.3 Sean φ : IP^{n} → IP^{N} una aplicación regular definida sobre k, y sea V ⊆ IP^{n} una variedad definida sobre k. Entonces la variedad φ(V) ⊆ IP^{N} está definida sobre k.

Demostración. Tenemos el siguiente diagrama conmutativo

k[x_{0}, …, x_{N}] ⟶^{φ_{k}^{∗}} k[V]
↓  ↓
\overline{k}[x_{0}, …, x_{N}] ⟶^{φ∗ ; \overline{k}} \overline{k}[V]

Luego ker φ_{k}^{∗} = I_{k}(W) y ker φ∗ ; \overline{k} = I\overline{k}(W) , donde I_{k}(W) , I\overline{k}(W) denotan el ideal de la variedad W en k[x_{0}, …, x_{N}] y \overline{k}[x_{0}, …, x_{N}] , respectivamente. Se quiere ver I\overline{k}(W) = \overline{k} ⊗_{k} I_{k}(W) . Se tiene \overline{k} ⊗_{k} k[V] ≅ \overline{k}[V] , ya que V está definida sobre k. Tensorizando con \overline{k} obtenemos

\overline{k}[x_{0}, …, x_{N}] ⟶^{\overline{k}⊗_{k}φ_{k}^{∗}} \overline{k} ⊗_{k} k[V]
∥  ∥
\overline{k}[x_{0}, …, x_{N}] ⟶^{φ∗ ; \overline{k}}  \overline{k}[V]

con ker \overline{k} ⊗_{k} φ_{k}^{∗} = \overline{k} ⊗_{k} I_{k}(W) . Concluimos entonces

I\overline{k}(W) = \overline{k} ⊗_{k} I_{k}(W),

y por lo tanto W está definida sobre k. □

Sea v_{n} : IP^{1} → IP^{n} la aplicación de Veronese de grado n y sea C_{n} := v_{n}(IP^{1}) su imagen. Por el lema anterior la curva C_{n} está definida sobre k.

Sea C_{j} := i_{j}(C_{δ_{j}}) ⊆ IP^{n} para j = 1, …, l. Entonces C(n, δ) = ⋃_{j} C_{j} es la descomposición minimal de C(n, δ) en curvas irreducibles. Luego C(n, δ) también está definida sobre k, y por lo tanto

irr I_{k}(C(n, δ)) = l, deg I_{k}(C(n, δ)) = |δ|.

Lema 3.2.4 Sean V, W ⊆ IP^{n} variedades. Entonces

I(V) + I(W) = (x_{0}, …, x_{n})

si y sólo si V y W están contenidas en subvariedades lineales disjuntas de IP^{n}.

Demostración. Las variedades V y W están en espacios lineales disjuntos si y sólo si sus clausuras lineales son disjuntas. Sean L_{V} := I(L(V)) , L_{W} := I(L(W)) ⊆ \overline{k}[x_{1}, …, x_{n}] . Se tiene

L_{V} = (I(V)_{1}), L_{W} = (I(W)_{1}).

En particular L_{V} , L_{W} están generados por formas lineales, y por lo tanto

L_{V} + L_{W} = I(L(V) ∩ L(W))

Sean V, W ⊆ IP^{n} tales que L(V) ∩ L(W) = ∅. Entonces L_{V} + L_{W} = (x_{0}, …, x_{n}) y por lo tanto

I(V) + I(W) = (x_{0}, …, x_{n})

Recíprocamente, supongamos que se verifica I(V) + I(W) = (x_{0}, …, x_{n}) . Luego L_{V} + L_{W} = (x_{0}, …, x_{n}) y por lo tanto L(V) ∩ L(W) = ∅ □

Proposición 3.2.5 Sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo radical y equidimensional de dimensión 2. Entonces

h_{I}(m) = deg I m + irr I

para todo m ≥ 1 , si y sólo si existe una curva C ⊆ IP^{n} definida sobre k proyectivamente equivalente a C(n, δ) , tal que I = I_{k}(C) para algún δ ∈ IN^{l}, con l := irr I y |δ| = deg I.

Demostración. Sea C ⊆ IP^{n} una curva definida sobre k proyectivamente equivalente a C(n, δ) para algún l ∈ IN y δ ∈ IN^{l}. Sea I := I_{k}(C) . Luego

irr I = irr C(n, δ) = l, deg I = deg C(n, δ) = |δ|.

Queremos probar entonces h_{I}(m) = |δ| m+l. Hacemos inducción en l. Sea C := v_{δ}(IP^{1}) . Por la inclusión de \overline{k} –álgebras graduadas

\overline{k}[C] ↪^{v_{δ}^{∗}} \overline{k}[x, y], x_{i} ⟼ x^{i}y^{|δ|−i}

obtenemos la descomposición en partes graduadas \overline{k}[C] ≅ ⨁_{j=0}^{∞} \overline{k}[x, y]_{|δ| j}. Luego h_{I}(m) = h_{C}(m) = δ m+1 para m ≥ 1 , y por lo tanto la afirmación se verifica para l = 1 .

Sea l ≥ 2 y sea

C(n, δ) = ⋃_{j} C_{j}

la descomposición minimal de C(n, δ) en curvas irreducibles. Luego C_{1} ∪ … ∪ C_{l−1} , C_{l} están en espacios lineales disjuntos y por lo tanto se tiene

I(C_{1} ∪ … ∪ C_{l−1}) + I(C_{l}) = (x_{0}, …, x_{n})

por el lema 3.2.4. Luego h_{C}(m) = h_{C_{1}∪...∪C_{l−1}}(m)+h_{C_{l}}(m) para m ≥ 1 , y por la hipótesis inductiva obtenemos

h_{I}(m) = h_{C}(m) = ((δ_{1} + … + δ_{l−1}) m + (l − 1)) + (δ_{l} m + 1) = |δ| m + l, m ≥ 1.

Ahora vamos a probar la recíproca. Sea C ⊆ IP^{n} una curva definida sobre k tal que I = I_{k}(C) .

Hacemos inducción en l := irr I. Consideramos en primer lugar el caso l = 1 , es decir, cuando C ⊆ IP^{n} irreducible. Se tiene

dim L(C) = h_{C}(1) − 1 = deg C

y por lo tanto C ⊆ L(C) es una curva irreducible y no degenerada de grado mínimo. Luego C ⊆ L(C) es una curva racional normal [63, Proposición 18.9].

Ahora sea l ≥ 2 . Sea C = C_{1} ∪ … ∪ C_{l} la descomposición minimal de C en curvas irreducibles, y sea δ_{i} el grado de c_{i}. Entonces

h_{C}(m) = h_{C_{1}∪...∪C_{l−1}}(m) + h_{C_{l}}(m) − h_{I(C_{1}∪...∪C_{l−1})+I(C_{l})}(m) m ≥ 1.

Deducimos del teorema 3.2.2 que h_{C_{l}}(m) = δ_{l} m + 1 , h_{C_{1}∪...∪C_{l−1}}(m) = (δ_{1} + … + δ_{l−1}) m + (l − 1) y h_{I(C_{1}∪...∪C_{l−1})+I(C_{l})}(m) = 0 para m ≥ 1 .

Luego C_{l} ⊆ L(C_{l}) es una curva racional normal, y por la hipótesis inductiva C_{1}∪…∪C_{l−1} es proyectivamente equivalente a C(n, (δ_{1}, …, δ_{l−1})) .

Además

I(C_{1} ∪ … ∪ C_{l−1}) + I(C_{l}) = (x_{0}, …, x_{n}).

Por el lema 3.2.4 las curvas C_{1} ∪ … ∪ C_{l−1} y C_{l} están contenidas en variedades lineales disjuntas, y por lo tanto C es proyectivamente equivalente a C(n, (δ_{1}, …, δ_{l})) . □

Ahora vamos a deducir otra cota superior para la función de Hilbert de un ideal radical equidimensional.

Sea V ⊆ IP^{n} una variedad irreducible de dimensión r − 1 . Sean y_{0}, …, y_{r−1} variables en posición de Noether separable con respecto a V . Sea A el anillo de polinomios \overline{k}[y_{0}, …, y_{r−1}] y sea B el anillo de coordenadas homogéneas \overline{k}[V] de V , de forma tal que A ↪ B es una inclusión entera. Sean K, L los cuerpos de fracciones de A y de B respectivamente. Luego K ↪ L es una extensión separable de grado D := [L : K] . Sea η ∈ B una forma lineal tal que L = K[η] . Luego

A[η] ⊆ B.

Sea f ∈ A[t] el polinomio minimal de η sobre A. Sea b ∈ B. Luego

f′(η) · b = ∑_{m} Tr(b · a_{m}) c_{m}

por la fórmula de traza de Tate, con a_{m}, c_{m} ∈ A[η] . Luego Tr(b · a_{m}) ∈ A, y por lo tanto f′(η) · b ∈ A[η] , es decir

f′(η) · B ⊆ A[η].

El lenguaje de la teoría de dependencia entera, esta última afirmación dice que f′(η) está en el conductor de B en A[η] .

De esta última inclusión obtenemos la estimación

h_{V} (m) ≤ (_{r}^{m+D+r−1}) − (_{r}^{m+r−1})

En particular se sigue D = [L : K] = deg V .

Teorema 3.2.6 Sea k un cuerpo perfecto y sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo radical y equidimensional de dimensión r, con r ≥ 1 . Entonces

h_{I}(m) ≤ (_{r}^{m+deg I+r−1}) − (_{r}^{m+r−1}), m ≥ 1.

Demostración. Asumimos sin pérdida de generalidad que k es algebraicamente cerrado. El caso en que I es un ideal primo de k[x_{0}, …, x_{n}] se sigue de la discución anterior. En el caso general, consideramos la descomposición primaria I = ∩_{P} P de I y obtenemos

h_{I}(m) ≤ ∑_{P} {(_{r}^{m+deg P +r−1}) − (_{r}^{m+r−1})} = ∑_{P} ∑_{i=0}^{deg P −1}(_{r−1}^{m+r−1+i})
≤ ∑_{i=0}^{deg I−1}(_{r−1}^{m+r−1+i}) = (_{r}^{m+deg I+r−1}) − (_{r}^{m+r−1})

□

Esta estimación es asintótica a h_{I} y por lo tanto es mucho más precisa que el teorema 3.2.2 para valores grandes de m. De la expresión

h_{I}(m) ≤ (_{r}^{m+deg I+i}) − (_{r}^{m+r−1}) = ∑_{i=0}^{deg I−1}(_{r−1}^{m+r−1+i})

vemos que tampoco mejora la estimación de Chardin

h_{I}(m) ≤ deg I (_{r−1}^{m+r−1}) = ∑_{i=0}^{deg I−1}(_{r−1}^{m+r−1})

en ningún caso [35]. Sin embargo, notamos que nuestra demostración es mucho más simple y que podemos utilizarla en nuestras aplicaciones (Teorema 3.2.8) en lugar de la cota de Chardin obteniendo resultados similares.

Esta estimación también se puede expresar entérminos de la serie de Hilbert–Poincaré H_{I} de I como

t^{deg I−1}H_{I}(t) ≤ \frac{1 − t^{deg I}}{(1 − t)^{r+1}}

en el sentido de que esta desigualdad es válida para cada término de estas series de potencias.

Derivamos ahora una cota superior para la función de Hilbert de la intersección — al nivel de ideales — de un ideal radical y equidimensional con una hipersuperficie. Este ideal no es necesariamente ni radical ni equidimensional. Este resultado es una aplicación de nuestras cotas superiores e inferiores para la función de Hilbert. El uso de nuestra cota superior (Teorema 3.2.6) puede ser reemplazado por la estimación de Chardin [35] pero la cota obtenida es esencialmente la misma. De esta manera nuestra exposición se mantiene autocontenida.

Lema 3.2.7 Sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo radical y equidimensional de dimensión r, con r ≥ 2 , y sea η ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] una forma lineal no–divisor de cero módulo I. Entonces existe m_{0} ∈ ZZ tal que

h_{(I,η)}(m_{0}) ≤ (_{r−1}^{m_{0}+r−1}) − (_{r−1}^{m_{0}+r−1−3 deg I})

con 3 deg I ≤ m_{0} ≤ 5 (r − 1) deg I.

Demostración. Sean δ := deg I, k := 3 δ, l := 2 δ, m := 5 d δ. Vamos a probar

∑_{j=0}^{l−1}{(_{r−1}^{m−j+r−1}) − (_{r−1}^{m−j+r−1−k})} ≥ ∑_{j=0}^{l−1} h_{(I,η)}(m − j)

Esta estimación implica h_{(I,η)}(m_{0}) ≤ (_{r−1}^{m_{0}+r−1}) − (_{r−1}^{m_{0}+r−1−3δ}) para algún m_{0} ∈ ZZ tal que 5 (r − 1) δ − 2 δ + 1 ≤ m_{0} ≤ 5 (r − 1) δ. Se tiene

∑_{j=0}^{l−1}{(_{r−1}^{m+r−1−j}) − (_{r−1}^{m+r−1−k−j})} = {(_{r}^{m+r}) − (_{r}^{m+r−l})} − {(_{r}^{m+r−k}) − (_{r}^{m+r−k−l})}.

Se tiene también

∑_{j=0}^{l−1} h_{(I,η)}(m − j) = h_{(I,η^{l})}(m) ≤ {(_{r}^{m+r−1+δ}) − (_{r}^{m+r−1})} − {(_{r}^{m+r−l}) − (_{r}^{m+r−δ−l)})}

por aplicación de los teoremas 3.1.2 y 3.2.6. Luego alcanza con probar

\begin{aligned}\{(_{r}^{m+r−δ}) − (_{r}^{m+r−δ−l})\} & −\{(_{r}^{m+r−k}) − (_{r}^{m+r−k−l})\} ≥ \\ & ≥ \{(_{r}^{m+r−1+δ}) − (_{r}^{m+r−1})\} − \{(_{r}^{m+r}) − (_{r}^{m+r−δ})\}. \end{aligned}

Se tiene

{(_{r}^{m+r−δ}) − (_{r}^{m+r−δ−l})} −{(_{r}^{m+r−k}) − (_{r}^{m+r−k−l})}
= ∑_{i=1}^{l}{(_{r−1}^{m+r−δ−i}) − (_{r−1}^{m+r−k−i})}
= ∑_{i=1}^{l} ∑_{j=1}^{k−δ} (_{r−2}^{m+r−δ−i−j}) ≥ l (k − δ) (_{r−2}^{m+r−2−k−l})

y

\begin{aligned}\{(_{r}^{m+r−1+δ}) − (_{r}^{m+r−1})\} − \{(_{r}^{m+r−1+1}) & − & (_{r}^{m+r−δ})\} = ∑_{i=1}^{δ}\{(_{r−1}^{m+r−1+δ−i}) − (_{r−1}^{m+r−i})\} \\ & = & ∑_{i=1}^{δ} ∑_{j=1}^{δ} (_{r−2}^{m+r−1+δ−i−j}) ≤ δ^{2} (_{r−2}^{m+r−2+δ}) \end{aligned}

y por lo tanto alcanza con probar

4 = l (k − δ)/δ^{2} ≥ (_{r−2}^{m+r−2+δ})/(_{r−2}^{m+r−2−k−l}).

Esto es claro para r = 2 , ya que en este caso el lado derecho de esta expresión es igual a 1. En el caso r ≥ 3 se tiene

(_{r−2}^{m+r−2+δ})/(_{r−2}^{m+r−2−k−l}) = ∏_{j=1}^{r−2}(m + δ + j)/(m − k − l + j) ≤ (1 + (6/5)/(r − 2))^{r−2} ≤ e^{6/5}

de donde se sigue nuestra afirmación. Concluimos entonces

h_{(I,η)}(m_{0}) ≤ (_{r−1}^{m_{0}+r−1}) − (_{r−1}^{m_{0}+r−1−3 δ})

para algún entero m_{0} tal que 5 (r − 1) δ − 2 δ + 1 ≤ m_{0} ≤ 5 (r − 1) δ.

□

En lo que sigue introducimos la caracterización de Macaulay de la función de Hilbert de un ideal homogéneo.

Dado enteros positivos i, c ∈ IN , la i –expansión binomial de c es la única expresión

c = (_{i}^{c(i)}) + ⋯ + (_{j}^{c(j)})

con c(i) > ⋯ > c(j) ≥ j ≥ 1 .

Dada c = (_{i}^{c(i)}) + … + (_{j}^{c(j)}) la i –expansión binomial de c, se define c^{⟨i⟩} como

c^{⟨i⟩} := (_{i+1}^{c(i)+1}) + … + (_{j+1}^{c(j)+1}).

Notamos que esta expresión es la i + 1 –expansión binomial de c^{⟨i⟩}.

Sean b, c, i ∈ IN . Entonces es fácil ver que b ≥ c si y sólo si (b(i), …, b(j)) es mayor o igual que (c(i), …, c(j)) con respecto al orden lexicográfico. En particular b ≥ c si y sólo si b^{⟨i⟩} ≥ c^{⟨i⟩}.

Una sucesión de enteros no–negativos (c_{i})_{i∈IN} se llama una O –sucesión en el caso en que c_{0} = 1 y c_{i+1} ≤ c_{i}^{⟨i⟩} para todo i.

Una función h : IN → IN es la función de Hilbert de un ideal polinomial homogéneo si y sólo si la sucesión (h(i))_{i} ∈ IN es una O –sucesión. Esta es la caracterización de Macaulay de la función de Hilbert de un ideal polinomial homogéneo [94].

Teorema 3.2.8 Sea k un cuerpo perfecto y sea I ⊆ k[x_{0}, …, x_{n}] un ideal homogéneo radical y equidimensional de dimensión r, con r ≥ 2 , Sea f ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] un polinomio no–divisor de cero módulo I. Entonces

h_{(I,f)}(m) ≤ 3 deg f · deg I (_{r−2}^{m+r−2})

para m ≥ 5 (r − 1) deg I + deg f .

Demostración. Sean d := deg f y δ := deg I. Luego

h_{(I,f)}(m) = h_{I}(m) − h_{I}(m − d).

Asumimos que k es algebraicamente cerrado. Sea η ∈ k[x_{0}, …, x_{n}] forma lineal no– divisor de cero módulo I. Por el lema 3.2.7 existe m_{0} ∈ ZZ tal que 3 δ ≤ m_{0} ≤ 5 (r − 1) δ tal que

h_{(I,η)}(m_{0}) ≤ (_{r−1}^{m+r−1}) − (_{r−1}^{m+r−1−3 δ}).

Sea m ≥ 3 δ. Luego

(_{r−1}^{m+r−1}) − (_{r−1}^{m+r−1−3 δ}) = ∑_{j=1}^{3 δ} (_{m−j+1}^{m+r−1−j})

es la m –expansión binomial de (_{r−1}^{m+r−1}) − (_{r−1}^{m+r−1−3 δ}) , y por lo tanto

h_{(I,η)}(m) ≤ (_{r−1}^{m+r−1}) − (_{r−1}^{m+r−1−3 δ})

para m ≥ m_{0} . Esto es una consecuencia del teorema de Macaulay. Concluimos entonces

h_{(I,f)}(m) = ∑_{j=0}^{d−1} h_{(I,η)}(m − j) ≤ 3 d δ (_{r−2}^{m+r−2})

para m ≥ 5 (r − 1) δ + d.

□

Sean d y δ el grado de f y de I, respectivamente. En el caso dim I = 1 se tiene h_{I}(m) ≤ δ, y vale la igualdad para m ≥ δ − 1 . Se tiene entonces

h_{(I,f)}(m) = 0

para m ≥ δ + d − 1 .

Bibliografía

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[2] M. Almeida, L. D’Alfonso, P. Solernó, Sur les degrés des bases de modules libres sur l’anneau des polynômes, aparecerá en Math. Z..

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Notación

i(C, D, ξ)  Multiplicidad de intersección, 3
deg V  Grado de una variedad, 4
h(f)  Altura logarítmica de un polinomio, 5
N (f_{1}, …, f_{s}) Polítopo de Newton, 10
U(f_{1}, …, f_{s})  Volumen no mezclado, 10
dist_{α}(V, W)  Distancia entre variedades, 13
h_{I}  Función de Hilbert, 14
| · |_{v}  Valor absoluto sobre un cuerpo, 17
k_{v}  Completación de k con respecto a un valor absoluto, 17
n_{w}  Grado local de una extensión finita, 18
M_{k}  Conjunto propio de valores absolutos sobre k, 18
S_{k}  Valores absolutos en el infinito, 18
λ_{v}  Multiplicidades, 18
n_{w}  Grado local, 19
| · |_{p}  Valor absoluto p–ádico, 19
k(V)  Cuerpo de funciones racionales, 20
O_{W}  Anillo local de una hipersuperficie, 20
ord_{W} (f)  Orden de una función en una hipersuperficie, 20
| · |_{W}  Valor absoluto sobre k(V), 20
σ_{v}  Inmersión canónica de k en k_{v}, 21
M_{v}(P)  Medida de Mahler local, 21
m_{v}(P)  Medida de Mahler local logarítmica, 21
\overline{m}_{v}(P)  Altura local absoluta, 22
H_{v}(A)  Altura ordinaria, 22
h_{v}(A)  Altura ordinaria logarítmica, 22
\overline{h}_{v}(A)  Altura ordinaria logarítmica absoluta, 22
L(P)  Longitud de un polinomio, 22
l(P)  Longitud logarítmica de un polinomio, 22
m(P)  Altura invariante, 23
\overline{m}(P)  Altura absoluta, 24
h(A)  Altura de Weil invariante, 24
\overline{h}(A)  Altura de Weil absoluta, 24
deg^{(t)} P  Grado en t, 25
deg^{(x)} P  Grado en x, 25

deg V  Grado de una variedad, 26
deg q  Grado de una función racional, 27
M_{m}  Parte homogénea de grado m, 28
h_{I}  Función de Hilbert, 28
p_{I}  Polinomio de Hilbert, 28
deg I  Grado de un ideal, 28
k[V]  Anillo de coordenadas homogéneas de una variedad, 29
I(V)  Ideal de definición de una variedad, 29
l(Q)  Longitud de un ideal, 29
V #W  Ruled join, 29
IP^{n∗}  Espacio proyectivo dual, 30
f_{V}  Forma de Chow, 30
P_{V}  Polinomio característico, 31
U  Matriz de variables, 31
T  Variables, 31
η_{i}  Formas lineales genéricas, 31
h(V)  Altura de una variedad, 33
w(V)  Altura de Weil de una variedad de dimensión 0, 34
\overline{h}(φ)  Altura de un morfismo, 36
deg φ  Grado de un morfismo, 38
∂_{m}  Operador de derivación parcial, 38
Diff(φ)  Diferencial, 39
J_{φ}  Jacobiano de φ, 39
Adj^{t}  Matriz adjunta traspuesta, 40
m_{f}  Polinomio minimal, 43
L_{f}  Multiplicación a derecha por f, 46
Tr(f),  Traza canónica 47
N(f),  Norma 47
η(V, π, ζ)  Altura de una solución geométrica, 58
η(V)  Altura de una variedad vía una solución geométrica, 58
v_{d}  Morfismo de Veronese, 73
v_{n,d}  Variedad de Veronese, 73
S^{(d)}  Anillo de coordenadas homogéneas de una variedad de Veronese, 73
conv(A)  Cápsula convexa de un conjunto, 80
pos(A)  Cono sobre un conjunto, 80
I_{A}  Ideal tórico, 81
X_{A}  Variedad tórica afín, 81
T_{A}  Toro de una variedad tórica afín, 81
Y_{A}  Variedad tórica proyectiva, 81
B^{∗}  Módulo dual, 87
σ  Traza, 87
Δ  Determinante pseudo–Jacobiano, 88
H_{I}(t)  Serie de Hilbert–Poincaré, 99
L(V)  Clausura lineal, 100

Índice Temático

Altura absoluta de un polinomio, 24 de la imagen de una variedad por un

morfismo, 65 de la inversa de un automorfismo de IA^{n},

66 de la inversa de un morfismo birracional,

6, 65–67 de la traza, 49 de polinomios, 16–25 de un producto de variedades de dimen-

sión cero, 62–63 de un producto de variedades, 6, 63–64 de una hipersuperficie, 4, 34 de una solución geométrica, 57 de una variedad, 4–7, 16–67 de una variedad de dimensión cero, 5,

34 de una variedad vía una solución geomé-

trica, 5, 58–62 de variedades, relación con la altura de

una fibra, 50–55 de Weil de una variedad de dimensión

cero, 4, 34 de Weil absoluta, 24 de Weil invariante, 24 del polinomio minimal, 42–49 global, 23–25 invariante, 23 local, 21–22 ordinaria, 22 ordinaria logarítmica absoluta, 22 ordinaria logarítmica, 5, 22

Anillo

de coordenadas homogéneas de una va-

riedad proyectiva, 29 graduado Cohen–Macaulay, 69 local de una hipersuperficie, 20

Análogo aritmético del teorema de ceros intrínseco, 12

Característica positiva, 6 Clausura lineal de una variedad , 100 Completación de un cuerpo con respecto a un

valor absoluto, 17 Conjunto

canónico de valores absolutos sobre un

cuerpo de números, 20 cápsula convexa de, 80 de valores absolutos en el infinito, 4, 18 graduado, 80 normal, 81 propio de valores absolutos sobre un cuer-

po, 4, 18–19 saturado, 81

Cono sobre un conjunto, 80

Cuerpo con fórmula del producto, 4, 18–19 de números, 5, 19–20 de funciones racionales de una variedad,

20–21 Curva racional normal, 102

Desigualdad de Bézout, 4, 27, 29–30 aritmética, 6–7, 13, 64–65 Determinante pseudo–Jacobiano, 88 Diferencial de un morfismo, 39 Distancia entre variedades, 13–14, 94–96 Dualidad en álgebras de Gorenstein, 13, 55–

56, 68, 86–88

Ejemplo de Mora–Lazard–Masser–Philippon–

Kollár, 8, 9, 84 Elemento primitivo de una variedad, 32, 55 Equivalencia proyectiva de variedades, 102 Espacio proyectivo dual, 30

Fibra cero-dimensional de un morfismo, 7,

37, 38 Forma

de Chow de una hipersuperficie, 33 de Chow de una variedad de dimensión

0, 33 de Chow, relación con el polinomio característico, 32–33, 52–53 de Chow de una variedad, 4, 30–33 eliminante. Ver Forma de Chow. lineales genéricas, 31

Función de Hilbert caracterización de Macaulay de la, 108 de un ideal , 14–15, 28–29, 97 de una variedad, 97 cotas inferiores para la, 14–15, 97–100 cotas superiores para la, 14–15, 100–109

Fórmula de la traza de Tate, 56, 88 de Leibnitz, 38 del producto con multiplicidades, 4, 18–

19 del producto, 18, 20

F P –cuerpo. Ver Cuerpo con fórmula del producto.

Grado

algebraico de un sistema de ecuaciones,

9–10, 78–80 de la imagen de una variedad, 27 de la inversa de un morfismo birracional,

27–28 de un ideal, 28, 97–98 de un morfismo, 38 de una función racional, 27 de una variedad, 3–4, 26–29 geométrico de un sistema de ecuaciones,

9–10, 78–80 local de una extensión finita, 18, 19

Ideal de definición de una variedad, 29 tórico, 81

Intersección completa, 42 completa reducida, 13, 42 propia, 3

i –expansión binomial, 108

Jacobiano, 39

Localización de un anillo con respecto a un

elemento, 69 Longitud

de un ideal, 29 logarítmica de un polinomio, 22 de un polinomio, 22

Matriz Jacobiana. Ver Diferencial de un morfismo.

Medida de Mahler, 4, 21 invariante, 23 local, 21 logarítmica, 21 multiplicatividad de la, 22

Morfismo de Veronese, 73 finito, 42 separable, 38

Multiplicidad de intersección, 3

Método combinatorio, 11, 68 Newton–Hensel, 6

Normalización de multiplicidades, 19 Norma, 47, 92 Nullstellensatz. Ver teorema de ceros.

Orden de una función en una hipersuperficie,

20 O –sucesión, 108

Parametrizaciones de una variedad, 56 Parte homogénea de grado m, 28 Polinomio

característico, 30–33, 45 de Hilbert, 14, 28, 97 de Laurent, 10 minimal, 42–43 Polítopo de Newton, 10, 80

entero, 81 Problema

de la consistencia, 8 de la división, 87 de la interpolación, 90 de la pertenencia, 7 de la representación, 7

Punto no ramificado, 38 reducido, 38

Ruled join, 29

Serie de Hilbert–Poincaré, 99 Solución geométrica, 5–6, 55–62 Soporte de un conjunto, 10 Sucesión regular, 47 débil, 70

Teorema de Bézout, 3 Teorema de ceros 2, 7–9

aritmético, Ver teorema de ceros, cotas de altura aritmético sobre variedades, 12–14, 90–

96 efectivo sobre anillos graduados Cohen–

Macaulay, 11, 68–75 esparso, Ver teorema de ceros, cotas de

esparsitud intrínseco, 9–10, 79–80 paramétrico, 13, 91 cotas de esparsitud, 10–11, 80–86 cotas de grado, 9–10, 68–80 cotas de altura, 11-14, 90–96

Teorema de división, 86–87 de Hochster, 82 de la Base de Hilbert, 7 de la función inversa, 38

Teoría de Arakelov, 5 de eliminación, 5, 86 de eliminación rala, 10

Toro, 81

de una variedad tórica afín, 81 Traza, 47, 87–88

fórmula de la. Ver fórmula de la traza de Tate.

Unimodular simplex, 81 subdivisión, 81

Valor absoluto, 17–19 de un conjunto, 22 no–arquimediano, 17 trivial, 17 p –ádico, 19 dependientes, 17 independientes, 17

Variedad de Veronese, 73 definida sobre un cuerpo, 103 no–singular en codimensión 1, 20 tórica afín , 81 tórica proyectiva, 81 Volumen no mezclado, 10