Análisis Complejo
Segundo Cuatrimestre de
2004
Prácticas | Fechas
de exámenes | Docentes
- Horarios - Aulas
Régimen de aprobación de los TP
| Programa
de la materia | Bibliografía
Normas
de Seguridad
Prácticas
Fechas de exámenes
Examen
|
Fecha
|
Horario
|
Aula
|
Primer
parcial |
Sábado 16 de Octubre
|
10:00
a 14:00 |
Aula
8 - Pab. I |
Segundo
parcial |
Lunes
6 de Diciembre |
14:00
a 18:00 |
Aula
2 - Pab. I |
Recuperatorio
del Primer parcial |
Lunes
13 de Diciembre |
14:00
a 18:00 |
Aula
4 - Pab. I |
Recuperatorio
del Segundo parcial |
Lunes
20 de Diciembre |
14:00
a 18:00 |
Aula
4 - Pab. I |
Docentes - Horarios -
Aulas
Régimen de
aprobación de los TP
Se deben aprobar dos exámenes parciales, el
primero a mitad del curso y el segundo al finalizar el mismo. Habrá dos fechas de recuperación:
en la primera se recuperará el primer examen parcial y en la segunda,
el segundo examen parcial.
Importante:
Para poder ser incluido en
las Actas de Trabajos Prácticos, en caso de aprobar
los parciales, es necesario
haberse inscripto en la materia a través del Sistema de Inscripciones de la
Facultad y completar la encuesta de evaluación de la materia al final del
cuatrimestre.
Programa de la materia
- Números
complejos: Definición. Conjugación. Valor absoluto. Forma Polar. Potencias
y raíces. Topología y continuidad. Esfera de Riemann. Homografías.
- Funciones
de variable compleja: Límite y continuidad. Derivabilidad y Holomorfía.
Regla de la cadena, derivada de la inversa. Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Funciones armónicas y funciones armónicas conjugadas.
Aplicaciones conformes.
- Sucesiones
y series en el campo complejo: Series numéricas, criterios de convergencia.
Series de funciones: convergencia puntual, puntual absoluta, uniforme y
normal. Criterio de Weierstrass. Series de potencias. Convergencia absoluta.
Lema de Abel. Radio de convergencia. Holomorfía de las funciones analíticas.
- Funciones
elementales: La funcion exponencial en el campo complejo. Propiedades,
caracterización. Funciones trigonométricas.
Determinaciones del logaritmo complejo.
- Integración
de funciones de variable compleja: Definición
de integrales curvilíneas y propiedades. El Teorema de Cauchy-Goursat para
rectángulos. El teorema de Cauchy para el disco. Teorema de Morera. Indice
de una curva respecto de un punto, propiedades. La fórmula
integral de Cauchy, derivadas sucesivas. Desigualdades de Cauchy.
Teorema de Liouville. Teorema fundamental del álgebra.
- Desarrollo
de Taylor: Analiticidad de las
funciones holomorfas. Ceros de funciones analíticas, orden y aislación de
los ceros.
- Principio
del módulo máximo. Teorema de la aplicación abierta. Funciones inversas.
Aplicación a los principios del máximo y del mínimo de funciones armónicas.
Lema de Schwarz, aplicaciones.
- Forma
general del Teorema de Cauchy: Simple conexión. Curvas homotópicas.
Teorema generalizado de Cauchy.
- Singularidaes
aisladas: Desarrollo en serie de Laurent, región de convergencia.
Clasificación de singularidades aisladas: evitable, polo, esencial. Estudio
de polos. Teorema de Casorati- Weierstrass. Singularidad en el infinito.
- Residuos:
Forma general del teorema de los residuos. Derivada logaritmica y su
integral en un arco cerrado, Teorema de Rouché. Aplicaciones. Funciones
meromorfas en la esfera de Riemann. Cálculo de integrales por el método de
los residuos.
- Convergencia
uniforme sobre compactos: El espacio de funciones holomorfas en un abierto
conexo. Convergencia normal. Teorema de Montel, consecuencias. Series de
funciones meromorfas. Ejemplos.
- Productos
infinitos numéricos y de funciones holomorfas. El teorema de Weierstrass.
Meromorfa = cociente de holomorfas. Ejemplos. La función Gamma. La
función Zeta de Riemann.
- Representación
conforme: El teorema
fundamental de Riemann. Descripción de los biholomorfismos del plano, del
disco y del semiplano superior.
Bibliografía
Ahlfors,
L. V: Complex Analysis, Mc.Graw-Hill
Book Co. (1979)
Bak,J.
& Newman,D: Complex Analysis, Second edition, Springer-Verlag (1997).
Churchill,
R. y J. Brown: Variable Compleja y
Aplicaciones, Cuarta Edición, Mc.
Graw-Hill (1986)
Cartan,
H: Teoría
Elemental de las Funciones Analíticas de Una y Varias Variables Complejas. Versión
en inglés: Elementary
Theory of Analytic Functions of One or Several Variables,
Dover
Publications (1995).
Conway,
J.B: Functions
of One Complex Variable,
Second edition, Springer-Verlag (1978)
Greene,
R. & Krantz, S.: Function
Theory of One Complex Variable,
J. Wiley and Sons (1997)
Markushevich,
A.: Teoría
de las Funciones Analíticas,
Tomos I y II, Segunda edición, Ed.
Mir (1970).
Needham,
T.: Visual
Complex Analysis,
Oxford Univ. Press (1997).
Normas de Seguridad
Instructivo: Información sobre cómo reaccionar frente a una emergencia médica
o un incendio. Teléfonos útiles.