Resultados matemáticos

Tal como se precisó más arriba, el problema central consiste en el estudio desde un punto de vista cuantitativo y algorítmico de las soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales

Las soluciones del sistema se buscan dentro de un cuerpo a determinar de antemano (por lo general o ), mientras que los polinomios poseen coeficientes en un anillo fijo ( , , , ). Como es de esperar, los métodos aplicados, los resultados obtenidos y los problemas a considerar variarán sensiblemente en cada caso.

Si bien una reseña histórica que enmarca los problemas tratados se encuentra desarrollada en la presentación del proyecto, creemos necesario recordar brevemente un posible punto de partida, que se conoce con el nombre de ``Teorema de ceros de Hilbert" (a pesar de que sin duda ya era conocido por Kronecker):

Sea k un cuerpo arbitrario y sea un cuerpo algebraicamente cerrado conteniendo a k (p.ej. y ) y sean polinomios. Entonces los polinomios no tienen un cero común en si y sólo si existen polinomios tales que .

Resulta claro entonces que, de exhibirse una cota superior a priori D para los grados totales de los polinomios , los mismos podrán ser hallados como solución de un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los coeficientes de los polinomios . De allí el interés por encontrar cotas efectivas sobre D (este problema lo llamaremos ``Teorema de los ceros efectivo").

Los sucesivos trabajos de G. Hermann ([20], con ), D.Brownawell ([4], pero solo para ), Caniglia-Galligo-Heintz [5], J.Kollar [21], Fitchas-Galligo [8], los dos últimos con la estimación , logran responder al problema. Más aún, la cota superior D obtenida, resulta asintóticamente optimal con respecto a los parámetros considerados: n y .

Una parte central en la tarea desarrollada por nuestro grupo consistió en la búsqueda de versiones más precisas del Teorema de los ceros efectivo que no solamente mejoraran el resultado matemático, sino que permitieran un ataque algorítmico mucho más eficiente que los conocidos.

En este sentido, la introducción como herramienta de la teoría de dualidad en álgebras de Gorenstein juega un papel fundamental. Este método da lugar a una estimación mucho más diferenciada de los grados de los polinomios que intervienen en divisiones modulares por intersecciones completas (permitiendo la distinción entre variables ``libres" y ``ligadas") y conduce a procesos cuya uniformidad acepta un tratamiento adecuado cuando los polinomios son dados por programas de evaluación (nos referiremos de nuevo a este punto cuando se traten los resultados informáticos).

Esta idea fue introducida en [9] y junto con las técnicas de [11], permitió una mejora algorítmica importante en el estudio de la resolubilidad de un sistema polinomial de ecuaciones en un cuerpo algebraicamente cerrado. Un análisis similar, aunque un tanto más fino desde el punto de vista matemático, expuesto en [29], condujo a una nueva demostración de las estimaciones conocidas para la cota superior D del Teorema de ceros y mejoró el caso en que los polinomios tienen grados mayorados por 2 (en este caso se obtuvo en lugar del conocido).

Combinando adecuadamente los mencionados métodos de dualidad junto con consideraciones sobre ``programas de evaluación genéricos" provenientes de la informática teórica, fue posible dar una versión del Teorema de los ceros de Hilbert para polinomios con coeficientes enteros en el que grado y tamaño de los coeficientes se controlan satisfactoriamente (ver [22]):

Sean polinomios de grados mayorados por y cuyos coeficientes tienen alturas logarítmicas acotadas por una cantidad sin ceros comunes en . Entonces existe no nulo y polinomios de modo que , con los grados y las alturas logarítmicas de los coeficientes de los polinomios acotados respectivamente por y . Esta última estimación también mide la altura logarítmica de a.

Este resultado puede ser interpretado también en el contexto de la aproximación diofántica, más precisamente en relación a las estimaciones de Liouville de cotas inferiores para el valor absoluto de polinomios enteros evaluados en puntos algebraicos (ver [22]). El tema de la aproximación diofántica vuelve a aparecer en [13], ya que, entre otros resultados, alli se prueba una versión del teorema clásico de Liouville para n polinomios en n variables y se define una noción de altura más adecuada para problemas de eliminación que las ya conocidas.

También a partir del empleo de la teoría de trazas se ha logrado la obtención de un ``Teorema de los ceros efectivo" con cotas intrínsecas: sean polinomios en que generan el ideal trivial, entonces tomando combinaciónes lineales de los que resulten sucesiones regulares y los grados de las variedades determinadas por estas, es posible obtener una definición de lo que llamamos el grado geométrico de la familia (cf. [23]) y que se notará por . (Como consecuencia de la desigualdad de Bezout se deduce que es siempre menor que , siendo .) Con estas notaciones fue posible demostrar el teorema siguiente, que mejora en varios casos los resultados mencionados al comienzo (ver [14] y [23]):

Sean polinomios de grados mayorados por d y sea su grado geométrico. Entonces existen polinomios de grados mayorados por tales que .

Una versión ligeramente mejorada que contiene además una nueva prueba combinatoria sobre el teorema de los ceros efectivo, basada en desigualdades sobre la función de Hilbert, fue demostrada en [31].

Todos los resultados mencionados, provienen de resultados más generales que corresponden a teoremas de división efectivos en el caso de ideales generados por intersecciones completas; más precisamente, si es una sucesión regular y , se desea estimar grados y coeficientes de alguna representación . Hemos evitado presentar los resultados desde este punto de vista, en parte más general, solo por razones didácticas (ver los trabajos mencionados: [9, 22, 29, 14, 23, 31]).

A grandes rasgos esta es una síntesis de los resultados de índole matemática obtenidos dentro del grupo. Dado que la motivación proviene especialmente de la informática estos resultados están íntimamente relacionados con las mejoras algorítmicas que se describen en la sección siguiente.