ecuaciones diferenciales estocásticas - segundo cuatrimestre 2007
docente: pablo groisman
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ecuaciones diferenciales estocásticas - segundo cuatrimestre 2007 docente: pablo groisman
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Las ecuaciones diferenciales estocásticas se utilizan, entre otras cosas, para modelar y estudiar dinámicas gobernadas por fenómenos aleatorios. Su rol en la modelización de procesos de evolución con componentes aleatorias es similar al de las ecuaciones diferenciales ordinarias para los procesos determinísticos. En este seminario seguiremos las notas del curso “Introduction to Stochastic Differential Equations” escritas por L.C. Evans (para bajarlo, click aquí). Haremos un repaso de la teoría de probabilidades necesaria para introducir las ecuaciones diferenciales estocásticas, construiremos el movimiento Browniano, que servirá para definir el “ruido blanco”, comúnmente utilizado para modelar componentes aleatorias. Definiremos la integral estocástica y probaremos la fórmula de Ito. Con todo este material podremos definir la noción de solución de una ecuación diferencial estocástica para luego probar existencia y unicidad de dicha solución y propiedades de las soluciones (dependencia en los parámetros, etc.). Veremos algunas aplicaciones. Si hay tiempo e interés, haremos una breve introducción a la resolución numérica de este tipo de ecuaciones. |
programa de la materia
Introducción: Modelos gobernados por ecuaciones diferenciales estocásticas.
Breve introducción a la teoría de probabilidades: Variables aleatorias. Esperanza, varianza. Funciones de distribución. Independencia. Lema de Borel-Cantelli. Funciones características. Ley fuerte de los grandes números, Teorema Central del Límite. Esperanza condicional. Procesos estocásticos. Martingalas a parámetro discreto y continuo.
Movimiento Browniano/Proceso de Wiener: Motivación y definiciones. Construcción del movimiento Browniano de Lévy-Ciesileski. Regularidad de las trayectorias del proceso de Wiener. Markovianeidad.
Integrales estocásticas: Integral de Paley-Wiener-Zygmund. Definición y propiedades de la intergral de Ito. Integral de Ito indefinida. Integral de Stratonovich.
Ecuaciones diferenciales estocásticas: Noción de solución, ejemplos. Teorema de existencia y unicidad. Dependencia en los parámetros. Ecuaciones diferenciales estocásticas lineales.
Breve introducción a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas: Simulación del proceso de Wiener. Aproximación de integrales estocásticas. El método de Euler-Maruyama. Convergencia débil y convergencia fuerte.