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DEPARTAMENTO
DE MATEMÁTICA - FCEyN - UBA
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Teoría Geométrica de la Medida
(Materia optativa Licenciatura y Doctorado en Ciencias
Matemáticas)
Primer Cuatrimestre 2009
Importante:
- La fecha límite para la entrega de ejercicios es el
comienzo del 2do cuatrimestre (18 de agosto). No es necesario entregar
la totalidad de los ejercicios juntos. Recomendamos ir entregando a
medida que los vayan haciendo.
- Pueden hacer consultas tanto por mail como personalmente a
Julián y a Leandro.
- Temas para el final: Para coordinar tema y fecha para rendir el
final, contactarse con Julián. Algunos temas posibles son
- Capacidad (Evans-Gariepy, Secciones 4.7 y 4.8)
- Diferenciabilidad en líneas de funciones de Sobolev
(Evans-Gariepy, Sección 4.9)
- Propiedades puntuales de funciones de variación acotada
(Evans-Gariepy, Secciones 5.9 y 5.10)
- Criterio de perímetro finito (Evans-Gariepy,
Sección 5.11)
- Teorema de Alexandroff (segundas derivadas c.t.p. para
funciones convexas) (Evans-Gariepy Secciones 6.3 y 6.4)
- Teorema de extensión de Whitney (Evans-Gariepy,
Secciones 6.5 y 6.6)
- El problema de Plateau (notas de Arbieto - Matheus - Oliveira, pdf)
NOVEDADES
- (02/07) TERMINARON LAS CLASES.
- (01/07) Está disponible la práctica
5 (la última).
- (03/06) Está disponible la práctica
4.
- (21/04) Están disponibles las prácticas
2 y 3.
- (13/04) Cambio de dias y aulas: Lunes y Jueves de 11 a 13, Aula 12 Pab. 1.
El martes 14, por ultima vez, 14 a 16 en el aula 14, Pab. 1.
- (01/04) Hay dos erratas en la practica 1. Ejercicios 3 y 7.
Ya está la nueva versión.
- (26/03) Ya está disponible la práctica
1.
- (26/03) Hoy comienzan las clases.
- (13/03) Se fijaron el horario de la materia para las clases
teóricas: Martes de 14 a 16hs y Jueves de 11 a 13hs.
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- Horarios y aulas: Lunes y Jueves de 11 a
13hs. (teorica). Lunes y Jueves de 9 a 11hs. (practica).
Aula 12, Pab. 1.
- Puntaje: 4 puntos para la Licenciatura para el Doctorado.
- Régimen de
aprobación: Entrega de
ejercicios y examen final.
- Correlatividades: Análisis Real (orientación
Pura) o Medida y Probabilidad (orientación Aplicada).
- Programa de la materia:
- Teoría General de la Medida
1.1
Repaso
de Teoría General de la Medida
1.2
Teoremas
de cubrimiento de Vitali y de Besicovich
1.3
Diferenciación
de medidas de Radon
1.4
Puntos
de Lebesgue; Continuidad aproximada
1.5
Teorema
de representación de Riesz
1.6
Convergencia
débil y criterio de compacidad para medidas de Radon
2.1 Definición
y
propiedades elementales; dimensión de Hausdorff
2.2
Desigualdad
Isodiamétrica; LN = HN
2.3
Densidades
2.4
Medida
de Hausdorff y propiedades elementales de las funciones
- Fórmulas de área y de co-área
3.1
Funciones
Lipschitz, Teorema de Rademacher
3.2
Mapas
lineales; Jacobianos
3.3
La
fórmula de área
3.4
La
fórmula de co-área
- Funciones de Variación Acotada (BV) y Conjuntos de
Perímetro Finito
4.1
Definiciones;
Teorema de Estructura
4.2
Aproximación
y compacidad
4.3
Trazas
y extensiones
4.4
Fórmula
de co-área para funciones BV
4.5
Desigualdades
Isoperimétricas
4.6
La
frontera reducida; El borde en el sentido de la teoría de la
medida;
El Teorema de Gauss - Green
4.7
Propiedades
puntuales de funciones BV
4.8
Variación
escencial en líneas; Criterio para perímetro finito
5.1
Definición
y propiedades elementales
5.2
Aproximación,
trazas y extensión
5.3
Desigualdades
de Sobolev; Teorema de compacidad Rellich - Kondrashov
5.4
Capacidad
5.5
Cuasicontinuidad;
Representante preciso de funciones de Sobolev
5.6
Diferenciabilidad
en líneas
- Bibliografía:
- L.C.
Evans - R.F. Gariepy, "Measure Theory and Fine Properties of
Functions". Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, 1992.
- K.
Falconer, "Fractal Geometry". Wiley, New York, 1990.
- H.
Federer, "Geometric Measure Theory". Springer-Verlag, New York, 1969.
- D.
Gilbarg - N. Trudinger, "Elliptic Partial Differential Equations of
Second Order", (2nd edn.). Springer-Verlag, New York, 1983.
- E.
Stein, "Singular Integrals and Differentiability Properties of
Functions". Princeton University Press, Princeton, NJ, 1970.
- W.
Ziemer, "Weakly Differentiable Functions". Springer-Verlag, New York,
1989.
- Prácticas:
- Teoría General de la Medida - pdf
- Medidas de Hausdorff - pdf
- Fórmulas de área y de co-área - pdf
- Funciones de Variación Acotada - pdf
- Funciones de Sobolev - pdf
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optativas
A las materias
obligatorias
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Matemática