Departamento de Matemática - FCEyN - UBA

Ecuaciones Diferenciales No Lineales

(Materia optativa Licenciatura y Doctorado en Ciencias Matemáticas)

Primer Cuatrimestre 2007

• Profesor: Julián Fernández Bonder (Oficina 2093 - email: jfbonder@dm.uba.ar ).

• Horarios y aulas: Martes 16-18hs, Aula 14, Pab. 1 y Miércoles 11-13hs, Aula 13, Pab. 1.

• Puntaje: 4 puntos para la Licenciatura y el Doctorado.

• Forma de aprobación: Entrega de ejercicios y examen final.

• Correlatividades: Ecuaciones Diferenciales A (orientación pura) y Ecuaciones Diferenciales B (orientación aplicada).

• Programa de la materia:
   
1. Espacios de Sobolev. Desigualdad de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. Teoremas de inmersión. Compacidad.
2. Repaso sobre Ecuaciones Lineales Elípticas.
3. Cálculo de variaciones. Existencia de minimizantes y puntos críticos de funcionales. El Teorema de paso de la montaña.
4. Métodos de monotonía. Métodos de punto fijo. Super y sub-soluciones.
5. Teoremas de no existencia. Blow-up y la identidad de Pohozaev.
6. Propiedades geométricas de las soluciones. Simetría radial y el método de los planos móviles.
7. Problemas sin compacidad: Compacidad por concentración y compacidad por compensación.

• Bibliografía:
   
1. L.C. Evans, "Partial Differential Equations". Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.
2. L.C. Evans, "Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations". CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 74.
3. D. Gilbarg - N. Trudinger, "Elliptic Partial Differential Equations of Second Order", (2nd edn.). Springer-Verlag, New York, 1983.
4. N.V. Krylov, "Lectures on elliptic and parabolic equations in Hölder spaces. Graduate Studies in Mathematics, 12. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.
5. O.A. Ladyzenskaja - V.A. Solonnikov - N.N. Uralceva, "Linear and quasilinear equations of parabolic type". Translations of Mathematical Monographs, Vol. 23 American Mathematical Society, Providence, R.I. 1967
6. M. Renardy - R.C. Rogers, "An Introduction to Partial Differential Equations", Texts in Applied Mathematics 13, Springer-Verlag, 1992.

• Prácticas: Se debe entregar el 60% (aprox.) de cada práctica para aprobar la materia.
   
1. Espacios de Sobolev. Fecha límite para la entrega de esta práctica: 30 de Abril.
2. Repaso de Ecuaciones Lineales. Fecha límite para la entrega de esta práctica: 31 de Mayo.
3. Métodos Variacionales. Fecha límite para la entrega de esta práctica: 30 de Junio.
4. Métodos no Variacionales. Fecha límite para la entrega de esta práctica: 31 de Julio.
5. Problemas sin Compacidad. Fecha límite para la entrega de esta práctica: 31 de agosto.

• Examen Final: El examen final consistirá en la exposición de un trabajo que complemente alguno de los temas vistos en clase. Algunos temas posibles son:
1. Desigualdades de Sobolev.
2. Regularidad Schauder para Ecuaciones Elípticas.
3. Multiplicidad de soluciones en problemas variacionales.
4. Teoremas de linking para funcionales indefinidos.
5. Problemas de autovalores no lineales.
6. Teoría de grado y métodos de punto fijo.
7. Teoremas de Liouville y aplicaciones.
8. Ecuaciones parabólicas semilineales. Existencia, unicidad, regularidad y Blow-up.
9. Teorema de Rellich-Pohozaev para sistemas.
10. Problemas con exponente crítico.
Una vez elegido el tema, buscaremos la referencia precisa a estudiar.

• Finales Rendidos:
1. (03/08) Analía Silva: "Multiplicidad de puntos críticos para funcionales con simetría y aplicaciones". Aula de Seminarios, 14hs.
2. (14/08) Leonardo Vicchi: "Teoría de grado, teoremas de punto fijo y aplicaciones". Aula de Seminarios, 14hs.
3. (22/08) Manuel Maurette: "Ecuaciones elipticas asintoticamente lineales y condiciones de Landezman-Lazer ". Aula de Seminarios, 14hs.
4. (30/08) Alberto Déboli: "Métodos de monotonía y aplicaciones a ecuaciones elípticas cuasilineales". Aula de Seminarios, 14hs.
5. (24/09) Cecilia Piccio: "El problema de autovalores para el p-Laplaciano". Aula 13, 14hs.

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