ANALISIS COMPLEJO

1. Números complejos: Definición. Conjugación. Valor absoluto. Forma Polar. Potencias y raíces. Topología y continuidad. Esfera de Riemann. Homografías.

2. Funciones de variable compleja: Límite y continuidad. Derivabilidad y Holomorfía. Regla de la cadena, derivada de la inversa. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Funciones armónicas y funciones armónicas conjugadas. Aplicaciones conformes.

3. Sucesiones y series en el campo complejo: Series numéricas, criterios de convergencia. Series de funciones: convergencia puntual, puntual absoluta, uniforme y normal. Criterio de Weierstrass. Series de potencias. Convergencia absoluta. Lema de Abel. Radio de convergencia. Holomorfía de las funciones analíticas.

4. Funciones elementales: La funcion exponencial en el campo complejo. Propiedades, caracterización. Funciones trigonométricas. Determinaciones del logaritmo complejo.

5. Integración de funciones de variable compleja: Definición de integrales curvilíneas y propiedades. El Teorema de Cauchy-Goursat para rectángulos. El teorema de Cauchy para el disco. Teorema de Morera. Indice de una curva respecto de un punto, propiedades. La fórmula integral de Cauchy, derivadas sucesivas. Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville. Teorema fundamental del álgebra.

6. Desarrollo de Taylor: Analiticidad de las funciones holomorfas. Ceros de funciones analíticas, orden y aislación de los ceros.

7. Principio del módulo máximo. Teorema de la aplicación abierta. Funciones inversas. Aplicación a los principios del máximo y del mínimo de funciones armónicas. Lema de Schwarz, aplicaciones.

8. Forma general del Teorema de Cauchy: Simple conexión. Curvas homotópicas. Teorema generalizado de Cauchy.

9. Singularidaes aisladas: Desarrollo en serie de Laurent, región de convergencia. Clasificación de singularidades aisladas: evitable, polo, esencial. Estudio de polos. Teorema de Casorati- Weierstrass. Singularidad en el infinito.

10. Residuos: Forma general del teorema de los residuos. Derivada logaritmica y su integral en un arco cerrado, Teorema de Rouché. Aplicaciones. Funciones

meromorfas en la esfera de Riemann. Cálculo de integrales por el método de los residuos.

11. Convergencia uniforme sobre compactos: El espacio de funciones holomorfas en un abierto conexo. Convergencia normal. Teorema de Montel, consecuencias. Series de funciones meromorfas. Ejemplos.

12. Productos infinitos numéricos y de funciones holomorfas. El teorema de Weierstrass. Meromorfa = cociente de holomorfas. Ejemplos. La función Gamma. La función Zeta de Riemann.

13. Representación conforme: El teorema fundamental de Riemann. Descripción de los biholomorfismos del plano, del disco y del semiplano superior.

BIBLIOGRAFIA

Ahlfors, L. V: Complex Analysis, Mc.Graw-Hill Book Co. (1979)

Bak,J. & Newman,D: Complex Analysis, Second edition, Springer-Verlag (1997).

Churchill, R. y J. Brown: Variable Compleja y Aplicaciones, Cuarta Edición, Mc. Graw-Hill (1986)

Cartan, H: Teoría Elemental de las Funciones Analíticas de Una y Varias Variables Complejas. Versión en inglés: Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Variables, Dover Publications (1995).

Conway, J.B: Functions of One Complex Variable, Second edition, Springer-Verlag (1978)

Greene, R. & Krantz, S.: Function Theory of One Complex Variable, J. Wiley and Sons (1997)

Markushevich, A.: Teoría de las Funciones Analíticas, Tomos I y II, Segunda edición, Ed. Mir (1970).

Needham, T.: Visual Complex Analysis, Oxford Univ. Press (1997).

Stein, E. M. & Shakarchi, R.: Complex Analysis, Princeton University Press (2003).

.